斜張橋の支持ケーブルの局部振動の解析

構1造工学論文集 Vo1．46A（2000年3月） 土木学会

斜張橋の支持ケーブルの局部振動の解析

AnalysiS on Local Virbrations of Stay Cables in Cable Stayed Bridges

 高橋和雄＊，昊庚雄＊＊，中村聖三＊＊＊，久保田展隆＊＊＊＊，伊田義隆＊＊＊＊＊

Kazuo Takahashi，， wu Qingxiong， shozo Nakamura， Nobutaka Kubdta， Yoshitaka Ida

  ＊工博 長崎大学 教授 工学部社会開発工学科  （〒852−8521長崎市文教町1番14号）

 ＊＊長崎大学 研究生 大学院海洋生産科学研究科（〒852−8521長崎市文教町1番14号）

＊＊＊工博 長崎大学 助教授 工学部社会開発工学科  （〒852−8521長崎市文教町1番14号）

＊＊＊＊中央コンサルタンツ 福岡支店  （〒810−0062福岡市中央区荒戸1丁目1番6号）

＊＊＊＊＊長崎大学大学院 学生 工学研究科（〒852−8521長崎市文教町1番14号）

Dynamic s励nity of the mchned（）al）le with a fixed supPort at one end and time−varying supPort at廿1e o也（ヨr end姪s加died to obta0110cal wl）頭on of stay cables血cable stayed bridges m t祉s PaPer・Reladons between natUral frequencies of local vib頑ons of stay cables and natu皿al fiequencies ofgbbal vertical and torsional vibradons ofthe cable−s舷lyed bridge m Japan are shown at f㎞・Th叫unstal）le regions and arnplitUdes of s靭cables under gird∈r 亘bradon are discussed． The nonlinear equation ofmotion that governs transverse Vib耐ions of cable iS solved by the harmonic balance methOd．

 Kay brdS： vthrati oη cable stayed bridge， pczranien ic vibratioig local vibratl on

 キークーA ：働斜癬パラメーター鋤嚇雄勤

1．まえがき

 風荷重や車の走行荷重による斜張橋全体系の振動によ って，支持ケーブルに振幅の大きな局部振動が発生する ことが指摘されており，櫃石島大橋1）や用倉大橋2）の振動 実験で確認されている．この原因は係数励振振動（パラ メーター振動）によるものであり，斜張橋全体系の固有 振動数がケーブルの局部振動の固有振動数（副不安定領 域）もしくはその2倍（主不安定領域）と一致するとき，ケ ーブルに振幅の大きな振動が発生しうる．斜張橋の長大 化に伴って，マノレチステイケーブルが採用されているた

め，斜張橋全体系の固有振動数とケーブルの局部固有振 動数が接近しやすくなっている．

 ケーブルの係数励振振動に関して，KovaCS3）が最初にそ の可能性を指摘し，その後，各方面で解析が行われてい る．藤野ら4）は斜張橋ケーブルの内部共振を取り扱い，長 井ら5）は斜張橋の桁とケーブルの固有振動数の関係を検 討している．高橋らはケーブルの支点が動かない場合6）

と動く場合7）の水平ケーブルの係数励振振動に関して，

解析を行っている．また，傾斜したケーブルについては J． L Lilien8）が解析している．その後，支点移動を受ける 斜張橋の偏平ケーブルを対象とし，A． Pinto da Costa9）らは 解析している．しかし，斜張橋の支持ケーブルの支点変

位による係数励振振動に関して，実橋を対象にした調査 及び解析を行った研究はきわめて少ない．

 そこで，本研究では，我が国において建設された斜張 橋全体系の固有振動数とケーブルの局部振動の固有振動 数の関係を調査し，全体振動数とケーブルの局部振動数 の関係を明らかにする．さらに，これらの関係に及ぼす 斜張橋のスパン長，使用材料，主桁の構造形式，主塔形 状及び径間数の影響を調べる．次に，係数励振振動が発 生する可能性のあるケーブルを選択し，周期的支点変位 による非線形応答解析を行う．これより，係数励振振動 の発生振動数領域及び振幅を求め，これらに及ぼすケー ブル長，スパン長の影響を考察する．解析にあたっては，

斜張橋の支持ケーブルを一端を固定，他端に周期的支点 変位を受ける傾斜した偏平ケーブルにモデル化し，ケー ブルの非線形運動方程式に調和バランス法を適用して，

連立非線形代数方程式に変換U，NevvtDn−RaPhson Vtによ り解を求める．また，R皿ge−Kutta−Gil法による時間応答 解析により，解析解の精度の検証を行う．さらに応答に 及ぼす過渡振動や減衰力の影響を明らかにする．

