非等温乱流場の熱伝達問題における 渦拡散係数について

非等温乱流場の熱伝達問題における     渦拡散係数について

福地 信義＊

On the Heat Convection with Approximate Eddy Diffusivity        in the Non−Isothermal Turbulent Flow

by Nobuyoshi FUKUCHI＊

  The flow in enclosed non−isothermal space such as air−conditioned room is considered desirably as non−isotropic turbulent flow due to gravitational effects． In this case， the Reynolds stresses and the heat flux terms in the transport equations induced by time−mean should be treated as non−isotropical values including buoyant effects of a gravitat三〇nal field．

  The approximate method based on the expression by Launder et a11）2）is used in the analyses of this paper． N amely， the Reynolds stresses and the heat flux terms are expressed algebraically by the use of buoyant effects in addition to eddy kinematic viscosity and eddy diffusivity of isotropic turbulent flow3）．       ，

  In order to investigate the justice of this method， the calculation about free shear flow， jets and turbulent flow in pipe are carrled out。 The calculated flow velocity and air temperature by three dimensional analyses of finite element method are compared with the measured values in air conditioning chamber of container type．

1．はじめに

 空調時の室内のように，乱流状態の空気流によりそ の温度環境をコントロールする閉鎖空間において，気 流速が比較的遅いなどの理由により空間内の空気が完 全に混合されない場合には非等温空間となり，浮力の 影響を含めた非等方性乱流場の熱伝達問題として解析 する必要がある．

 乱流場の解析を行うための基礎式として一般に運動 量と温度の輸送方程式に時間平均を施して用いるが，

この操作により輸送方程式の中にレイノルズ応力と乱 流熱流に関する項が現われる．Launderら1）2）はこれら を求めるために，浮力の影響を含めた近似化された輸

送方程式である連立方程式を直接解く複雑な方法を提 案している．

 本論文では解法の簡易化を図るためにレイノルズ応 力と乱流熱流を，いわゆる2方程式モデル3）を解いて 求めた，等方性乱流の渦動粘性係数レ，と渦拡散係数 κ，に非等温のための浮力の影響を代数的に付加する ことにより表わし，乱流場の解析に用いる．この乱流 熱流の項により浮力の影響を考慮した近似的な渦拡散 係数を得ることができる．

 これらの近似式の妥当性を調べるために，自由せん 断流，噴流および管内流について計算を行い，近似式 のもつ問題点について検討する．また，これらの近似 昭和58年4月30日受理

＊構造工学科（Department of S‡ructural Engineering）

式を用いて熱伝達解析を行い，コンテイナー型の恒温 室で行った流速分布および温度分布に関する計測値と

・の比較を行う．

2．非等温乱流場の理論的解析

 速度，圧力および温度をそれぞれ時間に関する平均 値（記号 で示す）と変動成分（記号 で示す）

の和で表わし，次のように書く．

獄∴1留3）｝ （1）

 以下に示す諸式はtensor表示とし，添字については 総和規約に従うものとする．

2．1 レイノルズ応力と乱流急流

 非等温乱流場の解析を行う基礎式として運動量と温 度の輸送方程式を時間平均した式を用いるが，この平 均流の輸送方程式の中にはレイノルズ応力三島と乱 流熱流麟θ の項が現われる．この両者は浮力の影響の ため分子サイズでは等方性でも大きいスケールでは非 等方性となる．

 Launder1）はレイノルズ応力および乱流濁流の輸送 方程式において生産項と消散項が平衡している仮定と 消散運動が等方的である仮定を行い次式を導いている．

（薦一号・δ麺一φ（ハ・一号Pδの／・

一万一φ・暑融艦

    ＋φぜ訓・謙一・鰐艦）

君・≡ s砺激＋癬艦）

   一β（z乙θ 9：ゴ十z43θ 9ガ）

P≡一i磁絵＋β晦）

（2）

ここに，φ＝（1−02）／c1，φ7＝1／c1ア，φア＝φ7（1−02T）

（3）

（4）

（5）

ただし，σは乱流エネルギー，εはエネルギーの粘性消 散率，δガブはKroneckerのデルタである．またβは流 体の体積膨張率であり，gを重力の加速度としん1，κ、

