大規模複雑 なシステムの 最適化理論 と均衡化理論

大規模複雑 なシステムの 最適化理論 と均衡化理論

奥 田 和 重

1

大規模複雑 なシステムを対象 に した従来の最適化手法は,分割原理 [1]み られるように部分 システム間の相互関係 を満た し,システム全体 の最適化 を達 成することを統合原則 としている

^｡

本論文では,大規模複雑 なシステムに対する上記の ような従来の最適化法の 問題点 を指摘 し,指摘 した問題点 を解決す るための方法 を提案す る｡それは ｢シ ステム全体 の最適化｣の概念 に代 る ｢部分 システム間の均衡化｣の概念である｡

この均衡化 を達成 す るために,本論文ではゲーム理論 の一分野である非協力 ゲームを適用 し,決定 に優先権が ない場合 の

Na s h

St a c ke l be r g

2.

2. 1

最適化問題 を一般的に記述す ると次の ようになる^｡

〔 73〕

7 4

Mi n. /( α)

s ub.t o g( x) <

h( x) ≦0

∬

商 学 討 究 第47 巻 第 4 号

1HnHu1

しiiZ

1

3

iZg

iZq

ここで

x∈R n , b∈Rl ,

h

m

n ‑ ^{∑ 77 =1} ni

この最適化問題が

1 1 1

Mi n. i Z ‑ 1 fi ( xi )

nl

s ub.t o ∑ gi ( xi ) ≦b

i ^‑I

hL ( xi ) ≦ 0, i ‑1, ‑･ , m xi ≧0

i ‑1 ,‑ ･ , m

と書 き換 えることがで き, これが 別 個 の部分最適化 問題

Mi n. f i ( xi )

s ub.t o gi ( xi )≦bi hi ( xi ) ≦O xi ≧0

) 1 1 7 ＼ノ 9 0 ｢⊥ 2 ( l 1 1 i Zq lHはt u iⅦ 相川p

に分割で きる場合 を考 える｡ ここで

xi ∈Rn i , bi ∈RL

^{∑ ? =} lbi ‑b

xi ‑( xi ∈Rn L ^{r gi(} xi )≦

,hi ( xi ) ≦0 ,xi ≧0 )

h

( 9 ) 〜( 1

2.2

大規模複雑 なシステムを対象 に した従来の最適化手法 は,分割原理 にみ られ るように部分 シス テム問の相互 関係 を満たすために,それ らを統合 す る コー ディネータを部分 システムの上位 に設置 している｡ このコーディネー タは部分

大規模複雑なシステムの最適化理論と均衡化理論

7 5

5) 〜( 8)

Lagr a nge

L( x i ,A) 全三 _{i = l} ^{fi ( xi )}

^l T(三

Xi )‑a)

^{( L i Thi ( xi )}

i =l i =1

l l

‑ i

( fi ( xi ) + ^{}Tgi ( xi )+pi T hi ( xi )) ‑1T}

と定義す ると,部分最適化 問題 は次のようになる｡

Mi n. fi ( xi ) + ^}T gi ( xi ) s ub.t o hi ( xi ) ≦O

x , . ≧0

( 1 3)

Eii Z] 円■ー山川 一 ー ノー 4 5 6 1 1 1 ( ( ./し

ここで

ス∈ R E , f Li∈ R k L

Lagr a nge

これは

Lagra nge

b

Coo一 di nat Or

Subs ys t e m

入F i +1‑入K+

Mi n. f i ( 訂i )

^入

g i ( 正i ) s ub.t o hi ( Ci )≦0

図

1

7 6 商 学 討 究 第47巻 第 4 号

2.3

これ らの統合原則では,システム全体 の最適化問題が与え られているとき, 式

( 1 )

( 2 ) ,( 3 )

( 5 ) 〜( 7 )

( 9)

( 5) ,( 6)

f( x)

f( x) ‑￠V l( xl )

( x2

･ , f m ( x m) )

システム全体 の 目的関数がすでに存在 している場合,これを分割 して小規模 な最適化問題 をい くつか作成することは,計算効率の立場か らその必要性 を認 識することがで きる｡他方,部分 システムの 目的関数のみが存在 し,システム 全体の 目的関数が存在 しない場合,前述の加算性 に関する前提条件 の妥当性 と 共 に,システム全体 の目的関数を構成す ることがで きるのか とい う問題点 を檎 討す る必要がある｡経済学