2．斜張橋全体系の固有振動数とケーブルの局部振動  の固有振動数の関係

表一1分析文豫の斜張橋一覧

番号 橋 名

橋種

幅員

im） 主塔形式 ケーブルの張り方

1 多々羅大橋 3径間鋼斜張橋 890 30．6 A型 フアン型（2面21段）

2 名港中央大橋 3径間鋼斜張橋 590 37．5 A型 ファン型（2面17段）

3 鶴見つばさ橋 3径間鋼斜張橋 510 38．0 逆r字 ファン型（1面17段）

4 生口大橋 3径間鋼斜張橋 490 24．1 A型 ファン型（2面14段）

5 東神戸大橋 3径間鋼斜張橋 ⁴⁸⁵ 17．06 H型 ハープ型（2面12段）

6 女神大橋 3径間鋼斜張橋 480 31．1 H型 ファン型（2面13段）

7 横浜ベイブリッジ 3径間鋼斜張橋 460 40．2 H型 ファン型（2面11段）

8 櫃石島橋 3径間鋼斜張橋 ⁴²⁰ 27．5 H型 ファン型（2面11段）

9 名港西大橋 3径間鋼斜張橋 405 19．4 A型 ファン型（2面12段）

10 大島大橋 3径間鋼斜張橋 350 16．8 A型 ファン型（2面10段）

11 天保山大橋 3径間鋼斜張橋 350 27．25 A型 ファン型（2面9段）

12 伊唐大橋 3径間PC斜張橋 ²⁶⁰ 11．0 準H型 準ハーフ型（2面16段）

13 呼子大橋 3径間PC斜張橋 250 10．9 H型 ハーフ型（2面17段）

14 十勝中央大橋 3径間鋼斜張橋 250 12．3 A型 ファン型（2面7段）

15 青森ベイブリッジ 3径間PC斜張橋 240 25．0 遡字 ファン型（1面10段）

16 新尾道大橋 3径間鋼斜張橋 215 25．0 独立1本柱 ハーフ型（1面7段）

17 弓削大橋 3径間鋼斜張橋 ¹⁷⁵ _1α75 A型 ^{ファン型（2面6段）}

18 唄げんか大橋 3径間PC斜張橋 ¹⁷⁰ 149 逆Y字 ファン型（2面12段）

19 常吉連絡橋 2径間鋼斜張橋 250 13．75 逆Y字 ファン型（2面6段）

20 サンブリッジ 2径間鋼斜張橋 ²⁴⁰ 16．3 逆V型 ファン型（2面10段）

21 浜田マリン大橋 2径間鋼斜張橋 200 14．59 逆V型 ^{ファン型（2面9段）}

22 新猪名川大橋 2径間PC斜張橋 198．7 20．7 遡字 ファン型（2面14段）

23 秩父公園橋 2径間PC斜張橋 ¹⁹⁵ 19．0 H型 ファン型（2面30段）

24 田尻スカイブリッジ 2径間PC斜張橋 168．2 26．3 H型 ハープ型（2面15段）

25 南本牧大橋 2径間鋼斜張橋 ¹⁵⁹ 26．3 独立1本柱 ファン型（1面12段）

26 _{志摩丸LLI橋} 2径間PC斜張橋 ¹¹⁴ 11．5 準A型 準ハーフ型（2面10段）

27 新綾部大橋 2径間PC斜張橋 ¹¹⁰ 10．75 準A型 準ハーフ型（2面5段）

28 新渡橋 2径間PC斜張橋 93．75 12．55 H型 準ハープ型（2面14段）

（1）調査方法

 斜張橋全体系の固有振動数とケーブルの局部振動の固 有振動数の関係を調べるため，関連機関へのアンケート 調査や斜張橋の固有振動数に関する文献、計算書、工事 報告書や土木技術センターの刊行物など10〜16）により28 橋の資料を収集できた．収集し彪斜張橋の一覧を表一1に 示す．斜張橋の固有振動数は収集した資料の数値を使用

し，ケーブルの局部振動の固有振動数に関しては，資料 に記載されているケーブルの諸元を用いてサグの影響を 考慮した式により計算を行う．

（2）斜張橋全体系の固有振動数とケーブルの局部振    動の固有振動数の関係

 本研究では，巨F1に示すように斜張橋の下段ケーブル から上段ケーブルに向かって順番に番号を付ける．斜張 橋全体系の固有振動数がケーブルの局部振動の固有振動 数と一致する（副不安定領域）かその2倍と一致する（主 不安定領域）かであるときに，ケーブルに局部振動が発 生する．したがって，まずケーブルの1次と2次固有振 動数について全体系の固有振動数との関係を調べる．

 区F2は，多々羅大橋の全体系の固有振動数とケーブル の局部振動の固有振動数の関係を示す．図より，鉛直対

称2次振動がC−14及びC−15のケーブルの1次固有振動 数に，鉛直対称3次振動がC−8のケーブルの1次固有振 動数に接近している．したがって，多々羅大橋において は，C−8、 C−14及びC−15のケーブルに係数励振振動が発 生する可能性がある．このように係数励振振動が発生す る可能性のあるケーブルを選択し，解析を行う．

 図一3は，女神大橋の全体系の固有振動数とケーブルの 局部振動の固有振動数の関係を示す．図より，鉛直対称

2次振動が12番のケーブルの1次固有振動数に，ねじれ 対称1次振動が8番のケーブルの1次固有振動数に接近 している．女神大橋においては，係数励振振動が発生す る可能性のある8番及び12番のケーブルの解析を行う．

