修 士 学 位 論 文

修 士 学 位 論 文

論文題名

多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開の誤差評価

 指導教授 内田 幸寛 准教授 平成

29

年

1

月

10

日 提出

首都大学東京 大学院

 理工学研究科 数理情報科学専攻  学修番号

15878320

氏名 松井 貴弘

目 次

1 ^はじめに 3

2 多重フルヴィッツ・ゼータ関数とその付随する関数 5

2.1

フルヴィッツ・ゼータ関数とガンマ関数と三角関数

. . . . 5

2.2

多重フルヴィッツ・ゼータ関数と多重ガンマ関数と多重三角関数

. . . . 6

3 多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開（先行結果） 7

3.1

多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開について既知の結果

. . . . 7

4 多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開の誤差 9

4.1 R

⁽_α^m)

( _{u; t}

₀

,

t

)

について

. . . . 10

4.2 E

⁽_α^m)

( _{s; t}

₀

,

t

)

について

. . . . 11

5 多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開の誤差評価 14

5.1

^１項目

. . . . 14

5.2

^２項目

. . . . 16

5.3

^３項目

. . . . 19

5.4

^主結果

. . . . 21

6 多重ガンマ関数の対数における漸近展開（先行結果） 22

6.1

多重ガンマ関数の対数における漸近展開について既知の結果（１）

. . . . 22

6.2

多重ガンマ関数の対数における漸近展開について既知の結果（２）

. . . . 24

7 多重ガンマ関数の対数における漸近展開の誤差評価 25

7.1

主結果と多重ガンマ関数の対数における漸近展開の誤差評価について

. . . 25

7.2

^{主結果の系}

. . . . 28

8 ^謝辞 30

1

^はじめに

本論文は多重三角関数を定義する際のもととなる多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展 開の誤差についての研究の成果である．多重三角関数について，

1977

^{年に新谷卓郎がヒル} ベルトの

23

^問題の

12

問目についての論文で２重三角関数を用いており，これを新谷卓郎 や黒川信重が一般化したものが多重三角関数である．ヒルベルトの

23

^問題の

12

^問目とは クロネッカー青春の夢を拡張したもので，代数体

K

^{（有理数体}Qの有限次拡大）に対して，

K

^{の最大アーベル拡大体}

(

^類体

)K

^abを

K

^ab

= _K ( _F

_K

( _K ))

として与える関数

F

K

: K → K

^abを 求める問題である．新谷卓郎はこの

K

が実２次体の場合にアーベル拡大を構成する関数の 候補として２重三角関数を与えたが，現在まで実２次体の場合では解決されていないので ある．この有理数体の場合はクロネッカーとウェーバーが，クロネッカーの青春の夢であ る虚２次体の場合は高木貞治が解決した．他にもリーマン・ゼータ関数について多重三角 関数を用いて表すことができており，

ζ ( 3 )

などの値を調べる上で重要な手掛かりになるこ とが期待されている．

定義についてはまず

r ∈

Z≥0，

s ∈

C^，ω

= ( _ω

₁，

· · ·

^，

ω

r

)

，

ω

1，

· · ·

^，

ω

r

∈

R>0，

x > 0

としたとき，多重フルヴィッツ・ゼータ関数を

ζ

r

( _{s, x,}

ω

) = ∑

n≥0

(

n

·

^ω

+ _x )

^−s

= ∑

n1,···,nr≥0

( _n

₁

_ω

₁

+ · · · + _n

_r

_ω

_r

+ _x )

^−s

と定義し，多重ガンマ関数を

Γr

( _x,

ω

) = exp ( ∂

∂s ζ

r

( _{s, x,}

ω

)

s=0

)

と定義する．さらに

|

^ω

| = _ω

₁

+ · · · + _ω

_rとしたとき，多重サイン関数を

S

r

( _x,

ω

) =

_Γr

( _x,

ω

)

⁻¹_Γr

( |

^ω

| − x,

ω

)

^(−1)r

と定義する

[4, pp. 34–38]

．このように多重三角関数を定義する際に多重フルヴィッツ・ゼー タ関数がもととなっている．さらに多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開について，

B

⁽_l^r)

( _x,

ω

)

を

ω

1

· · · ω

r

t

^r

e

^xt

( e

^ω1t

− ¹ ) · · · ( e

^ωrt

− ¹ ) =

∑

∞ l=0

B

_l^(r)

( _x,

ω

) l! t

^l

によって与えられる実数としたとき，多重フルヴィッツ・ゼータ関数について次のような 漸近公式が知られている．

定理.

