修士学位論文
題名
Morde11−Tomheim型の二重ゼータ関数の整数点における値 について
指導教授 津村 博文 教授
平成 24 年 1 月 10 目 提出
首都大学東京大学院
理工学研究科 数理情報科学
学修番号 10878310 氏 名 鈴木 勘太
専攻
Morde11−Tomheim型の二重ゼータ関数 の整数点における値について（要旨）
修士（理学） 10878310 鈴木 勘太
本論文ではMorde11−Tomheim型の二重ゼータ関数の整数点における値につい ての一般論を述べ，その関数の部分和として定義されるゼータ関数について考察
する．
本論文は以下の三つの章で構成される．第一章ではRiemamゼータ関数を定 義し，その拡張版の」つとしてMorde11−Tomheim型の二重ゼータ関数を紹介し，
その関数に関する歴史的な事柄を述べる．
第二章ではMorde11−Tomheim型の二重ゼータ関数の基本的性質とその関数の 特殊値の明示公式を紹介する．
第三章ではKomori−Matsumoto−Tsumura［2］が示したMorde11−Tomheim型の二 重ゼータ関数の部分和として定義されるゼータ関数についての定理の別証明を与 える．これが本論文の主結果である．さらにこの関数の具体的な計算例を示し，
本論文を締めくくる．
Morde11−Tomheim型の二重ゼータ関数は以下で定義される．
De丘nition1．負でない整数ザ，3，古に対し，
oo
l
／岬（州：Σ榊（肌・〃 （1）
1950年，関数（1）に関し，Tomheim［5］は次のような結論にたどり着いた．
Theorem2（Tomheim［5］）．負でない整数ηが3以上の奇数のとき，ζM・乃2（r，8，η＿
r＿8）はζ（ゴ）（ゴは2≦ゴ≦ηを満たす整数）の有理係数多項式で表される．
！958年，Tomheimとは独立に，Morde11［31は次の関係式を得た．
Theorem3（Morde11［31）．自然数ザについて，
oo
1
㎞（軌沙）＝石榊（・・rへ
ただし，ん、は有理数である．
Examp1e4．
π6 ζ〃T，。（2，2，2）＝一．
2835
この関数の部分和として定義されるゼータ関数についてKomori−Matsumoto−
Tsumura［2］は次の定理を示した．
Theorem5（Komori−Matsumoto−Tsumura［2］）．
負でない整数r，8，左に対し，
1
／ル・・（｝）一Σ市（。十、）1
肌，η≧1 m≡η（mod3）
とおくとき，ζル町2（2r，2r，2r）∈Qπ6「である．
主結果
Zagier［61−Nakamura［41の方法を利用して，このTheorem5の別証明を与える、
Examp1e6．
！87 ζ沁（2，2，2）＝ π6．
688905
参考文献
［！］荒川亘男・伊吹山知義・金子昌信，ベルヌーイ数とゼータ関数，牧野書店，
2001．
［21Y．Komori and−K．Matsumoto and−H．Tsumura，A survey on the theory of mu1tip1e Bemou11i po1ynomia1s and mu1tip1e L−functions of root systems，
RIMS Kokyuroku Bessatsu B28（2011），pp．99−120．
［31L．J．Mord−e11，ρn the eva1uation of some mu1tip1e series，J．London Math．
S・・．33（1958），368−371．
［41T．Nakamura，Afunctiona1re1ationsfor theTomheimd−oub1ezetafunctions，
Acta Arith．125，No．3（2006），257−263．
［5］L−Tomheim，Harmonic doub1e series，Amer．J．Math．72（1950），303−314．