3．全体系の固有振動数とケーブルの局部振動の固有  固有振動数に及ぼすパラメーターの影響

 （1）スパン長の影響

 図一4，5は斜張橋全体系の固有振動数とケーブルの1次 振動の固有振動数の関係（副不安定領域）を示している．

横軸はスパン長を示し，縦軸に固有振動数を示す．なお，

ケーブルの固有振動数については，マルチステイケーブ

く振動数 数（最下 数〔最上 蓮3・5

曇3・・

・籔欝w

 距×コ一壁K

距来頃照

    婬杖姻哩廉 塵さ症㏄合巴蝶来る芸蔀△

2，5

2．0

1．5

1．0

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0．5

0．0

  100    200    300    400    500    600    700    800    900

      スパンrOf

図一5斜張橋のねじれ1次固   ，ケーブルの1次    固有振動数の2倍とスパン長との関係

       （副不安定領域）

〜5

讃3・°

2．5 o

▲

O

W

  0   ：

▼∀▼▼

斜張橋のねじれ1次振動数 ケーブルの1次振動数の2倍（最下段）

ケーブルの1次振動数の2倍（最上段）

2．0

籠憶三

1．5

1．0

O．5

  200     300     400     500     600     700     800     900

      スパン（la）

図一6斜張橋のねじれ1次固有振動数，ケーブルの1次    固有振動数の2倍とスパン長との関係        （主不安定領域）

     f3     〆。㍗

  f：

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・・・・・・・・…−n−…．．OO−O・O・

     ム ケープノレの1次振動数

賑三㌧肇鱗壁

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Side span

1｜1

   C．l C．2 C．3 C−4 C−5C−6 C 7

ケーブル番号

図1

O  万  ；2nd natural f岳quency ofthe cableノ

ﾄち；Twi・e。f l・・剛・al血甲…y。f血・c・b1・∫△か1・m・m旧1輌…y。f由e cabl・ノ×   ；Natu臼l f廿equcncy ofthe bridge      ∫㌧，∫」，9  ゾ」ア，3  ゾ，、∫7，

       グ，6！， グ、言  ブ、。 グ5

Q㍗芦；方1〆ち

       L、×

@   ∫㌔5プ、

縺@＼／んが

2∫㌔6 i』 i Q∫ A、2ゾ∫

  ．』  1 ．1

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﹁竺巴§﹀ ひめ盲§﹀ ₅ ［      マ ．       ●

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叩・N・TE＞ S−i、i−th、ymm，ni、 m。d，， °5     帝ε9・・獅御

図一2多々羅大橋の全体系固有振動数とケーブルの固        有振動数との関係

薮（u。）

4．0 5．0

20 3

℃

0，0

振動 と呼子大橋（PC斜張橋）の全体系固

ケーブルの固有振動数の関係

。乙．；2・dm血1卿・綱。f曲cab1・ノ米  坑 ；Twice of lsl rロlu［al frequen口oflhe cablej△万；1・t・血怜lf民que・口。f1㎏・abl・ノ× ：N・ぬ1伽q・…y。f伽b晦   ∫2，， ∫3，   ゾ， ゾ，

「． 「．．．．．．・」．・」」「「「「「「「「「「L ^{一」．」．．・．}n・・・・・・… ◇・O・・・・・・・・・・… ◇・・・・・・・・… ◇．−O．・・．r・・・・… O・・・・ ・・・・・・・… ．

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@     ア1ア

7竺5日﹀ 寓冒§﹀ つ竺8冒﹀

Freq1tency紗

図一3 女神大橋の全体系固有振動数とケーブルの固有   振動数との関係

図7

12 0．0      0．4 o．8

＜NO正＞S・i；1一的㎜1輌de．

るのため，固有振動数が最も低い最上段ケーブル（▲）と固 有振動数が最も高い最下段ケーブル（▼）のみを表示して

斜張橋の鉛直1次振動数 斜張橋の鉛直2次振動数 ケープルの1次振動数（最下段）

ケーブルの1次振動数（最上段）

口 O ▼▲

▼

蓮ぐ● ▼

蛭X永廿蜘娯ワ

       蓑量・▼蓑轟  蓑凪薫朕▼よト蓮▼  ▼渡岨㎏聖     蛭X恩麹婦▼ 蝶拍胞o㎡戴

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D▲  口

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口O

鋤余

      スパンrbl 斗張橋の鉛直1，2次固有振動数，ケーブルの1次  固有振動数とスパン長との関係

     （副不安定領域）

遥蘂愚墜 J．o  ヨ  D

2．5

2．0

1．5

1．0

0．5

O．0

図一4

いる．斜張橋全体の固有振動数は主桁にたわみ振動が発 生する鉛直1次固有振動数を□，鉛直2次固有振動数を

○，及びねじれ1次固有振動数を△の記号で示す．鉛直 1次振動は900mクラスの斜張橋を除けば，ケーブルの 固有振動数とは一致しないtしたがって，ケーブルの係 数励振振動は，鉛直1次振動では超長大斜張橋を除いて 発生しない．しかし，鉛直2次振動とねじれ1次振動の 固有振動数はケーブルの1次振動の固有振動数と一致す る．鉛直2次振動及びねじれ1次振動に振動によってケ ーブルに副不安定領域の振動が発生する可能性がある．

 図一6は，斜張橋全体系のねじれ1次固有振動数とケー ブルの1次固有振動数の2倍（主不安定領域）の関係を 示している．図のように，ケーブルの固有振動数の2倍 と斜張橋のねじれ1次固有振動数は200mクラスのPC斜 張橋と大島大橋を除けば一致しない．したがって，主不 安定領域はこれら斜張橋に発生する可能性がある．なお，

