RamanUjan'sLT-Rlnction RamanljanのLT-関数の非自明な零点

鹿児島経済論集第60巻第2号(2019年9月） ¹⁹⁵

RamanljanのLT‑関数の非自明な零点

Non‑nivialZeros of

RamanUjan'sLT‑Rlnction

中嶋眞澄

MaSUmiNAKAJIMA

Departmentq/Economics lizter7Ba抑､αj伽加ers"qfK(z9osﾉZim(z

KQgos"ma891‑01"JAPAjV e‑mail:[email protected]

概要 Abstract

Westudyherenon‑trivialzerosofRamanUjan'sLT‑fUnction

MathematicsSubjectClassi6cation2010; 11E45,11F12,11F66

上半平面{zEcIsz>0}で正則な関数△(z)を

OC

A(z) :=e2'r@鬘Ⅱ(1‑e2"'"g)24

宛＝1

．．

=:ET(")e2爾如§

加＝1

と定義し,γ(冗)をRamanujan関数という。Delignel51はRamanUjan予想

IT(p)￨≦2p号 (pは素数),

｜γ(")￨≦d(")"号 (d(") :=Z',"=',2,…),T(1)=1

dlrn

を証明した。

A(z)は保型性：

△(号)=塁｜璽△にル

△(z+1)=A(z)

を持つ。これらγ(")からDiridllet級数serics:

。。T(『&） 13

LT(s) :=焉下｡ 。=｡+itEC,Rs=｡>了

を作ると， これはEulc'･ffiproduct:

姜響=写! ｧ(1))p=s+p''‑2s' Wts彦些^{1 2}

を持つ。LT(s)をRamanujanのzeta関数或いは 関数という。和と積分 の交換(これは可能)を使うと次を得る：

(2T) sr(s)LT(s)=I重△(il/)"s‑'(Iy

＝1.｡△(卿)(,｡+,"‑鼠)血…・〃

ここにr(s)はEulerのgamma関数であり,A(z)の保型性を使った。こ

の右辺はsの整関数elltirefullrtionとなるので，左辺r(s)に1位の極：

s=0.‑1.‑2．…がある為. LT(s)はs=0,‑1,‑2,…に零点を持つ

s<‑fl2‑sに対して不変なので関数等式IIlnctiollalequation:

（2汀)‑sr(s)LT(s)=(2")‑('2‑')r(12‑s)L7(12‑s)

が成立する。EuleI･祇によりLT(s)は況S>号に零点を持たないが， この

はない。従って他の零点(非自明な零点)は与≦呪s≦等に存在する可能 性がある。実際．整関数entirefilnctionの位数ordel･に関するHadamard

の定理より， この帯状領域には無限個の零点が存在する。Rankinl251 171 は碇s=:,學上に零点が存在しないことを,Wiltonl331 171は呪s=6上

に無限個の零点があることを証明した。

次の定理を証明する

中嶋興澄:RamanUjanのL1−関数の非自明な零点 197

主定理1 mEZを一つ固定し･q"=m(orm+3)とする。また,以

下の。も次の条件を満たすものを一つ固定6xedする。6<o<¥,">1

は十分大きい自然数とする。又,q"̲,<t<Qnとする。

LT(s)の非自明な零点 on‑" jalze7℃:p0=4+j'yo(,γ0=0も含める

incl"伽"9)を，

":=max{6>61p=6+j'y,LT(p)=0,q"̲]<'y<C；碗｝

で定義する。従って，領域{uj=u+"￨Bb<",q"‑,<"<qn}は非

p+,p̲,6+>6,6̲>6, 'y+, 'y̲,U;t,UR,Uf", I/X, I/;g>0

を次で定義する。

１１

００２

一 一

ンシ右βββｌを３

１１Ｊ

八脚一一く

●畑ロレ◆心丘シ︐︐くβγβ７ｍｍ１−２苅拘一一十く一一二一．一一．ニニー．ｓβ・酔陛琳蛎叫噸臨釧峠作

の０β

とする(β,， β2,…が存在しない場合もある。このときはβ,＝6とする。

)。

注{uノー拠+"￨ 6<",un̲】≦U≦財7 f）≠'γo}は非零領域zem/ire

7W加沌である。

｡, s, ﾉ' :=Eh(｡−βb), t,Y>1, 6>1を

，<・‑…i"{7壼堯)'Ye芸雲7}

^{． ．(*)，}

狗一ﾉL≦t≦γ0＋ﾉﾙ

1 1

＜−

JI ¥ F(o‑Bb)‑￨s‑pol ^﹄

＆

び

く一1

一

(グー此)2+(t−，70)2

s‑"=(｡‑!､'‑")=(｡‑'b)('+'o(;z)' ):

，隅,麦' (,≠,,) '｡『"‑

（ βはp0以外のL『(β)の非自明な零点non‑trivialzero) となるように選ぶ(これは明らかに可能である。 ）と．

5羽…{γ､害学y鯵芋'｝¹

となる。

従って， この結論は定理の仮定(*)と矛盾し， p0は， もはやL7(s)の非自 明な零点non‑trivialzeroではあり得ない。

主定理1を証明するには次の幾つかの補題を必要とする。

補題1(H61derの不等式の系）

">1,">0, IA,A+"1で可積分な関数/(t)に対して，

部卿川"戯≦{削鋼川璽"￨ '"､

離報川恥'"≦{削卿川"l''催

が成立する。

証明

(1/2")＋(1〃)＝1となる〃をえらぶ。H61derの不等式より

誠学園' ( )''〃

中嶋眞澄:RamanUjanのLr−関数の非自明な零点 199

≦肯{＃卿川'州,}､"'{r"]順鋤}￨"

〃 ,赤 " ,{豚報'川．"} '""〃

‐{肯〃鮒川，錨} '

を得る。後半については同様にして

削鵜卿￨/(t)￨'/(2")(It

≦肯{"尉川w…h"韓卿4

〃"尚制 ",{渥鍛川"}ﾘ鍵"'〃

‐{制半劉'川"}''

□

補題2o>1,m=0,1,2,…とする。

m==0のとき

=zt<,+ ^l

Ein"

m=1,2,…のとき

長座11匹

他＝1 、ぴ

﹃｜ｏ︑ｊ

／１１︑函っｌ−ｅ↓十ｍｌ両伸

︑ｍ ｒｊｌｌ判

１｜且ｌｌＨ

ｍｍ

が成立する。

証明先ずm=1,2,…のときを考える。

/(") :=y‑｡(logy)mとおくとノ'(")=y. /(") :=y‑｡(logy)mとおくとノ'(")=g‑.‑'(logl/)"n‑'{m−ぴlogy}であ

るから， ノ'(卯)＝0となるのは, yO=exp(f)のときのみである。従って

/(y)の増減を考えると

= '¥￨"zz+('･")"+="z

=('o¥)"

I

"=1 ＝， '･

"=2 =2 '｡

IsJU｣ }。 7'=IM)1+1 ＝{伽,＋， 伽o

ルI'｡! (logz)'"dz+(logl"1)"'+/｡｡"lZd"01 (log工)md範十(logIyol)m＋一.錘¥z"+{'#'+AWi'蛎

く ｛抑1°

1 u･雲Zd璽寺(logk/OI)'"

＜

I抑}。

（｡と』)'"M'.¥)"

=m!

