解析学２
No.3 2006.10.121.3 有理関数 担当：市原
多項式関数・有理関数
¶ ³
a0, a1, a2, . . . , an を実数の定数として, 多項式f(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3+· · ·+anxn によってきまる関数 y=f(x)を(n次)多項式関数と呼ぶ. 多項式f(x),g(x)に対し,関数y= g(x)
f(x) を有理関数と呼ぶ.
µ ´
定理6 (有理関数の導関数) y=f(x)
g(x) の導関数は,y= f0(x)g(x)−f(x)g0(x)
(g(x))2 （ただし,g(x)6= 0）.
有理関数y= 1
ax2+bx+c の積分
¶ ³
(1)判別式b2−4ac >0の場合
例1. (因数分解・部分分数分解)
¶ ³
Z 1
x2+ 4x−5dx =
Z 1
(x−1)(x+ 5)dx
= 1
6 Z „ 1
x−1− 1 x+ 5
« dx
= 1
6 Z 1
x−1dx−1 6
Z 1 x+ 5dx
= 1
6log|x−1| −1
6log|x+ 5|+C
µ ´
(2)判別式b2−4ac= 0の場合
例2.
¶ ³
Z 1
9x2+ 6x+ 1dx =
Z 1
(3x+ 1)2dx
= −1
3(3x+ 1)−1+C
= − 1
3(3x+ 1)+C
µ ´
(3)判別式b2−4ac <0の場合
例3. (平方完成・置換積分)
¶ ³
Z 1
x2+ 2x+ 8dx =
Z 1
(x+ 1)2+ 7dx
= 1
7
Z 1
“x+1√ 7
”2
+ 1 dx
= 1
7 Z 1
t2+ 1·√ 7dt
=
√7
7 arctant+C=
√7 7 arctan
„x+ 1
√7
« +C
µ ´
µ ´
3
解析学２
No.3 2006.10.121.3 有理関数 担当：市原
問題16 以下の積分を計算しなさい.
(1)
∫ 1
x2−6x−7dx
(2)
∫ 2 0
1
x2−6x+ 9dx
(3)
∫ 4 2
1
x2−6x+ 10dx
(4)
∫ 1
4x2−4x−3dx
(5)
∫ 5 3
1
4x2−4x+ 3dx