鉛直1，2固有振動数とケーブルの1次固有振動数の2倍 は一致しないため，これらの固有振動によって主不安定 領域は発生しない．

（2）PC斜張橋と鋼斜張橋の違い

図一一7，8は呼子大橋（PC斜張橋・スパン長250m）と十 勝中央大橋（鋼斜張橋・スパン長250m）の斜張橋全体系 の固有振動数とケーブルの局部振動の固有振動数の1倍

（副不安定領域）及び2倍（主不安定領域）の分布を示 す．呼子大橋では，ケーブルの固有振動数が高いため，

斜張橋の3次までの固有振動数とケーブルの固有振動数 は接近しない．しかし，全体振動のねじれ固有振動数は 高いため，ねじれ振動でケーブルの主不安定領域の振動 が発生する可能性がある．この結果は呼子大橋だけでな くPC斜張橋全般にいえ， PC斜張橋は低次鉛直振動では ケーブルに係数励振振動を発生しにくい橋種と考えられ る．これはPC斜張橋ではケーブルの死荷重張力が大きい ためである．一方，鋼斜張橋である十勝中央大橋は，斜 張橋全体系の低次固有振動数とケーブルの局部振動の固 有振動数が接近するため係数励振振動が発生する可能性

がある．

（3）桁の構造及びタワー形状の影響

 図一9は，斜張橋のスパン長／幅員とねじれ1次固有振 動数の関係をタワー形状別に図示している．この図より 桁の断面形状についてトラスと箱型の比較を行うと，そ れぞれ顕著な特性は見られず，ねじれ固有振動数には影 響しないと考えられる．さらに，タワーの形状について は，「般的にH型のタワーはねじれ岡雌が小さいため斜 張橋全体系のねじれ固有振動数は低いとされている「oが，

この図より，実橋では，H型のタワーの斜張橋のねじれ 固有振動数は必ずしもA型タワーの値よりも低くならな いことがわかる．

（4）径間数の影響

 図一10は、2径間斜張橋（常吉連絡橋（仮称）、サンブ リッジ）と3径間斜張橋（呼子大橋、十勝中央大橋、青

森ベイブリッジ）の全体系の固有振動数とケーブルの局 部振動の固有振動数の関係である。斜張橋全体系の固有 振動数は、鉛直1、2次固有振動数及びねじれ1次固有 振動数を示している。ケーブルの固有振動数については 副不安定領域の発生領域に相当する固有振動数の1倍を 示している。2径間斜張橋は3径間斜張橋に比べケーブ ルの固有振動数が低い傾向にあり、そのため斜張橋の低 次鉛直振動によりケーブルに係数励振振動が発生する可 能1生がある。特にスパン長が250mの常吉連絡橋（仮称）

は、鉛直1次固有振動によって上段ケーブルが振動する 可能性がある。

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パW

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活一醤寝剤掴るH蓑姐象

図一8十勝中央大橋（鋼斜張橋）の全体系固有振動数 とケーブルの固有振動数との関係

    30遥懸晶蛸

2，0

4．0    △ ︵遊堺︶寧Xロ胡

︵※惚︶隼X蚕丁  △

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状状形形塔塔主主 ︵蘂芭       ︵溌鯉︶活5・重杖丑ぷ口       ︵葭堤︶裡X切ゼp㎡慮△    ︵よご転聴︑噌住奪△  ︵X︾み︶﹀⇒トヤて遅想 口尊X灸ペト趣△ 蘂ぽK惇堰遍xヨ睦K△

ムロ ロ⌒6︶董     ︵葉堺H・悠X画X  ︵K︾山︶隼X臥没峯鰹X匡ム   ロ    ︵蜜鯉︶草X稟々婚

△

 0．0

  5       10      15      20      25      30      35      40

      スパン／総幅員 図一9スパン長と幅員との比とねじれ1次固有振動数と    の関係

5     0

3     ︵◎遥蝋論蟻

2．5

2，0

1．5

1．0

0．5

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△ 斜張櫨のねじれ1次娠動数

     …園師︶︑ト㌔て緒章

△

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段段上下最最

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◇ ロ

▼▲

0．0

      240      250

       スパンrmJ  図一10 2径間斜張橋と3径間斜張橋との比較

4．ケーブルの支点加振を受ける非線形運動方程式

ト。

勘ρ診

図一11ケーブルの一般図

 支持ケーブルを，図一11に示すようにモデル化する．

一端固定，他端が周期的な支点変位XsinΩτを受ける 傾斜した偏平ケーブルの応答yを1次振動のみに注目す

ると次のように仮定される9）．

・（…t）・＝（x・i・θ）・ k1−i〕si・・s・・t・Pl（t）唖（1）

 ここに，L：ケーブルのスパン長， X：周期的な支点変 位の振幅，x：スパン方向の座標，Ω：支点変位の円振動 数 0：ケーブルの傾斜角，p、：1次振動の時間関数で

ある．

 ケープルのひずみエネルギー，運動エネルギー及び重 力のなす仕事を用いて，Hamiltonの原理を適用し，さら に粘性減衰力を考慮すると，次のような非線形常微分方 程式が得られる9）．

