Problem Solvingと数学的な考え方の育成

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(1)学位論文. Problem. Solivin8 と数学的な考え方の育成. 兵庫教育大学大学院学校教育研究科教科。領域教育専攻自然系コース. 82318平川年明.

(2) rsTo ．. 一は一じ．め．、に. ＿＿＿. 二の掌習の大剃ま．、一盟題婁解K一こと．に．かかわ．って」匹る。」檸≒郵こなる．と＋一生徒の数学一…一一、. の能力．差駆かな」賦きくなりう問題壱解匙場・合にも＋一e．れは顕一蕃1こ一表わ開れ．てくみ＿数学ほ＿．一一一．一. ﾄ毫な」塾もの．．と．決め鱒意欲のな⊥・者、一意欲はある塑基礎的な細識⊥技能を」習L径し一：て. 一一い一な」yifthki一ま」し問題雌解け」な鍍一基本的［問題一は解けるがN．一応用問題に＿＿. ﾈみ上困盛↓一エコL一．まエraる．。問題解決（P．r．obJ一一em SΩ⊥．ving．）の舵力は、一数．. 学〕的旧識⊥技能Lj闘題解決の経、臨．．直観などの悪因が、」塾連して塾るが、それを．育成する. ためには、どんな手だてが考えら回るであろうカ㌔折しも、米国の数学教：育界は、現在その中心課題1を岱ack短．地si隻S《基礎・基本に帰塾）”. から“Pr。blem Solving”へ移し、研究。実践している。また、わが国においては、数十年丞L一数堂教資の目標として、＿盟題解蜘能力の育成をめざし．『数学的な者え方”が強調されてきてk3．るe．＿＿一＿一一一一一．．．．．一．一一一一．…＿一、、＿．．．一t．．一．一一＿一一．一．一一一．一一一．＿、＿．．．一一一一…一. そ並で、．そ．れらの研究を参考に一しながら、“Pr。h！e船Sdvi墾（特｝も…，閲題解決の方略どと. “数i麹的な童三方竺の関連を考察し、問題解決能力を育成するための方策を探るのが、本論文のヨ的であ一る。. なお、本論文では、主に中学撞に超主る教材を対象として考察をすすめる。. 昭和58年12月20日平川年明. 兵庫教育大学数学教室一1一.

(3) Nio．. ．一. ．− 一．L．. @Lt一…. ．一．．．一一一．一. 一一. 肢鼈黶f一次…. ﾍ一bめ．に. i一’ 堰fi．1’iiii““ ．一．．’．．一““一’“’i−ii−L．一“；．“’；’．．“’“’i一一t， ”’ ’ 黶f. @i. −1一. 「一一一≡章…．一．一一一Prてrb「量relr−Sでrl−vi卜㎎・一…「一・●●。一i・・而石而’ii一一…6冨石．… ．而・・；．… ‘而・・. @ぞ｛．1）一問題笹サい《……一一一…・・一一一……一一一………一一乞一. 一一一一一・一一一一. i一一1一「2→一F問一題解決トと尋審何．か．…一一一…・一・一一……一一一一4一．一. i1T3与一米．国の一一「碍題解決」．研究について一・ …一…一7…一一一．. ．一一一（．4旧、一4一）一一問題：解決の寿略の考．察一一一………一…・……．．一一一1−e一一一．．一. ・…第、二章… 数学的な．考・え・寿一一一一一一・・一一…一一一一“一i……一一一一一29 一一一〈恥2一一1一）一一・．学習指導要領A一改訂｝ご←っ一て．一一一一一・一一一一一一一一一30．一一. 一一一（一2−v−2’一）一一数学的な考k−ffの・と一ら一寿寿一一一一…一…・一・…㎜一一34一．．. （・2．3一）一．数学的．な猫の構造一…一一一・…・…一・一39．一一一．. ．．. 黶D．一. @ 一一．．一第三：敢、一．蝕雌㎝一恥捕』｛トと数学的．な．孝之方の．関連＿一・柵・…”…一42． i．3■．一〇一一わ遡咽の一数掌教．育の現状一一一”tm””’・・……哩塑・…一一43一．．． t. 一一. Q＿＿一一一＿一＿. 一一一．一＿．一．一一＿一．（一．3一．2一〉問題解決能＃の伸．ぴ．な込原因一一．u．t……・t・…堕世L−50…一. 一一…．．．．一tt一｛3．＿3．）一闘題解決、の方．略と数掌的しな一ny一え一＃の黒連塑一53一＿一．一. ＿一＿一（．3．．4−L周題解決のじ加一セス指導璽讐野，鼎蝉竺…・…一60．一．一. ．まとめ．と惣脱、一一引．用−参童文獄＿. 一…………・… ・・. 普c……？・………・・…竺，壁…！・…竺 63一. G……二！凹凹…竺！ご…哩璽！三・竺1・2・・，竺塑… ．65. 兵庫教育大学数学教室. Mil一.

(4) Problem Solving. 第一一章. 一一. P一一.

(5) ltJo ・. （1．．上）一間．題．に．つ堕て一．．．. ．一一一＿二二解決につ．』三て論じるために、一まず、竺問題竺の興味を明確にす一る必要があ杢う亘一一一一一．一一従来カコ二流．学の」指1二一に．おける問題昼、数学の一内容に．閑立る．ものから」出発し一，一一一Pt法がわカ〕．ら一一一一一一. 一一ないものとして、主に、．教科書や教：師から与えられるものが多い。そ豊は）数学的．に適切＿＿一. かどうかの吟味はされても、生徒の興味・関心という面から辺考慮は、あぎ一型なさ麺てこ一な二つ．‡㍉．上力〕し、一戦後の一時置、生活に密着．L亙固1題．を下野L．ようと．塾i試みく生活. 単二学習）カ『なされ孟≧一至の試塾墜｝数学の系緬性の欠如や、．児童一“生徒の萱t算力低下．な．一どの二二で塑⊇三蓋燕・二二．三囲⊆二つたのであるP … 一． …一㎝一．. ．今日・三国で重祖されている問題解洗ρ壷導で墜・問穎偉実世塁（Real Wρ亘d）一に画面＿一レも一一ξれを数学生（阿athemat塾tio旦1し伊里≧す蕊ミであると書えられて糖るg翌＝方き生活単三学習壁代の．問題1劃．単些実世界に直亘レて畦て教学｝引饗連」tる内審を上：そっく互．. そのまま、系統性をほとんど無視して取り扱っていた。そこで・数学の指導におサ委“問題”一と鉢・どのよう塗ものが適切であ墨かに？いて考察しよう。. 先行研究では、“問題（problem）”を“練習（exercise）”（さらに“質問（question）”）と. 区下してとらえているものが多い。2・3）“問題”と“練習”の大まかな違いは、単に、記憶の再生やルーティン・ワV・・ク（型どおりの手順）で解けるかどうかである。また、問題の備えるべき条件がいろいろ提案されている。4・ 5・ 6）それらを参考にし、本論文において. “問題”とは、次のような条件をできるだけ多く備えたものが望ましいと考えたい。. 1ルーティン・ワークですぐに解けないもの。. 2系統性があり、数学的に意味のあるもの。さらに、できれば他の問題への発展性があるもの。. 3問題場面に対して、生徒が興味・関心をいだいたり、内発的動機づけを誘発するようなもの。. 4既習内容との結合に、“自然さ”と適度の“困難さ”とがあり、できれば解決方法が多面的であること。. 兵庫教育大学数学教室一2一.