(K. Onodera [2]) k, α ∈

Z≥0，

m ∈

Z_≥1とし，

t

0

∈

R^，

x, t

1

, t

2

, · · · , t

m

∈

R>0，

s ∈

C

\

^{1,

· · · ^, m}

^とする．t

= ( _t

₁

, · · · ^, t

m

)

とおき，

| t

0

| ^, t

1

, · · · ^, t

m

↓ ⁰

^{としたとき，次}

の漸近展開を得る．

t

1

· · · t

m

∂

^k

∂s

^k

ζ

m

( _{s, x} + _t

₀

,

t

)

=

∑

α l=0

( − 1 )

^l

_B

⁽_l^m)

( _t

₀

,

t

) l!

∂

^k

∂s

^k

(

Γ

( _s + _l − m )

Γ

( _s ) ^x

−s−l+m

)

+ _O (

j=

max

0,···,m

| t

j

|

^α+1

)

．

本論文では上定理の誤差

O (

j=

max

0,···,m

| t

j

|

^α+1

)

について，次の多重ガンマ関数の漸近展開 の評価が得られる特別な場合で明示評価を与えた．

多重ガンマ関数については次のような漸近公式が知られている．

系. ^（

K. Onodera [2]

^）

H

0

= 0

^，

H

n

=

∑

n k=0

1

k

^とする．

a ∈

R

, α ∈

Z≥1とし，

x →

∞^{としたとき，}

log

Γr

( _x + _a,

ω

) =

∑

r l=0

( − 1 )

^r

l! ( _r − l ) !

B

_l^(r)

( _a,

ω

) ω

1

· · · ω

r

( − ^log x + _H

_r−l

) _x

^r−l

+

r+_α l=

∑

r+1

( − ¹ )

^l

( l − r − ¹ ) ! l!

B

⁽_l^r)

( _a,

ω

) ω

1

· · · ω

r

x

^r−l

+ _R

⁽_α^r)

( _{a, x,}

ω

)

．

ただし

R

⁽_α^r)

( _{a, x,}

ω

) = _O ( _x

^−α−1

)

．

本論文の主結果の系として，次の結果が得られた．

主結果の系

上の系の誤差

R

⁽_α^r)

( a, x,

ω

)

において，

α > r − 1

^とする．

B

l をベルヌーイ数とし，

l = _l

₀

+ · · · + _l

_r，

l ⟨ i ⟩ = _l

₀

+ · · · + _l

_i−1

+ _l

_i+1

+ · · · + _l

_rとお くと，

R

⁽_α^r)

( a, x,

ω

)

≤ _ω ^x

^r

1

· · · ω

r

∑ ^{· · ·} ∑

0≤l₀,···,lr≤r+_α r+_α+1≤l≤(r+1)(r+_α)

{ B

l₁

· · · B

lr

l

0

! · · · l

r

!

a x

^l0

∏

1≤i≤r

( ω

i

x )

li

Γ

( − r + l ) }

+ ^x

r

ω

1

· · · ω

r

2 |

^a_x

|

^r+α+1

( _r + _α + 1 ) ! ∑ ^{· · ·} ∑

0≤l₁,···,lr≤1

{

1≤

∏

i≤r

( ω

i

x )

li

Γ

( _α + 1 + l ⟨ 0 ⟩ ) }

+ ^x

r

ω

1

· · · ω

r

max {(

1 1 − ^e

⁻¹

+

r+_α l

∑

=0

| B

_l

| l!