［61D．Zagier，Va．1ues of zeta functions and their app1ica．tions，in First Euro−
pean Congress of Mathematics VoL II，A．Joseph et a1．（eds．），Progr，120，
Birkh註user，1994，pp．497−512．
Morde11−Tomheim型の二重ゼータ関数 の整数点における値について
鈴木勘太
目次
1 Introduction
1．1Riemannゼータ関数の整数点における値．．
1．2Morde11−Tomheim型の二重ゼータ関数の定義
2 Morde11−Tomheim型の二重ゼータ関数の性質 2．1Morde11−Tomheim型の二重ゼータ関数の収
束域 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2．2 TomheimとMorde11．．．．．．．．．．．．．
2．3 さらなる明示公式．．．．．．．．．．．．．．
3 主結果
3．1Theorem3．1の別証明
3．2計算例 ．．．．．．．．
2
2 3
3
3 4 6
11
11 15
1 Int；roduction
1．1 Riemamゼータ関数の整数点における値
Riemamゼータ関数とは，無限級数 oo
ζ（・）一Σ÷ （1・1）
η＝1
によってまず導入される，変数8の関数のことである．Riemannゼータ関数は今 日では8を複素変数として扱われているが，歴史的にみれば，初期では8が実数 の場合だけが考察の対象となっていた．
17世紀，NewtonとLeibnizによって微積分法が整備されるようになると，その 微積分法を応用して，それまで求められていなかった様々な無限級数の和を正確 に求めることが可能になった．その中でも，当時の数学者たちが好んで取り上げ た問題の一つが，正の整数ん≧2に対するζ（ん）の値を求める，というものだった．
この問題をんが偶数の場合に解いたのは，18世紀最大の数学者といわれるEu1er である：
ζ（。。）一（一1）m−1（2π）2㎜・、、、Q、・一（。∈・）
2 （2m）！
ただし，BmとはBemou11i数であり，
倉（∵）い・1ト山・・／
で定義1れ1数であ11！ i1）は二項係数
（1）⊥1）ト音 い十1）
である、
Examp1e1．1．
π2 π4 π6
ζ（2）＝一，ζ（4）＝一，ζ（6）＝一・
6 90 945
Remark1．2．んが3以上の奇数のときのζ（ん）の値について知られていることは 少なく，ζ（3）が無理数であること，ζ（2ん十1）の申に無理数であるものが無限個あ ることなどが証明されているにすぎない．
1．2 Morde11−Tomheim型の二重ゼータ関数の定義
次に，式（1．1）の拡張版として次の関数を紹介する．
De丘nition1．3．変数r，3，左に対し，
oo
1
ζ岬（州＝肌ξ、1榊（・。・・。）士 （1．2）
今日この関数は，1950年代にTomheim［191とMorde11［111によって，
ζMT，2（ん1，ん2，ん3）（ん1，ん2，ん3は0以上の整数）の値が研究され，これらの値と（1，1）と
の間の非自明な関係式が得られたことから，Morde11−Tomheim型の二重ゼータ関 数と呼ばれている．特に，
ζ岬（2ん，2ん，2ん）∈Qπ6ん（ん∈N）
である．
Morde11とTomheimの研究以降，1985年にSubbarao−Siteramachandrarao［13］，
1996年にHurad−Wi11iams−Zhang［21が，ζMT，2（ん1，た2，ん3）の明示公式を示してい る．さらに21世紀に入ると，Matsumotoは（1．2）の三変数の有理型関数としての C3への解析接続を示した（［6］）．さらにMatsumotoは（1．2）を一般化したMorde11−
Tomheim型のr重ゼータ関数
oo
1
ζ岬（8ユ，5・，糾・・）： 黶Cξ＝ユ岬剛・。・・叫）｝（13）