Pi・・繍・も2＋Cl・inの・＋C、・（・i・・tU・寵

       （2）

    ・C・P12＋号P13 一 C4・in tDT・＋・CS（SM CDT）2

ここ｝・・ Cl−ky…θ一、曇・in・〕・C2一憂m・ア・

c3−一

?Cq斗・緋唖嗣

Cs一增E（・sin・ア・明一1・；〔；） ・2・・綱

の無次元固有円振動数，Pl＝p1／K：1次振動の無次元 時間関数ur＝x／Xo，Xo：緊張したときの伸び，

η一X／（X。L／3Y／2，κ一Z・L， ，if−mg・inθ／F。， mg・

ケーブルの単位長さあたりの重量，Fe：静的軸力，

λ＝κ／（Fo／ES）1／2，Eニヤング率， S：断面積，

K＝4／π（XoL／3）1／2，τ＝ωb ：無次元時間，ωo：弦の 1次の固有円振動数 ω＝Ω／ωo：支点変位の無次元円 振動数，hl：1次振動の減衰定数である．

 式（2）は，非同次の非線rl・ Hil1型の方程式である．支点

の鉛直変動変位によってケーブルには変動軸力の項

（C1，C2）と変動荷重の項（CもC5）が作用する．したがっ て，ケーブルには変動軸力の項による主および副不安定 領域の応答と変動荷重による強制振動が発生することに

なる．このため，副不安定領域では係数励振振動と強制 振動が連成して発生することになるm．本論文では係数 励振振動の議論することを目的とするので，副不安定領 域を呼ぶ．

5．ケーブルの運動方程式の解法

（1）調和バランス法による解法6）

 式（2）には外力のもとに発生する付随解の他に分岐解に は，固有円振動数付近に生じる周期Tをもつ副不安定領 域及び2倍の固有円振動数付近に生じる周期2Tをもつ 主不安定領域が重要であるから，式（2）の解を次のように 仮定することができる．

P，−Cl。 ＋・AIP… ｼ÷一仰）・A、S…（ω・−q，）（・）

ここに，ClO，Alp，Ais：振動の振巾冨成分， ql．￠2：振動の

位相差，P：主不安定領域：S：副不安定領域である．

 式〔3）を式〔2）に代入して，調和バランス法を適用すれば，

未定定数を求めるための5個の連立非線形代数方程式が 得られる．これにNewton−RaPhSon法を用いて，仮定した 初期値のもとに解けば，振幅成分が得られる．

（2）Runge−Kutta−Gi11法による数値解法

 式〔2）において，Pl＝Tl， jPl ＝T，とおくと，次式に示す2 元連立の1階常微分方程式に変換することができる．

TlFT2

ち一⊃嗣一も・＋q・i・ω・＋G（・i・ω・寵1（、）

−C・T12−奄戟@T13＋C4・i・ω・＋C・・（・i・CDT）2

 式〔4）にRunge，Kutta．GM法を適用して直接数値積分す れば，時間応答が得られる．なお初期条件として初期変 位丁，及び初期速度T，を0とする．

6．ケーブルの非線形応答の特性

（1）解析条件

 本研究では，表一1に示した斜張橋のケーブルを対象と して取り扱う．また，ケーブルの支点変位の振幅を変化 さたCase 1，2，3（それぞれスパンの100，000，1／10，㎜，

1／5，000）の解析を行う．道路橋耐風設計便覧18）によれば，

スパン長500mクラスの斜張橋ではたわみの渦励振の最 大振幅は20数㎝になるので，スパンの］／5000程度の振 幅の設定は妥当と判断される．また，後述のシミュレー ションによる応答波形から判るように，係数励振振動の 発振には正弦波が長期間持続する必要はないことが，著 者らのこれまでの数値計算の経験から判明している．

Case 3に対するケーブルのパラメーターの1例を表一2に

示す．

表一2 Case3（1／5000）に対す るパラメーター

橋  名 ^ケーブル

ﾔ号

Xo x

K

（m） （m）

ψ η

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C−16 0，570 0．ll80 02072 0．01588 6030 9．46 1，360

東神戸大橋 C・7 0，179 0．0970 0．5412 0．03280 2863 6．69 0，818

女神大橋

G3

C．12 0，508 0．0960 0．1888 0．Ol560 3690 7．86 0，776

生口大橋 C・7 0，293 0．0980 0．3343 0．02596 2728 4．80 0，608

名港西大橋 ^{C−8 0，332 0．0810 0．2440 0．Ol892} 4430 5．45 0，772

C−ll 0，419 0．0810 0．1932 0．Ol560 4350 6．62 0，946

大島大橋 ^{C−2 0，950 0．0700 0．7368 0．04540} 1712 1．96 0，480

C−10 0，390 0．0700 0．1796 0．01444 3210 6．17 0，691

十勝中央大橋 ^{C−1 0，066 0．0500 0．7560 0．05000 871 4．00 0，228}

C−7 0，210 0．0500 0．2380 0．Ol708 3370 3．72 0，813

南本牧大橋 C・23 0，285 0．0320 0．lll6 0．00852 1420 4．76 0，322

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図一12 女神大橋C−8の応答曲線

   （Case l and Case 3， hrO．00）

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女神大橋C−12の応答曲線

（Case 3， h弓D．01）

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図一16女神大橋C−12の応答曲線

  （Case 3， hFO．OO and O．04）

（2）励振振幅の影響

 係数励振振動が発生する可能性があるケーブルにおい て，励振振幅が不安定領域及び応答振輻にどのような影 響を与えるかを評価する．図一12は，女神大橋のケーブル C−8の応答曲線である．図中の実線破線は支点変位の振幅 がスパン長の1／5，000及びlno，000の応答曲線を示してい る．図の左の縦軸がKで無次元化した無次元応答振幅，

