線型代数学演習第 5 回
（A ターム水曜 4 限，理 2,3 1–7 組）土岡 俊介 2016 年 12 月 7 日
• 小木曽先生の授業の成績+レポート（最終日12/21に配布）によって成績が決まります．
• 配布される解答はhttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~tshun/2016a.html にもあり ます．またそこからメッセージフォームにリンクを張っています．匿名で要望等あれば，お 気軽にどうぞ．
• Aタームは必修のため人数が多いので，配られた解答を元に各自理解を深めてください．答 案（の書き方など）をみて欲しい人は，演習終了時に提出してください．
• ボーナス問題を正解した人には何かしら差し上げます（先着順）．興味のある人は知らせて ください．
• 演習開始後45分から出席をとります．出席状況によっては，最終成績で不可になりそうな 人を可にするくらいの考慮をするかもしれません．
• 問題を解く順序はありませんが，§4は解きましょう．
• 授業あるいは線型代数の理解を深めることが目的なので，自分にあった問題に取り組んでく ださい．友達と議論したり，webを調べるのもご自由に．
1 概要
(S1) 授業では，固有多項式，ケーリー・ハミルトンの定理，最小多項式，行列の対角化可能必要 十分条件を扱いました．
(S2) 今日は試験対策と復習をし，abc予想を紹介します（これは線型代数と無関係）． (S3) 今日も，基礎体はK =Cとします．
1
2 確認
(A1) 以下の行列 A, B について，それぞれ対角化可能かどうか調べ，対角化可能な場合は P−1AP, Q−1BQが対角行列になるような可逆行列P, Qを求めよ．またR−1AR=Bとな る可逆行列Rが存在するかどうか調べよ．
(a). A=
5 6 0
−1 0 0 1 2 2
, (b). B =
1 3 2 0 −1 0
1 2 0
,
(A2) 2つの2×2行列A, Bがあって，うまく可逆行列P, Q選ぶと，
P−1AP = (1 0
0 2 )
, Q−1BQ= (2 0
0 1 )
となった．このときR−1AR=Bとなる可逆行列Rが存在するかどうか答えよ．
(A3) 以下の行列Aが，
a 1 0 0 b 0 0 0 c
対角化可能になるためのパラメータの条件は何か？
(A4) ケーリー・ハミルトンの定理について，以下の”証明”：
定義 χA(t) = det(tEn −A) に t = A を代入すると，χA(A) = det(A−A) = 0.
(Q.E.D.)
が証明になっていない理由を述べよ．
(A5) ケーリー・ハミルトンの定理を用いて
1. χA(t) =t3−2t2−3t+ 6となる行列AのA−1をpA2+qA+rE3の形で求めよ．
2. χB(t) =t3−2t2となる行列BのB1000を求めよ．
(A6) Aをn×n行列とする．
1. Aの固有多項式χA(t)と最小多項式φA(t)の定義は何か？
2. χA(t)̸=φA(t)となるAの例を1つ挙げよ．
3. φA(t)はχA(t)を割り切ることを示せ．
4. χA(t)はφnA(t)を割り切ることを示せ．
(A7) Aをn×n行列とする（ここでn≥1）．以下の同値性を証明せよ：
1. χA(x) =xn 2. An =O
3. ある自然数m≥1が存在してAm=Oとなる（このような行列はべき零行列（nilpotent matrix）と呼ばれる）
(A8) n×n行列Aが零行列でないべき零行列ならば，Aは対角化不可能なことを示せ．
2
(A9) 今，この 723教室で演習を受けている学生の集合を V とする．V にどのような加法 + :V ×V →V と，スカラー倍R×V →V を定義したとしても，V は決してR線型空間 の公理を満たさないことを示せ（ボーナス問題）．
(A10) 対角化可能なn×n 行列 A, B は，AB = BAであれば，A と B は同時対角化可能で ある（ある可逆行列P が存在して，P−1AP とP−1BP が共に対角行列になる）ことを 示せ．（ボーナス問題，ヒント：A が対角化可能⇔ Cn = ⊕
α：Aの固有値
Vα だが（ここで Vα={v∈Cn|Av =αv}はAの固有値αの固有空間），FBが各Vαにどう作用するか考 えてみる）．
3 最低限解けて欲しい問題
(X1) det
−1 6 3 0
0 2 5 −2
3 −1 4 5
2 0 1 3
を求めよ． (X2)
0 2 1
−4 6 2 4 −4 0
の固有値を求めよ．
4 解き残っているボーナス問題
第2回の(C6.3) n×n行列Aについて，rank(A) =n−1ならばrank(A) = 1e を示せ（ヒント：ケーリー・
ハミルトンの公式の証明を思い出す）．
第2回の(C9)の一部 A, Bをn×n行列とするとき（ここでn≥2），ABg=BeAeを示せ（ヒント：ケーリー・ハ ミルトンの公式の証明を思い出す）．
第3回の(B3) 自己線型写像f :V →V が，ある自然数m≥1についてfm = 0となるとき，idV −f は 同型写像であることを示せ（ヒント：実は簡単）．
第3回の(B4) K成分n×n次行列のなすK 線型空間をMn(K)と書くことにしよう（和は行列の和で，
スカラーc倍は行列のすべての成分をc倍する）．任意の K 線型写像f : Mn(K) → K は，あるA ∈ Mn(K) を用いてf(X) = tr(AX) と書かれることを示せ（ヒント：V が 基底 v1,· · · ,vn を持つ K 線型空間のとき，線型写像 f : V → W を定めることと，
f(v1),· · ·, f(vn)∈W を定めることは同値）．
第4回の(C2) 複素数α∈Cについて，lim
n→∞αnが存在する条件は「|α|<1またはα = 1」である．では n×n行列Aについて， lim
n→∞Anが存在する条件は何か？（ヒント：ジョルダン標準形）．
第4回の(C3) n×n行列Aが，
(X Y O W
)
と区分けされているとする（ここでXはm×m行列，Y は m×(n−m)行列，Oは(n−m)×m零行列，W は(n−m)×(n−m)行列）．Aが対角 化可能ならば，Xも対角化可能であることを示せ（ヒント：最小多項式）．
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