（ただし，81ゾ．．，8、十1は変数）を定義し，その関数の（r＋1）変数の有理型関数とし てのC「十！への解析接続を示した（［7］）．またTsumuraはparameter uを導入して 収束を良くした級数を考えること（咋methodという）により，（1．1）やその交代級 数型類似，また（1．3）の整数点における値に対して種々の公式を示しているなど
（［14H15］［16］［17］），Morde11−Tomheim型の多重ゼータ関数についての研究は現在 も続けられている．
本論文では，Mlorde11−Tomheim型の二重ゼータ関数の整数点における値につい て知られていることを紹介し，Komori−Matsumoto−Tsumura［4］が示したその関 数の部分和として定義されるゼータ関数についての定理の別証明を与える．
2 Morde11−Tomheim型の二重ゼータ関数の性質
2．1 Morde11−Tomheim型の二重ゼータ関数の収束域
1Lemma2．1．ζMT，2（r，5，亡）（r，8，亡は。以上の整数）が有限な値をとるための必要 十分条件は，
r＋左＞1，3＋左＞↓，r＋8＋亡＞2
を満たすことである．
ζM・T，2（グ，8，亡）の基本的性質は次の通りである．
ζM・，。（・，・，亡）こζM・，。（・，・，亡） （2．1）
ζM・。，。（・，・，0）＝ζ（・）ζ（・） （2．2）
ζM・，・（・，0，亡）十ζ〃。，。（亡，0，・）：ζ（・）ζ（亡）イ（ヅ十亡），・≧2 （2．3）
ζMτ，・（ヅ，・一1，左十1）十ζM・，・（グーユ，・，左十1）＝ζMτ，・（・，・，左），ヅ≧1，・≧1（2・4）
2．2 TomheimとMorde11
以下，Tomheim［191による結果をまとめる．
Theorem2．2（Tomheim［191，Theorem1）．
ζMτ，・（上1，1，0）：・・，ζM・・，。（上1，0，1）＝・・，ζ〃T，・（η，0，0）：・・．
Theorem2．3（Tomheim［19］，Theorem2）．nを3以上の整数とすると，
n−2
ζ岬（1，1，上2）一（上1）ζ（η）一Σζ（α）ζ（卜α）， （2・5）
α＝2肌．2
／卿（卜・，・，1）一1（（叶1）／（肌）一Σl／（1）／（べ一1）），（…）
二：l
／一乃。（・，・，上1）一1（（上1）／（η）一Σ／（α）／（∴））．（・。・）
α＝2
Theorem2．4（Tomheim［19］，Theorem3）．
ζMT，。（α，卜α一1，1）
α η一2
斗1）α（Σ（一・）l／（1）／（η一1）・1Σ／（1）／（上1）一芸（叶1）／（η））・
乞＝2 ゴニ2
今後，［mlをmを超えない最大の整数とする．
4
Theorem2．5（Tomheim［191，Theorem4）川を奇数，すなわちη＝2m＋1，ま
たα＞η／2とすると，
ζM・τ，。（α，η一α一2，2）
1肌／21
一（一・）α（・1一・・一1）（Σ／（・／）／（卜・1）一士（叶・）／（η））
ん＝1 α
・（一1）αΣ（一1）4（α一1・・）ζ（1）ζ（上1）・
卜m＋1
Theorem2．6（Tomheim［19］，Theorem5）．
η＞1のとき，ζMT，2（0，0，肌）＝ζ（η一1）一ζ（η）．
Theorem2．7（Tomheim［19］，Theorem6）．nを偶数，すなわちη；2mのとき，
1
ζM。，。（m，0，m）＝一（ζ（m）2一ζ（2m））．
2
場emma2．8（Tomheim［191，Lemma3）．α：2，＿，η一2に対し，
1
ζ〃，・（α，0，卜α）：一仏十ム、．
2
ただし，
べさ）（一1ゾゴ（（、1ゴ）・（、㌃11））／小一・1）・
また工、はζ（2），．．．，ζ（η）を含む多項式で，m：［η／21である．
Lemma2．9（Tomheim［19］，Lemma4）．
‡（∵11）ん一ξ伽（叶・1）・
ただし，
α＜η一2ゴ もしくは，
ゴ＞α，ゴ＞η一2α なら，6、ゴ＝0である．
最終的にTomheimは次のような結論にたどり着くことができた．
