二次曲線

二次曲線

二次曲線

[

^]

二次方程式

ax ² + bxy + cy ² = d

b ² − 4 ac

が正のとき双曲線

(

)

(

)

証明

点 を角度 だけ回転した点を とおくと

これを に代入すると

二次曲線

[

^]

二次方程式

ax ² + bxy + cy ² = d

b ² − 4 ac

が正のとき双曲線

(

)

(

)

[

^]

これを に代入すると

二次曲線

[

^]

二次方程式

ax ² + bxy + cy ² = d

b ² − 4 ac

が正のとき双曲線

(

)

(

)

[

^]

点

( x, y )

θ

( X, Y )



 x y



 =





cos θ sin θ

− sin θ cos θ







 X

Y





これを に代入すると

二次曲線

[

^]

二次方程式

ax ² + bxy + cy ² = d

b ² − 4 ac

が正のとき双曲線

(

)

(

)

[

^]

点

( x, y )

θ

( X, Y )



 x y



 =





cos θ sin θ

− sin θ cos θ







 X

Y



 =





cos θX + sin θY

− sin θX + cos θY





これを に代入すると

二次曲線

[

^]

二次方程式

ax ² + bxy + cy ² = d

b ² − 4 ac

が正のとき双曲線

(

)

(

)

[

^]

点

( x, y )

θ

( X, Y )



 x y



 =





cos θ sin θ

− sin θ cos θ







 X

Y



 =





cos θX + sin θY

− sin θX + cos θY





ax ² + bxy + cy ²

二次曲線

ax ² + bxy + cy ² = a(cos θX + sin θY ) ²

+b(cos θX + sin θY )(− sin θX + cos θY )

+c(− sin θX + cos θY ) ²

二次曲線

ax ² + bxy + cy ² = a(cos θX + sin θY ) ²

+b(cos θX + sin θY )(− sin θX + cos θY ) +c(− sin θX + cos θY ) ²

= (a cos ² θ − b sin cos θ + c sin ² θ)X ² +

2a sin θ cos θ + b(cos ² θ − sin ² θ) − 2c sin θ cos θ XY

+(a sin ² θ + b sin θ cos θ + c cos ² θ)Y ²

二次曲線

ax ² + bxy + cy ² = a(cos θX + sin θY ) ²

+b(cos θX + sin θY )(− sin θX + cos θY ) +c(− sin θX + cos θY ) ²

= (a cos ² θ − b sin cos θ + c sin ² θ)X ² +

2a sin θ cos θ + b(cos ² θ − sin ² θ) − 2c sin θ cos θ XY +(a sin ² θ + b sin θ cos θ + c cos ² θ)Y ²

= ¹ ₂ {(a + c) + (a − c) cos 2θ − b sin 2θ} X ² + {( a − c ) sin 2 θ + b cos 2 θ } XY

+ ¹ ₂ {( a + c ) − ( a − c ) cos 2 θ + b sin 2 θ } Y ²

二次曲線

ax ² + bxy + cy ² = a(cos θX + sin θY ) ²

+b(cos θX + sin θY )(− sin θX + cos θY ) +c(− sin θX + cos θY ) ²

= (a cos ² θ − b sin cos θ + c sin ² θ)X ² +

2a sin θ cos θ + b(cos ² θ − sin ² θ) − 2c sin θ cos θ XY +(a sin ² θ + b sin θ cos θ + c cos ² θ)Y ²

= ¹ ₂ {(a + c) + (a − c) cos 2θ − b sin 2θ} X ² + {( a − c ) sin 2 θ + b cos 2 θ } XY

