数学基礎理論演習線型代数 2
（ S2 ターム月曜 3 限、理 2,3 1–7 組）
第 3 回解答
土岡 俊介 2016 年 7 月 4 日
1 基本変形・掃出し法の練習
(P1) ランク標準形は
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
で、P, Qとしては例えば次が取れる。
P =
−1 0 0 1 −1 0 2 −2 0
, Q=
1 2 −1 2 0 1 −1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(P2) 1. ランクは3,
2. a= 4のときランクは2で、a̸= 4のときランクは3である。
(P3) 1. 正則行列でない
2. 正則行列であり、その逆行列は
0 −5 −2 3
1 3 1 −2
1 −1 1 1
−1 −1 0 1
1
(P4) 1.
x1
x2
x3 x4
x5
=s
−1 0 1 0 1
+t
0 1 3 0 0
（s, tはパラメータ）
2. c + a − 2b = 0 が 解 が 存 在 す る た め の 条 件 で 、こ の と き 解 は
x y z
=
−3a+ 2b 2a−b
0
+t
1
−2 1
（tはパラメータ）。
2 確認問題
(Q1) 1. pv1+qv2 =0ならばp =q = 0を示せばよい。pv1+qv2 =0を書下すと、
連立方程式
1 4 2 5 3 6
( p q
)
=
0 0 0
が得られる。これを解くとp=q = 0が得られる。
2. 例えばv1,v2,e1 =
1 0 0
がv1,v2 を延長して得られるR3 の基底である。
(Q2) 1. 講義ノートを参照。
2. (tP)−1 =t(P−1)であることを証明できる。
3. 省略
4. P Q=QP の左右からQ−1 を掛けるとQ−1P =P Q−1を得る。
5. Aのランク標準形をB とするとき、P AQ= B なる可逆なℓ×ℓ 行列A と、
可逆なm×m行列Bが存在する。よって tQ·tA·tP = tBを得る。これは
tBがtAのランク標準形であることを意味している。
(Q3) 1. 省略
2. 有限個のv1,· · · ,vn ∈ V が存在して、次を満たす：任意のv ∈V について、
a1,· · · , an∈Rが存在して、v =∑n
i=1aivi となる。
2
3. 講義ノートを参照
4. （略解）W が有限生成でないとすると、任意のN ≥1についてW のベクトル w1,· · · ,wN であって線型独立なものが存在する。一方でV のdimV 個より たくさんのベクトルは線型従属でなければならないから、矛盾が生じた。
(Q4) 1. w1 = 1,w2 =x,· · ·,wn+1 =xnは、R[x]≤nの基底になっている。
2. 線型独立である。pf +qg +rh = 0 のとき p = q = r = 0 を示せばよい。
pf+qg+rh= 0を書下すと、連立方程式
1 2 −1 1 −1 2
1 2 1
p q r
=
0 0 0
を得るが、これを解くとp=q=r = 0が得られる。
(Q5) 1. w1,· · · ,w4 が線型独立であるとすると、これを延長してR3 の基底が得られ る。これはdimR3 = 3に反する。
2. 存在しない。この場合v1,v2,v3 の真の部分からなるR3の基底が得られるが、
これはdimR3 = 3に反する。
3