Theorem2．10（Tomheim［191，Theorem7）．r，8が0以上の整数で，ηが3以上
の奇数のとき，ζMT，2（ザ，8，η＿ザ＿8）はζ（ゴ）（ゴは2≦ゴ≦ηを満たす整数）の有理 係数多項式で表現できる．
1958年，Tomheimとは独立に，Morde11［11］は次の級数を考えた．
Σ・／1・…1・（1・・…・1・・α）（1・・…十1・十α・・）
〜1，、．．，王r
・（1。十…十1、十α十・）．
ただし，和は1≦14＜oo （乞：1，．．．，ヅ）を満たす整数1台の集合（11ゾ．．，1、）すべて
にわたる．またヅと8はそれぞれr≧！，8≧0を満たす整数で，αはα＞イを満 たす実数である．
特に彼は
oo
1
エξユ111。（11・1。）＝2ζ（3）
を示し，ここから彼は次の結論に達した．
Theorem2．11（Morde11［11］）．整数rがr≧1を満たすとき，
oo
1
え1m仲（m・η）加；へ （2．8）
ただし，ん、は有理数である．
Examp1e2．12．
1
ζM。，。（2，2，2）＝一π6．
2835 19
ζ〃。，。（4，4，4）二 π12 273648375
2．3 さらなる明示公式
1985年，Subbarao−Sitaramachandrarao［131は次の関係式を得た．
Theorem2．13（Subbarao−Sitaramachandrarao［131，Theorem4．1）．
m，η，ρ∈Z＞oに対し，
ζM・。，。（2m，2η，2ρ）十ζM・，・（2η，2ρ，2m）十ζ〃・，・（2ρ，2m，2η）
一（。、）1（肋）1λ（…）／・（γ）・η（2㌘）／
・（2m＋2η一2・一1）！（2・）！ζ（2ヅ）ζ（2m＋2叶2ρ一2・）．
6
この定理から，Morde11の式（2．8）のさらなる明示公式を得た．
ζM。，。（2m，2m，2m）
一。（（券、正（㌘）（・・）一（・・一ト！）帆（・・一が）（・・）
次に，Huard−Wi11iams−Zhang［2］（1996年）によるζMT，2（r，8，亡）の明示公式に関 する結果をまとめる．
Theorem2．14（Huard−Wi11iams−Zhang［21，Theorem1）．
NをW≧3を満たす奇数とする．そのとき乞＝1，．．．，N−2について，
／一（叶1）一（一11㌻］（∵1■1）／（・1）／（・一・1）
・（一11貫（∵）／（・1）／（・一・1）・／（・）／（・）・
Theorem2．15（Huard−Wi11iams−Zhang［21，Theorem2）．
NをW≧3を満たす奇数とする．r，8を
1≦r＋8≦N−1，r≦W−2，8≦W−2
を満たす負でない整数とする．
1州一（一・1［n）ρコ（N■㌃1−1）／（・1）／（ト・1）
・（一・1旨（㌻二∵）／（・1）／（・一・1）
と置くと，
ζM。，。（ヅ，・，N一・一・）＝亙W（・，・）十伽（・，・）・
Examp1e2．16．
ζM。，。（1，五，3）：4ζ（5）一2ζ（2）ζ（3），
ζM・。，。（2，1，4）：一5ζ（7）十3ζ（2）ζ（5），
ζM・・，。（3，3，1）：4ζ（7）一2ζ（2）ζ（5）．
Theorem2．15でr＝8＝亡；2ん十1（ん≧o）とおくと，次の式が得られる．
ζ〃・，・（2ん十1，2ん十1，2ん十1）
一一・ξ（4㌧1＋1）／（・1）／（・／一・1・・）（…）
さらに彼らはSubbarao−Sitaramachandraraoが与えた式（2．9）よりシンプルな 明示公式を得た．
／一（・榊）一1ξ（4㌃㌃1）／（・1）／（l／一・1）・
この式と（2．10）をまとめると次の定理が得られる．
Theorem2．17（Huard−Wi11iams−Zhang［21，Theorem3）．
r＞1に対し，
／一〜一、十姜．1、旨（㌃㌃1）ψ）／（H）
Remark2．18．r＋8＋亡＝Nが偶数のときのζMT，2（r，8，亡）の明示公式を与える ことは難しい問題となっており，下の表のような少数の事例にとどまっている．