(6) No．. @一一一．5二灘）直ました．結果に離重五ま一エ黒クと自己課価画＝能で．あみ．こと一e一＿一一＿一t ＿一. ．一t＿＿一＿＿＿一α厘勲endな．悶駐適壁取」髄てい．く一L＿ここでは上Re旦l Norldに直面．し幽にっ塾ては．触れていなレ三型、その．ような問題を除＿. ＿＿鑓必裏昼な翌。それらWWC）を弛また、＿数墜の応．用」と．翌三う慨彫塑ら一＿も＿その．童義が一められよう。 t．．一一．一一一．．．. しかし、Real悔エ1遺一に直面．L痩間題鵬固執立る必裏匿な丈瓢．R鎚⊥」壁壁域蔓直颪し痩盟＿．一… ．一一一一99℃Ljあ峯うと架空の』orldの問題であろうと、上述の条件を満起す闘題を取丑入．れて避…＿一一．．、くことを心掛けるべきであうう豊＿一＿一一．．．．＿ …＿＿tt＿＿ttt一一一一．一．一一．. 問題解決能力を育成する上で特に大切なのは5であろう。詳細は、（3．4）で述べるが、．聞題φ解決プロ丞ろをふり返ることが、“問題解塗の方略”あるい建．“数学的塗室え方i一一グ∼宣成に大きく浄かわってく．る塗らである。. ＊）正答がひとつしかないClosedな問題に対して、正答がいく通りにも可能になるように条件づけた問題をOpen endな問題と言う。7）. 兵庫教育大学数学教室一3一一.

(7) No．一一．． r一”一．．一一一一. ‡1＿2⇒．「問題解．決一］．一一とほ何二一．＿一．．. 一一一周置解決は一，、．一一曲△ちな分野で議論さ一れて旦る三一問題一などうと．．らえる一かによっ．て、．．一＿．. ＿一そ■のとあえib1tthS異なつ一て皐ム。そこで．、二二の問．題に限らず一般魯な．問題轍一り一管g一て一 @し｝二二掌の先行礫．概観し、数掌教育TLQ問．二二一決．を」孝察すみ．発端一と．し．dZ．y．L｝．。一一一一一．一一．一一．. 一一一一一心理学で拠レ我雌日常．生活全般塾直面す．る．問題．を解決すゐ．際に．、．一tの解鞍過程の思考一…一＿一．. ＿一の二二を明確にす三三が問題解扶の棚下の主．眼．とされヱい．る＋一人積協問題を解決する．方一一一＿三盆」一大別jしると証再生飽思一9一．（．R．e．p−r！Qdy−e．．t−Lsce−Jh ink血g Nこよみ．か生産的．思考（Crea土丘e …一. Thinking）によるとされ：ζ回る旦里学習心理望：者のR．M。鎭肌百はs一問題解決について次の一一．一一．一一t一一．一一．一よう些述べて壁る。＿．＿＿．一一．一＿．t tt．．、＿．一．．．．．t一．．一．一＿＿. 一一一一．．［堂習者だL二一ルを適星：すれ建、新奇な三面の評決に到．達することので回る⊥一一．以前に一㎝学習したルrt．レの結合を発見す互過程であ杢．と．萱える■ことができるししかし、問短解一一一．．一．一．決ほ、以前些学習．Lit一ルー些を適用することにとどまるわけで．はな曳㌔．それほま一嵐一一一一一一一＿一一. 新しい学習を起こ多せる過程でもある。」．〔9）一旦．箕9〕. Gagniの言う“ルール”と1ま、「二：？ないし．》それ以上の事物（Thi翠gs）の間の」関係の■蔓と」. であり、以前に学習したルールを思い出すことが再生的思考にあたり、．、それ．弛の結合を∠発．一. 見したり、発展させたりすることが生産的思考にあたると解釈できよう。また、最近、認知心理学において問題解決への情報竺理的アブ．ローf空卑んであ蚤。安西氏によると、それは、. 「問題を解く過程を、情報の入出力や、生成・消去・変換といった基礎的な処理の過程とみなし、この意味で情報がどのように処理されていくかという観点から問題解決の過程をとらえようとするもの」〔10）p．62〕. である。このアプローチの特徴のひとつは、計算機シュミレーション・モデルをはじめとする情報処理モデルを作り研究を進めていることである。このような立場から安西氏は、問題解決を. 兵庫教育大学数学教室一4一一一.

(8) IN［e ．. ＿＿＿．一＿. v董現在の状態しと一璽標の状態竺の周一にあみ差．を∠な．く．車だめ．に．、現在の状態専認知的に一＿一… 二して塾．．く過程⊥＿．＿」〔．1①一p．」13．〕. ＿＿．＿＿＿＿一と」登え血．る．。＿＿. ．＿．一一＿＿＿一こ．れ」ら雌究で．は↓一丁1兜万象．として算数一！tw用Uち紅ゐ．こと泄多壁。とV．！う、．＿＿の」劃＿算数⊥数Lm Σに比べ㌻一勝法」を用m！人．聞．の思考過程一を分析す」る．のに一一一＿一一一一．．．. ．一町．し．て竺ると盛えムれる力玄であみ』＿この分．野での猛究■成果は、＿数掌教育に多．くの示唆．を一＿. 一一．与え．て闘ぐ．れる＿S一のと思われゐ。．皿＿＿、＿さて、次1；、数学教育でビう問題解決とは鉦塗について考えて壁こ一う皇一想瞳旺』鉱iα腿L一一一一. Cou壁il of§μ癖erv…sor g一1材at一全米数肇i魍三塁協議会〕は⊥1977年にL一一一．、その“P。si町回Pap￠r”の中で、問題解決を1Ω項目の基礎技能の箪一」しし血上鑑』．次の一よう些定義．して下る。. 「問題解決は、目新しく不慣れな骨面に対して、．以前豊こ学んだ知識を適用す6．一．．．；過撰である。⊥．．〔11）p．20〕. 次1も墨く引用豊平るNCTMの指導者S．Krulik l二、よる問題脛決の定義をあげよう。翫μ！趣1劃問題解沫を，．次の連続的な4っの過程を含むものとしている。〔Dρ．64g〕. ①実世界（Rea団orlのの問題に直面している。 ②その問題を適切で、使用可能な数学的モデルに翻訳する。 ⑧その数学的モデルを解決する。 ④数学的モデルにおける解決を、最初の問題に適するような言葉に門門レ直す。. G．P。lyai2）やF．Lesteri3）らの提案する問題解決のプロセス（すでに数学の問題が設定さ. れている所から解決が始められる）は、⑧にあたり、それを“狭義の問題解潔と言うならば、Krulikの定義は、①や②の問題設定といえるプロセスを含めているので、“広義の問題解決”と言えよう。そこでは、Real bl。rldに直面しk問題が考えられているが、（1．1）でも述べたように、中学校を念頭に置いた場合、必ずしもReal Worldな問題設定から始める必要はないようにも思われる。平林氏も、. 兵庫教育大学数学教室一5一.

(9) No．. m算数ム数学科での帽題解決が1：現実．に関与」写る．こ．とは一む・しろ偶発一的．な．こ．と一で三、一本来．的に＿…一一一一. 一＿＿集数⊥数高高での一問題解．決は一v架．空の世界で1．a＞聞題解決だ2一心得だ方が．よさ」そ．二う．で鵬＿＿一．… 一M−kLL …．r．t17e−L．．．．．T me ”” t．．．．一一．一r．”rr．L一．”．一一．． r．“‘一．．一．．L． Lv一．一．．一. と｝rtべている ’にし望二二堂で1扱．う鰍＿架空の世一一wwと」して」y）一る場合が多い・か＿一らである。以上のことをふまえて、筆者健問題wwmaう．1ことムー雛い。一．．一．．一一．．．．．．. 「問題解決とは、教科書や教師から与えられた、あるいは生徒自ら作っ．豊阻題（」（1．1＞の㎜一. 条件1∼5を満たす）塗、主体的に、騒翌の敷学的知識・技態妻活用＿し塵』、それらをもとに新しいものをう蔓だすことに墨って解決する学習活動である沖」. 兵庫教育大学数学教室一6一一.

