一般化三角関数の倍角公式

(1)

一般化三角関数の倍角公式

Double-angle formulas of generalized trigonometric functions

関数方程式研究室

BV12040

佐藤翔太指導教員竹内慎吾教授

1 はじめに

一般化三角関数は三角関数を

2

つのパラメータ

p, q

を用いて一般化した関数であり,恒等式

(1)

をはじめ, 多くの三角関数に類似する性質を持つ. 一方で,倍角公式等に関しては一般の

p, q

を用いて表す方法は知られていないが, [2]にも記されている

(p, q) = (

⁴₃

, 4)

の場合のように

,

極めて特殊な場合に限り倍角公式を求められる. 本研究では,特殊関数に帰着できる様々な場合の倍角公式を研究し

,

新たに補題

4.1

や

(7), (11)

などの倍角公式を発見した.

2 一般化三角関数とは

定義

2.1. p, q > 1

を用いて

,

次のように定める

. y = sin

⁻_{p, q}¹

x :=

∫

x 0

(1 − t

^q

)

⁻¹^p

dt, x ∈ [0, 1].

この逆関数

y = sin

p, q

x, x ∈ [ 0, π

p, q

2 ]

を一般化正弦関数という. また,

π

_{p, q} とは以下で定義された定数のことである

.

π

p, q

:= 2 sin

⁻_{p, q}¹

1 = 2

∫

1 0

(1 − t

^q

)

⁻¹^p

dt.

定義

2.2.

一般化余弦関数

cos

p, q

x

を

sin

p, q

x

の導関数で定義する.

cos

_{p, q}

x := d

dx sin

_{p, q}

x, x ∈ [ 0, π

_{p, q}

2 ]

.

ここで,逆関数の微分法を用いると,

cos

^p_{p, q}

x + sin

^q_{p, q}

x = 1, x ∈ [ 0, π

_{p, q}

2 ]

(1)

を導ける.

定義

2.3.

一般化正接関数

tan

p, q

x

を

sin

p, q

x

とその導関数

cos

p, q

x

の比で定義する

.

tan

p, q

x := sin

_{p, q}

x

cos

p, q

x , x ∈ [ 0, π

_{p, q}

2 )

. (2) (p, q) = (2, 2)

のとき, sin_{p, q}

x, cos

_{p, q}

x, tan

_{p, q}

x, π

p, q はそれぞれ通常の

sin x, cos x, tan x, π

となる.

三角関数を一般化したこれらの関数を総称して一般化三角関数という

.

3 一般化三角関数の性質

一般化三角関数は

,

三角関数と同様に様々な性質を持つ. その中で,ここでは倍角公式の導出に関連するいくつかの性質を記す. 以下,

p

^∗

:=

_p₋^p₁ とする.

補題

3.1. p, q > 1

に対して

, π

p, q

= p

^∗

q π

q^∗, p^∗

. (3)

命題

3.1 ([2]). x ∈ (0, π

_{p, q}

/2), y ∈ (0, 1)

とすると,

d

dx cos

p, q

x = − q

p cos

²_{p, q}⁻^p

x sin

^q_{p, q}⁻¹

x, d

dx cos

^p_{p, q}⁻¹

x = − q

p

^∗

sin

^q_{p, q}⁻¹

x, cos

^p_{p, q}

π

p, q

y

2 = sin

^p_q^∗∗, p^∗

π

q^∗, p^∗

(1 − y)

2 . (4)

定理

3.1 ([3]).

任意の

x ∈ [0, π

2, p

/2

²^p

] = [0, π

p^∗, p

/2]

に対して,次の倍角公式が成り立つ.

sin

2, p

2

²^p

x = 2

²^p

sin

p^∗, p

x cos

^p_p^∗∗⁻, p¹

x, (5) cos

2, p

2

²^p

x = cos

^p_p^∗∗, p

x − sin

^p_p∗, p

x.

4 一般化正接関数

一般化正接関数に関して, 定義

2.3

において

(2)

と定義したが

,

これを用いては通常の三角関数における

1 + tan

²

x = 1

cos

²

x (6)

に相当する等式は得られない. ここで,以下を定義する.

定義

4.1. τ

p, q

(x) := sin

p, q

x cos

p

p, qq

x

, x ∈ [ 0, π

p, q

2 )

.

(1)

に対して

τ

p, q

(x)

を用いると

,

以下のように

(6)

を一般化した等式が得られる.

1 + { τ

p, q

(x) }

^q

= 1

cos

^pp, q

x , x ∈ [ 0, π

p, q

2 )

.

ここで, tan_{p, q}

x

と

τ

_{p, q}

(x)

の関係性を示す等式を記す

.

(2)

補題

4.1. x ∈ [0, π

p, q

/2)

において, 次の関係式が成り立つ.

tan

p, q

x = τ

p, q

(x)(1 + { τ

p, q

(x) }

^q

)

¹^p⁻¹^q

.

この等式は

,

一般に

τ

p, q

(x)

について逆に解くことはできない. また,

p = q

のとき

tan

_{p, q}

x = τ

_{p, q}

(x)

である.