) , π

6 1 ( _2π )

^r+α

}

× ∑

^r

j=1

{( ω

j

x

)

r+_α+1

∑ ^{· · ·} ∑

0≤l0,···,lj−1≤r+_α 0≤l_j+1,···,lr≤1

( B

_l1

· · · B

_lj−1

l

0

! · · · l

j−1

!

a x

^l0

∏

0≤i≤r i̸=j

( ω

i

x )

li

Γ

( _α + 1 + _l ⟨ j ⟩ ) )}

.

2

多重フルヴィッツ・ゼータ関数とその付随する関数

この章では

[4]

^，

[5]

に従って，多重フルヴィッツ・ゼータ関数の定義，多重ガンマ関数 の定義，多重サイン関数の定義について説明する．

2.1

フルヴィッツ・ゼータ関数とガンマ関数と三角関数

この節ではフルヴィッツ・ゼータ関数とガンマ関数の定義，さらに三角関数との関係に ついて説明する

[4, pp. 2–26]

^，

[5, p.6]

^．

s ∈

C^，

Re ( s ) > 1

^，

x > 0

としたとき，フルヴィッツ・ゼータ関数を

ζ ( s, x ) =

∑

∞ n=0

( n + x )

^−s で定義する．特に

x = 1

としたときリーマン・ゼータ関数

ζ ( _s ) =

∑

∞ n=1

n

^−s

と一致する．さらに

Re ( _s ) > 0

としたとき，ガンマ関数を Γ

( _s ) =

∫ _∞

0

e

^−t

t

^s−1

dt

で定義する．ガンマ関数をすべての複素数へと解析接続するためには Γ

( _s ) = ¹

s

Γ

( _s + 1 )

という漸化式を用いる．フルヴィッツ・ゼータ関数においてもガンマ関数による積分表示

ζ ( _{s, x} ) = ¹

Γ

( _s )

∫ _∞

0

e

^−xt

t

^s−1

1 − ^e

^−t

^dt

を用いてフルヴィッツ・ゼータ関数を

Re ( _s ) ≤ ¹

へ解析接続することが出来る．さらにフ ルヴィッツ・ゼータ関数の

s = 0

における微分とガンマ関数を結びつける次のような公式 が知られている．

定理2.1.

(

^{レルヒの公式}

[4, p.13]) exp

( ∂

∂s ζ ( _{s, x} )

s=0

)

=

^Γ

( _x )

√ 2π .

この公式を用いることでガンマ関数を

Γ

( _x ) = √ 2π exp

( ∂

∂s ζ ( _{s, x} )

s=0

)

と表すことができる．この式から次節で多重ガンマ関数を定義する．さらにガンマ関数と 三角関数についても，

Γ

( _x )

_Γ

( 1 − x ) = ^π sin ( _πx )

という関係式がオイラーによって示されており，

sin ( _πx ) = ^π

Γ

( _x )

_Γ

( 1 − x )

という関係式から次節で多重サイン関数を定義する．

2.2

多重フルヴィッツ・ゼータ関数と多重ガンマ関数と多重三角関数

この節では多重フルヴィッツ・ゼータ関数，多重ガンマ関数，多重三角関数の定義につ いて説明する

[1]

^，

[4, pp. 34–38, pp. 102–103]

^，

[5, pp. 3–8]

^．

r ∈

Z≥0，

s ∈

C^，

Re ( _s ) > _r

，ω

= ( _ω

₁，

· · ·

^，

ω

r

)

，

ω

1，

· · ·

^，

ω

r

∈

R>0，

x > 0

^としたと き，多重フルヴィッツ・ゼータ関数を

ζ

r

( _{s, x,}

ω

) = ∑

n≥0

(

n

·

^ω

+ _x )

^−s

= ∑

n1,···,nr≥0

( n

1

ω

1

+ · · · + n

r

ω

r

+ x )