(10) 1iNtO m一” ”一’r一 ’一一”一”. 一．．一．一＿．一一一．一＿」：、．ユ＿3．』L．一米国の一一［ea題解決」三研究について一…．一一一・一一．．一…．一一㎝一一 …一一…．一一t一. ｛D一．一rAae難d賦一の背景＿＿一．一一＿＿一＿．一…．・… 一一一一一一一一一一一一一一一一丁．．一一一一一 197登年代L米国の数学教」二塁は一、＆．elc ．．．t。一Bas．i．es1！（一基礎．⊥一基本．に戻れとNe切一悔胎の反；一一一一. 動として起こ篁た運動で、」lasicshS−ft算のみ：e一あ■ると解釈されがち皐あ一つた｝という→X． U一一一一．．一一ガンーを．か血ザ研究2．．実践て塾た。．．■，一だし、＿狙望0年二半．にvNAEP一（一Na．t−i−ona−1一一一Assesseeent一一…. qf髄聯茎iona1趾銘迅ess一；一一＊一国教葺進歩評価、二会しの一テース．ト鞘果．L5）一や．期∬岡（P−F−i−e r 一一．．一. i鹿s．hL鋤Ωd撫麺e戚逸s…；学校数学に．お．いて優先．すべきこt一L7i u y−xク＋の一一皿一報告16）などから、再び“二二解決iL塾三豊彫∠りにさn：て泡た。それ．ら．．にっV！（一、一簡単に一一述べると、NAEPは、1977「78坐にかけて、曾才｝一．1．3土L、17才．の．生．二丁L7！万人を泣象に数掌学一一．．力調査翌寒害セ塾9一まの琶果L知ue” t一技能の．面」ま・．一比較的良い．が・一アノレゴ闘リズ．ムの遮用．が一一一…．. 機械堕であ亭主、一知識弦熊塞二二二面にうま鴎生かされ釦塾ないことがhかり、．澗遼解．一＿濠勤の三三璽祝さ塾もまた・PRIS凹−旦ジ4」！一は」％3「79年颯｝こ紅だり・・一一一数学．… 教育に携わっている者（例壼建L小上中学越の教師L数学教宜者など）一と一s．そ．う酬でな」直者…… （例えば、教育委員、燦長、、p．TA会．量など）．を．対象に，＿￥校数堂にお3c！一r（．、一198−O，年代に強調一一一. 穿ぺ塾ことgデーータ璽築の麹りにし鯉墜と指導の優洗性を調査」した。＿そ．の申エ．も、．問題解一一．一決の指導が＝ンビュータなζの指導よ三重強い．支挫を受け起・．．一一一一一．＿一一．一一．一一一一一一一一. 問題解決が重視されるようになったことについて、当時のNC脳会長一⑤査．一肚Uは一．一一一．一一．．…．. 「NACOMEのレrke ・一ト（1974）＊）、 NIE＊＊）のユ・一クリッド会議のレポート（三三L S丁丁登）一、. 得点に関する大学委員会のレポ■一一ト、NCSMのPos l錘興R聖ξr（坦7望）、雌Pの丁丁、一一これらすべてを、年代順に読み返してみて、その主張（問題解決重揚の主張．）1の一竺貫性仁一一一．．一．驚レ、た。」〔17） p．50〕 …一. と述べ、さらに、“Agenda”の前兆≧塗る．勲養ρ『｝■鍍g些代旧にみち苑たζも趣≧ているg．一一．．. ＊） NACOME （National Advisory Committee on 岡at尊e叩a壁≦o塾1一⊥F“｝累ca㌻範ρ聖L．；全濃数学…一一. 教育諮問委員会）『Overvieee and Analysis of School輿塘ρ塑tic『一墜狸4撃避＝1財一一．. ＊＊） NIE（Nati。nal Institute of Education；全米教育研究所）. m＊＊メ）llT（『気温煙些！r。 T璽st∴趨灘塗塑一一＿・．．．一一…．一一兵庫教育大学数学教室一7一一.

(11) No． @また．一五田．氏は．一．．問題解．決重視の理由．を．次．のよ一う一に推測して．va．る一。⊇8）一．一. 、＿＿①．時一代．か澗題解決能力を要求しr（．．y ？．る一．一一．一．．…一．．一一．一＿㎝… ＿一一一. 一 ②一望習．方．法一と一し．てメ！圧⊥．ヵ8ある …．一一一．．＿一．＿＿．一．．一一＿一一. ⑧米国の里数．．・一数．望教育界がL」ヒの．存在一理由．を澗一題解決に求めた一＿一一一. ④フ：旦グヒシビズム（vs．屯2センセヤリ．ズム）思潮の支持. …①L②．は各国に共通する．塑、⑧⑭は丞．国独自．．の一ものであ几、その二つが野州の附題解＿．決重三｝i≡大きく影響レて避ると考えちれて竺る。. （2）“A8enda”とそれ以後上に述べたような背景窒膿脳昼、1980年4耳門｝『壼旦盤ρ頭童まgrハ￠∫ip蝿1．『≧一．と．ヤ〕う. 小冊子を出版したeそれは、198Ω年伐の10年間に厘けての8？の勧告からなp、最初｝；一土問題解決”が取り上げられている。. 勧告1間門解決が・1980年平門おせ杢学校数学の焦点となら蟹ナ熟二丁らなや・ Ut g｝一g） p．．．？．）. その勧告の中■で、嬰穎解塗能室萱成に関してΣ迭のこと力肇ざら．れている。. 「問題解決能力を伸ばすことに対して、最も基本的に大切なことは、ものごとを受け入れる開かれた心、好奇心や探求的な態度、丹念に調査し挑戦し知的推測を押し進める意欲的、積極的な行動である。」〔19）p．3〕. また、その年（1980）、NCTMは年報で問題解決の特集をし、22の論文を掲載している。20）. その中では、問題解決のとらえ方、問題解決の方略の指導、電卓を用いた問題解決、問題解決能力の評価などが論じられている。その後も、さまざまな雑誌・書物で問題解決に関するものが数多く取り上げられている。そして、『An Agenda for Action』から3年後の今年（1983）、 NCTMは、年報『The Agenda. in Aetion』21）を出版した。前者が、問題解決の理諭編だとすれば、後者は実践編とも. 言えるもので、前者の8っの勧告がどのように実現され、努力されているのかを具体的に. 兵嘩教育大学数学教室一一8一一.

(12) ）NiO a. ．＿＿＿盟ち■魁ζ．して量る．。．高山1に．関墨る一論説拭7編掲i載さ．れL問題鮭決が幅広」く論じ．ら．れ．て認る■e．一. @…以上．．一一山国で何故問題解決が重視託れるよ■一5．．に一な皇た一のか、一さ．らにし．その研究動向．を．概＿一一＿. ＿一＿一観瞭したムー阻題二二能力を二一成す堂ための方策のひどっとし．て、一閲三二一決プー三一セスの一．＿．＿＿t一．中での．方略研．究があ．董差ら．れるそ．こ…で」⊥方略につPて次節＿（14）で豊察しよ．iし…一．、．．一一一. 兵庫教育大学数学教室一一 9一.