を水平方向，為を鉛直方向（上向きを正）の座標とす ると91＝g2＝0，g3＝一gである．

 なお，PかとPは流れのせん断と浮力による防偽と σの生産を表わしている．Launderは上式中の各定数 を経験的に次のように定めている1）．

 cl＝2．0，02＝0．6，0τ＝1．6， c1τ＝3．2，027＝0．5

 平均流の流速，温度，乱流エネルギーおよび粘性消 散率が決まれば，9元の連立方程式（2），（3＞を解くこと

により，レイノルズ応力と乱流熱流の大きさは決定さ れる．この方法は計算が複雑であり，計算点の多い空 間内の熱伝達解析には適さないので，ここでは（2）式お よび（3）式に基づき，等方性の渦動粘性係数めおよび渦 拡散係数κごを主体として，これに浮力の影響を表わす 項を付け加える．これに平均流の流速勾配と温度勾配 とを結びつけることで，レイノルズ応力と乱流熱流を 陽な形に表現して，乱流場の解析に用いる．

 等方性の乱流におけるレイノルズ応力と乱流直流は 次のように表わされる3）．

  一門一佐（艦＋艦ゴ）一号・δ・ （6）

  一訪一・・鶉    （7）

  ン，＝c。σ2ε一 ， κ，＝レ，／Pγ        （8）

ここに，c。は定数侮0．09）， Pγは乱流プラントル数 であり，ここでは∫）7＝1．0とする．

 完結のため，（2），（3）式の中に浮力の影響が陽の形で 現われる項（陀を含む項）のみを考慮し，島島の中に 陰に含まれる項を無視する4）．さらに（6）〜（8）式を用い

ると次式が得られる．

一鰯一擁（∂循十∂πゴ∂■ゴ ∂κf）一号・δ・一φ暑加

  一万一・艦一φひ・廠誓遼鶏

ここに，

  ρ一一匁齋一型万＋号幽πδ・・

（9）

（1①

（11）

2．2 渦拡散係数

 温度成層をなす可能性のある非等温空間では，一般 に鉛直方向の温度勾配が水平方向のそれより大きいこ とを考慮して，比例係数μを用いて次のように表わ

す．

万艦一・・齋器

（1①式より鉛直方向の乱流熱流は次のようになる．

  一聯一畷＋・轍幾世器

これより

  一万「＋。撚β・器 ただし，B≡曝器

（12）

（13）

（14）

（15）

したがって，浮力の影響を考慮した鉛直方向の渦拡散 係数は次式で表わされる．

  κご3＝κ4（1＋μφτ6τB）       （16）

 水平方向の乱流熱流は（10）式より，

  一万一乃・謡，一万陥器   （17）

と与えられるので，これらと（12）式および（14）式より次の 関係が成り立つ．

一ηk（器）1＋（・諾ア＋1＋，漏（各￡ア〕

      r一・1＋，論（3￡）2（18）

これより，乱流熱流の生産項の水平／垂直方向の比であ

F ^ノ

50

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B 0

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convectiOnd isothermd zone 1 zone _{（（ユ） B一μ・}

1・μ，￠導CヰB

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（16）＼

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一一

O _{熔。領  ！ B}

（b）B−Kt／Kt3

Fig．1 Relations betweenβandμorκ 如3

るμは次のようになる．

   μ＝（1十H）／（1一φナ。塗BH）      （19）

ここに，H一k（鶉）2＋（鶉）2〕／（器ア （20）

 （19）式による．8一μの関係および（16）式による，8一 κ、拓3の関係をFig．1に破線で示す．レイノルズ応力 らに関する輸送方程式の中ではその生産項と消散項が 平衡するという仮定があるが，実際の計算においてB の絶対値またはHの値が極端な値をとると，必ずしも この仮定が成り立たないと考えられるため実線のよう に修正して計算に用いている．