右縦軸が実振幅を表し，下横軸が，弦の1次固有円振動 数で無次元化した無次元振動数，上横軸が実固有振動数 を表している．無次元振動数1．0付近で発生する副不安定 領域及び無次元振動ta 2．0付近で発生する主不安定領域 の幅を比較すると，励振歳幅が大きい方が副不安定領域 及び主不安定領域の幅が広いことがわかる．当然のこと ながら，励振振幅が大きい方が応答振幅についても大き いことがわかる．

 なお，図一12に示したω＝2．0付近の主安定領域とはω

＝2．0を挟んだ2本の曲線に囲まれた部分を指す．この2 本の曲線は，式（3）の右辺第2項の励振円振動数の半分 の円振動数をもつ周期解に対応している．この2本の曲 線に囲まれた振動数の範囲では係数励振によりケーブル

に発散振動が発生し，外側では減衰振動が発生すること を意味する．この発散振動と減衰振動の境界が周期解に 対応している．もちろん，本研究ではケーブルの非線形 項が会まれているため，ケーブルの振幅は有限な解とな っている．したがって，この不安定領域が広い場合には，

この範囲に斜張橋の全体系の振動数が含まれる可能性が 高くなり，係数励振振動が発生しやすくなる．

（3）傾斜角の影響

 名港中央大橋のC−10のケーブルでCase 3の場合の傾斜 角を変化させて求めた非減衰（h〒0．0）の場合の応答曲線 を図一13，14に示す．図の左の縦軸は無次元振幅，右の縦 軸は実振幅，下横軸は無次元円振動数ωである．図一13 は斜張橋の最下段ケーブルの傾斜角にあたるθ＝20°の ときの応答曲線であり，図一14は斜張橋の最上段ケーブル

の傾斜角にあたるθ＝70°のときの応答曲線である．傾斜 角θが小さいケーブルでは，変動軸力の項が支配的とな

るから，ω＝2．0付近の主安定領域が広い．また，傾斜角 が大きくなると水平ケーブルに近づくために，変動軸力 の項が小さくなる。この場合ω＝2．0付近の主安定領域が 狭くなり，ω＝1．0付近の強制振動の項が支配的になる．

（4）減衰力の影響

 ここでは，減衰力を変化させた場合のケーブルの非線 形分岐応答に及ぼす影響を評価する．図一15，16は，女神 大橋の上段ケーブルC−12について非線形分岐応答解析し たときの応答曲線である．図一15は減衰定数 h−O．01の場 合，図一16は減衰定数炉0．04の場合と減衰を無視した場 合h−O．Oを示している．下側の横軸は，弦の1次固有円振 動数で無次元化した無次元励振振動数を，上側の横軸は，

実励振振動数を示す．また，左側の縦軸は，ケーブル長 で無次元化した振幅を，右側の縦軸は，実振幅を示す．

図一・15のように，斜張橋の支持ケーブルの通常の減衰定数 h−O．Ol以下では，無次元振動数2．0付近に現れる主不安定 領域の応答振幅は小さくならず，主不安定領域の幅は狭 くならない．減衰定数を通常よりも大きい1FO．04とした 場合に，図一16のように主不安定領域の幅と応答振幅が小

さくなる．このようなことから，係数励振振動の主不安 定領域を押えるためには，減衰定数が0．04程度の大きさ が必要なことが指摘できる．

（5）過渡振動の影響

 斜張橋が急に振動を始める場合には，ケーブルには過 渡振動が発生する．この節では，主桁が急に振動し始め た場合の過渡振動の影響を評価する．ゼロ初期条件のも とにR皿ge−KuttaくGi皿法による数値シミュレーションを行 う．図一17〜20に時間応答波形の一例を示す．減衰力が作 用しない場合（h〒0．0）ではケーブルには係数励振振動特 有うなり振動が生ずる．一方，減衰力がある場合（h＝

0．Ol）には，うなりはすぐに消え，定常振動が発生する。

 図一21は，女神大橋のケーブルC−12について減衰定数 h−O．Olとした場合の非線形分岐解析解と，数値シミュレ ーションによる定常応答及び斜張橋が急に振動し始めた 場合の過渡振動の応答振幅を示したものである．下側の 棲漸は弦の1次固有円振動数で無次元化した無次元励振 振動数を，上側の横軸は励振振動数を示す．また，左側 の縦軸は，Kで無次元化した無次元振幅を，右側の縦軸 は，実捌1冨を示す．定常解である解析解と数値シミュレ ーションの定常解は，良く一致しており，解の精度は十 分である．また，過渡振動の応答振幅及び不安定領域の 幅は，定常振動の場合よりも大きい．数値シミュレーシ