r 8 亡 備考
0 0 N r加。ザθm2．6
r N−r 0 式（2．2）
1 1 N−2 式（2．5）
1 0 W−1 式（2．7）
r N一ツー1 1 珊eoグem2．4
W／2 O N／2 肋eoザem2．7
W／3 N／3 W／3 式（2．9）
市／3 N／3−1 W／3＋1 式（2．4）
また，ζM−T，2（乞，0，W一）に関しても同様である．
Examp1e2．19．W＝4のとき，
1 3
ζM・。，・（1，0，3）＝一ζ（4），ζM。，・（2，0，2）：一ζ（4）・
4 4 N＝6のとき，
1 3 4
ζ岬（1，・，・）rζ（・）2・互ζ（・），ζ・η・（・，・，・）一ζ（3）し喜ζ（6），
1 1 25
ζ〃。，。（3，0，3）：一ζ（3）2一一ζ（6），ζM乃。（4，0，2）：一ζ（3）2＋一ζ（6）．
2 2 12 8
Remark2．20．［坤の論文の最後で，二つの級数
R（r，8，亡）
3（r，8，τ）
o。 （一1）m
：＝ ﾎ1市（m・η）ポ
o。 （一1）m＋れ
：＝ ﾌ1州（m・η）1
は，ζ（ゴ）（ゴは2≦ゴ≦肌を満たす整数）の有理係数多項式で表現できるか否かに ついて問題提起されていたが，この問題はTsumuraのu−methodによってすでに 解決されている（［ノ51岬）j
Theorem2．21（Tsumura［15］）．自然数んに対して，
五（2ん十1，2ん十1，2ん十1）
一一汁1ｳ（4ん■ガ）／（・1）／（・／一・1・・）・・州）
一4（・一㍗／（・・一ル馳甘㌃
ただし，ρ∈｛0，1｝に対して，
伽）一 ￨！（・出）薫（2m＋1∴■2η）
×ψ（2ん十2m−2ρ十3＋2リー2η）
（一1）η（π／2）2η十ρ
（2η十ρ）！
であり，また
！（・）一 ﾌ（。≒㌦
ψ（5） ＝ （1−2−8）ζ（8）
である、
Examp1e2．22．
253 2545 R（3，3，3）二一π2ζ（7）一一ζ（9），
256 256 2039 285565
R（5，5，5）＝ π4ζ（1！）十 π2ζ（13）一 18432 24576
2056257
ζ（15）．
16384
Theorem2．23（Tsumura〔16］）．自然数ん，1，んがん十1＋ん≡1（mod2）を満たす
とき，
舳）一（一1）O㌣lll■1）1（・！）1（用・／一・！）
・（一1）！岩（Z＋仁1グ）1（・／）／（用・／一・1）
1（ト1）／21
−2Σφ（2ゴ）
卜O
・／（一1）ん着1（・！）㌻）／2］（ん十仁㌶†1）
×ζ（ん十Z＋ん＿2ゴ＿2ρ＿2μ）
（乞π）2μ
（2μ十1）！
・（一1）五
ｹ1（・！）工（エ■ξ）／2］（Z＋1二㌶†1）
・／（／・1・ゲ・ゾ・1一・1）（讐）一／
Examp1e2．24．
8（1，2，2）
3（2，4，1）
3（3，5，1）
1 17
一ζ（3）π2一一ζ（5），
16 32
7 5 129
一ζ（3）π4＋一ζ（5）π2一一ζ（7），
960 32 64
7 4 21 2769
一一ﾄ（5）π一一ζ（7）π十一ζ（9）．
768 128 256
10
3 主結果
Witten［20］の数理物理的な考察から，Zagier［21］は半単純Lie環に付随するWit−
tenゼータ関数と呼ばれるものを定義した．Riemannゼータ関数は51（2）に付随 し，Morde！1−Tomheim型の二重ゼータ関数は51（3）に対応している．
その観点からKomori−Matsumoto−Tsumura［51によって，その部分和をとって 合同条件をつけた
1
／㍍か，1）一Σ州（。十、）l
m，η≧1 肌…η（mod3）
が定義され，次が得られた．
Theorem3．1（Komori−Matsumoto−Tsumura［4］）．
んを自然数とするとき，ζ沁2（2ん，2た，2ん）∈Qπ6たである．
この結果は｛ζ加2（2ん，2ん，2ん）1ん≧1，ん∈N｝の母関数を考えることで証明され ているが，本論文ではそれとは全く異なる手法を用いて証明する．
主結果