(13) No．. ＿一一U一．A．）＿問題解決の方」略の一考察一一一一一．．．一．＿t一一． tt．．＿一．一t一一一一一一… 一一一tt. t＿一一…. 竭濶. ¥力育一成の重要な課題と↓て、．二二解決≠ロ］セース．の一中で生徒Jが用．いみ方略一一一．. （一Sltra−t．egy■》の三二導煽げちtしる＋．ここ．では．v一さ．．ま一ざ．＊一な観点ゐ≧ら一提案さ．れて一いる一方略の一リ＿．＿一．スーLを当』く■」6一；b1」の働を示．し．な．泄ら一述べ．．一一一．方．略．の概念凄明．．ら．かに．しよう’。’一一一．．一一．一. ω方略．の．二二. J．Worthは、う一ま」臆問題騒決一者一」随d一．ProbI凱Sdver）」z懸徽上⊥．て、．彼らカミいろ一い一、一一．一一＿ゐ．な問題一を解儲一き、ゴ蜘的な赴画豊く一の頚似のステヅプ査用いる一ことを述べ、問．題1こ．. 挑戦する全体的な手順として、学習者が巴般的枠組■q釦eral Fra爬理Q磁！を身に一つ．けみ一一必要性を説いている。22）Worthの言う一般的枠組と猛L次のものでしあ．る。．＿一一一．．一. 一：般二丁．組一一一一一一．．…、一．一 1 問題を理解する一一tt一．t． tt一．．．一一t 一…一一一一一．．. 2 実行すべきことを選択する．＿一一 3 実行する t．．一．．一．＿．．．一一一一一一. 4 ふりカ、える . @一一．．一＿一一一一. これは、G．Polyaのも問題解決㊥争段階正2iと、1劃置同じであ塗、以下述鷺．ることも恥⊥ya. の考えがベースになっているものが多い。Worthは、一般的枠組の2で用いられる方略として、次のものをあげている。23）. Worthの方略・直接計算する. ・方程式を書く・リストを作る・グラフをかく. ・図表をかく. ・推測してテストする・表を作る・実験する. G・L調u讐er＆J・M・Sh讐8hnessyは・方降を問題三三プロ窪スの杢輩そρ一も9∼≧倖置ブ｛ナ∼．. 数学のカリキュラムが内容を重視するのではなく、方略を重視すべきであるとして、次のような方略を提案している。23）. 兵庫教育大学数学教室一一 10一.

(14) No． @ 一＿．．一＿＿＿一一．＿… 一一Musser一一ら．のLfi． ng．一一．一一一＿一t、一…一一．．＿一．．一一一一一一．一一 …．一．. ．＿＿＿＿一一一. 一＿．．．＿．・試．行錯誤一一一一・八タ肥｝竺の利．用一．…・よ』簡単な問題を解．く．一．… 一．一一一一＿一一一一＿一一＿・、逆に考．え」る一．．一．一一色＿一シュミ朋レニ轡シ．．ヨーンー．…一＿一一＿一一＿＿．．．．．＿＿＿一一一一一．．．一一一一一．. 一t一．一上の方一三使用一の．例盤て鉱」．。．一…一＿．一一一一一一．一一一一．一一… 一一．一tt 一…一一一＿一．＿. 一（問D＿っ一．之よ．二一で雅皇た．1二X」．正方形豊あ．る且一二L過Xユρ正方．形の中に1×1正五形を作．る㎝一一一一. には、のつまLよ．うじ力二三．るかし一＿＿一㎝＿．一＿一＿一一一一．一一一…一一、．一一一＿＿. ¥．一一□1ユー一t．一．一一一一．一．一一一一一’一一’一・一一’一一一一”’一一一’一一一”一. 一1．．T．nv．．r． t ．．．．．．一L．．．．”．．．一一一一一一一一一一一一．一一一 ’rr’v” ”’ ．．一．．一“．．．一．一 ”一．．．一一．．一一一”．．． M．．”．r．一一．．．． ”．r一一一一一‘一一一一．．T−nv．r−1 一．．．．．一L ．一．．”一．一一一 ””一一一 ’ ’ ”’一一 ’. 1 1 I l l 匪 l s 1 一．一一一一＿．t一一一. @一．一t＿＿＿＿一．一．一一．一一一．一一一一一． Ir石一百一ヨL一＿．i一＿＿＿一一．一．一一．一．一．一一一一一一．一．一一一一一. 1×1 2×2 ［解］っ茎一むう墜ま塾は、？ま．よを篁がなげ“ば身近に．あるマッー洗棒．を使クた．り、鉛筆一．一一一一一…．. で略図を書堕て、2 ×．2、3茎3などク∼場合2避て考察し、問題の意墜を理解する隻＿．一一一. （これは、マッチ棒のくシュミレーション〉によるく試行錯蘇〉と考1ζ．られよう。L 10×10の正方形を作ってその数を麺えるのはたいへんだから．＜より簡単な聞、題≧．を一. 解きながらくパターン≧を見げるこ≧塑できればうま．くいく・2×2の正友形を．作L．るために1ホ、1×1正方形よp8本多《いる。3×3では、さら．に．璽本、4＞≦4でに、 16本…。. 〈パターン〉を見つけるのを容易にするために表を作ることが有効であろう。. 正方形つまようじの数. 1×1. 2×2. 3×3. 4×4. 5×5. 12. 24. 40. 60. 4. ●●●. ●●●. 一一一一一一｛「一. このようにして、この問題の解決がもたらされる。さらに、この問題の拡張されたものとして次の問題が考えられよう。. 幽. 11. 一. 室. 教. 庫・. 兵. 教三大学数学.

(15) No．一．一 “一L．＿一一闇ユ．二L二般に＿旺x比正一方．形．を作る．ため9は一、一何一本のつま一よ．う■．じ一が必要．か。一．．一一一．一．．．一．一＿一. ＿＿＿一＿．＿．ま一一k．一一く逆に．考二える♪一と一いしうし方略tt．、．一町期．問一題．を・解一く一物に有：．効一な．方一期一であ．るが、．これに＿一．、｝＿．. ．一一．ゴ2竺ては上＿彼ら盆次のよ．う！な虻黒一ム」を一例にあ蛯て玉，一る。．一一一…＿．一．＿＿一一．一＿一一＿．．一．．一＿．．一一一＿、一. ＿」．問2■“Fα釦蝕鼠封一じ．込ぬ．る．把一三次のル三ルよ⊥二A．で征な」一ゲ三ムである。任意一．一一．一．一一一一一＿．．．の数が与拠、そ．の．数か．ら．．．．．．．ニムぬ三交互に好芝な．1．桁の数回．引一く。一一〇．に一な．るよ一一一．．ttt. ＿一．一．．一一＿．．．．一tう」；強／！c／1一ち一れ一た方が負」ナである』一金＿あ女た．から始めムと上て、＿勝一っ．ため．の方一一一一＿一一. 法を考えなさい。、一．一＿一．一一一一．一……一．一一. ［解］もし｝平な痙が最：初に．↓に達す」匹越．相手匿L至の⊥を弓区以姓に方法鉢塗．ぐあ．＿。．．一．．．一．一．．．一 @一一．．＿．．t．なた＝の勝ち」塑保蚕芝重し杢g＿上に達すゴることを確実1三立重豊ゼ∼些》⊥相手を一之か■ら一．．一…一．．＿一一一一一．＿t．一. ＿tt＿一．一．一．．．＿．．10i曇での問．の璽礁させなせ．れ1些なら塗k㌔一そのため｝；1ま、あな亙1む＿ま一ずユー1一一. に達しな塗二丁ならない。〈逆に考えて〉暁巡とL＿謄ちを保誕す墨」塗変に1瓜＿工の一＿一．一一一．位の数字が1．である数を得る必要塑ある∋．一門うす塾1ざ勝てるQであ」る且…例えぜ、一一一t一．一一．．．. 、37がもと．e∼麺だとす．ると．L．塾ユ塵ら6を引いて31にする。そうす室』ぱ1相手 … 皿．＿．一一．＿．一粧ζ」堕1桁の数を一引！｝t一一ち一．、あな艦は再び21にコきる焦同門硅して、エ■ユ1一一．一．t一一一. ．＿．．一ζ竺至難に糞隆下主杢孟豊ができ・相手をΩ些．封追込ぬ亙二巴が空養るので塑る豆一一．．．一．＿、. 、｛実際には、もし朔手が委塗たと、同様1こ利口であ．苑建』．あなた1ま9∠！．0、の確率で. 勝つことになる。というのは、例えば、31という数が与えられたとすると、相手がこの方法に気づき、ゲームをあなたから始めるとすると、相手はあなたより. 先に21s11，1に達することができるのである。だから、1桁の数が1である数が与えられると、相手が勝てるのである。1桁の数がユである確率は1／10 であるから、あなたが勝つ確率は9／10である。）. A．H．Schoenfeldは、前述のPolyaの4段階プロセスの改訂版ともいえる戦略を提案している。24）その特徽ほ、Polyaの4段階に“探求”の過程を付け加えたことであるといえよう。Sc. hoenfeIdは、例題を高校以上のものを用いているので、例証はしないが、その発見法は、問. 題解決プロセスの全体にかかわることで、生徒にも教師にも多くの示唆を与えてくれると思われるので、Sch。enfeldの提案した問題解決方略の概要の図式と発見法を述べておく。. 兵庫教育大学数学教室一一 12一.