｛〃01°

（・坐,)緬榊 半(囑蜑鵲,。

<m!

（・坐｣)鯛膨半 牛(器)

=m!

m!(5LT)諏細+,"!:(:)"

m!(*)"{*+:(¥)"'}

＜

ー

:＝二

但し, {t}は実数tの整数部分を表わす。又，

(¥)"<響

を使った。

m=0のときは

１１

ぴ

＋１

一一釘︐ａ

１ 凶 １｜が

十１

く

勺１｜が四Ｚ圖

となり，補題は証明された。□

補題3(Montgomery‑Vaughanの定理, 1311の2nded.) q"EC,AER,">0,Y>1,。>;とする。このとき

r卿'=:‑'d ‑"='｡"Fo(Z'"'' r卿'碁｡緬鰯‑.‑鮒'2 '＝〃吾｣側舶 ‑'｡+o(yZ'｡'"''" '｡)

中嶋眞澄:RamanUjanのLr−関数の非自明な零点 201

が成立する。ここに，最初の式沈e励郡e9uation(z60"eに於ける

OO OO

Eα流郷‑｡‑"，E￨α"'2"'‑2°

＝1 ＝1

は収束すると仮定し,Oは絶対定数を持つBachmann‑Landauのラージ・

オウ記号I241である。

補題4 (Zi, ci=ci(")EC,ハ(")→0as〃→", (i=0,1,…,祀）とす る。又, l'zol>lail (j=1,2, .. ･,n),￨Q￨'/"→1(j=0,1,2,…,n) ('s〃→

m,"≠oとする。このとき

肥

ノ聖￨EG(")('+ハ("))"α『l'/"=,mag< I(Mil=￨qol0＜j＜刀 i＝0

が成立する。

証明IIlaXj=1,2,…,流 ￨Qi/aol=1/r(r>1)とおく。

＋幸鵲→1， '僅,' ''→ ",→｡。,"=',2,…,鰯）

また， が有限6niteであるので,VE>0に対してヨ'ﾉbが存在して，

/〃 ＋ハ("）

Ci

<1+E (j=1,2,…,〃)ノorV">li)

q■■■■■■■■■●−

c;/" '+/b(")

となるが， ここでEを十分小さく選び

1+E 1

−＝:百くl^r

とする。

兜

￨EQ(")('+ji("))"αWI'/"

i＝0

GM)'(z)'

＝ '"'典ﾙ￨｡｡l ll+/b(")￨ ￨1+堂堂

EIco

= lcOl'/''￨｡ol ll+/b(")￨ ￨1+EO(( 手 )'）

＝ ｜CO￨'/"￨α01 11＋/b(")￨ ＋EC

（志)!〃

= lcol'/"￨"ol ll+/b(")l ll+O

R"･蔬戸

{'+o(*)}

= lcol'/"I(mol ll+/b(")￨

→ ｜α01 （ 〃→oo)

となって補題は証明された。□

補題5 121, 131, 141, 161, 18}, 191, 1101, 1111, I121, 1131, 1141, 1151, 1161, {241, 129}

１１

｜ 削

十

１

ｓ

｜ 例

艸雌却や一

遠国が了誹 がＨ１トー＋＋

蝉叫計斗珈１｜叩

(1) (2)

(3)

但し，和はEulerの定数である。

補題6 1241

ノール)を整関数entirefunctionとして，十分大きいvlzl>1に対して，

｜ル)￨<exp(￨zl"')

を満たすβの下限をβ:=p(/) :=ord(/)と記し，即ち

p:=p(/) :='iWp!ggl畿側"伽 『eMr(R) :="￨ﾙ)￨

を整関数の位数orderと云う。このときル)をz＝αでのMaclaurin‑

Thylor展開expansion:

OC

/(z)=EA"(z‑｡)"

抑＝1

の係数A"に対して

IAパホ"鋤…C>・

が成り立てば，

，=,(′)≦吾

である。

中嶋興澄:RamanUjanのL『‑関数の非自明な零点 203

証明

'‑'w"( I"')

を使う。

ｌ

１ｌｌｒｌＪＣ１ｌ脚

Ｃ︲｜脚蛇昭 ９ 昭＋

︑−〜−Ｊ１１−ｃ

Ｃ１−岬川副﹁ｄ︲く一ｇ昭く一ｉ１ｆｊＯ

Ｏｌ

＋叩Ｉｂ Ｃ１ｆｌ０Ｊ ︑Ｉｌｒｌノｒｌｊ︑１１Ｏ７

ｍｌ｜州１｜ｃ＋＋

ｇく一帥心沌

Ｏｇ 汀ｇ

１研剛ｌ＋Ｃ１ｌ州仰十ｇ冗

肋１１７１ノート︺Ｏ

Ｃ昭ｉ川ｒｌＯｇＯ

昭十

ｇく昭昭〃臥ｇｇｈｍｇ

Ｏ００Ｏ

７Ｍ陣今令今今等尋

言駕{Ⅲ+o(1川重:{…(1)}

ここで →COとすると

nlogn=1

一p=liMW>匝而≦で

これで補題は証明された。□

補題7

ord{(2打) sr(s)LT(s)}=1.

証明1<R=N+1ENと置いて

log{(27r)‑('v+')r(N+1)LT(JV+1)}=log{(2打)‑(Iv+1)jV!L､JV+1)}

(s)o+(s)J:=

,鼠̲1,伽)▽｡.仰,【̲､伽)▽｡｡ｿ＝

而(｡‑郡胤十｡側)(卿)▽｡､ｿ＝

＝", ̲抑ﾙ▽"ﾂｰ(恩)勺(．)｣霞̲("z)

・曽学皇 IZ{(s)｣7(s)Js̲("z)}pJo

g‑の曽嘩マ AI301

(I)o+I=((I)o¥T"So!

