角運動量と球面調和関数

数理物理及び演習

^III

（ 量子力学）

^2003.4.24

2

角運動量と球面調和関数

^I

1【^Legendre陪微分方程式】中心力場中で運動する粒子の定常状態の^Schrodinger方 程式を極座標表示し，波動関数の角部分を

Y

⁽

'

^{)= (}

⁾⁽

'

^{)としたとき，その}

成分は変数分離により

1

sin

d d

sin

d

⁽

⁾

d

!

+

^;

m

²

sin 2

!

(

⁾⁼⁰

となる（

^は定数，

m

^{は整数）。以下の問に答えよ。}

(1)

z

^=cos

^とし，(1;

z

^2)00;2

z

⁰⁺

^;

m

²

=

^(1;

z

^{2)] =0を導け（0は}

z

^による

微分を表す）。

(2)

z

^!1で(

z

^{) =(1}

z

⁾

^k

^X

n

⁼⁰

a n

⁽¹

z

⁾

ⁿ

^{のように展開する（}

a

^{0 6=0）。このとき，}

(1)の微分方程式が有限な解をもつ条件は

k

^=j

m

^j

=

^{2であることを示せ。}

(3)(

z

^)=(1;

z

^2)j

^m

^j

⁼

²

f

⁽

z

^{)とおくと，(1)の微分方程式は}

(1;

z

²⁾

f

^00;2(j

m

^j+1)

zf

⁰⁺

^;j

m

^j(j

m

^j+1)]

f

⁼⁰に帰着することを示せ。

(4)

z

^=0付近で

f

⁽

z

^{)= X}

n

⁼⁰

b n z ⁿ

のように展開し，これを⁽³⁾の微分方程式に代入する ことにより，漸化式⁽

n

⁺²⁾⁽

n

⁺¹⁾

b n

^{+2 =(}

n

^+j

m

^j)(

n

^+j

m

^j+1);

^]

b n

^が得られ ることを示せ。

(5)(4)の漸化式より，与えられた微分方程式が

z

^!1で有限な解をもつ条件は

⁼

l

⁽

l

⁺¹⁾

l

⁼⁰

¹

²

l

^j

m

^j

で与えられることを示せ。

2【^Legendre陪関数と球面調和関数】問¹より，中心力場における粒子の^Schrodinger 方程式

^{成分はLegendre陪微分方程式}

(1;

z

²⁾

d

²

P _l ^m

⁽

z

⁾

dz

^{2 ;2}

zdP ^{l m}

⁽

z

⁾

dz

⁺

"

l

⁽

l

^+1);

m

²

1;

z

²

#

P _l ^m

⁽

z

⁾⁼⁰

で与えられる。以下の問に答えよ。

(1)

m

^{=0のときに得られるLegendre微分方程式の解}

P l

⁽

z

^{)= 1}

2

l l

^!

d ^l

dz ^l

⁽

z

^2;1)

^l

を用いて，^Legendre陪微分方程式の解は

P _l ^m

⁽

z

^)=(1;

z

^2)jm2j

d

^j

^m

^j

dz

^j

^m

^j

P l

⁽

z

⁾

で与えられることを示せ（^Legendre微分方程式を

m

回微分した式を用いよ）。

(2)(

^{) =}

P _l ^m

^(cos

^{)および (}

'

^{) =}

e ^im'

を用いると，規格化された波動関数の角部 分は球面調和関数

Y lm

⁽

'

^)=(;1)m+j2mj

v

u

u

t

(2

l

⁺¹⁾

4

⁽

l

^;j

m

^j)!

(

l

^+j

m

^j)!

P _l ^m

^(cos

⁾

e ^im'

で表される。

l

²について固有関数を全て求め，確率分布^j

Y lm

⁽

'

^{)j2の概略を}

xz

^{平面上 (}

y

^{=0)に図示せよ。}

(3)

Y lm

⁽

'

Z ^{)は，直交関係} 2

0

d'

^Z

0

Y _l

⁰

_m

⁰⁽

'

⁾

Y lm

⁽

'

^)sin

d

⁼

ll

⁰

mm

⁰ をみたすことを示せ。

(4)

Y lm

⁽

'

^{)に空間反転 (}

^!

^;

'

^!

'

⁺

⁾を施すことにより，パリティを求 めよ。

(5)単位球面上で定義された関数

f

⁽

'

^)=1+cos2

^+sin2

^cos

'

を球面調和関数で展開せよ。