Zagier［211−Nakamura［121によるMorde11の結果（Theorem2．11）の証明の方法を利 用して，このTheorem3．1の別証明を与える．具体的に，Bemou11i多項式を用い て，この二重ゼータ値の明示的な計算方法を与える．
3．1 Theorem3．1の別証明
このTheorem3．1の別証明のために，次の定理と命題を用いる．（［11を参照）
Theorem3．2．んを自然数，」｛ ｝を の小数部分とするとき，
珊）一一（ふ芦 （・1）
η≠0
がん≧2ならばすべての実数 について，ん：1ならば ￠Zに対して成り立つ．
ただし，域（ ）はBemou11i多項式，すなわち
十1
∫ 域（μ）ψ：〆
を満たす唯一の多項式である．例えば，
B。（ ）＝1，
1 Bユ（ ）：卜一，
2 1
B。（・）＝・2一・十一， （3．2）
6 3 1 B。（工）：・3一一・2＋一・，
2 2 1 B。（工）＝・4−2・3＋・2一一，
30 5 5 1 B。（・）：π5一一・4＋一・3一一・，
2 3 6
6 ． 5， 12 1 B6（ ）＝ 一3 十一 一一 十r 2 2 42
また（3．1）の右辺の和はηが0でない整数全体をわたることを意味する．ただし ん；1のとき右辺の無限和は
W 2π包η
担Σe，
n討
と理解する、た≧2ならば式（3．1）g右辺は絶対かつπについて一様に収束する．
Proposition3．3．ρ，q，rは正の偶数とする．このとき，
1
Q（舳ヅ）一Σmρ、。（m＋、）・∈Qπρ十q打 雌鴻
Proposition3．3で1：一（m＋n）とおいて1を定める、Q（ρ，q，r）を積分表示す
ると，
Q（ρ，q，r）： 1 Σ m、、、z，
m，η，1∈Z m，η，1≠O，m＋η十J＝O
一、えゾ缶㌦
m，n，1≠O
一∫、∵箒㌦
m，肌，！≠0
一㍍宇ξ芋ξ芋ぬ
γη。≠O n≠O ！≠O
一∫（ 1）キ11件τ洲）耳（せ／）州）ぬ （3．3）
12
Theorem3．1の別証明
ω＝e2π乞／3として
ωゴ（昨η）
ぴ（川， ）＝肌果、。榊（・・小（H1，2）
m＋η≠O とおく．特にゴ；0のときは，
Q＊（ρ，q，r；1）：Q（ρ，9，r）．
ここで，次の補題を与える．
Lemma3．4．
2
1
Σぴ（舳1，ω3）一3Σ1。ρ、。（。十、）・ （3・4）
ゴ＝O ητ，汎ヲ60，η①十肌≠O
m…η（mod3）
Proof．1＋ω十ω2＝0を利用すると，
2 ．・ 1＋ω（・一η）十ω2（…）
Σぴ（舳ψ）一Σ 。。、。（。十、）・
ゴ＝O m，η≠0，m＋η≠0
1 −3Σ。ρ、。（。十、）・
m，η≠0，m＋n≠O m≡η（mod3）
となり，Lemma3．4が成り立つ．。
そこで，z＝＿（m＋η）とおくと，
ろ：イ、∵mガ箒÷㌦
一∫Σ〃、㍍、γ伽
μ鴨
＝（一1）「Q＊（ρ，q，グ；ωゴ）
＝Q＊（ρ，q，・；ωゴ）．
他方，ろに関して次の補題を示す．
lLemma3．5．
卜（一1）ｴπげμ（用）耳（H／）叫）い・）
Proof． （3．3）と同様な方法でろを計算すると，
ト∫1Σω3等㎜Σω芋Σe2声・・
η①≠0 n≠O J≠0
一∫1Σe㎞箒十舌）Σe÷）Σe2幕㌦
η↑≠0 η≠O ｛≠O
（■1）キllπ戸仲μ（／工・ξ／）耳（／卜ξ／）恥）伽
なので，Lemma3．5が成り立つ．・
式（3．5）の被積分関数は積分範囲を分ければ有理係数多項式なので，その積分 の値も有理数である．以上から，ろ∈Qπρ十q＋「がわかり，式（3．4）から
2
1
Σ上3Σ1耐、。（。十、）・∈Qπ中
ゴ；O m，η≠0，γπ十肌≠O
m≡れ（mod3）
が成り立つ．また，
Σ 一 Σ・Σ・Σ・Σ （3・6）
m，η≠0 m，η≧1 m≦一1，肌≧1 m≧1，η≦一1 m，η≦一1 m…η（mod3） m＋肌≠0 m＋η≠0 m＋η≠0 m＋η≠0 m…η（mod3） m≡れ（mod3） m≡η（mod3） m…肌（mod3）
1 1
一Σ。ρ、。（。、、）・・Σ（．、）1、。（．、、、）・