AISol

{￨(I+AI)47I(I+AI)J(I+N)‑("8)}3oI8ol

．q孝マ ((I)o+I)AI8ol=((I)o+I)8ol+AI8olgol+AI8o[=

{((I)o+I)AI8olAI}8ol={￨(I+」V)｣7I(I+JV)J(I+AI)̲(｣4Z)}3oISol

g‑⑦曾卑皇 ((I)o+I)AﾉBoIN=

｛(鳥了")"!}菌｡,≠

+((I)o+[)3。I+(AI｣Lz)息｡if+'v‑順｡IAI+(｣Lz)園｡I(I+AI)‑=

｛(鵠ｿ)｡≠ }岬

｛伽叶IM/､"(;)}富･峠("z)富．I(I+AI)‑=

＋

｛殼言}‑I}鼠．I+("z)8ol(叶測'一

(目6主6[OZ)gZ彰暴09鐺訴饗鍵識冒副麹サOZ

中嶋興澄:RamanujanのLr−関数の非自明な零点 205

where

l券ｰ△伽l'‑

F(")(1)=

｜器I函か)衝鯨､'l̲

−

｛薑『(蝿)券I.｡ ‑'""−

−

｛か'1．｡偉‑…(l･""I=

＝＝

Zr("'l.｡N‑,

=ET(n)

｜急(.｡△伽 雰吻L{‑

G(")(11)=

｜胤霊云仙…卿{l"

：＝＝

｛曇ｧ(凧)釜ｰ｡‑…, ‑抑'̲｡

−

■■■■■

｜か)1...‑…(‑l"t,

ニニニ

=T(")(‑"1‑衝…(logll)"dI/

＝ｱｰ>γ(")(−1)〃

ここで積分

1.｡e‑…(logy)"d"

を評価する。

1.｡e‑…('og'')'d'‑"e‑璽爾"'('｡g")'d"+j｡oe‑璽羅

{‑;H'･"''d,

"'I'+1°。

<(log")!' (log")l'

{e‑2""‑e‑B‑

q■■■■

27Tn

{le‑…('ogy)"}二 ‑1.｡e‑…,''･g#}

1

−−

27rn

I+Ac‑2'"''('og'j)u'd"

(logll)"d!/

吻一ｙ伽

１１レ〃１ｊｙｙｇｇ

ｏＯ

ｌ 〃″

７ １

７１汀汀

２２ ｅｅ

呪孔 〃冗令上汀

２２ ｅｅ

し河″剛 昭翫昭翫

ｉ 一一く

(log" ‑27rn̲赤I｡｡{e‑…}'(l｡"‑ldI/

＝:＝

27m

"age‑2,r"

27Tn

｛[匡一…('ogy)'‑'l;2,‑("‑')1‑衝…iu'¥｝

l

(27rn)2

(l.9" 2蕨"fi'*fe‑…≠^27rn +赤("‑')j.｡e‑…(1｡"‑24^〃

<(鶚)"蔭‑""+('*f￨ ‑…≠

手応芋1｡｡e‑2'r"9(l･菖那 璽吻

<ll.g"e‑2,r"+ll漂帝 傷‑…≠^27Tn

÷(2為),1．｡e …(lOgy)"‑2d"

些吐 ̲璽扇'L+('¥､‑"'≠^27r"

{".‑1!

ナ赤j

｛誌 ‑2扇"}('｡〃‑2dI/

(log"恩 鯨"÷鶚吾囑 …≠

l＝＝

27Tn

1 j･ocr '､̲ ､,

l.｡{e‑…}'('ogy)!'‑2d"

（2汀7')3

(鶚恥"半鶚吾 …÷

＝＝

｛{畠‑…(lo豐鯲一瞥に, j"塵‑…("‑2)(l･蟹"‑m¥｝

1

（2汀況):；

礫 ‑群"÷且鵲妾置‑銅'+('*;'.一…÷

中嶋填澄:RamanujanのLr‑関数の非自明な零点 207

+赤I｡｡e‑2'r""("‑2)(l｡g" 等

く呼僅‑鯨"Jj'"f'｡‑…兼(l鶚壽嶋…ゞ

+応1．･信一…(logZ/)"‑3d"

＜・ ・ ・＜

手…半辮l÷

｛(!緋'令(!漂肯

<(鶚lge‑2,"@++e‑2"""

l r｡‑''""'('･")｡dI/

+砺ア

"glge‑2,w'+

:＝二

27m

II'*f｣*('¥'+…寺牒＊

+e‑27rr'''

L"ge‑2",,+

27Tn

(log")0

(27『抑)"+1

半…十(鶚芦ll+1鵲デ1

手騨繕‑ ""￨(器'半鶚．

"21Le‑2諭n+

27rrrl , [

l−r冨示15扉ァ

+(鶚l:c‑,̲4

27rnlog" 1−蔬而T5EF

<('")"e‑2"':{'+｡(')}

即ち

些塑里e‑2""{1+O(1)}_27Tn

1

e‑2""y(logl/)I'dI/<

これより

''"(ﾘ'=☆￨薑刈1函筐‑…(logl/)"dZ/^〃！

<鐺'ｧ(繍''1認億一…(logl/)"d"

<鐘'ｧ(鰯Ⅲ

些墜Ze‑2""{'+｡(1)}

< )竺量'ｧ(")'赤 ‑曾爾，{'十｡(1)｝^〃！ 励＝1

<ll哩』と量"6=Le‑'願『'{1+o(1)}_〃1

fZi‑27r"

く盤』flg

〃！

＜凶皇 1

両戸/｡J･a""S7TEα"億>0.

〃1

同様に

IG(")(11)￨ 1 ．．

｜雲 (")(‑')"/"@…(log"吻

ー−

〃！ 〃！

＜皿〃！

<凶一応'･『｡"｡,""^{〃！ Ⅱ■■■■} >，

これより補題6を使って

ord{(2T) "r(S)LT(s)}<古ﾉ｡『｡""sma"E>0.

また

ord{(2T) sr(s)L､s)}≧1

であったので

≦ord{(27r) sr(s)Z,T(s)}<古'｡『・鯛…a"E>0

となるが，これより

ord{(2T) 'r(s)LT(s)}=1.

これで補題は証明された。□

中嶋興澄:RamanujanのL『､関数の非自明な零点 209

補題8(i)

伽 sr…‑ …｡号≦聖書響('‑;)', 蕨③‑鶚直"｡等基器(I‑;) :

Rankinの結果も考慮すると

『(鰯)=需陰…｡普髻恩響(1−;) ：

(ii)上記積に現れる零点zems:βは無限個加/initeノyma71yある。

注上記号く況β〈号を満たす零点zemを非自明な零点〃oﾙ抗"(zIzero

と云う。

証明(i)整関数(2汀)‑'r(s)LT(s)の位数1であることから,Weierstrass‑

Hadamardの定理を適用して

（湖‑Ⅷ州=｡…'早(1−;) ：

となるが． LT(s)のEuler積から

LT(s)≠0/oi､Rs>¥とr(s)≠0/o7･Rs>0.

