線型代数学演習第 6 回

線型代数学演習第 6 ^回

土岡 俊介 2016 ^年 12 ^月 21 ^日

• 小木曽先生の授業の成績+^{レポート（最終日}12/21に配布）によって成績が決まります．

• ^{配布される解答は}http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~tshun/2016a.html ^にもあり ます．またそこからメッセージフォームにリンクを張っています．匿名で要望等あれば，お 気軽にどうぞ．

• 授業あるいは線型代数の理解を深めることが目的なので，自分にあった問題に取り組んでく ださい．友達と議論したり，webを調べるのもご自由に．

1 ^概要

(S1) 授業では，自己線型写像の対角化可能性，内積空間，グラム・シュミット直交化法を扱いま した．

(S2) 今日は試験対策と復習をし，いくつか数学に関する名言・格言を紹介します（後者は線型代 数と関係なし）．

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2 ^確認

(A1) V ^{を実内積空間とする．}v,w∈V ^は(v,w) = 0^{となるとき直交する（}v⊥w^{と書く）と言} い，√

(v,v)^をv^の長さ（||v||^{と書く）と言う．}v,w∈V について，以下を示せ．

1. ||v+w||²+||v−w||²= 2(||v||²+||w||²) 2. v⊥w⇔ ||v+w||²=||v||²+||w||² 3. (v+w)⊥(v−w)⇔ ||v||=||w||

(A2) R³に通常の内積を考え，実直交線型空間とみなす．基底



1 0 1



,



1 1 1



,



0 1 1





にグラム・シュミット直交化法を施し，正規直交基底にせよ．

(A3) V を実直交線型空間とし，W ⊆V ^{を実部分空間とする．}W^⊥∩W ={0}^を示せ．

(A4) V を実直交線型空間とし，v1,· · · ,vnを正規直交基底とする．任意のv∈V ^について v= (v,v1)v1+· · ·+ (v,vn)vn

となることを示せ．

(A5) R³に通常の内積を考え，実直交線型空間とみなす．R^{3の以下の部分空間}

W1={^t(x, y, z)∈R³|x/2 =y/3 =z/4}, W2={^t(x, y, z)∈R³|x+ 4y+ 8z= 0} について，直交補空間W₁^⊥, W₂^{⊥を求めよ．}

(A6) ^行列A =







0 0 −1

0 1 0

−1 0 0





を実直交行列で対角化せよ．すなわち，直交行列P ^{であって，}

D:=^tP AP が対角行列になるようなP^とD^を求めよ

注意：(A3)はまだ授業でやっていません．W^⊥ :={v∈V | ∀w∈W,(w,v) = 0}^です．

注意：(A6)はまだ授業でやっていません．次が概要です：

1. n×n^実行列P ^{が実直交行列とはt}P P =P^tP =Enとなることと定義されます．

2. n×n^実行列A^{が実対称行列とは}A=^tAとなることと定義されます．

3. ^{任意の実対称行列}Aについて，ある実直交行列P ^{が存在して，t}P AP ^{は対角行列になるこ} とが知られています（きっと授業で扱うでしょう）．求め方は以下の通りです：

• A^{は対角化可能なので}D:=Q⁻¹AQが対角行列になるようなQ^{を求めます．}

• Q = (q₁,· · · ,q_n)^{と実ベクトル}q₁,· · ·,q_n ∈R^{nを用いて書くと，}q₁,· · · ,q_n ^はRⁿ の基底になっています（Q^{が正則だからです）．}

• q₁,· · · ,q_n にグラム・シュミット直交化法を施して p₁,· · ·,p_n ^{を得るとき，}P = (p₁,· · · ,p_n)が求めるものになっています．

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3 解き残っているボーナス問題

第2^回の(C6.3) n×n^行列A^{について，}rank(A) = n−1^ならばrank(A) = 1e ^{を示せ（ヒント：}AAe = AAe = det(A)En）．

第2^回の(C9)^の一部 A, B^をn×n行列とするとき（ここでn≥2^），ABg=BeAeを示せ（ヒント：ケーリー・ハ ミルトンの公式の証明を思い出す）．

第3^回の(B3) ^{自己線型写像}f :V →V ^{が，ある自然数}m≥1^についてf^m = 0^{となるとき，}idV −f ^は 同型写像であることを示せ（ヒント：実は簡単）．

第3^回の(B4) K^成分n×n^{次行列のなす}K ^{線型空間を}Mn(K)と書くことにしよう（和は行列の和で，

スカラーc倍は行列のすべての成分をc^{倍する）．任意の} K ^線型写像f : Mn(K) → K は，あるA ∈ Mn(K) ^を用いてf(X) = tr(AX) と書かれることを示せ（ヒント：V ^が 基底 v1,· · · ,vn を持つ K 線型空間のとき，線型写像 f : V → W ^{を定めることと，}

f(v1),· · ·, f(vn)∈W を定めることは同値）．

第4^回の(C2) ^複素数α∈C^{について，}lim

n→∞α^{nが存在する条件は「}|α|<1^またはα = 1^{」である．では} n×n^行列A^{について，} lim

n→∞Aⁿが存在する条件は何か？（ヒント：ジョルダン標準形）．

第4^回の(C3) n×n^行列A^が，

(X Y O W

)

と区分けされているとする（ここでX^はm×m^行列，Y ^は m×(n−m)^行列，O^は(n−m)×m^零行列，W ^は(n−m)×(n−m)^行列）．A^が対角 化可能ならば，Xも対角化可能であることを示せ（ヒント：最小多項式）．

第5^回の(A9) ^今，この 723教室で演習を受けている学生の集合を V ^とする．V ^{にどのような加法} + :V ×V →V ^{と，スカラー倍}R×V →V ^{を定義したとしても，}V ^は決してR^線型空間 の公理を満たさないことを示せ（ボーナス問題）．

第5^回の(A10) ^{対角化可能な}n×n ^行列 A, B ^は，AB = BA^{であれば，}A ^と B ^{は同時対角化可能で} ある（ある可逆行列P ^{が存在して，}P⁻¹AP ^とP⁻¹BP が共に対角行列になる）ことを 示せ．（ボーナス問題，ヒント：A ^{が対角化可能}⇔ Cⁿ = ⊕

α：Aの固有値

Vα だが（ここで Vα={v∈Cⁿ|Av =αv}^はA^の固有値α^{の固有空間），}FBが各Vαにどう作用するか考 えてみる）．

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