[2]

3

‑[4]

これ らの議論 は,部分 システムの目的関数によってシステム全体の 目的関数 が必ず しも構成で きないこと,すなわち

f( x)

l( xl )

f2( x2 )

( xm))

が成 り立たないことを示唆 している｡ とくに部分 システムの 自律性が高い 自律 分散システムなどの場合,部分システムが独 自の 目的関数 を最適に しょうとす るとき,加算性 に関す る前提条件 などによってシステム全体の 目的関数を構成 し,システム全体の最適化 を行 うと,部分 システムの最適化が達成 される保証 はない｡ このように部分 システムの 目的関数でシステム全体の 目的関数を構成 で きる保証はな く,た とえ構成で きるとして も,部分 システムの最適化 を達成 で きるという保証 もない｡

大規模複雑なシステムの最適化理論 と均衡化理論

77

2.4

あ るシステムを異 なった視点 に基づ いて記述す ることをス トレー タと呼ぶ (図

2) [5

^｡

図

2

7 8 商 学 討 究 第47 巻 第 4 号

システム全体 に対 して意思決定主体が唯一であ り,かつ部分 システムの 目的 関数が競合 している場合,最適化問題は下記の ような多 目的最適化問題 となる｡

Mi n. I( x) ‑ Vl ( xl ) , f 2 ( x2 )

f m( xm ) )T

J I ‡

s ub.t o i ∑gi ‑1 ( xi ) ≦b

hi ( xi ) ≦ 0, i ‑1, ‑･ , m xi 20

i ‑

, m

(

⁷⁾ ( ^{1 85}

( 19 ) ( 20)

6

[ 17]

で与 えられるベク トル目的関数はスカラー化することがで き,問題は単一 目的 最適化問題 となる｡妥協解 を選択す るための基準 は一般的には明確でないので,

これを行 うために例 えば

Ha i me s

SWT

[7]

｡ SWT

るが,この仮定には無理があるといえる｡

意思決定主体が各部分･システムに存在 している場合,すなわちシステム全体 では複数の意思決定主体が存在するとき,各部分 システムの意思決定主体 は部 分 システム問の相互関係 を満たす ように自らの目的関数を最適に しなければな らない｡ この ときの部分 システムの最適化 問題 は,

∽

Mi n.

, X

, X

,菰

,Xm *)

s ub.t o g

,X, f

, X

,虎

,Xm *) hi ( xi ) ≦O

xi 20

p nr EⅣn u pn Hl M ■.■1mH一 1 2 3 4 2 2 2 2 /̲＼ ′し ( ./し

このような状況では,部分 システムの意思決定主体 は他の部分 システムの最適

大規模複雑なシステムの最適化理論と均衡化理論

7 : 9

x

F, j辛i , j=

, m

x, F∈ xj

て

ri ( x

, X

, X i *

‑ ,Xm * )

‑f x i * ∈Xi J f i ( x

, X , ･ *

, a , F , x i *

,3m *)

≦J;I(xl*,･‑

,

^{1 ,Xi ,菰 1,‑ ,Xm *))}

を定義す る. この riは (最適)反応戦略集合 と呼ばれ,すべ ての

xj∈ X,

r

x ,

3. 均衡化理論

3. 1

本章ではシステム全体の 目的関数が存在せず,各部分 システムに意思決定主 体が存在す る場合 を取 り上 げる｡ システム全体 の 目的関数が存在 しない場合, 部分 システムの情報が集中す るコーディネータが存在 しないので,部分 システ ム間の相互関係 を満 たす ように部分 システムが調整 しなければな らない｡ これ を行 うために,各部分 システムが持つ情報 (目的関数や制約条件の構造,係数 の値 な ど) を最適化 を行 う前 に互いに交換すれば,相互関係 を満たす最適決定 を行 うことがで きる｡この ような決定問題 はゲーム的決定問題 [8]と呼ばれ, ゲーム理論 における非協力 ゲームの理論 を適用す ることがで きる

^｡

St a c ke l be r g

に優先権がない場合 の解 を

Na s

部分 システム間で交換で きる情報 には,最適決定 を行 う前 に知 ることので き る事前情報 と,最適決定後 に初めて明 らかになる事後情報がある｡前者 は 目的 関数や制約条件式の構造,あるいはデー タとしてあ らか じめ与 えられている係