5 倍角公式

はじめに述べたように, 一般化三角関数において一般の

p, q

では倍角公式を表すことはできていないが, ある特殊な場合においては表すことができる. 以下に

述べる

3

つの

(p, q)

の場合はそれぞれ特殊関数に帰着

できることが知られている.

(2, 2) ⇐⇒

三角関数

sin x

(

⁴₃

, 4) ⇐⇒ Jacobi

楕円関数

sn(x, k) ([2]) (

³₂

, 3) ⇐⇒ Dixon

楕円関数

sm(x, α) ([1]) (2, 4) ⇐⇒

レムニスケート関数

sl x

すなわち, sin4

3,4

x

を

sn(x,

√¹

2

)

で表すことができ,

sin

3

2,3

x = sm(x, 0), sin

2,4

x = sl x

となる

.

これらの特殊関数の倍角公式を用いることにより, 一般化三角関数の倍角公式を導出できる.

以下に記す

2

つの場合の倍角公式は, 発表者が新たに発見した公式である.

5.1 (p, q) = (2, 3)

の場合

定理

5.1. x ∈ [0, π

2,3

/4]

に対し

,

次の倍角公式が成り立つ.

sin

2,3

2x = 4 sin

2,3

x cos

2,3

x(3 + cos

2,3

x)

³

(1 + cos

_2,3

x)(8 + sin

³_2,3

x) . (7)

証明

.

倍角公式

(5)

において

p = 3

とすると

,

sin

_2,₃

√

³

4x = √

³

4 sin

3

2,3

x cos

¹²3

2,3

x (8)

が成り立つ.

u := x/ √

³

2, U := x/2

とすると,

sin

2,3

2u = √

³

4 sin

3

2,3

2U cos

1 2 3

2,3

2U (9)

となる

.

右辺に

(

³₂

, 3)

の倍角公式

([1])

sin

³

2,3

2U = sin

3

2,3

U (1 + cos

³²3 2,3

U ) cos

1 2 3

2,3

U (1 + cos

³3 2,3

U )

を用いる

.

さらに

,

この倍角公式に対して

x

を ^x

2

(= U)

とした

(8)

を

cos

3

2,3

U , sin

3

2,3

U

について逆に解いて得られる

cos

³²3

2,3

U = 1 + cos

2,3

u 2 , sin

³3

2,3

U = 1 − cos

2,3

u 2

(10)

を用いる

. (9)

の右辺を変形して整理し

, (7)

を得る

.

5.2 (p, q) = (

⁴₃

, 2)

の場合

定理

5.2. x ∈ [0, π

4

3,2

/4]

に対し

,

次の倍角公式が成り立つ.

sin

4 3,2

2x =

4 sin

4 3,2

x cos

1 3 4

3,2

x(1 + cos

4 3 4 3,2

x) (2 cos

²³₄

3,2

x + sin

²4 3,2

x)

²

. (11)

証明

. (p, q) = (

⁴₃

, 2)

とすると

, (q

^∗

, p

^∗

) = (2, 4)

であり, (3), (4)は次のようにできる.

π

4

3,2

= 2π

2,4

, (12)

cos

4 3 4 3,2

π

4 3,2

x

2 = sin

⁴_2,4

π

2,4

(1 − x)

2 . (13)

(13)

において

y := π

⁴

3,2

x/4

とし

, (12)

を用いると

cos

⁴³₄

3,2

2y = sin

⁴_2,₄

( π

_2,₄

2 − y )

とできる. 各辺に対して

(1)

と

sin

_2,₄

x

の加法公式を用いて整理すると,

sin

4

3,2

2y = 2 sin

2,4

y

1 + sin

²_2,4

y (14)

を得る. この等式を

f (2y) = 2g(y)/(1 + g(y)

²

)

とみて

,

右辺の分母

,

分子を

g(y)

で割ると以下が得られる

.

1 g(y) + g(y) = 2

f (2y) , 1

g(y)

²

+ g(y)

²

= 4 f (2y)

²

− 2.

(15) (14)

の右辺を

sin

2,4

x

の倍角公式を用いて展開し

, (15)

を適用することで, (11)を得る.

6 ^おわりに

これまで

, 6

つの

(p, q)

の場合についての倍角公式

の存在が確認できた. 特殊関数に帰着できる場合の導

出

,

さらに

(7), (11)

に記した新しい公式の導出にも成

功した. また, (³₂

, 2)

等の場合についても

(3), (4)

を用

いて

(8), (14)

に相当する関係式は得られたが,それを

(10)

の導出で行ったように逆に解くということが現状困難であり,倍角公式の導出までには至っていない.

参考文献

[1] A.C. Dixon, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 24 (1890), 167–233.

[2] D.E. Edmunds, P. Gurka and J. Lang, J. Approx.

Theory 164 (2012), 47–56.

[3] S. Takeuchi, J. Math. Anal. Appl. 444 (2016),

1000–1014.