(16) No．．”一一”．．． …．＝．．. 題解. 、、t一■. 一一一一一．・一. 禔D略の一一概要の図一一式一. ^一えも一れ・た問題一．一一〇. 一一一一. ｪ一析. 一瞬＝ドー・一面高靴に＃ゐト隔高書い燥。る」. 一一. ．一一．一一一. 煦黹魔ﾆ．二二↓一やすギ弔尋連問題、ﾜ「たイ柔写一i新．しN．i情報. 『灘：ll三「1 一．. v風. 議論を構造化すみ. ．探一一一求一. 一少し変田光題．一一. 一階層的分．解：一大域的一ｩ一ら特殊的へ．一一一一一. 一図式的解. 大．ぎ一u困難＿. ■↓一一三。＿実行⊥. 1鐙‘「仮りの解. 本質的一に同値な．問題. 車き捷困難．. 。. 検証特殊テスト一般テスト. ．検証された解。（）．。。．。。. 兵庫教育大学数学教．室一13 一一. 蛻黷ｫ，．く変え．た問題．．．．.

(17) NTo ．. ．＿一．一. 謗R風疑ら」エーる. ＿位＿」近i. 1．でWWかし．. 2i一一特殊な二二を一しらべよ一L一一．＿＿. ＿＿＿一越二二その盟二一）L膿ユかめ．。一 b．極限の場合を調べて、その可能性を探れ。 c．パラメータ・・を順次1，2，3，…とおいて、帰納的パタヒZを求めよ。. 3．問題を次の方法で簡単にせよ： a．対称性を利用することにより b．f二般煙を失わないで”という考えかたで（大きさも含めて）. 探求 1．本質的に同値な問題を考えよ： a。条件を同値な条件で置き換えよ。 b。異なった方法で問題の要素を結合しなおせ。 c．補助的な要素を導：回せよ。. d．次のように問題を作り変えよ。（i）見方または表記法を変えて、（ii）背理法または対偶法を利用して、. （iii）解けたとして、解の諸性質を決定して、. 兵庫教育大学数学教室一 14 一一.

(18) No．. ＿」し＿憂し真正．L．．tc問題二一一一＿一一．＿国立且標．を選べ↓一（二分的．｝こ三牲．を二二よLうしにし一. ．一h，雑．を凱二二二度．あ．二（は雌よ』一＿. C。聞題の領域．を．分一魅てみよ. 凱＿二二臼した盟二二＿＿一 a 変数を減．ら」し二も一．似．遡i瓶 ⊥変数を1つだ1ナ．固．二二』一その．変数の三二を」決定せよ。 e．次．のQLiな一二二間1題童二二よ。. （i）形が似ているもの（ii）“四二ら篁たもの”が似てい．る一もの（ilΩ 結論が似ている．もの. 一ee一連した、より易しい問題を取塗扱うと．登．、まの結果と解き方の面方を、与えら．れた．. 問題に用いてみるべきである・. 系吉果の検証 1．解は次の特殊テストにパスするか： a．適切なデ…一タはすべて用いているか。. b。納得のいく見積もりや予測と一致するか。 c．対称性、次元分析、大きさのテストに耐えているか。. 2．解は次の一般テストにパスするか： a．別の方法でも得られるか。. b。特殊な場合によって立証されるか。 c．知られている結果に還元されるか。 d．知られている何かを一般化するのに用いられるか。. 兵庫教育大学数学教室一一 15一.

(19) IS［o ．. 一＿一S．Kr−u田。＆むム．1Rndni．e−kは．、」将来教師竺」虻る．潅に．泣」して．一生徒に一問題解決を．灘た一＿… t一．一. vb」には一N一二五雲ら磁虫＿う懸三者（癒ゆdE艶“b．夏釧L恥し翌e望立一に女る」よ．一うに努力．しし＿一一一一一＿. さ逮豊塞．な．方里一を一州っ登るべきだとして、次のよ一獲方略壁を．あザて量」るq．苧互1＿＿＿＿＿一. Krulikち磯一一一・パターz認識・逆91pmme してテストする一⊥還三法」Reduc乞io垂＊）・枚堂法趣ha墾sti堕しl壌ing）一f．！”．◆論理的演えき．一一一一・シュ．ミ．レーションまたは実験・データ．elX一現する（グラフ、方程式、．表、．図など）．. また、彼ら1ま現場の野師のための問題解塗り手引き書を著わして避る。｛E？量ρ一中で、問．. 題とは何か、なぜ間題解決を指導するρか・発見塗とは何かな．ど壷・主に・小二中学校⑳．例題三重とに論覧ている。彼らは豊アルゴリズムと発見法壼次のように特攣ブけ、．問題蟹．．. 塗辺ためには、発見法が重視されるべき室あるとしている。. アルゴリズム. ひとつのクラスの問麺に適用できるテクニックで、それが、計算ミス塗し1こ適用釜牲れば、盛功を保証する。. 発見法. 問題解決を助けるために用いを創造的なガイドライン。そ些鰯も示塗g∼集まりで、必ずしも成功を保証しない。発見法は、特別なトピックに依存しない一一般的方略（General Strategy）である。. さらに、その発見法を次の図1のようにフローチャートで示している。. ＊）より簡単な場合に還元して考察すること＊＊）場合の数など調べるとき、次から次へと考えられる場合を挙げていき、完全なリストを作ること. 兵庫教育大学数学教室一16一一一.

(20) 図 1 始め. 問題設定. 何がたずねられて. いるか. 問題を読むキーワード. 先生に相談. 問題を自分の言葉. しなさい. で言う. いいえいいえ. 問題を理解暫. はいこれが最初の試みか. し充か. はい. 図をかく. データの記録. 探求する図表やモデノルを作る実. ノぐターン. を探す. 験. 方略の選択推. 実験. 仮説の設定. 測. より簡単な関連問題を探す. 解を仮定する. 問題を解く. はい. いいえこれが最初の試みか／v’. 答は正しいか. いいえ. 先生の所へ行きなさい. はい. ふり返ってそして問題を拡張せよ. り. rtTJ’ ㌧終 v一一一一. @1 7・一一一一一. 問題の変形を考える N．一一一v．．．v．tXny”’.

