数学基礎演習 – 幾何学入門演習問題

数学基礎演習 – ^{幾何学入門演習問題}

担当 : ^{中島 啓} 2008 ^年 11 ^月 13 ^日 ( ^木 )

問題 R³の点の座標を(x, y, z)で表すことにする. yz平面(すなわちx = 0)内の円 (y− 2)²+z² = 1 をz軸の周りに回転させてできる図形をM とする. (M が多様体であること は示さなくてもよい.) M 上の関数 f: M →Rを f(x, y, z) =yで定義する. df_p = 0とな るようなMの点pをすべて求めよ.

略解 f のR³への拡張f˜をf(x, y, z) =˜ yで定義する. Df_p = (0,1,0). よって df_p = 0 となるのは接平面 T_pM が{_vx

vy

vz

∈ T_pR³ | v_y = 0}となるところである. さて, 点 pが

(0, y, z)とyz 平面上にあって(y −2)² +z² = 1を満たしているときは, 接平面T_pM は v_y(y−2) +v_zz = 0である. このとき, 求めるような点になっているのはz = 0, y= 1また は3のときである. また, pがp0 = (0, y0, z0)をz軸の周りに回転させた点であるとすると きには, 接平面もT_p0Mを回転させた平面である. (証明は略) これがv_y = 0となるのは, p がyz平面にあるときで,上にあげたものと,y=−1もしくは−3である. (全部で4点)

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