2．3 σおよびεの輸送方程式

 浮力の影響がない場合の渦動粘性係数に相当する（8）

式で与えられるレ，は，平均流の流速と温度が与えられ ると，次の乱流エネルギーσと粘性消散率εに関する 輸送方程式を解くことにより求められる．

  寄＋∂亀（απ ）一∂睾｛（窒＋・）募｝

    ＋佐（∂循十∂脇∂κゴ ∂銑）饗一・

   一φ妥ρ瑠一伽」謡

  霧＋舌（εz4ゴ）一州｛絵＋・）謝

   ＋呼（鵠＋讐1）鵠    一αφ加判一列

ここに，レご1＝ンご2＝必≡…Pr・篇，  め3≡P7・λ1ピ3

（2D

（22

㈱ は時間，レは動粘性係数である．野中の各定数は実験 より求めた次の値を用いる3｝．

×1σ2

1．0

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  砕，研   確一『、＼r＼

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0

・・饗菊

噸

 （q）Lounder冶expressbn．    （b）QppK）ximqte method Fig．2 Reynolds stresses and heat fluxes of fr㏄shear flow

σκ≡≧1．0，σε≡≧≡1．3，α≧1．5，02≡≧0．18

2．4 近似式の精度  （1）せん断流

 基準の長さ，流速，温度差を1とした，平均流の流 速と温度勾配が鉛直方向のみ変化する自由せん断流で はH＝0，μ＝1となるが，流速勾配を一定とし温度勾 配を変化させた場合のレイノルズ応力と乱流熱流の値

をLaunderの式と近似式（9），（14），（17）により求め， Fig．

2に示す．銑方向に温度勾配がないものと仮定してい るため0となるπ1θ を除いて両者はほぼ一致してい

る．

 この場合の乱流エネルギーの生産率は次式で表わさ

れる．

  P一一・1鵡簑＋陀万    （・心

このPの値は粘性消散率εと等しいと仮定している が，等温流の場合π1θ7＝0，π1鵡＞0であるため，速度 勾配（∂％1／∂■3）＞0の場合にはP，εが負となる不都合 が起る．

 2方向に同じ速度勾配をもつ環状せん断流について 計算した結果をFig．3に示す．近似式とLaunderの式

による解は〃1θ を除いて全体的に一致している．

 鉛直方向の渦拡散係数κご3は（14）式より鵡θ の値を 用いて求められるため観θ の精度は重要である．Fig．

4（a）に温度勾配および速度勾配の大きさを変化させた 場合の一π1θ の変化をLaunderの式（左図）と近似式

（右図）によるものと比較して示す．Fig．4（b）は近似式よ り求めた水平方向と鉛直方向の渦拡散係数κ，，κ，3で ある．温度勾配が正でその絶対値が大きくなるに従い

温度成層は発達し，鉛直方向の拡散は不活発となるた めんピ3の値が小さくなるのが見られる．

 （2） 2次元自由噴流

 水平方向の2次元自由噴流内の渦拡散係数を求める ために次のGoertlerの解5）を用いて計算を行う．

（q） ト槍◎t 飢ux

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Fig．4 Heat flux一鵡θ and eddy diffusivity     of annular shear flow

    x1δ2

    Q8

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 （G）Lounder s e（pressbn         （b）cpp⑩dmde method Fig．3 Reynolds stresses and heat fluxes of annular shear flow

04 Q2

0

−Q2

−04

Distribution of vet㏄ity u    x3八 H＿一＿．u1／u踵 ^ノ@ ^@ 〆

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（note） 一〇4

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・、 〔石∂ 触θ θ：Di行erence

@  bbw−oif

temperαtures 曹獅п@otm（印he爬

between 一Q，0σ2 ・0．001 0 QOOI QOQ2 Fig．5 Distributions of velocity and heat flux z誌θ in plane jet

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04 ノ

Q3 Q2

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−Q2

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       、

     O    QOO5  0」010   0015  QO20

Fig．6 Distributions of eddy di丘usivity in plane jet

；三三認ξ）4囲

ここに，ξ＝αr3隔，伍は吹き出し速度，∂。は吹き出 し口の高さを表わす．2つの定数は実験結果5）よりσ

＝7．67，α＝3．50を用いる．

 （2⇒式より計算したπ1の分布をFig．5に示す，同誌 に冷風を吹き出した場合の鵡θ の分布を近似式（14）に よるものとしaμnderの式による結果と比較して示す．