これより (2T)‑sr(s)LT(s)≠0/oryfs>¥.

また況S>号に零点Zeroがなく , (2T)‑sr(s)LT(s)の関数等式filnctional eqautionにより (2")‑'r(s)LT(s)≠0/o7'Rs<号bute"cept/ors=

0,‑1,‑2,…である。

(2T)‑or(0)LT(0)=0とすると，関数等式fimctionalequationにより (27r) '2r(12)LT(12)=0となるが， これは上記事実より不可能である。

従って(2汀)‑0r(0)Lｧ(0)≠0となり, r=0である。

また号く呪β〈￥．

(ii)上記積表示の積が有限積だとして矛盾を導く。有限積だとすると

〃

(2")‑sr(s)LT(s)=eA'+B'｡n(s‑",")

両l＝l

と書ける。これより

州=詩…重( ‑崎』

ここでs=jV+1>1を代入：

。。γ(") (27r)"+1,,,+B,"v+,!%

E−＝

シ皿＝1

するとﾉV→ のとき

０

１ 十

一 一

刺 一 洲

函Ｅ冒

十

１１ 型１

一

脚↓ )=Ⅲ寺｡(尚）^｡〃

"Jv+'‑¥

(")"*N"

￨右辺￨×

‑>0

となって矛盾が生ずる。従って無限積となる。

これで補題は証明された。□

牙ｌ＋１｜訓

弗﹂﹃１１

が誹韓Ｅ胃

肝ｌ−ｓｎ孔剛

側︾ｒｗ制 二刊一

叫｜凸訓 ﹄一一一

■ａ■Ｌ９題

補

１ １β

一

ｓ

エー

ー１＋

〃

１

Ｓ

Ｉ

一

一 一

ｊ〃く

ｊ

幽以

(〃＝1,2,…）

︑︑■８〃

●ロ■＆

Ｇ・■ａ

ｉ

一芸(s)=薑響(鴎｡夢等）

h!""≠"l:鰯壼W'kEN)

uﾉ/le7､eAT(n) :=

Q(p),6(p)はpllZ‑2‑ア(z))z‑'+1=0の2根でβ(p)=o(p),

IAT(n)￨≦2(logn)n¥

中嶋眞澄:Ramanujanのムー関数の非自明な零点211

証明(i)補題8(i)の

霧③=語 …｡普黒鍔(1−:) ：

に補題5(3)を代入して対数微分logarithmicderivativeすれば良い。最後

の式は更に〃回微分すれば良い。

(ii)L/(s)=EE,T(")"‑.のEuler積：

三等=写]̲仙豈, ,｡‑写(,̲．("‑布̲ (〃）

を対数微分logarithmicderivativeすると(Rs>¥)

‐坐(｡)‑零響緤非零響緤^Lァ

=Z'ogpZ{｡(p)k+6(p)&}"‑k'

p k＝1

＝量 』

Fi 7zs

またn;=p胸のときDeligneの結果よりβ"=Q(p), ￨Q(p)￨=￨6(p)￨=p号，

これより

IAr(")￨='ogploi(")"+6(')kl≦'ogp{￨"(p)"￨+￨6(p)&￨}

='ogp{p号聡+p号晦}=2'ogp('")¥

≦2(logn)"号．

これで補題の証明は完了した。□

補題10 JVf(T) ;=#{pECI号≦況β≦¥,0≦Ss≦T,L､p)=0}と定

義すると

ノVr(T+1)‑JVf(T)<logT.

証明補題9(i)に補題5(2)を使って

‑=(s)=‑(,｡g…)¥(｡'‑¥{*f;}

=‑(lo豊…)+O(lo僅0‑零{古手;}

=o(l･恩馴‑亭{古手;}

となるが． ここでs=¥+jTを代入して

州一微睡Ｚ目

一一

鋤

咽−２叫一４

<="gn号

皿＝1 712

１く

冗２厘︶兜Ｏｌ函Ｅ回

一 一

を使うと

２

１

︑ｌｒＪ︑ＩｒＪ１｜〃

２１Ｔ ＋γ＃！ ︵〃＋＋

１汀ｌｌｐ１

＋Ｔ

＋一一十惚ノ

里２１汀里２砲ノ ーノｒｌ１ｌβ

１Ｔ 工ｐ

■ 告 口 ロ レ

十里２ｆｌ−−ｉく！階群嘔一２

１ 碇ｒｌ１ｌ２

｜凸ⅨＥｐＺｐＥｐ

ｊ ｌ

〉患1歳=:ｧ息￨'‑:{Iw+')‑ivf(T)}

これで証明は完了した。□

補題11 （ {241補題6.9系の一般化)｡＞6，

s≠β,−〃("=0,1,2,…)として，

(‑M""g(.)I"'‑‑,LR!(,̲:)"

^{〃！ Lァ} +O(log(2+ltl)) (〃＝0,1,2,…）

証明補題9(i)より

(‑¥".'‑‑=R坐"割‑零(｡̲;),,"

^{"! Lァ}

中嶋艇澄:RamanUjanのL『‑関数の非自明な零点213

上記第1項は， ぴ＞6であるから． ￨s‑(‑n)￨‑''‑]は について単調減少

である。従って

1

=w=E1"÷T<

〈A．｡ , 券,=ﾙ．｡(｡,+2,…｡半州,"，

^吻

#̲,,ft,｡艸璽・

＝目＝

鷹("2‑｡,釜,贄,…〃l

＋

IAI･'rR糸叫,｡÷願(鯛璽fw,翼l

＜

｛涼化'‑｡}"l

：＝＝

{1‑旨引

1

￨sl"

（声素)'≦全'･『 ‑

＜

第2項については， これを2つの和に分ける：

1 1 1

¥{s‑#]," =,&Zt,F7戸十ヱー,'gWL, is−pl''+!