(21) No． @ 区』』鋤翅聰豊i．一一も、駈u口kあと同様の一立場一か．ら、二二教師に．なみ学生の問題解．二二一能．ど一一．．．．．．一＿．．一. ＿＿教育技術に墾き一て述ざて塾る。∼7）学生」の．多く■蚤劃1題を二一く際に、基本的な問題繰決方略．を．＿＿．＿＿＿．一．．一憲識せずに闘題を醒決し二ζいる。越から♪次些述べる方．略に」2鞭て親蜜さを．増すため垂儀一．＿＿＿．で．きるだけ多くの種類の置題一を学生たちに解．上せ．、一方略一を身L：2．けさ堂る堂とが大切であ一．一．一一．. ＿t一蚤．としている隻．■この論文は、Age顛しの勧告7“教門の一専門僅．を三二：ζのも一のであるq一）一．一．．一…. 岡arcucciの方略＿一 t一一．一一tt r．図表を．か≦＿一一一＿」実験する一一．．一＿．．一一一⊥逆．準考．える．．一一．一一一一一一｝一. t．＿一一f 二．少」釜な麺を使う三門｝…よって問麺を籔単蔓す．墾．．・準測し：テ4．i：一．b. ・電卓を用いる。・表を作ったりリストを体系化する・公式を使う・方程式を使う. さて、今まで述べてきた方略をふP返ってみると、リストされた項目は、提案者によって異なり・その適用範囲を墜え「ても広い覧のから狂ビも9∼まで・みんな二締に．．り一盈！一アッ. プされている。さまざまに異なる方略を同じ水準で見るのではなく、それらをある観点から分類してみようとした研究がある。以下でほ、方略を一般的方略と補助的方略、管理方略と課題方略という分類に従って考察することにする。. （2）一般的方略と補助的方略. まず、初めは、J．F．LeBlancの研究である。 LeBlaBCはPolyaの4段階の解法プロセスの中で、第2段階（計画の立案）において用いられる方略を、次のように2っに分類している。2の. 一般的方略（Generai Strategy）. 問題を解くために立てられた全体的な計画・試行錯誤. ・実験・リストの体系化・演えき. ・簡潔化. ・計算・パターンを探す・逆に考える. 兵庫教育大学数学教室一一 18一.

(22) No．一一一一’ ＿一＿＿＿一＿一．．．…一一補一助豹．方略」（ffe．h血9．．一．Stエa土一egの一．一一一一一一＿．一一一＿＿＿一＿一. ＿一、＿一ゴ般二方格．を実二二．る．ため1ご用」△ら．れゐ一丁一助的な方略一一．一．一＿．一．一一一一一一＿．．．一一．．．＿＿一 L図」表＿＿．．．＿．一土ダ立フ．．＿…t−fij程式一＿．．．．．．．．一一．一一一一．＿一一、、一一…＿一. ．＿＿＿＿一、、＿三一表、三一里スト．．一一ttt 一一．、…一．．一．．一．＿一．．．＿一一. ＿一⊥e趾an｛］が取童上3麺きム握圭（聖ndshake）．の問．題一を．．もとに＿これ一らの方一略を疲聾証して一一．＿．みよう。一．＿．．＿．．．＿．＿＿．＿．＿一一一一一一一一＿．＿一＿．＿一一＿＿一．t一、一一一一一一一＿．. ＿．＿一（麗鉛．＿8八わ塑じティ｝一ご出席していて、そ重」それ全貝と1回．ずつ埋三野交ぬ一レた。一握手一＿一一一＿．．一．一．一＿＿一．．＿一一一は、全部で例：回な蚤塑起か。＿一一＿．．＿一＿一一．一一一一＿、一一＿一．．一＿一 tt．一一．. ［解］ ≦実験〉実壁｝二8．人集めて聖？てみ蚤。＿一＿一㎜一一＿＿．一．一一一一㎝一一一＿…．．＿．一…＿一一一＿. ＿一、一≦図表〉．．一人を表b＿．す点を円状匿塗登」握手を示す綿壷胤く．。. A. 二1二⊥頓ζ、1影ll⊥1．一三．．三三一 D’ V 一・F E. 〈リストの体系化〉. 8人にそれぞれ名前をつけて、次のようなリストを作る。. Jim Jane John Joan Bob Beth Bill Barb Barb Jane John Joan Bob Beth Bill. John Joan Bob Beth Bill Barb Joan. Barb. 7 十6 十. 5 十 4 十 3. ＋2 ＋ユ＝？. 兵庫教育入学数学教室一19 一一.

(23) NTo．. 一を二見こ2」け．る丸めに．表を．用．vr一る．〉．. 握圭の. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 3. 6. ユ0一. 15. ●o■. ●●●. Hun−KIEI−L一一i. ＿一一一＿haewL他のQk景と握手するのだから、8人の人が一7人と握手する；とにな多。だから、8×7かな？しかし…a. この例で用いられている方略を、一般的方略と補助．的方略．という分類で考えてみると、. 〈図表〉だけ補助的方略で・他の429方略ほ・みな“般堕方喧礁倉圭むている一P一、なぜ・補塑的方略であるく図表〉が一般的方略ξ一一／79A，一してあげら塾ているのだううか。、LeBlane. は、そのことについて言及していないが、〈図表〉をかくというの昼、〈リス，tの体系化〉. という一般的方略を実行するため辺補助的岬町として考えること星できよう。同塵に、〈パタニン壼塁？せるために表を利用〉しているが、〈づ．婁一ンを探す〉という一般的方略. を実行するために、〈表〉が補助的方略ζして利用されていると童茎られよう。上述の問題ρ拡張とし∫は、迭㊥ような問題が童煮られよう。. （問3つパーティに出席した人が、それぞれ他の全員と握手を交わしていk。その時、握手は、全部で66回された。出席者は何人であったか。. ［解］この場合、〈実験〉、〈図表〉という方略は利用できそうにない。〈リストの体系化〉. 前の問題をこの方略で解いているから、それと同じことをこの問題の時もやれば、利用できそうである。. 〈パターンを見つけるために表を用いる〉. 上と同様〈演えき〉. N人の人が出席したとすれば、握手の回数は、N（N−1）／2だから、〈方程式〉を作ると、 N（N ・一 1）／2＝66 である。それらを解くと…. 兵庫教育大学数学教室一一2e一一.

(24) No．. ．凡■トC：lxai11es一＆．E．KJパ湿t．eiLS、 L．eBLI−an．c＿上同じよ一一うに轟＿2＝っ」のタ五．プ塞一t＿．．一一案一し．て．い．る．29）. ＿一. ＿ご般的方略＿〈Gener−a”LSLtra土egyj＿一一＿＿＝＝＝＝阻題を．攻略立ゐ．全般的一な註画3こ開連一し．一rC／kifi6．m＝．．一. ・ノ並一ンを探一t一」＿ニゴ般化す．iL. ・ra．kき．SLEL（．まな．は即すゐ工＿一一＿＿一一一＿＿．．．一．一一＿上逆盈考えみ．一一一一＿血推測一して」た」L遊」2す．る．．．一＿一＿t，．．一．一＿…一一一＿＿＿＿．…＿…＿一一＿＿．一一一＿…一. ＿＿一．．t＿＿＿＿一町逮ずし似塵」間一隅を．解忌（類似、な豊の2』＿匙たは．L条件一や変数を減ム．して簡単．に．し塵＿一一＿一＿一＿. ものの．ξミ釦」カつ一. ・方程式塗書く. 補助的方略（口el匪n8 Stra回田）. ご般的方肇1を用いる；ξ；塗容易にするような方略・間竿を警み返す一一・. ｮと塗毒言華聖句をi窪重．. ・重要な情墾を書きとめる・整理し撫目録、表、図表を作る. ・挿絵、教具、グラフを用いたり作ったりする・その問題を実験したり実演したりする。・もうと簡単な数を用いてみる. 上の方略の具体的な使用例をあげてみよう。. （問4）ひとつのピザを5本の直線で切るとき、最大いくつの部分に分けられるか。. ［解］この問題を解く際の一般的方略は、〈パターンを探す〉ことであると考えられる。そのためには、補助的方略の中のく図表〉が役に立つであろう。切る数を1，2，3，. 4，5とすると、部分の数が、それぞれ2，3，4，5と増えるパターンがわかる。. 兵庫教育大学数学教室一21一.