肌，η≧1 α，η≧1 m≡η（mod3） 一α十肌≠0
一α…n（mod3）
1 1
・Σ。ρ（．。）。（。、。）・・Σ（．、）ρ（．。）。（．、．。）・
m，6≧1 α，b≧1 m−6≠O ・ 一α一6≠O
m≡一6（mod3） 一α…一b（mod3）
（3．7）
のように（3．6）の第2項でα＝一m，第3項で6：一η，第4項でα＝一m，6：一η として変形した．さらに，（3．7）の第2項，第3項をそれぞれ
α＞η＝》ノ1＝α一η｛
α＜γ乙＝》一8＝η一α
｛ η7＞ん＝今0：η7一た η7＜ん＝÷D：ん一η7 として変形し，さらにρ：q＝r＝2ん（ん∈N）とすると，
1 1
＿、え、。榊（・・η）・1＝6ぶ、・・仰・η）・l
m…n（mod3） m…肌（mod3）
14
（3．8）
となり，（3．8）の右辺∈Qπ舳であることがわかった．
明が完成した．．
これでTheorem3．1の別記
3．2 計算例
ここでは，具体的に軌丁，2（2，2，2），ζ加，2（4，4，4），ζルT，2（6，6，6）の計算を示し，本
論文を締めくくる．
まず，ρ＝q＝r：2の場合を計算する．
ろ一∫1・・（／・・ll）・・（H／）・・（・）ゐ （…）
とすると，ゴ：1のとき，
トl／−／1二1／1；1；l／
H一に1に；l／
なので，
ムー∫1・・（1叶1）・・（／・一1／）・・（・）伽
一∫1／3・・（／叶1／）・・（／・一1／）・・（・）伽
・∫二3・・（／・・l／）・・（／・一1／）・・（・）伽
・！13・・（／叶ル・（1 ・・（・）伽
二J・，・十J1，・十J1，3 としてJ1を求める．（3．2）から，
ト∫1／3・・（・・1）・・（科1）・・（・）伽
一∫1／3［／（・・1）2一（・・1）・l／／（∬・；）2＋1）・ll・
・（・・一・・1）1ゐ
一∫1／3（・・一・・十・・1・・一品・・÷・1土、）曲 53
918540
J1，2，J1，3に関しではそれぞれ， 一1／3：眈， 一2／3＝μ2と変数変換をすれば，
J11と同じ値が出るので，
53 Jl，2＝Jl，3：
918540 したがって，
53 53 53 159
／1； 十 十 ；
918540 918540 918540 918540 ゴ：2については，J1と同様の計算によって，
159 J2＝
918540 また，ゴ：0について，
ゐ一 轤P・・（・）…一9篇。
したがって，
2
243 159 159 561 Σろ一。1。。。。・。1。。。。・。1。。。。一。。。。。。
ゴ＝O
以上から，ρ：q＝r＝2の場合，（3．5），（3．8）から
2 （一1）2＋2去2−2（2π）2・2・2561 Σろ一 。、。，。， 。。。。。。
ゴ：0
561 ＝8π6×
918540
1
−3Σ
。，、。。，。十肌。。m2η2（m＋η）2 m…η（mod3）
1 −18Σ。・、・（。十、）・
m，肌≧1 m≡肌（mod3）
1 187
／ル乃・（2，2，2）一Σ。・、・（。十肌）・一。。。。。。π6 m，肌≧1
m≡η（mod3）
となり，［51の4節で出た値と一致している．
ρ：g＝r二4，6の場合も同様な方法で，Pari−GPを利用して計算すると，
3279473
ζル八・（・，4，4）一。。。。。。。。。。。1。。π12，
、53109402098
如（・，・，・）一。。。。。。。。。。1。。1。。。。。。。。π18
16
Remark3．6．（2．9）の類似として，ζル八2（2ん，2ん，2ん）（ん≧1）の明示公式を導くこ とは可能だが，上で見た通り，場合分けが多く，かなり複雑な形になる．
謝辞．この修士論文の作成にあたり，ご指導を頂いた指導教官の津村博文先生 に感謝致します．さらに論文の副査として助言をいただいた中村憲先生，倉田和 浩先生に感謝致します．また，今年度の集中講義において多重ゼータ関数につい て講義して頂いた松本耕二先生（名古屋大学）に感謝致します．
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