この第2項を評価する：

￨,黒 , ̲;脚￨≦ 票, ,｡̲;,…

,'zJr｡‑")｡+(;‑,),,"!,,.<,l¥, ,,‑;,"」

:＝二

１

施くｆ

Ｅ季

１疵

一半１叫叶州ｌ

訓Ｅ窄逗幸一

ｎＢｆ

亟韮Ⅱ渡ノＪ︑

他股−人１人

刻冗冗

函Ｚ冒逗回麺Ｅ周

１

抑くＥ画加十ｇｌ

ｎｌＯ

１＋＋１汐１７

Ｚ郡

ｔ＋１ｊ＋１１ふし＋Ｚ蓉刊ｔ

ｔ く

沌ワ今

ノＪＩｌＩ︑００１１４レー １峠屯１

７７

抑旬︒Ｏ

ｌ＋１且レ ー＋

函Ｚご逗画亟呼 一一くく

ここで．補題10を使った。次にltl≦1とltl>1の二つの場合に分ける。

ltl≦1のとき

くく

函工回Ｌ

＋ｇ

ｌ ｌ 御

酌Ｚ同

ltl>1のとき

薑赤'･g(州tl)く言,赤'･曾川禺赤'･g2"<

筆,｡g21'￨+,｡g2R,FJr+E哩

n>ltl泥し＋

<log21tl+log2砺烏寺庶鶚雲

=log21tl+哩堅十座｣1+4̲

"ltlレ レ￨tl〃 〃21tl"

<log2(ltl+2) (as〃→oo).

ltl≦1とltl>1,いずれの場合も

￨,昂, ̲;,… <二歩!．g(繩÷ltl)

<log2(ltl+2) (aS〃→oo) 以上より

(‑¥¥(s,x)(,)一三(s‑(坐繩F‑¥(.̲;,""

^{"! LT}

=o(:t)‑,:R, ,'‑;,",‑,@z,"峠

中嶋興澄:RamanujanのL『‑関数の非自明な零点215

1 ‑,'R1#r･r+o(#)

+o(1･g2(I'H2))+O(:r)

一一一一 一一

工韮Ｚ韮

ls−p1"+!

1

Is‑pl''+!

となり，補題は証明された。□

補題12 sをLｧ(s)の正則点として, Sに一番近いLT(s)の非自明な零 点は1つとして．それをp0とする。そして￨s−po1<￨s‑(‑")I (n=

0,1,2, ･ ･ ･), ￨s一伽￨<ぴ≦￨sl, ￨s‑pol<1とする。このとき

1こり竺些(s)(")=‑

_{"! LT} ^1+o(1)

(s−p0)"+' 証明補題6, ￨s一助￨<グより

(‑4""44)=

_{"! LT}

‐‑, 異! (，‑;)峠T+O(1o92(ltl+2))+

+o{#}

1 +o{*}‑

＝＝一

(s一β0)''+]

1

‑,,,誤扉，,g､s‑;)W,+!+o(1.92(ltl+2))

('､+｡"#=妾γ縮L}‑

｛｡̲〃 +(｡̲:．)峠!｡(1)‐1

＝＝

1

(｡‑,,)峠! ;,箒晶,鬘,o(1)+O(1･g2(ltl+2))

1+o(1)

一

一

一 一

(s−p0)"+!

(""!･(!･鷺(2+ltl))+O(l･曾2(ltl÷2))

1+o(1)

（ ‑,,, ("̲;.)峠To(log(2+Ⅲ÷

半(．̲; ,)峠To((s‑I'0)''+! !･g2(ltl+2))

1+o(1)

一

一 ー

(s−p0)"+!

(．̲:,)ﾝ.To(log(2+ltl))+

1+o(log2(ltl+2))

1

o(log2(ltl+2))

ー

(s−β0)"+]

:＝二 ■■一

(s一八))"+!

1+o(1)

(s−p5FT "s'ﾉ→ooD

:＝二 ■■一

補題13 121, 191, 1121, ￨131, 1151, 1241, {291 c>0,Y>0に対して

一 一

Ｊｕ︐α

か一が

１

ｃ−

｜

流

(1≦Y)

(0<Y≦1) logYi

0．

補題14( 1271の改変）

c>0.XY>1に対して

ｊ

︑﹄く一く一〃右ｆ沖夕γに伽仙

1

L/c+io｡x:(Zi:‑')d"=

ル":¥"

27Ti

志'･g(¥)≦L

O ，

証明補題10を使えば良い。□

補題15

実数上有界な台IB,c}を持つ複素数値関数抑)=/,(")+ij､!ﾉ), (/,(") :=

町(")，九(fﾉ) :=S/(')))のFbllrier変換：

瞳 /(")exp(i")(I〃…(α）

中嶋興澄:RamanujanのLr‑関数の非自明な零点 217

は工の実解析的関数realanalyticfmctionである。更に;rをZ="+"

に拡張した

鷹

F(z) := /(u)exp("Z)d" ･･･(6)

はz＝勿十〃の複素解析的関数complexanalytichmctionである。

注この補題は、ある意味弱い意味でPaley‑Wienerの定理の逆となっ

ている。

証明複素解析的ならば実解析的であるから，後者を証明すれば良い。

F(z)=F("+")=Fi(z)+iFb(z)=Fh("+")+"("+") と置いて実数値関数届(z), Fb(z)がCauchy‑Riemannの方程式を満たし

ていることを以下に示す。

瞳'(")exp("z)dt)=踵ﾙ)exp("z)d",

/(")exI)("z)､/,(")+j/､")}expli"("+i")1=

={/,(")+fji(")}e‑びり{cos("")+isin("")}

={/,(")cos(")−ん(")sin("")}e‑"MI+j{ハ(")sin(")+/i(u)cos("")}e ""

であり， この場合積分と偏微分の交換が可能であることから 0月 い{ﾊ(")sin(")+帥)cos(")}e ""d",

−−

a〃

a晶

藤ひ{ﾊ(")cos(")‑/b(")sin(")}e‑t'"d",

8月 ay jf剛{ﾊ伽)"刺‑鯏愚in(")}e ""d",

a脇 0〃

となり（勿論これらの積分が存在する場合を考えている)． これより

6月 aら

ar

ay，

6局 0局

一一一

ay

が従う。これはCauchy‑Riemannの方程式である。□

主定理1の証明

以降, o(･),O(･),<,〜等の記号は〃→+ooのときを考えている。

s=o+it, 6<o<f, "EN, 1<",X,Y>1, 6>1として次の積分

を考える：

一式1裳"Hg($手幽)(")x"!¥=gd"^{"! LT}

^{〃 21ogY}

13

(6<"<=,"="+")

ここで.後にX=exp(ff)<=F5, 6>] 1301とする｡6は後に決め

る。

補題11を使うと， この積分Lは

4‑;=A､")=g"鶚I堂州趣‑1) du)

^{池t"/〃 21ogY}

；・薑忌)"Ar(")zg")"

』＝＝ α施ヲ

ns

｜緋I尋≦ ! ' Ⅷ

uﾉﾉlereOn:=

…(1) となる。ここで，

(‑''"'=(･)("‑=M"¥g")' (･>¥)

抑＝1 ns である。

ここで積分路を次のL=L1+L2+L3+L4+L5に移す。積分路Lは次

の通りである:A>1として

ｌ︑Ｊ１山

ｔ八〃 一一

叶十り飢 ４州乳乳 一死十十 川州州

畢過崎峠鵬３

＋・２・２ 上｜＋＋

Ｌ−１ｒｌ−ｌ

１２３

中嶋填澄:RamanujanのLt‑関数の非自明な零点 219

ｌｊ

唯呵

タ グ

〃 １

■

︑

● の

⑲

＋

＋喝−２ 週−２〃 ″１兆

味Ⅷ

４Ｊ■■ｑ︑■のαツル＋

＋画一２

一−

留数定理により，

=鱈{鶚型差糾割")K鵜うり}≠

÷余A……止二3竺芸(畔:)(")X総ﾃﾘdT"