また，近似式により求めた渦拡散係数κ，，κ，3の分布を Fig．6に示す．

 （3）管内乱流

 管内乱流の流速分布は次のFritschの式で与えられ

る．

応，。

陽

×1δ3

機1Umd

（Umニ1・19Uo）

        A㎞imedes no，．

      。04。1♂

（q）eddy d爵usivity       （b）

G｛horizDntd di陀ct ㎜：Kt     ◎f

Fig．7

馬・

  x1σ3

5 鬼んhd

翻lf塩鵠、穐

Distributions of eddy turbulent flow ln pipe

diffusivity of

  ・一1．19痂｛1一（25）…γ   （・θ ここに，伽は管内断面の平均流速，ゴは管内径，zは 中心からの距離である．

 この流速勾配に温度勾配が比例しているものとして 求めた渦拡散係数をFig．7に示す．

3．乱流場の熱伝達

3．1 運動量および温度の輸送方程式

 時間平均を施したNavier−Stokes・の運動方程式は レイノルズ応力の項に（9）式を用いて次のように表わさ れる。

∂券ガ＋舌（駕ゴZ4ゴ）一一謡「（万＋号・・）

     ＋孟｛（レ，＋ン）（激＋讐）｝

     一φ￡（妥ρの一面   _伽

ここに，ρは流体の密度である．

 平均流の熱拡散方程式は乱流熱流の項に（14）式および

（17）式を用いて次の式が得られる．

  誓＋孟（砺θ）一舌｛（砺＋・）器｝ （・曾 ここに，κは熱拡散係数である．

3．2 3次元解析

 対象空間内の流速および温度分布を知るために有限 要素法を用いた3次元解析を行う．乱流の連続方程式 と速度殆，乱流エネルギーσ，粘性消散率εおよび温 度θに関する輸送方程式伽，伽，（吻，（2曾に対し，

Galerkin法を適用して有限要素法のための定式化を 行う．これより得た循，ヵ，σ，εの未知量に関する 非線形連立方程式はNewton−Raphson法により数値 的に解き，時間微分項については差分近似を行った．

なお，これらの方程式を解く際の境界条件は文献6）に 従った．

 有限要素としては循，σ，εおよびθには20節点ア イソパラメトリック要素を用い，ρには8節点アイソ パラメトリック要素を用いる．（Fig，11参照）

用い，流速は熱線風速計で測った．

 吹き出し速度πF3．44〃z／s20（換気回数15．0回／hに 相当）の場合に計測した室内空気の流速分布をFig．9

（i）および温度分布をFig．10に示す．なお，実験の詳細 については文献ηに述べている．

 （2） 数イ直計算

 恒温室における計測をFig．11に示すようにモデル 化して数値計算を行った．2．1〜2．3で述べた式 を用いて求めた換気回数τ＝0．25時における乱流エネ

20 914

聚 X1   310

0utlet of r◎om qir

570 _b［ow−off   （mlet of⑩omσlr

  6580

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100〜2

（dOSed）

Y5 Y3 Yl

iY41Y21 _XI X・2

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70  ・3

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go 1690

x留Ox5

2385

⊥

       （unit：mm）

 W（1U＆C6iUng、

      血

     50

Fig．8 Air conditioned chamber and measur−

    1ng POlnts

鋤600㎝鋤2｛彊

働㎜珊1騨

（i） rneαsured veL㏄ity （Y−36ection）

htet

 10   Q5

    ．2 _Q2

（unit：m／5ec）

圃3．3 計測値との比較  （1）恒温室における計測

 Fig．8に示すコンテイナ一型の恒温室において，冷 風を空調ユニット上部より吹き出し，側壁上部より排 出する際の室内空気の流速および温度計測を行った．

温度計測には0−C（銅一コンスタンタン）熱電対を

（ii）c（ユlculc【ted veL㏄ity    （y−3 section ）

in【et ⑤；． ^Q30

卿 ^{04 qθ0（）}

 Q3       （XUI）

Fig．9 Comparisons between measured veloc−

    ity in air conditioned chamber and     calculated  velocity  in  calculated     mode1

