2 連立方程式の解法 1 連立方程式の解の個数の判定

代数学２ No.12 2007.1.11

まとめ 担当：市原

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連立方程式の解の個数の判定

(1) 係数行列をAとし, 拡大係数行列をBとする.

(2) AとBの階数(rank)を計算する

(基本変形で階段行列まで変形し, 段の数(＝0でない数が入っている行の数)を

数える)

(3)







rankA= rankB =n ⇐⇒ 解がただ１組存在する

rankA= rankB < n ⇐⇒ 解が無数に存在する

rankA <rankB ⇐⇒ 解が存在しない

（ただし,nは変数の個数）

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連立方程式の解法

(1) 掃き出し法（No. 2）

(2) 係数行列の逆行列を使う（No. 4）

(a) 定義に従って逆行列を求める

(b) 基本変形を使っで逆行列を求める（No. 4）

(c) 余因子行列を使って逆行列を求める（No. 10）

(3) クラメールの公式を使う（No. 9）

ただし,公式を使うためには,係数行列の行列式を求められないといけない.

行列式の求め方

(i) 定義に従って求める（No. 5）

(ii) 基本変形を使って求める（No. 6）

(iii) 余因子展開を使って求める（No. 8）

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代数学２ No.12 2007. 1.11

総復習 担当：市原

問題 16 連立方程式







x−z=−1 y+ 2z= 2 x+y+z=−1

について,以下の問いに答えなさい.

(1)係数行列Aと拡大係数行列Bを書きなさい.

(2)AとBの階数を求め,「解なし」,「解は1組」,「不定解」のどれか答えなさい.

(理由も書くこと)

問題17 行列





0 −1 2

−1 2 0

1 0 −3



をM とする. 以下の問いに答えなさい.

(1)M の逆行列M⁻¹を,定義に従って求めなさい.

(2)M の逆行列M⁻¹を,基本変形を使って求めなさい.

(3)M の逆行列M⁻¹を,余因子行列を使って求めなさい.

問題18 行列







1 −1 0 0

1 0 −1 0

1 0 0 −1

0 0 1 1





 をN とする. 以下の問いに答えなさい.

(1)N の行列式detNを,定義に従って求めなさい.

(2)N の行列式detNを,基本変形を使って求めなさい.

(3)N の行列式detNを,余因子展開を使って求めなさい.

問題19 連立方程式







x−y= 3 y−z=−1 z+x= 2

について,以下の問いに答えなさい.

(1)行列表示しなさい.

(2)掃き出し法で解きなさい.

(3)係数行列Aの逆行列A⁻¹を求めることにより解きなさい.

(4)クラメールの公式により解きなさい.