ョンでは，主及福ll不安定領域の右側の応答が得られて いない部分がある．これらの部分は，不安定な解で，実 際には現れない解である。シミュレーションで得られた 部分は安定な解であり，実際に現れうる解である．

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図一17女神大橋C−12の応答波形

   （Case 3， h〒0．00，ω＝1．0，副不安定領域）

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    （Case 3， hrO．00， co ・2．O，主不安定領域）

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図一21女神大橋C−12の応答曲線（Case 3，h＝0．01）

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図一19女神大橋C−12の応答波形

   （Case 3， ht．Ol，co・＝＝1．0，副不安定領域）

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   （Case 3，hrO．Ol，co ＝2．0，主不安定領域）

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 図一23多々羅大橋C8とC−14の不安定領域

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図一25応答振幅とケーブル長との関係（副不安定領域）

安定領域の範囲を示している．これらの図より，不安定 領域がかなり広い振動数領域を ことから，斜張橋全体 系の複数の固有振動数によってあるケーブルに係数励振 振動が発生する可能性がある．また，特定の斜張橋全体 系の一つの固有振動数によって複数のケーブルが係数励 振振動が発生する可能性がある

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7．応答振幅及び不安定領域に及ぼすパラメーター   の影響

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図一26主不安定領域の幅とスパン長の関係

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図一27副不安定領域の幅とスパン長の関係

（6）斜張橋支持ケーブルの応答特性の評価

 巨卜22は，女神大橋のケーブルC−8の応答曲線を示す．

図の横軸が振動数を，縦軸が振幅を表している．図中の 実線はhO．Ol， Case3のときの応答曲線を，▲はケーブル の固有振動数を示す．図に示すように不安定領域の幅及 び振幅を算出する．副不安定領域においては支点変位の 振幅の5倍のときの振動数範囲CD間，主不安定領域に おいては無次元振幅が微小な場合の発生領域AB間，副 不安定領域の振幅は1次固有振動数のときの振幅F及び 主不安定領域の振幅は1次固有振動数の2倍のときの振 幅Eを読み取る．それらに基づいて不安定領域の範囲及 び脚冨を検証する．

 図一23は，多々羅大橋のケーブルC−8，C−14の不安定領 域の範囲，図一24は，女神大橋のケーブルC−8，C−12の不

（1）解析条件

 斜張橋全体系の固有振動数がケーブルの局部振動の固 有振動数もしくはその2倍と一致するケーブルを選びだ し，非線形応答解析を行い応答振幅及び不安定領域の範 囲を求める．応答解析にあたって，減衰定va ht．OOとし，

支点変位はスパン長の1／5，㎜（Case3）として解析する，

（2）応答歳幅に及ぼすケーブル長の影響

 図一25は，副不安定領域における応答振幅とケーブル長 の関係を示す．図の縦軸が応答振幅，横軸がケーブル長 を示す．この図よりケーブル長が長くなると副不安定領 域の応答振瀬は大きくなることが分かる．

（3）不安定領域の幅に及ぼすスパン長の影響  図一26，27は，主及礪ll不安定領域の幅とスパン長の 関係を示している．図の縦軸が無次円振動数の幅，横 軸がスパン長を示す．図より，主及び副不安定領域の 幅においては，スパン長の影響は見られない．

8．まとめ

 本研究は斜張橋の支持ケーブルに係数励振振動が発生 する可能性と，発生する場合の発生領域と，振幅を明ら かにしたものである．得られた結果を以下にまとめる

（1）斜張橋鉛直対称1次固有振動数は900mクラスの超長 大橋のみケーブルの1次固有振動数に一致する．また，

鉛直対称2次振動は，主として上段ケーブルの1次固有 振動数に一致する可能性がある．ねじれ1次固有振動数 は下段側のケーブルの1次固有振動数に一致する．これ より，斜張橋の振動によってケーブルの1次振動の副不 安定領域が存在する．ケーブルの主不安定領域は200mク ラスPC斜張橋において発生することが予想される．

（2）PC斜張橋は鋼斜張橋に比べ，ケーブルの固有振動数が 高いため低次の鉛直振動では係数励振振動しにくい橋種 である．また，桁の構造及び塔の形状は斜張橋のねじれ 振動に影響を及ぼさないことが確認された．

（3）2径間斜張橋では，3径間斜張橋よりもケーブルの局 部固有振動数が低く，低次の鉛直振動で係数励振振動す

る可能性がある．

（4）ケーブルの不安定領域及び応答振幅に及ぼす支点変位 の振幅の影響を調べたところ，支点変位の振幅が大きい ほど不安定領域の幅が広く，応答振幅が大きい．

（5）傾斜角が小さいケ・一一一ブルは係数励振力が支配的であ るため，不安定領域の幅が傾斜角が大きいケーブルより 広い．傾斜角が大きくなると不安定領域の幅が狭くなる．

（6）ケーブルの振動実験結果から得られる程度の減衰定数 の大きさでは，係数励振振動の不安定領域の幅及び主不 安定領域の応答振幅に及ぼす減衰の効果は小さい．

（7）斜張橋が急に振動し始めた場合の過渡振動の応答振幅 及び不安定領域の幅は定常振動の場合より大きい．

（8）不安定領域がかなり幅をもつことから，斜張橋全体系 の複数の固有振動数によって斜張橋の一本の支持ケーブ ルが係数励振振動を受ける可能性があり，さらに，一つ の固有振動数によって複数のケV−一一ブルが係数励振振動を 受ける可能性がある．