(‑4''+!*､)+

：＝＝

"! LT

ギ刺,……(‑茅 芸( ﾅ )(")X競うlld"

（姜器,＋

≠余A,……｡(‑M4¥ナチ)し)X鵜ﾃlldu)

…(2)

を得る｡ここで,補題'2を使った｡また, 〃＞'であるので許(s+:)

の特異点uノー〃(β一s)は汎〃(β−s)<‑Aとなり，積分路Lの定義によ り積分路Lの右側に特異点uノー〃(β一s)は存在しない。

次に(2)の5つの積分を上から評価する。

積分路Ll上では

刺,鶚竺芸(s+:)(")jE総ﾃlldi"

<j堅'蛎一引芸(,手筈'卿￨鶚

伽一以川一皿川一域 画ＥごＺ富Ｅ健

冗冗︑呼抑部皿−２

_〃っ１函

<竿("+')!(:)峠，ﾙ函舞預 W("+')!(:)""ﾙ雲鈴

（XY)

=(XY)''字(:)"'(;)

<､x'')"(:)"'

寒圭(¥)"<(¥)'一(÷"(苦)) ，

⁽³⁾

となる。ここで補題2を使った。

積分路L5上でも同様に

赤A"(‑M¥(,+:)"x鵲予lld",

雲(¥)"=(;鱈"(苦})"…(3，

積分路L2上では

*A｡ (‑M¥(｡¥)"'E総ﾃudu,

〈ホル專綱尚￨芸佃崎劇いり御￨

×,"緤馴,側

〈志1重尚￨差(｡；i叩脆1，"(鰈Ⅱ, ．

〈鶚1重I叫緬,差 妙

〈鶚ぃ手職等)劇か 寒(f)"‑(y｡¥))"

ここではα『,の定義を使った。積分路L4上でも同様に

刺. (‑¥!=(｡*:)(｡'x総ﾃlldi"

<(f)"‑(v｡¥')"‑(4'

(4)

中嶋眞澄:Ramanujanのムー関数の非自明な零点 221

次に残りの積分路L3上の積分について考える。B>1として積分路L3

L3,, :=I‑A+i"(略一t),‑A‑iBI, L3,2 :={‑A−jB,‑A+iBI,

，‐;‑…' (:)<･"(‑点)と を選ぶ

に分けて評価する。Aの値は後に決めるが．そのAの値に対してBを定

さて

（ ‑,,＋

を考える。

仮定しているs一β0=(｡−β0)(1+io(>))を使い〃>1を考えると

｛( ‑,,＋

‑{(｡‑',)+o(;i)+二芋些}峠

‑{(｡‑@b)+

＝(｡‑〃 (崎豐部｜ 。

１１＋

〃くｌ

諦 一 州 唯

十Ｂ１ｆｊｌｌく一

Ｕは １１＋〃く

一一

一 州

川 １

＋１

１−

exp(差誇）

‑(叶｡{ﾘ脚(F4z)､F:FM)

嘘曾

７啄

打

﹂

︲

○

足

一一一一込峰シ錘↓Ｉ姪↓Ｉ地↓ｒ堤↓Ｉ蛭↓Ｉ︲判叩辨潅一幸

ＺＺ

ｖｊＪ諏幽︑陣ノ

０１０

１ｐＳ１

︾︾一︾一一︾

︽ｕ＋

く

ｆｔ異十

０︑Ⅱ画ＩＶ ｌ暹

叫

Ｉ Ｖ−ｇＱｏ ｌ

鶚

，峠釧̲￨m:2z"I￨(¥)dx｡‑

｛(繕蒜卿妹！ 制｣(噸芦)"非【￨＝

(I+'r)‑

,鋤̲￨鰐些I￨

羊I舅マ⑦gZ￨"￨ q紫皇

(目6"6IOz)gz窮暴09彰毒饗製識曽副瑚ZZZ

中嶋興澄:RamanUjanのLW‑関数の非自明な零点223

",(*)¥､F=a)

1 1+o(1)

＜

27rlogY(グーβb)!'+' 1+o(1) X‑'!

（グー助)"十127TAlogY

･ ･ ･(5)

ここで⑱EL3,3であるから， 〔"＝一A+"=‑A+j"("一t), B≦ひ≦〃(W‑t)より

2〃

‑A+j"("‑t)

s+==o+"+

〃 〃

＝ (・‑:)÷iy (2+!≦,≦い^〃

従って， β≠β0なるβに対して"EL3､3であるとき

￨.十讐‑,￨>￨,f‑,｡｜

となるので補題12を使ったことに注意すべきである。

L3,1上での積分も同様に

｜札"ﾋｻ型芸(s+"f艦予｣'"￨

≦会鰯忌̲ , ￨(一等､芸( 寺号)御￨ ,蒜器

鍾2ir,:gw"､(*)等僅"(5=*) ^{1 1+o(1)}

1+o(1) X‑A

：＝＝

（ぴ一助)''+'27rAlogY

…(5'）

となる。

最後にL3,2上の積分を考える：

*A｡$f￨g(｡¥)"x総ﾗ1)

について詳述する：

￨〃￨≦Bのとき，

｛崎鵠} 修=．

duノ

1+o(1)

=(畔｡(')'｡$4(‑'F:F;)

これを詳しく述べると玩器7＜'であるので

であるが，

１１

竺例

十１／１１１︑

缶ＢＯｌ

ｊ

ｊ唖×

十ｒ川乎ｌｒｈ￥一一一一

M宕鶚‑;(虎鵲)｡≠…｝｜

Xexl)

{畔;壱鶚} '〆

｛齢≠士(識)" ,:｡(淵)〃 ≠…l

Xexp

{ 手玩鵲} '噌"(,4鰯)露,(‑ 南)×

｜士(識) 圭｡(淵)"≠ l

xexp

（ ） （ ）

{崎鵠} '", ・4鮒",＝六×

i＝＝

I;{;(")'‑=(").≠…}l

xexp

（ 斗鮒) "(‑ ホェ）

{'+O(;)}Cx!,

＝:＝

{'+o(;)}

×

（｡4駒)"(‑m南

{'+o(;)}exI)

中岻興澄:RamanujanのL，‑関数の非自明な零点225

‑('Ⅲ",(古)｡"(‑'*)

である。このことを使って

P/:)"x鵲テリ(II"

