代数学２ No.12 2007. 1.10
まとめ 担当：市原
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連立方程式の解の個数の判定
（No. 3）(1) 係数行列をAとし, 拡大係数行列をBとする.
(2) AとBの階数(rank)を計算する
(基本変形で階段行列まで変形し, 段の数(＝0でない数が入っている行の数)を
数える)
(3)
rankA= rankB =n ⇐⇒ 解がただ１組存在する
rankA= rankB < n ⇐⇒ 解が無数に存在する
rankA <rankB ⇐⇒ 解が存在しない
（ただし,nは変数の個数）
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連立方程式の解法
(1) 掃き出し法（No. 2）
(2) 係数行列の逆行列を使う（No. 4）
(a) 定義から逆行列を求める（前期, No. 7）
(b) 基本変形で逆行列を求める（No. 4）
(c) 逆行列の公式で逆行列を求める（No. 10）
(3) クラメールの公式を使う（No. 9）
ただし,公式を使うためには,係数行列の行列式を求められないといけない.
行列式の求め方
(i) 定義から求める（No. 5）
(ii) 基本変形で求める（No. 6）
(iii) 余因子展開で求める（No. 8）
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代数学２ No.12 2007. 1.10
総復習 担当：市原
問題 17 連立方程式
x−z=−1 y+ 2z= 2 x+y+z=−1
について,以下の問いに答えなさい.
(1)係数行列Aと拡大係数行列Bを書きなさい.
(2)AとBの階数を求め,「解なし」,「解は1組」,「不定解」のどれか答えなさい.
(理由も書くこと)
問題18 行列
0 −1 2
−1 2 0
1 0 −3
をM とする. 以下の問いに答えなさい.
(1)M の逆行列M−1を,定義に従って求めなさい.
(2)M の逆行列M−1を,基本変形を使って求めなさい.
(3)M の逆行列M−1を,余因子行列を使って求めなさい.
問題19 行列
1 −1 0 0
1 0 −1 0
1 0 0 −1
0 0 1 1
をNとする. 以下の問いに答えなさい.
(1)Nの行列式|N|を,定義に従って求めなさい.
(2)Nの行列式|N|を,基本変形を使って求めなさい.
(3)Nの行列式|N|を,余因子展開を使って求めなさい.
問題20 連立方程式
x−y= 3 y−z=−1 z+x= 2
について,以下の問いに答えなさい.
(1)行列表示しなさい.
(2)掃き出し法で解きなさい.
(3)係数行列Aの逆行列A−1を求めることにより解きなさい.
(4)クラメールの公式により解きなさい.