(25) NC）n. “ o. o. 一 t｝一一一＿一. 一一一一. Q＿＿＿＿＿. Q＿＿一. R一一＿一. o 山 ⇒. Q 4＿一．＿一 Q一．＿. T ＿＿．. 『一. ヰ. 3. z. ㊥臼 o. 「 r 一. 最大数. 2. 4. 7. 11. ？. . Charlesらは、二般的方略と二二的方略の関係を、、次のように述べてい．る。. 「一般的方略塗、補助的方略三二なりうるの盆、その逆はどうかと疑問に思うかも知れない。もちろん、一二の答えはイエスである。例えば、＿ある問題が1っの最終的な解さ. 導く2っ以上の部分的、ま望ま、矛備的な答えをもっていれば、麺廻の異なった一般．的方略が用いられるだろう。こう．しk場合些、量れそれの二般的方略は、ある意味において補助的方略にもなうている。また、神璽的方略も一般的方略として用いられる。」一｛多9）PP．18＝ユ9〕. この引用文を、次の問題で説明してみよう。．遮の問題に. 「N本の直線で切るときは、最大いくつの部分に分けられるか。」. という問題が付け加えられたとする。N＝＝1，2，3，4でくパターンを探し〉、 N本の場合. は、（N2十N十2）／2の部分に分けられるとく帰納〉し、それを、数学的帰納法で証明しなければならない。この場合、〈パターンを探す〉とく帰納〉は、両方とも一般的方略であるが、前者は、一時的に補助的方略になっていると解釈される。. これらのことから、一般的方略と補助的方略の関係は、相互に入れ替わることがありうるということであり、その分類の意義が少しあやふやな面があるように思える。最後に、. 一般的方略・補助的方略という分類ではないが、それらをもとに方略を分類している古藤氏の考えをあげておこう。. 兵庫教育大学数学教室一22一一.

(26) No．. ﾃ藤氏は」一二．望的しな動と．の．闘連を考慮しエ≦⊥方路．を次の」3っ．に分類．して塾ゐ』3。）一＿．. ①全体的方略（Gl。ba1 Strategy）. 《算数・数学に限らず、すべての教科において、いろ駐うな場面で必要とする問題解決のための総合方略》. ・Polyaの4段階・婿ckeigrenの提案する方略31）．（サブゴール、逆に考える、矛盾の方法など）. ②：＝：般的方略（General S壁a土e8y）. 《上述の全体的方略ほど総合的な方略で1まないが・毯述の局部剛力劉まど狭いものではない、数学的な（むしろ凸科学一般璽！方肇である。｝．・帰納、類比、演えきなど. ・前述のMusserらの提案する方略. ＿一．．一．．③．一局部的方略（Local Strategy or Taetics）. 《当面する場面を数学化するたあに必要なアイデアや、. 与えられた課題を解決するための具体的な方策》. ・前述のLeBlancの補助的方略. ここで、今まで述べてきたことをふり返づてみることにする。興orth，Musser＆. Shaughnessys Schoenfeld，Krulik＆Rudnick，Marcueelらは、それぞれの立場から、方略のリストを羅列して述べていた。LeBlanc s Charles＆Lesterは、方略を一・・s般的方. 略と補助的方略に、古藤野は、全体的方略、一般的方略、局部的方略に分類していた。問題解決能力を育成するための重要な要因として、方略が考えられるのは明らかで、今までの方略のリストは確かに有効である。しかし、単に方略を羅列して指導しても、生徒. が問題を解決できるとは限らなv㌔また、LeBlancとCharlesらの分類は、アイデアとしてほ興味深いが、一般的方略と補助的方略という分類は、それぞれリストされているものが入れ替わっていたり（例えば、〈方程式〉は、前者は、補助的方略に、後者は、一一般的方略に含め、〈実験〉は、その逆になっている）、欠けていたり（例えば、〈試行錯誤〉は、. 兵庫教育大学数学教室一23一.

(27) NOn. ＿＿一. O者盆含二ぬ儲は．含．め＿rCvaなSdUl．．て、分類の意義．」二念があ．や．ふ！？twあ．る素開う一に＿. 思壷る。．そうするとそれらのこ畑」と乏して提案された古藤氏．の考えあ．N．．一筆者の考え一一一．にごi改しないところQS：C：〈一く一るので．あみ』一. （3）萱理方略と課題方略. 今、これまで述べてきたような方略をある幽蔓つけている生徒がいると．しょ」一。一．一彼が、一困難塗問題に出会ったとき、必要と重ることhあるいは、助けになるよ、うな．二とは、．．. どんなごζだろうか・数学的な知識・技態を身1壷2けておくことは・当然必要なことである。だが、それらを機工的二二用するだけで、問題力f解沫することは少ない。至蔓で、助．サとなるの塗方肇であうう。た崖、．ま篁らを知っているだけでな．≦．、当面している問題に一．. 適した方略をうまく決めること野重要である。即ち、自分の持っている方略のレ空一トリ一の中から、その問題の解決に必要な方略を選んでs一．る方略のような堂りを身に？けていれば、うまく問題解決ができ拳骨態佐が高くなると思われる。これら辺ことについて、、 R．M．Ga8niの論説32）を参考に考察する。. Gagniは、問題解決にかかわる人間の能力を次の3つととらえている墾. ①知的技能（lntellectual SkiH） ② 言語知識（Verbal Knowledge）. ⑧認知的方略（Cognitive Strate8y）. それぞれについて少し説明しよう。. ① 知的技能知的技能とは、言語・文字・表などのシンボルを使うことによって、思考の対象を分類. しkO、分析したり、数量化したりすることを可能にする能力のことである。この知的技能を身につけていることは、Kno榔ing how（いかに…するかを知っている）33）を意味する. のである。例えば、数学の学習で、2X一一3一（5X−4）を簡単にしなさいと問われたとき、. 数や文字の四則演算の知識を用いて午下をすすめるが、数や文字を使って、その演算がで兵庫教育大学数学教室一24 一一.