^−s

で定義する．

r = 1

^，ω

= _ω

₁

= 1

^のときは

ζ

1

( _{s, x, 1} ) =

∑

∞ n=0

( _n + _x )

^−s

となり，フルヴィッツ・ゼータ関数と一致する．この多重フルヴィッツ・ゼータ関数はフ ルヴィッツ・ゼータ関数のときと同様に絶対収束域

Re ( _s ) > _r

において有効なガンマ関数 による積分表示

ζ

r

( _{s, x,}

ω

) = ¹

Γ

( s )

∫ _∞

0

e

^−xt

t

^s−1

( 1 − e

^−ω1t

) · · · ( 1 − e

^−ωrt

) ^dt

を用いて，絶対収束域

Re ( _s ) > _r

からすべての複素数

s

へと解析接続することができ，

s = 0

においては正則である．本題の多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開はこの積分表示 から始めていく．

このことと，定理2.1^{から多重ガンマ関数を} Γr

( _x,

ω

) = exp

( ∂

∂s ζ

r

( _{s, x,}

ω

)

s=0

)

と定義する．両辺対数をとることで，

log

Γr

( _x,

ω

) = ^∂

∂s ζ

r

( _{s, x,}

ω

)

s=0

と表すことが出来る．さらにオイラーの公式から

|

^ω

| = _ω

₁

+ · · · + _ω

_rとしたとき，多重 サイン関数を

S

r

( _x,

ω

) =

_Γr

( _x,

ω

)

⁻¹_Γr

( |

^ω

| − x,

ω

)

^(−1)r

と定義する．とくに，

r = 1

^，ω

= _ω

₁

= 1

のときは，多重ガンマ関数の定義から，

S

1

( _{x, 1} ) = 2 sin ( _πx )

となっていることがわかる．このように多重サイン関数を定義することで元の三角関数と 同様に周期性や

N

倍角公式，対称性，斉次性，原点で１位の零点をもつなど様々な性質 が確認できる．

3

多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開（先行結果）

この章では

[2]

に従って，本題の多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開について説 明する．

3.1

多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開について既知の結果

この節ではフルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開についての既知の結果について説明す る．そのためにまず有理数

B

l と実数

B

⁽_l^r)

( _x,

ω

)

を定義する

[3, pp. 19–20]

^，

[2]

^．

ベルヌーイ数

B

lを

te

^t

e

^t

− ¹ =

∑

∞ l=0

B

l

l! t

^l

によって定義される有理数とする．

B

lは

l

^が

1

^{を除いた奇数のとき}

B

l

= 0

^となり，

l

^が

0

を除いた偶数についても

l ≡ ⁰ ( mod 4 )

のとき

B

_l

< 0

^，

l ≡ ² ( mod 4 )

のとき

B

_l

> 0

^と なる性質をもつ．具体的な値は以下の通りである．

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · ·

B

n

1

¹₂ ¹₆

0 −

₃₀¹

⁰

₄₂¹

⁰ −

₃₀¹

⁰

₆₆⁵

· · ·

さらに

x ∈

R^{としたとき，}

B

⁽_l^r)

( _x,

ω

)

を

ω

1

· · · ω

r

t

^r

e

^xt

( e

^ω1t

− ¹ ) · · · ( e

^ωrt

− ¹ ) =

∑

∞ l=0

B

_l^(r)

( _x,

ω

) l! t

^l によって定義する．

B

⁽_l^r)

( _x,

ω

)

は

B

⁽_l^r)

( _x,

ω

) = ∑ ^{· · ·} ∑

l0,l1,···,lr∈Z≥0

l0+l₁+···+lr=l

l!

l

0

! · · · l

r

! B

l₁

· · · B

lr

x

^l0

ω

₁^l1

· · · ω

_r^lr

(1)

となる．

この

B

⁽_l^r)

( _x,

ω

)