（9）主及び副不安定領域の幅には，スパン長の影響は見ら れない．また，応答振幅にはケーブル長に代表されるケ ーブル自体の特性が効いてくる．

 本研究によって，実斜張橋の全体系固有振動数とケー ブルの局部振動の固有振動数との関係は明らかにされた．

しかし，ケーブルの振幅については，斜張橋の支持ケー ブルを周期的支点加振を受ける単一ケーブルにモデル化 した解析による評価に留っている．したがって，振幅の 評価については，実橋に既した結果が十分に得られてい るとはいいがたい．今後，斜張橋全体系の振動モデルを 用いて風荷重や車の走行荷重による応答解析を実施し，

得られた支点変動を入力したケーブルの局部振動解析を 実施する予定でいる．また，係数励振振動の発達時間と 加振力の大きさや継続時間についても検討を行う予定で

いる．

酬

本研究を行うにあたって，三菱重工㈱長崎造船所 今金真一氏，阪神高速道路公団コ務部設計課北沢正彦氏，

日本構造橋梁研究所（株）設計第2部設計第6課石本賢 幸氏，大日本コンサルタント（株）新井伸博氏，本州四 国連絡橋公団企画課佐藤直樹氏，東京大学生産技術研究 所館石和雄i氏，建設省九州地方建設局佐伯工事事務所工 務第二課坂口栄男氏，島根県浜田水産事務所漁港課橋梁 係福田公男氏，和歌山県下津港湾事務所藤山真希氏，三 重県県土整備部道路整備課立花充氏，阪神高速道路公団 金治英貞氏，鹿島技術研究所新原雄二氏，駒井鉄工（株）

大阪工場篠田氏より斜張橋の資料を提供頂いたことに感 謝します．また，斜張橋に関するアンケート調査に協力 頂いた関係機関の方々に感謝します．

 なお，数値計算には長崎大学の総合情報処理センター の計算機AP3000を使用したことを付記します．

1992．10．

2）藤野岩本，加藤，岡林，本田，平本，志水，飯村：

木製斜張橋（用倉大橋）の振動実験，土木学会第48回年 次学術講演会講演概要集，第1部，pp．752−−753，1993．9．

3）Kovacs，1．：Zur丘age der sedSchWingdngen und der seildampfUng， Die Bautechnik，10， pp．325〜332，1982．

4）藤野，Wamitchai， P．， Pacheco， B．M．：ケーブル・はり モデルを用いた斜張橋の内部共振に関する実験と解析，

土木学会論文集，No．432／1−16， pp．109−ll8，1991．7．

5）長井，川畑，有村：斜張橋の桁曲げ，ねじれ及びケー ブルの基本固有振動数の相対的関係の検討，構造工学論

文集，VoL38A， pp．1143−−1152，1992．3．

6）Takahashi， K．：Dynamic Stab伍ty of Cables Subjected tO an AXial PeriOdic Load， Journal of Sound and Vibration，

VoL l44， No．2， PP．323〜330， 1991．

7）高橋，鎌田，町田，松野：支点が動きうるサグ比の小 さいケL−一一一ブルの動的安定性，土木学会論文集，第495号，

pp．127〜130， 1994．

8）Lilien，」． L． and Pinto da Costa， A．：Vibration AmplitUdes Caused by Pa㎜etnc Excitation of Cable Stayed Bridges，

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1994．

9）Pinto da Costa A and Martins．工A． C：The Nonlinear OscMations of Ihc血ed Excited Peri（｝dic Motions of Their SupPor巴， 11〕t㎝aUonal SyrnPosium on Cable Dynamics・

pp．205−212， 1995．

10）建設省土木研究所：斜張橋並列ケーブルのウェークギ ャロッピング制振対策マニュアル（案），共同研究報告 書，第134号，1995．9．

11）大塚，山口，高野，小笠原，下里：鶴見つばさ橋の振 動特｝生，橋梁と基礎，第31巻，r9 11号， pp21−27，1997．IL

12）（助土木研究センター：斜張橋ケーブルの耐風性検討 報告書，pp．207−217，1993．3．

13）平田，福岡，串田，寺西村田：十勝中央大橋の管理 について，栗本技報，No24，pp 16〔26，1991．L

14）文献12）の，pp．185・−199，1993．3．

15）和田，高野，林，小山，津村：横浜ベイブリッジの振 動実験，橋梁と基礎，Vol．26， No．2， pp15〜18，1992．2 16）長井，井澤，中村：斜張橋の基本計画設計法森北出

版（株），PP．168〜174，1997．

17）高橋，鎌田，花田：係数励振力と周期的変動荷重を受 ける偏平ケーブルの非線形振動，土木学会論文集，

No．549A−37， pp．115〜124，1996．10．

18）日本道路協会：道路橋耐風設計便覧pp．101〜104，

 1991．7．

      （1999年9年17日受付）

参考文献

1）岡内，宮田，辰巳，佐々木：大振幅加振による長大斜 張橋の実橋振動実験，土木学会論文集，第455号，pp．75〜84，