80 商 学 討 究 第47 巻 第 4 号

数の値,過去の決定変数の値な どであ り,後者は最適化問題 を解 くことによっ て決定 される変数の値やその ときの 目的関数の値 などである｡各部分 システム は他 の部分 システムの事後情報 を最適決定前 には知 ることがで きないので,情 報交換が全 くなされなければ,推測の繰 り返 しとなる｡各部分 システムが事前 情報 を部分 システム間で交換す ることによって相互関係の調整 を行 うことがで きれば,部分 システムの最適解 を得 ることがで きる^｡ このようにして得た最適 解 は部分 システム間の相互関係 を満た しているが,システム全体の最適解 には 必ず しもなっていないので,本論文ではこれを "均衡解 ''と呼び, この均衡解

を求めることを "均衡化 "と呼ぶ ことにする^｡

3.2

3. 2. 1

部分 システムの決定 に優先権がない ときの均衡解 は

Na s h

別

Na s h

は存在 しない｡

この定義 を式e^l)を用いて表現す ると以下のようになる

o

v x i ∈Xi

, i‑1

, m

f i ( x

, 虎

, 戒 菰

,Xm *) ≦ fi ( x

,虎 1 ,Xi ,菰 1

,Xm *) ( 26 )

であれば, この とき

x ^㌘ ∈xi N

Na s h

9

xi N‑( xi ∈Rn L ^{lgi ( x}

^,

^{,Xi ,} 虎

,Xm *)≦bi ,hi ( xi ) ≦0 ,xi ≧0)

である｡いいかえれば,式(紬は,

m

ない ことを意味 している^｡ この

Na s h

Na s h

[ 1 0 ]

式

e l )

La gr a nge

大規模複雑なシステムの最適化理論と均衡化理論

87

Li ( 3

, X ^m

,F l i )

f i ( ^x

,X ^m)

} T( gi ( xl

, X ^{m)‑ bi}

hi ( xi )

と定義す る と,式郎)によって定義 される xi*

, i ‑1,

, m

Na s h

均衡解 であるための必要条件 は

∀i

有

^{i =}

,Xm * )･1㌢ T 怠g i ( x l * ･ ･ ･

･pT

T

⁽

^‑o

普 ‑gi ( x

IXm *)

帖 0 些 a pt ⊥‑hi ( xl f ) ≦o

}㌢T( gi ( xl * ,

‑ ,Xm *)‑ bi )‑0 F E ET hi ( 扉 )‑0

ス㌢

F L f

( 27 ) ( 28 ) ( 29 ) ( 30 ) ( 31 ) ( 3 2 )

7 ) 〜( 3

^{Na s h}

2

Na s h

[ 1 1 ] ｡

3. 2 . 2

St a c ke l be r g

[ 1 2

[ 1 3

決定 に先手

( l e a de r )

( f o l l o we r )

これは先手である部分 システムにとって最 も良好 な解 を合理的に決定す るため の規則 である^｡ 後手である部分 システムは先手に対 して受動的で,先手が示 し た解の もとで 自らの問題 を最適化す る｡

い ま,部分 システムが

2

( 〟 ‑2)

^｡

1

2

^｡

8 2 商 学 討 究 第47巻 第 4号 2

1

xI S∈x

f2 ( X

S ,x2 S )≦f2 ( X

S ,x2 ),x2 ∈x2 ( 33)

x2 S‑T( XI S )

T(

f l ( X

S ,T( XI S ) )≦ fl ( xl ,T ( xl

,Xl ∈X l ( 34)

xI S∈x

,x2 S‑T( XI S )

,( X

S ,x2 S )

St a c ke l be r g

[ 1 4]

で証明されている｡

部分 システム

2

xl O ∈x

Mi n. f2 ( x 1 0 ,x2 )

s ub.t o g2 ( X I O ,x2 ) ≦b 2

2 ( x2 )≦0

∬2 ≧0

と書 くことがで きる^｡ この間題に対する

La gr a nge

L 2 ( X

O ,x2 ,}2 ,P2 )

f2 ( X

O ,x2 ) + } ^{r( g2 ( X}

^{O ,x2 )‑ b 2 )} + I L ^{Ih 2 ( x2 )}

これより最適性の条件 は以下のようになる｡

慧 一 志 f2 ( X I O ,x2 *) ･}2 *T孟 92 ( X I O , x2 * )