を用いた多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開について次のような 展開がある．

定理3.1. ^（

K. Onodera [2]

^）

k, α ∈

Z≥0，

m ∈

Z≥1とし，

t

0

∈

R^，

x, t

1

, t

2

, · · · ^, t

m

∈

R>0とする。t

= ( _t

₁

, · · · ^, t

m

)

とおき，

| t

0

| ^, t

1

, · · · ^, t

m

↓ ⁰

としたとき，次の漸近展開を得る．

1. s ∈

C

\

^{1,

· · · ^, m}

^{としたとき，}

t

1

· · · t

m

∂

^k

∂s

^k

ζ

m

( _{s, x} + _t

₀

,

t

)

=

∑

α l=0

( − 1 )

^l

_B

⁽_l^m)

( _t

₀

,

t

) l!

∂

^k

∂s

^k

(

Γ

( _s + _l − m )

Γ

( _s ) ^x

−s−l+m

)

+ _O (

j=

max

0,···,m

| t

j

|

^α+1

)

．

2. s ∈

C

\

^{1,

· · · ^, r + _m}

としたとき，

t

1

· · · t

m

∂

^k

∂s

^k

ζ

r+m

( _{s, x} + _t

₀

, (

ω,t

))

=

∑

α l=0

( − ¹ )

^l

_B

⁽_l^m)

( _t

₀

,

t

) l!

∂

^k

∂s

^k

(

Γ

( _s + _l − m )

Γ

( _s ) ^ζ

^r

( _s + _l − m, x,

ω

) )

+ _O (

j=

max

0,···,m

| t

j

|

^α+1

)

．

証明. ^定義から

ζ

0

( _{s, x} ) = _x

^−sであるので

2

^{のみ示す．}

ζ

r+m

( _{s, x} + _t

₀

, (

ω,t

)) = ¹

Γ

( _s )

∫ _∞

0

e

^−xu

u

^s−m−1

∏

r j=1

( 1 − ^e

^−ωju

)

( − u )

^m

e

^−t0u

( e

^−t1u

− ¹ ) · · · ( e

^−tmu

− ¹ ) ^du

と

Re ( _s ) > _r + _m

の範囲で積分表示することが出来る． ^{(−u)me−t0u}

(e^−t1u−1)···(e^−tmu−1)について，

F

_α

( _t ) = e

^−t

− ∑

^α

l=0

( − t )

^l

l!

^，

G

_α

( _t ) = − t

e

^−t

− ¹ − ∑

^α

l=0

B

l

l! ( − t )

^l とおくと，

e

^−tと_e−⁻t−^t1のテイラー展開から

F

_α

( _t ) = _O

_α

(( 1 + e

^−t

) | t |

^α+1

)

^∀

_t ∈

R

G

_α

( _t ) = _O

_α

( _t

^α+1

)

^∀

_t ∈

R>0

であるので，

R

⁽_α^m)

( u; t

0

,

t

)

をある関数として，

t

1

· · · t

m

( − u )

^m

e

^−t0u

( e

^−t1u

− 1 ) · · · ( e

^−tmu

− 1 )

= (

α

l

∑

₀=0

( − t

0

u )

^l0

l

0

! + F

_α

( t

0

u ) )

m

∏

j=1



 ∑

^α

l_j=0

B

l_j

l

j

! ( − t

j

u )

^lj

+ G

_α

( t

j

u )





=

∑

α l=0



 

 ∑ ^{· · ·} ∑

l0,l1,···,lm∈Z>0

l₀+l₁+···+lm=l

B

_l1

· · · B

_lm

l

0

!l

1

! · · · l

m

! t

0l0

t

1l1

· · · t

mlm



 

 ( − u )

^l

+ _R

⁽_α^m)

( _{u; t}

₀

,

t

)

と表すことが出来る．この

R

⁽_α^m)

( _{u; t}

₀

,

t

)

は

u > 0

^{において，}

R

⁽_α^m)

( _{u; t}

₀

,

t

) ≪

m,α

( 1 + e

^−t0u

) ∑ ^{· · ·} ∑

α0,α1,···,αm∈Z≥0

α+1≤α0+_α1+···+_αm≤(m+1)(_α+1)