1 A3.2 "! LT

27Ti

，斑(‑茅'芸( ÷；)(")Z=…'祭器 恥

1

＝＝

27Ti

，鷲Ⅷ) X‑… 祭器 叩

−1

(s+帯一β0)['+｣

2両j

l:," ̲'4)"+' (‑A+'")2'ogY x 州! Y 州

1

＝＝

（s‑,0＋岑些） （‑A+")響logy

27Ti

l:,̲ "､"*､l1)̲4"=…'(1‑Y‑…)伽

1

('+玩舞;)"+｣ (‑A+")2'ogy

2祁

（グーβb)し+】

刎芸器,×¹

)exp(‑iF*E)X‑A+"('‑Y､')(I"

｛1+O(;)}exp(・圭)exp( i南X A+"('‐y A+卿)d

底

×

(̲A+itj)2109Y

(*)x‑'"

1 1+o(1)

27ri(グー的FTcx')

g＝＝

{'+O(;)}exp(‑'*)('‑Y‑'､

"LfUw"f"; "'¥｡gx'd"

底 '，("log叩

×

（−A＋加)2109Y

…(☆）

（☆)の右辺の積分を

（ 4か ×

凡(X) :=exp

{1+o(;)}exI>(‑iF¥m)(1‑Y‑)

底 '帆･gX)d"

×

(‑A+")21OgY と置いて

4c n)"割×

×隆｡刈，(三諜志…

cxp("logX)d()

とする。

￨{'≠｡(;)}exp(‑i*)('‑…｝

(‑A+加)21OgY exp("logX)

2

＜

‑(A2+tj2)logY をみたし，

2

(A2+"2)logY

は可積分integrableであるので

Lebesgueの優収束定理DominatedConvergenceTheoremを使って

MFI,(x)=F(x)

である。また補題15より

F(x)の右辺の積分はlogXの従って碇X>0でxの複素解析関数となっ ている。またF(x)の右辺のX‑AもX=0の近傍を除いてxの複素解

析関数であるから

'(x%('4"J

※僅坪(三耕巖iilexp(",｡gX)@I"

はX=0を除いて呪X>0でXの複素解析関数となっている。

従って〃＞1に対して

夫L"4g("¥I("x鵲ﾃlldi"

*r芸器TE,(X)""'蝿叩)=F(x)

でF(x)はX>0で実解析的で"に依存しない

複素数値実解析関数である。

…(6)

中嶋填澄:RamanUjanのLr−関数の非自明な零点227

(1),(2),(3),(3'),(4),(4'),(5),(5'),(6)を使うと

4，＝

Aｧ(n)(logn)"

α犯 ns

1 ア

:＝＝・■■■■■

〃! ≦(XY)"

1+o(1)

＋

一

一 一

(グー比)"+］

伽ｄ

＋州一岬

ｊ︑ＩｌＩＪい

〃︑Ｉノ

＋︑ｌｒＪ

／Ⅸ十

ｉ引叫ｌ１ｌ誠十十

ｰ

(芸器 (;)≠

手壼{"A"}"F差糾:)(")X鵲ﾃllduj̲

(芸器 (;)≠

+"'"(‑M¥('+;'"ji鵲ﾃildi"

Aｧ(")(logn)"

呪8 α沌十

しｊ

Ｚい

く一

加１｜仇

一一

半｡{(;e"(gF)ル｡{("弩藝)"}

ｰ

(芸器7{(;)*o(爾差三7)}‑

(芸器,{(;)‑余叩)｝

=尚"鬘忍順ﾙ(")=g")"^αm十

"{(;",(gF)ル｡

｛(γ､芋') ｝

−条

を得る。ここで上記左辺の第1項：

{(;)"(扇鐙了)}

が

{(;)"(fT)}>:

であるようにA>1,Y>1を選び(実際のA,Bの選び方は第1番目に上 記のようにAを選び．第2番目にBを選ぶ)，そして

{(:)‑*FIxI}

に関して

｡:‑{(3)*o(濡赫)}+(;)>;f:‑:

と置き(αがXに依存しないようにAを定めることが出来ることに注意 すべきである。 ）

α‑*F(x)≠

となるよう

F(5=F)寒志，

の6を選ぶ。これはF(X)が実解析関数であることと，定数coIIstalltで ないこと(注)から可能である。また上記

。‑*F(x)

は〃に依存しないことに注意すべきである。

従って上記品は 品一今

（姜器 {"‑余剛x)}

中嶋興澄:RamanUjanのL『‑関数の非自明な零点 229

Aｧ(")(logn)"

犯8 α ＋

1 ﾂｰ〕

ー

一 ̲

〃1 7 ≦(XY)鼠，

半｡{(浄,(苦)ル｡{(γ･芋)咳｝

"赫伽α‑*F(x)≠。

…(7) となる。

ノ理｡凡(x)=F(x)

｡‑*F(x)≠，

より，即ち

｜･‑余剛x)￨→la‑a#)￨>0｡."→｡。

より，十分小さい正数0<EO<1を

0<￨"‑z")￨‑<,

を満たすように選ぶと十分大きいv">1に対して

0<￨｡:‑z,)￨‑.｡<￨｡‑*"(x)￨<￨"‑a")￨+"…岡

となる。

上記(7)の左辺の絶対値の；乗平均値獄分を考えるが, (*☆)と補題'から

1""￨(:4*,{￨｡‑*"(xI￨‑<｡}｢m'典̲ (｡̲βb)峠,{･一夫F(x1− 。

^｝

2ﾉﾙ

側(芸糸,｡‑余邪} :｝

1

＜−

−2ﾉL

￨ｵ 噸" ,芸器 {鯉‑圭鯏}'"＊

l

＜

｝ ｝

￨猟"｡{(''¥'昨･{(等剛苦'仰

＜

2

l

AT(n)(logn)"

α宛 di

〃s

+奇ア

〃! ≦(XY)8'

｝ ｛(。

" 。 (γ半' " ≠･ 里倉"(苦'

＜

1

1

）"

両"≦震),心(")(logn)"

＋ α、

庇s

（ ） 。

｡｡{(｢半乢｡ ｪ叩豊川 ^{｝ ｛（}

＜

｛尚"為M剛)fw"'In'I￨'

｝ _{） ￨}

+IO

（ （

b("蕊判，帷刈当)1"￨'+

＜

， 2 ） 1。

面"皇悪,｡A､");¥g")"

＋ α抑

ns

l｡{去肌ふ州禁酬剛心

＜

(yHP)T¥￨(#"f#'

｝￨

＋

￨･'ｫ,剛ふ州鮮が剛ﾙ．

＜

（y割学)1"￨2・竺嘩,IFl"￨:

｝￨、

＋

･ ･ ･(8)