+ ¹ ₂ {( a + c ) − ( a − c ) cos 2 θ + b sin 2 θ } Y ²

= ¹ ₂ {(a + c) + p

(a − c) ² + b ² ) cos(2θ + α)}X ² + p

( a − c ) ² + b ² sin(2 θ + α ) XY + ¹ {( a + c ) − p

( a − c ) ² + b ² ) cos(2 θ + α )} Y ²

二次曲線

但し、

cos α = a − c

p ( a − c ) ² + b ² , sin α = b

p ( a − c ) ² + b ²

これは、楕円もしくは双曲線の方程式である。

の符号によって、楕円か双曲線かが決まる。

二次曲線

但し、

cos α = a − c

p ( a − c ) ² + b ² , sin α = b

p ( a − c ) ² + b ²

2 θ + α = 0

θ

これは、楕円もしくは双曲線の方程式である。

の符号によって、楕円か双曲線かが決まる。

二次曲線

但し、

cos α = a − c

p ( a − c ) ² + b ² , sin α = b

p ( a − c ) ² + b ²

2 θ + α = 0

θ

d = ax ² + bxy + cy ² = ¹ ₂ n

( a + c ) + p

( a − c ) ² + b ² o

X ² + ¹ ₂ n

( a + c ) − p

( a − c ) ² + b ² o Y ²

の符号によって、楕円か双曲線かが決まる。

二次曲線

但し、

cos α = a − c

p ( a − c ) ² + b ² , sin α = b

p ( a − c ) ² + b ²

2 θ + α = 0

θ

d = ax ² + bxy + cy ² = ¹ ₂ n

( a + c ) + p

( a − c ) ² + b ² o

X ² + ¹ ₂ n

( a + c ) − p

( a − c ) ² + b ² o Y ²

これは、楕円もしくは双曲線の方程式である。

の符号によって、楕円か双曲線かが決まる。

二次曲線

但し、

cos α = a − c

p ( a − c ) ² + b ² , sin α = b

p ( a − c ) ² + b ²

2 θ + α = 0

θ

d = ax ² + bxy + cy ² = ¹ ₂ n

( a + c ) + p

( a − c ) ² + b ² o

X ² + ¹ ₂ n

( a + c ) − p

( a − c ) ² + b ² o Y ²

これは、楕円もしくは双曲線の方程式である。

{( a + c )+ p

( a − c ) ² + b ² }{( a + c ) − p

( a − c ) ² + b ² } = 4 ac − b ²

三角関数

三角関数

[

^]

α, β

sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

平面上で角度 の回転を表す行列を と書くと

三角関数

[

^]

α, β

sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

[

^]

三角関数

[

^]

α, β

sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

[

^]

平面上で角度

θ

R ( θ )

R ( θ ) =





cos θ − sin θ sin θ cos θ





三角関数

[

^]

α, β

sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

[

^]

平面上で角度

θ

R ( θ )

R ( θ ) =





cos θ − sin θ sin θ cos θ



 ∴





cos(α + β ) − sin(α + β ) sin( α + β ) cos( α + β )





三角関数

[

^]

α, β

sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

[

^]

平面上で角度

θ

R ( θ )

R ( θ ) =





cos θ − sin θ sin θ cos θ



 ∴





cos(α + β ) − sin(α + β ) sin( α + β ) cos( α + β )





= R(α + β )

三角関数

[

^]

α, β

sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

[

^]

平面上で角度

θ

R ( θ )

R ( θ ) =





cos θ − sin θ sin θ cos θ



 ∴





cos(α + β ) − sin(α + β ) sin( α + β ) cos( α + β )





= R(α + β ) = R(α)R(β )

三角関数

[

^]

α, β

sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

[

^]

平面上で角度

θ

R ( θ )

R ( θ ) =





cos θ − sin θ sin θ cos θ



 ∴





cos(α + β ) − sin(α + β ) sin( α + β ) cos( α + β )





= R(α + β ) = R(α)R(β )

=





cos α cos β − sin α sin β − sin α cos β − cos α sin β sin α cos β + cos α sin β cos α cos β − sin α sin β





三角関数

[

^]

(1) tan(α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α tan β

(2) sin θ cos θ = 1

2 sin 2 θ (3) sin ² θ = 1

2 (1 − cos 2θ), cos ² θ = 1

2 (1 + cos 2θ) (4) cos A + cos B = 2 cos A + B

2 · cos A − B 2 , cos A − cos B = 2 sin A + B

2 · sin B − A 2 (5) sin A + sin B = 2 sin A + B

2 · cos A − B 2 , sin A − sin B = 2 cos A + B

· sin A − B

部分分数

部分分数

有理式

^i.e. B ( x )

A(x) =

多項式 を簡単な式の和に変形する。

部分分数

有理式

^i.e. B ( x )

A(x) =

多項式 を簡単な式の和に変形する。

•

(B ( x )