( | t

0

| u )

^α0

( _t

₁

_u )

^α1

· · · ( _t

_m

_u )

^αm

である．

E

_α^(m)

( _{s; t}

₀

,

t

) = ¹

Γ

( _s )

∫ _∞

0

R

⁽_α^m)

( _{u; t}

₀

,

t

) e

^−xu

u

^s−m−1

∏

r j=1

( 1 − ^e

^−ωju

)

du

とおくと，

t

1

· · · t

m

ζ

r+m

( _{s, x} + _t

₀

, (

ω,t

))

=

∑

α l=0

( − 1 )

^l

_B

⁽_l^m)

( _t

₀

,

t

) l!

1

Γ

( _s )

∫ _∞

0

e

^−xu

u

^s+l−m−1

∏

r j=1

( 1 − ^e

^−ωju

)

du + _E

⁽_α^m)

( _{s; t}

₀

,

t

)

=

∑

α l=0

( − 1 )

^l

_B

⁽_l^m)

( _t

₀

,

t

) l!

Γ

( _s + _l − m )

Γ

( _s ) ^ζ

^r

( _s + _l − m, x,

ω

) + _E

_α^(m)

( _{s; t}

₀

,

t

)

であるので，

Re ( _s ) > _r + _m − α − ¹

^{において，}

E

_α^(m)

( _{s; t}

₀

,

t

)

は正則で，

| t

0

| ^, t

1

, · · · ^, t

m

↓ ⁰

とすれば，

∂

^k

∂s

^k

E

_α^(m)

( s; t

0

,

t

) = O (

j=

max

0,···,m

| t

_j

|

^α+1

)

．

4

多重フルヴィッツ・ゼータ関数の漸近展開の誤差

この章では

R

⁽_α^m)

( _{u; t}

₀

,

t

)

と

E

⁽_α^m)

( _{s; t}

₀

,

t

)

について詳しく述べる．

4.1 R

⁽_α^m)

( u; t

₀

, t )

^について

この節では

R

⁽_α^m)

( _{u; t}

₀

,

t

)

について説明する．

定理3.1^の証明で

R

⁽_α^m)

( _{u; t}

₀

,

t

)

は

(

α

l

∑

0=0

( − t

0

u )

^l0

l

0

! + _F

_α

( _t

₀

_u ) )

m

∏

j=1



 ∑

^α

l_j=0

B

l_j

l

j

! ( − t

j

u )

^lj

+ _G

_α

( _t

_j

_u )





=

∑

α l=0



 

 ∑ ^{· · ·} ∑

l0,l1,···,lm∈Z>0

l₀+l₁+···+lm=l

B

_l1

· · · B

_lm

l

0

!l

1

! · · · l

m

! t

0l₀

t

1l₁

· · · t

mlm



 

 ( − u )

^l

+ _R

⁽_α^m)

( _{u; t}

₀

,

t

)

であったので，左辺を展開したときに現れる右辺の第１項目を除いたものとなる．

(

α l

∑

₀=0

( − t

0

u )

^l0

l

0

! + _F

_α

( _t

₀

_u ) )

m

∏

j=1



 ∑

^α

l_j=0

B

_lj

l

j

! ( − t

j

u )

^lj

+ _G

_α

( _t

_j

_u )





を展開するが，

∏

m j=0

( _a

_j

+ _b

_j

) =

∏

m j=0

a

j

+

∑

n j=0

a

0

a

1

· · · a

j−1

b

j

∏

n j=k+1

( _a

_k

+ _b

_k

)

という展開式にそれぞれ

a

0

=

∑

α l0=0

( − t

0

u )

^l0

l

0

! b

0

= _F

_α

( _t

₀

_u ) a

j

=

∑

α lj=0

B

l_j

l

j

! ( − t

j

u )

^lj

b

j

= _G

_α

( _t

_j

_u )