ここでα,6,c,d≧()に対して((J+I)+C+d)2≦4((m2+62+c2+(I2) を得る。ここでα､6,c

であることを使った。

中嶋興澄:RamanujanのLI‑関数の非自明な零点231

(8)の右辺の稜分に対して補題3を使うと

1""￨(:=$)1．̲ ("̲βb)睦兼！{α‑壼F(x}‑ ，7{l｡‑I")￨‑.,}Id'；

2ﾉ1

1.脚"尚ふ州砦馴噸ﾙ

＜

(ya=)"≠号",(gE,)"}￨*（ ）

_｝l

＋

￨｡{(;)｡ふ響化… ≠

＝＝

(EF(;)｡ふ等(lo州側， ≠ ）

+O

('陰芋｣)'"f",(5､F,)"}￨'（ ）

_｝l

＋

￨｡{gfL(;)'""*｢

72≦(XY)し 〃2ヶ (log")2"αn2+

1

≠('弩掌)"≠(浄,削難}l"

⁽⁹⁾

ここで， 〃→函のとき

1

＝＝

o一助

{￨"‑壺咽￨‑"}r"

蝿去噸

(ぴ一助)"+1 ^1+o(1)

鬘蝿￨･{竿(尚)｡ふ等('…庶≠

)""≠(#"IF=FI)"}￨"

("等掌

十

． ．(10）

(10)の右辺の第1項を補題2を使って評価する：

≦悪}""('･g'''"･""

(XY)"/112

（;!）

ノ&

（筈)噌蝿

^（胆!）

<exp

（筈)γ修念;)2=LEfド…

^（"!）

<eXI)

Fg"2o−11

(尚)'(2"+2)!(万坐Tz)""

雲,測,偶)γ'念

（筈)沙念2端"×

<eXp

x(2"+2)(2"+')(FLJ

")'"急伽加川

<cxI) (志)"令

(11)

(10)に(11)を代入して，補題4を使うと：

1

＜

｜グーβbl‑

{｡{"(;)"ふ導艸脈≠

<lim

〃→OC

(y"=)"≠f"xi,(F=FI)"^{） （ ）}

｝}

＋

lo{･x,")'=

｜o{･蕊p(謡y筈胤1(2"+2)(2"半1)

^（。

<lim

〃−ﾅ lo{･$:)'%I,(2‑'*!'(FLF)""） ・̲風,伽2x2"+!)'.,('‑'+!'(FLF)"

^{（｡‑6）}

<lim

〃−ﾅ

(γ･劉停) ，"+竺州農)

､

＋

{' ･､61 .46/' γ僧刻学'）（ ） （ ） （γ｡"間・

＝lnaX

)｝ノ

中嶋興澄:RamanUianのLr‑関数の非自明な零点233

‑""{(γ雫学), ("弩藝)}

…(12）

(12)でぴ一助＞0を保ちながら， oを比に十分近づければ,4>6であ るので， （12)の左辺はCOに近づき．一方(12)の右辺は

M"宰学), ('弩謨)}￨｡̲"

という有限値6nitevalueに近づき矛盾が生ずる。従って伽=@b+j')b,A>

6なる定理の条件を満たすLT(s)の非自明な零点non‑trivialzeroは存在

しない。□

注:F(X)が定数でないことの証明

(*)r‑

G(z) :=F(X) :=exp

×丘exp(‑'*)('‑Y‑…lexp("'｡gX)d" (̲A+")210gY

（・翁）

exp

＝＝ ×

logY

(‑i*)('‑Y‑A+")

丘" （̲…)2 'eXp((̲A+")Z)dU

×

uﾉ〃ﾉl z:=logX

G(z)=coy@st(z72tと仮定して矛盾を導< :この仮定から

¥c(z)=cx':(g) ><

且G(z)＝ ^exp ×

dz

logY

(‑i*)('‑Y‑

l:｡xp( g+'""｡x"

隆"， （‑A+"， p((‑A+州 ・

×

＝0？

汀

入ａｖｘ

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(g6*6IOZ)gZ彰暴09彰訴饗製鍔倒閣瑚舵Z

中嶋興澄:RamanujanのZ,r‑関数の非自明な零点235

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os(BlogY)+cos{B(logX-")}Sin(BlogY)

logX‑豈両+logY

ここで, logY=27r,BENとすると

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{B(logX‑*)}̲sin{Ell･gx‑54FE)}

YAgll

logX二三｣Z。̲βb ‑ logX‑=n+2"logX−志十2両

sin{B(l｡gX‑")}≠0であるので

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Ｘ− ｌｇ 昭Ｘ

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ｌ− ｌＯ

芸両‑logX 万当両‑logX‑27T

となる。又0〈。‐βb<1であるので豈両‑logX>1であるが,A>1

であるので

ｰ

−−logX

1<e27rA

房瓦一logX‑27T

となり矛盾を引き起こす。従ってY=e2",1<BENと選べばF(X)=

G(z)≠co"st(mt.□

パラメータX,XA,B,ぴ一比の選び方

X=exp{;";},Y=C2",A,BEN,｡‑比は次の条件(a),(b),(c)

,<・‑@b<¥=…{黄}…(a)

｡−；

（"4偽)"化）

−…n(:)<ex,

汀

2

（燕奈毫7)‑;"(¥

;+o

満たすが，先ず(a)を満たすようにグーβbを選び，次に(c)を満たすよう にAを選んでから, (b)を満たすようにBを選ぶ。

注意1 ：主定理lを繰り返し適用すると，

中嶋填澄:RamanujanのZ,r‑関数の非自明な零点237

qn̲]<'70<q,,内にある零点β0の実部此は次第に小さくなり，

非零領域zerofreeregion:

{o+ft lBb<d,q"‑,<t<q"}

は，左方向に広がって行き，遂には {o+it l6<o,q"‑,<t<q"}

となる。

主定理は次の結論を導いている。即ち，存在を仮定したβ･は実際には存 在せず， 6＜ぴとなるLT(s)の零点s=o+itは存在しないことになる。

この手続きを各p0に施せば．結局LT(s)の非自明な零点は半平面6<o

には存在しないと結論付けられる。

A=6では上記矛盾が生じないので， この過程はグ=6で止まる。

注意2: logLT(s)がDirichlet級数に展開出来る事，即ちL､s)がEuler積 を持つ事が重要である。従ってS.RamanUjanのzeta関数：

州＝薑響‑写!̲杣−．寺,¹ 璽〆(鯛｡>等｝

00 ．C

@"hereA=9n('‑9")24=ET(")9",(I91<')

河＝1 ＝1

だけでなく尖点形式cuspfbrmに付随associatedするzeta関数orL‑関数 に対しても，一般にEuler積productを持つzeta関数orL‑関数に対して

も， この論文の議論は適用出来るはずである。

参考文献

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