Y−1 3ection

70

Z−2 pklne

190讐乃

7．5

Y−2 section

   90

絶O      ao

）

X−1sedion  ） ・   5 100

，。嘲

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Y−3 sectlon X−4secti6n

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1．0

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         80 1うミミ40・・6，

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 a   o

8Q

X−5 section

／ao し

 75   70

Fig．10

      （unitl OC）

Distributions of measured air temperature at ＝10 min．

智t團

u工川＝O・0375 （1／sec）

        Q398

 （tニ658m）

   tOOO

inleモ u一

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1

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野

1漁x

8noded igopαr㎝tric    element

     x2 繋2

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CQIcukユting cond ition   20 noded isopQr㎝etric

・supPMng co｛d（ユir      dement  temPe「αure：一10・0。C（

 αir ch（mging r（ユte二15 timeslhour

・temper（ユture in roomαt beginning：20・0。C

・insukユtbn： 50 mm pdy−ure亡h（ユne fbαm

・surrounding temperQture 二200。C

Fig．11 Three dimensional calculated model     of air conditioned chamber

αQ2

QOO2

o．〔＞oら

QQO6 0．OO8

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朧・）・ddy diffusi・ity。f h。・i・。・td di・ecti。・・機ノ・、1

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81。

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 1．

@0．5D

@αo pO5 pO2 pO1

o・・ α・  Q亀       QO3        0．      QO1

ルギ㌣σ，粘性消散率εおよび渦拡散係数κ，，κ、，の分 布をFig．12に示す．

 Fig．13はこの計算モデルの流速分布である．．さら に，実測値と比較して，中央断面における流速等高線 をFig．9（ii｝に示す．計算モデルは計測モデルより吹き 出し口が広いので噴流域の幅が異なるが，両者の全体 的な流れの様子は似ている．

 この流速分布に対する温度分布をFig．14に示す．

計算モデルでは計測例（Fig．10）よりも噴流域が広い ため，移流により支配される範囲が広がっている．両 者の温度分布は定性的には一致するが，細部にはかな

OjO O．05

 x−15ectbn       y−3 section

．Fig．12 Distributions ofσ，ε，κごandκご3 in     calculated modeI

りの差異が認められる．この差異を除去するためには 境界条件および給気条件を計測に合せて解析する必要 があるが，解析技術上の問題がいくつか残されている．

4．おわりに

 非等温乱流場の熱伝達解析には浮力の影響を加味レ た渦拡散係数が必要であるが，これをLaunderの式に

y−1  section

iliil．蔓il｝

三下1荘ll；

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● 、   リ ノ ！ 〆 「 鰯 、 L 6 ・ 噛層一  9    6 聖 、 」  6  」    ρ  齢 ，  9  ・  6  ．  ，  

x−2 section

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Fig．13 Distributions of calculated flow velocity in calculated modeI

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Fig．14

       （unlt：。c）．

Distributions of calculated air temper−

ature in calculated model atτ＝0．25

基づいた近似式を導いた，この式を用いてせん断流や 噴流等について計算を行い，近似度を調べた結果，計 算点の多い熱伝達解析には有用であることを明らかに

した．

 この近似式を含む，浮力の影響を考慮した諸輸送方 程式の妥当性を調べるために恒温室における流速およ び温度計測値との比較を行い，定性的な一致を見たが 細部にはかなりの差異がある．この差異の除去には理 論の精密化，特に層流域との連続性，各定数の普遍性，

諸仮定の妥当性等の問題解決が残されている．

参考文献

1）B．E． Launder： On the Effects of a Gravita−

 tional Field on the Turbulent Transport of Heat  and Momentum， J． Fluld M6ch． vol．67， part 3  （1975）

2）B．E． Launder， G． J． Reece， W． Rodi：Progress  in the Development of a Reynolds−Stress Turbu−

 lence Closure， J． Fluid Mech． voL 68， part 3（1975）

3）B．E． Launder， D． B． Spalding：Mathematical  Models of Turbulence， Academic Press（1972）

4）相良和伸：浮力の影響がある流れの乱流モデルに  ついての研究，日本建築学会論文報告集，第305号  （1981）

5）N．ラジャラトナム：噴流，（1981）森北出版 6）福地，栖原：船舶礒装における熱伝達問題の解析   （その1），冷凍冷蔵船の倉内温度分布，日本造船学  目論文集，第151号（1982）

7）福地，栖原：船舶礒装における熱伝達問題の解析   （その2），浮力の影響がある場合，日本造船学会論  文集，第153号（1983）