･p*2 T ^{% h 2 ( x2 * )‑0}

% ‑g2 ( x I ^O ･x2 *)‑ b 2 <0 些 旦‑h2 ( x2 * )≦0

∂〝2

} 2 *T ( g2 ( X I O ,x2 *) ‑b 2 )‑0

灯 れu EliZ I ー ノー IU 5 6 7 8 3 3 3 3 ′し ′し ( (

( 39) ( 40) ( 41)

( 42)

大規模複雑 なシステムの最適化理論 と均衡化理論

F E 2 *T h 2 ( x2 *) ‑0 ス 2 * ≧0 , E L ^{2 *} ≧0

83

決定 に優先権 のある部分 システム

1

2

Mi n. f l ( xl ,x2 )

s ub.t o g l ( xl ,x2 ) ≦b l hl ( xl ) ≦0

監 + j I慧 ･p 濃 ‑o

g2 ( xl ,x2 ) ≦b 2 h2 ( x2 ) ≦0

∬ 1 ≧0

この間題の

Lagr a nge

Ll ( xl ,x2 ,A

,ス2 , Fll ,F

, i) 1 ,リ2 ,リ3 )

全fl ( ∬ 1 ,x2 )

} T( gl ( 3 1 ,32 )‑ b l ) 十 F E T h l ( xl )

h T ( 監 ･増 . 穏 )･y !( 92( xl

,‑b 2

h lhB( x2 )

aL

有 志 fl ( x

S ･x2 S ,･が ま gl ( x

S ･x2 S ,･pfT孟 hl ( XI S ,

･ u f Tf ( 監 ･lf T 豊 ･p言T 慧 )

･y2 ST

^{g2 ( x I S ･x2 S ,‑o}

F nu lp肌H I ー nu一 5 6 7 4 4 4 nⅦ川 U nⅦ■川p iⅦ t

( 48)

Eiii ZI p nu R■In u 9 0 1 4 5 5 inlL川U iZE iZq

( 5 2 )

84 商 学 討 究 第47巻 第 4 号

∂エ 1

面

= gl ( X I S ,

2 S ) ‑b l

些

土‑hl ( XI S) ≦0 aF L l

a ‑% ･} fT e ･ p

T 2 ‑o

aL 1

‑ ‑92 ( X I S , x2 S )‑b2 < ̲0

∂2 ) 2

些 ‑h2 ( x2 S )≦o

∂Z J 3

}f T( g l ( X I S ,x2 S )‑

^l) ‑ 0

F L f T hl ( XI S )‑o

L ' 2 S T ( g2 ( S I S ,x2 S )‑b2 )‑0

リ , S T h2 ( x2 S )‑o

} f ≧0,1 ^言 ≧

,f L f ≧

,F l 雷 ≧ O, i , f≧

,L J 2 S ≧

,z J 3 S≧o

) ) ) ) ) 3 4 5 6 7 5 5 5 5 5 ( ( ( ( ( ) ) ) ー ) 8 9 0 1 2 5 5 6 6 6 ( ( ( ( (

この条件 において,x2S,

}

T(

H

K(

x2 S‑T( XI S )

}言‑H ( XI S )

p言‑K ( XI S )

, ll , FLl , リ1 ,2

2 , y3

f i ,

i

[ 1 5 ]

2

[ 1 6 ] ｡

3. 3

いままでに述べてきた均衡化問題の妥当性 を検討するために,

2

うであるとする

^｡

Ma x ･fl ( x l ･x2 )‑一 言( 31 2 ･x 1 32十 x2 2 )･10xl ･1432 ( 63)

大規模複雑なシステムの最適化理論 と均衡化理論 部分 システム 2 :

Ma x ･f2 ( x l ,x2 ) ^{‑ 一} 言( 231

･2xI x2 ･か 1531 ･1232 ( 6 4) 85

flとf2を図示す ると図

3

A

1

xl *‑4,32 *‑12,j i *( x

,x2 *)‑104

B

2

l *‑3

2 *‑9

2 *( xl * , x2 * )‑79. 5

fl,f2が加算可能で,次の ようにシステム全体 の 目的関数

f ( xl , x2)

f ^{l( xl, x2)}

f2( xl, x2)

I( 3 1 ,32 )‑ ^f l ( ^{x l} ,x2 )+f2 ( xl ,x2 )

一言( 3 x1 2 ･33 1 x2 ･2 x 2 2 ) ･25 xl +26 x 2 ^{( 65)}

C

x l g

x 2 8

fl g( x

g,

)‑102. 07 , f2 g( x

,

)‑75. 00

である｡

意思決定主体が単一の とき,最適化問題 は次の多 目的最適イヒ問題 になる.