)<(A ( x )

)

分母を因数分解する：

全体を次の形に変形する：

部分分数

有理式

^i.e. B ( x )

A(x) =

多項式 を簡単な式の和に変形する。

•

(B ( x )

)<(A ( x )

)

•

A(x) = (a ¹ x + b ¹ ) ^m

· · · (a _k x + b _k ) ^m

× ( x − c ¹ ) ² + d ^{1 n}

· · · ( x − c _l ) ² + d _l ⁿ

, ( d _i > 0)

部分分数

有理式

^i.e. B ( x )

A(x) =

多項式 を簡単な式の和に変形する。

•

(B ( x )

)<(A ( x )

)

•

A(x) = (a ¹ x + b ¹ ) ^m

· · · (a _k x + b _k ) ^m

× ( x − c ¹ ) ² + d ^{1 n}

· · · ( x − c _l ) ² + d _l ⁿ

, ( d _i > 0)

•

B ( x )

A ( x ) = C 1 , 1

a 1 x + b 1

+ C 1 , 2

( a 1 x + b 1 ) ² + · · · + C 1 ,m

( a 1 x + b 1 ) ^m

+ · · · + + D ¹ _, ¹ x + E ¹ _, ¹

(x − c ¹ ) ² + d ¹ + D ¹ _, ² x + E ¹ _, ²

(( x − c ¹ ) ² + d ¹ ) ² +· · ·+ D ¹ _,n

x + E ¹ _,n

((x − c ¹ ) ² + d ¹ ) ⁿ

+ · · · +

部分分数

[

^]

右辺をまとめると

従って であり、

となる。

部分分数

[

^]

x ² − 2x − 1 x ³ + x ² + x

右辺をまとめると

従って であり、

となる。

部分分数

[

^]

x ² − 2x − 1

x ³ + x ² + x = x ² − 2x − 1 x ( x + ¹ ₂ ) ² + ³ ₄

右辺をまとめると

従って であり、

となる。

部分分数

[

^]

x ² − 2x − 1

x ³ + x ² + x = x ² − 2x − 1

x ( x + ¹ ₂ ) ² + ³ ₄ = a

x + bx + c

x ² + x + 1

右辺をまとめると

従って であり、

となる。

部分分数

[

^]

x ² − 2x − 1

x ³ + x ² + x = x ² − 2x − 1

x ( x + ¹ ₂ ) ² + ³ ₄ = a

x + bx + c

x ² + x + 1

右辺をまとめると

( a + b ) x ² + ( a + c ) x + a x ³ + x ² + x

従って であり、

となる。

部分分数

[

^]

x ² − 2x − 1

x ³ + x ² + x = x ² − 2x − 1

x ( x + ¹ ₂ ) ² + ³ ₄ = a

x + bx + c

x ² + x + 1

右辺をまとめると

( a + b ) x ² + ( a + c ) x + a

x ³ + x ² + x = x ² − 2 x − 1 x ³ + x ² + x

従って であり、

となる。

部分分数

[

^]

x ² − 2x − 1

x ³ + x ² + x = x ² − 2x − 1

x ( x + ¹ ₂ ) ² + ³ ₄ = a

x + bx + c

x ² + x + 1

右辺をまとめると

( a + b ) x ² + ( a + c ) x + a

x ³ + x ² + x = x ² − 2 x − 1 x ³ + x ² + x

a = −1 , b = 2 , c = −1

となる。

部分分数

[

^]

x ² − 2x − 1

x ³ + x ² + x = x ² − 2x − 1

x ( x + ¹ ₂ ) ² + ³ ₄ = a

x + bx + c

x ² + x + 1

右辺をまとめると

( a + b ) x ² + ( a + c ) x + a

x ³ + x ² + x = x ² − 2 x − 1 x ³ + x ² + x

a = −1 , b = 2 , c = −1

x ² − 2x − 1

x ³ + x ² + x = − 1

x + 2x − 1

x ² + x + 1

部分分数

[

^]

x ² + 1

( x + 2) ³

解答

部分分数

[

^]

x ² + 1

( x + 2) ³

[

^] x ² + 1

(x + 2) ³ = 1

x + 2 − 4

(x + 2) ² + 5

(x + 2) ³

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