(28) ptTO ’. ｫみこ」ピカ愛知的技能二身に．っ．廿エ．V）る．こ上老意味‡．る．。．＿＿一＿＿．. こ噛三二な丑塗ぐはし二二物の名前．で．あ狐＿複雑な形」：空は．、一知識の．組織的tな集合＝．＿．＝魎こ一と．でt615LMLgtiと迦て』一そこれ．を人に言■う．こ上が：出子6とき、．．rそ．の．N±￥一言語. 一二．を身につけているとみなされる。二二二三．は、．Kuo衡ing…h鰍…を．意1味、すみ主の噛ムカ匁＿一＿二二［1麹ま、K咄．that …ということを血廻…L遮ニカ晒」Ω：で塾る．．a．一S一ら一に，、一一一一＿＿一一一一tt．＿」一三」と里雪解決の．閨L連について、次の．よ．堕」二述一べて塾る』. 「命題（Pr鎚ositionのの“組織的なネッLワー・ク”の形式である言議知識四一．一新罪な＿＿一＿．＿. 問題楊面における董奇な問題に二重蚤学習の転移に関し：ζ』重要な役劃を担うと考えられる。」 g：32）p．87〕. ．このことは、次のように解釈でき些う。例えば、ある閲題の中に三角形という言語があったとする。その丁合に、．．単硅三角形の定義を知？ているだけで鍵、その知識がネットワ．「. 2些なっていな塾g∼であまり役に文たない。問題解決に担いで、多の言語知識が生かされ. るにほ、三角形の定義を知っているモとと、三角形の内角g和・金丁丁性・重心などの知識が、別一々でなく、組織的ネットワークになってい曼ことが重要である。…. ⑧ 認知的方略これは、情報処理論に基づくと、学習された内容の注意、知覚、符号化、検索のような. 内的プロセスをコントロールする能力であると考えられている。Gagn6は、認知的方略を. 「問題を解くための方法を、構築したり、選択したりする能力」〔32）p．88〕. と考えている。. そして、ある人が、問題を解く際には、上の3っの能力が必要であるとしている。即ち、まず、問題に関連した概念とルール（知的技能）が必要であるし、組織化された言語知識が、. 創造的な思考の媒介として必要である。さらに、これらの2つとかかわりあいながら、その問題をどんな方法で解くか（認知的方略）を人は決めるのである。ここで興味深いことは、. 兵庫教育大学数学教室一一 25 一.

(29) paTo ．. fagnd−Ztil−N認知的方略を管理方略￠xe￠u廿￥e−St㎎加鍵〉之蘇二方．略＿（Task． St；￥・ateg．y）に. ＿一一一. Gて逗しること．．“LaSS．rg3 s24）一一一一一一一＿＿. ＿一一. ．＿＿一. ﾇ理方婚一一. ＿一一二の方略に．鼠、＿二分の保持三して．Uる．課題方．略を助烈しヤ一そ鋤ムA．そしC）蝿に適⊥血課題方略」を選択．す」る，。．. 課題方」略一一一．. ＿一一あ重特定遡腿直腿⊥そのムの思童過程を一＿．」旧いて解駿をもたら立も一の. 坐g彪は、これらの方略について、それぞれに含：盛」匹盗墓体麹1なも．のは．示して』三．な1！。．．．一一．．一一一．一一＿＿壁』らの方略の指導の可能性については、次躯に述べ：ζいる。課題方略」ま、指導する■一一. ことが可能であううカも萱理方略については、現在のところ直接指’されうるかど．をカ≧に二2k三ての三三が不足している。もし、可能だとレても、問題解決の経験く長澱にわたり、いろいろな場面での学習）と反省的思考（Reflective Thou8鼻t）が関係してくると述べて．. いる。ここで言う、反省的思考とは、解決に至る過程や、そこで使用された手順を一般化．．して壷り返り、他の問題の解決にも役立っようにすることと解i釈できよう。こ蔓まで、．（1）∼（璽）で方略について、いろいう述ざてきたが、ここで筆者の考えを朋．．らかにしよう。. 方略とは、学習者が問題解決過程で用いる方法のことであるが、そのことについて、 A．H。Schoenfeld は、. 「もし、ある方法（Meth。のが二度目もうまくいき、その方法をうまく使ったことを思い出して、別の似た問題にそれを使ってみようと考えたとき、その方法は方略になる。」（ 35） p． 315 ）. と述べている。即ち、学習者が、今まで無意識に使っていた方法を、次から意識的に使おうとするとき、その方法が方略となると考えられる。それらの方略を（2）では、一般的方. 略と補助的方略の2っに分類してvtaが、それらは、前にも述べたように分類の意義、概念があやふやな面がある。だから、筆者は、（1）、（2）でリストされた方略の項目をまと. 兵庫教育大学数学教室一 26 一一.

(30) NTo ．. ﾟして幽細＿の言嘱課題寿略と撒レ・. ．＿一. ﾜk、実際に．問題．を解」し際1こ．は†」ヒの二二に適↓．た特定の二二」を選ぶだぬの．方略…（管理一・一一一．．一一. ＿＿一一一一菶ｪ．．．一一一こ．れiw一逸方略竺と＿le＝1も．呼べ．る一1，一tZ）一）．Xti重要zt；itw1劃享灘］ると考二之る．。一一数．学の」学一…一一一＿＿＿．一一＿. ＿＿＿一＿＿一＿＿. K幽問題囎一えみ．と卸方略を．管理方略止課題方略に公毒江三三とは．v’非 cに興底深竺。い仁らL多」く．の課題方略を身！っ雌ても、、＿当面‡る．問題の解決．に至一る一一と一. 」雌な塾。．」そ．の闇趣に適1∠た方略．を．うま⊥選択⊥．案行すみ」：」PLPt大き二なポ4ン■」で鵬L乱… しかし⊥一こ」の」齪左坦各」2Σ重i臨二強ては：、一＿あ一ま．』繍拠な」βLよ＿う一に、思．え一る†一．問一一一＿題解決の．能力Nts数．多しくの．聞麺を．髄く一ことによ．っ．て．二丁」と射こつK一ものである．とずる、見方一、．. もあろう。確かに、Gagn6も門門しでいるように』二二験堂重要』媛因．で．あ．ろ．「一甑．管理方一. 略の概念が明確にされれば、もっと. に間題鯉決能力．を．査成す五こ．と：が可能．とな一五だ一＿. ろう。しヵ・L、．現在までのところ、管理方略を提唱したG旦組百において蓋え」一董の具体的な宙容を明らかにするまでには至っていない．．＿At後の太豊な課題塾あろう． e．．杢論文企転．. 管理方略の内容．を明確鑑規定することはできなかったが、管塑各を一育．成立る瓢とし．て⊥一＿ “問題の理解”、“解を得るための条件を探求する”、“下位目璽の設建の3：2．を仮説とレて．. 設定し、問題解決能ヵ育成のための方略指婁にっ塾て考察塑塩㌔＿管理一方略の．育成要．．．因≧してそ麩ら圭選んだの1＊，，．．，，管理方略は、特定の問題の解決に有効な．方略ではなく、い. ろいうな問題に有効に用竺られる方略であ肌これらの3っのものは、その宣下にかかわっ．．て壁ると．萱えたからである。. いままでのことをまとめると、筆者の考える方略と些. 「学習者が、問題を解決する際に、解決過程において意識して用盛杢方法」．. のことであり、それを、学習者が特定の問題を解決する際に用いる方略（課題方略）、さち、に、その方略を選択し、実行する方略（管理方略）と分けてとらえる。. 兵庫教育大学数学教室. 一27一.

(31) No．. @ ＿＿一管理方一略L＿一．一一＿一一一一一＿．．一. ＿＿＿. 色間［題の．理WWLる」塾の条件を．探鍾ζす二二三下二位則票．の．設定ご. 課題方略＿一．＿・二二二二一一・バター之を探．す＿」L二二二一．．・. ﾁ殊化. ・よ辱簡単な問題を二二る. r一演えき、帰納、類推. ・■. ﾀ験. ・逆．に二一. ・リス」二の体型化. ・図、表、グラフ. ・似た問題を考える. ・推型してチ壬ックする. ．●. Dシ三一ミレーシ・≧etc・. 管理方略、課題方略の具体堕な使用については、一（3．鋤愛二二上げて説明する。. 兵庫教育大学数学教室一28一一.

(32) 第二章数学的な考え方.