Ma x. t fl ( x

,x2 ),f2 ( 3

,32 )) ( 6 6 )

ACB

^.

32 ‑‑ 1. 54x1 2 +12. 21x 1 ‑1 2. 23 ( 67)

1 , 2

a fl /∂ xl , a f2 /∂x2

rl(

x 2 ) ‑ 1 0一

Y 2( xl )‑12‑31

86 商 学 討 究 第47 巻 第 4 号

図

3

表 1

xl

x2

fl

f ²

A 4. 00 1 2. 0 0 1 0 4. 00

ち 3. 00 9. 00 7 6. 5 0

C 2. 9 3 1 0. 8 0 1 02. 07 75. 0 0

D 8. 00 4. 0 0 8 0. 0 0 6 4. 0 0

E 2. 00 1 0. 0 0 9 8. 0 0 76. 0 0

F 5. 5 0 9. 0 0 1 0 0. 6 3 70. 25

ACE x2‑ ‑ 1 .54x 2 1 + 12.21x1‑ 12.23

大規模複雑なシステムの最適化理論と均衡化理論

87 Na s h

D

ガ ‑8

∬ Ⅳ2 ‑4

は

fl ^N‑80 ,f2 ^N ‑64である｡

部分 システム

1

St a c ke l be r g

2

Ma x ･ fl ( 3 1 ,32 ) ‑‑ i( x1 2 +xI x2 +x2 2 )+10 31 +1432 s ub.t o xl

^{x2 =12}

J l ≧0

制約条件式(71)よ りx

2 ‑T ( xl ) ‑12‑ xl

fl ( x l ) ‑‑ix 1 2 +231 +96

田 川1 Gid F nu O 1 2 7 7 7 iZq nⅦ 柑u iR

( 73 )

xI S l‑2

x2 S 1 ‑1 2‑ x I S 1 ‑10

E)｡

f l S 1‑98 ,f2 S 1‑7

部分･システム

2

Ma x ･ f2 ( xl ,x2 )

書( 231 2 ･231 x2

x 2 2 ).15xl +1232 ( 7 4) s ub.t o 2∬1 +∬2 ‑20

x2 ≧ 0

この場合の

St a c ke l be r g

F

GI S 2 ‑5 . 5 ,x2 S 2 ‑9 ,f l S 2 ‑1 00. 6 3

/㌔2‑72. 25

flとf2が加算可能であるときのシステム全体 の最適解 は点 Cであった｡ こ の点は図か らも明 らかなように各部分 システムの最適解 にはなっていない｡ シ ステム全体の最適化 よりも部分 システムの最適化 を優先す るのであれば,各部 分 システムは

x f

‑0 ,i

xf

1

x2 g‑1 0. 80

1 . 53を選択

ββ _{商 学 討 究 第} 47 巻 第 4 号

し,部分 システム

2

l g ‑2 . 9 3

x2 g 1 ‑9 . 0 7

x

g

2

g 2 ‑7 . 40

x2 g

xl g 2 ‑5 . 4 7

ri

D

xj' 0

j i ( ^{x l} ,x2 ) ,i

xi ' 1

f j ( x

' l ' ,xj )

D

D

Na s h

2. 4

これは自律 した部分 システムで構成 されるシステムにおける決定に優先権のな い場合の最適解 となる｡

決定 に優先権がある場合,

St a c ke l be r g

4

本論文では,以下のことを行 った｡

･大規模複雑 なシステムに対す る従来の最適化手法 として分割原理 を取 り上 げ,その問題点 を指摘 した｡

･システム全体の 目的関数が存在 しない場合 の大規模複雑 なシステムを対象 に,従来の最適化の概念 に変わる均衡化の概念 を提案 した｡

･均衡化の方法 としてゲームの理論の一分野である非協力ゲームを適用 し, 決定 に優先権がない場合 の

Na s h

St a c ke l ‑ be r g

･提案 した方法の妥当性 を検討 した｡

大規模複雑 なシステムの最適化理論 と均衡化理論 89

本論文 を執筆するにあた り多大なご協力 を賜 った小樽商科大学情報処理セ ン

ターに対 して謝意 を表する｡

90 _{商 学 討 究 第} 47 巻 第 4 号 参考文献

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