計算機で数学をやってみよう Ｉ – 音と数学 –

計算機で数学をやってみよう Ｉ – 音と数学 –

内藤 久資

１９９８年８月４日・５日

1 序論

1.1

•

例えば, 微分方程式の数値解析など.

–

–

•

数式処理システムを利用することが多い.

–

–

•

–

–

今回の内容は,「数学的に計算された内容をコンピュータを利用して実証する」という意味 では,「数値計算を利用した現象の解析」に近い内容でもあり,「概念的に正しいと思われ る数学的内容を検証する」という意味もある.

コンピュータを利用する上で,数学の基礎知識は必要不可欠なものである.

1.2

「音」という内容に即して数学を展開するには,三角関数の基礎知識は必要不可欠である.

ここで利用する三角関数はすべて弧度法によって表示されている.

1 1

θ sin θ

cos θ

すなわち, 角度を３６０度法と弧度法で表した時の対応は次の通り.

３６０度法

0 ^◦ 30 ^◦ 45 ^◦ 60 ^◦ 90 ^◦ 180 ^◦ 360 ^◦ 720 ^◦

0 ^π ₆ ^π ₄ ^π ₃ ^π ₂ π 2π 4π

cos(θ)

-6 -4 -2 2 4 6

-1 -0.5 0.5 1

-6 -4 -2 2 4 6

-1 -0.5 0.5 1

cos(θ)

sin(θ)

^π ₂

三角関数の基本的な性質は,以下のものがある.

• | sin(θ) | ≤ 1, | cos(θ) | ≤ 1.

• sin(θ + 2nπ) = sin(θ), cos(θ + 2nπ) = cos(θ).

• sin(θ) = cos(θ − ^π ₂ ).

• sin( − θ) = − sin(θ), cos( − θ) = cos(θ).

• sin(θ) = 0

θ = nπ

• cos(θ) = 0

θ = nπ + ^π ₂

• sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β).

• cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β).

• sin(α) + sin(β) = 2 sin( ^α+β ₂ ) cos( ^{α −} ₂ ^β ).

• (sin(θ)) = cos(θ), (cos(θ)) = − sin(θ).

•

a, b

a ² + b ² = 0

^√ _a

^a +b

, sin(θ) = ^√ _a

^b _+b

θ

0 ≤ θ < 2π

• a sin(θ)+ b cos(θ) = √

a ² + b ² sin(θ + α).

α

cos(α) = √ ^a

a

+b

, sin(α) = √ ^b a

+b

を満たす数.

2 _{音とは何か}

音とは,空気（媒質）の振動（疎密波）によって, 鼓膜が振動を受けて認識される感覚で ある. したがって, 音源の振動が音を生み出す元となっている. ここでは, 音源の振動を数 学的に解析することによって, 音とは何かという疑問に答えていく.

2.1

音源が振動することによって, 媒質の振動を生み出し,それが音として聞こえるのである から, 音源の振動とは何かを調べる必要がある

¹ .

音源となる物質の振動とは, その物質内を伝わる波によって生み出される.

すなわち, 音を解析するためには, 音源の中に発生する波を解析すれば良いことがわかる.

2.1.1

始めに, 無限に長い線分の上を伝わる波について解析をしてみる. イメージとしては, 無 限に長いピアノ線を思い浮かべれば良い.

もっとも単純な波を記述するものとして, ここでは正弦波を考えることにする

² .

x

c,

A

t

x

f (x, t) = A sin(2π x − ct

λ ) (1)

によって記述されているとする. すなわち,

f (x, t)

x,

t

λ

c = λν

ν

k = 2π/λ

これらの数値を使えば,

f(x, t) = A sin(k(x − ct))

と書くこともできる. この波は, 線分の正の方向に進む波を表している.

一般に物理学においては, 現象は微分方程式で記述されることが多い. すなわち,物理現 象を数学的に表現するためには,そこに現れる物理的な性質から導かれる様々な式を, 関数 とその微分などの関係式として表現し,その解が現象を表していると考える. この考え方に 沿って, 上の正弦波

(1)

f (x, t)

x

1 正確には,音源の周りにある物質の反射,吸収によって,音は複雑に変化をしていくのだが,問題を単純化 し, ものごとの本質を抜きだしていくのが数学の役目であるから,ここでは,音源の振動ということに着目し て調べていこう.

2 後に

Fourier

と時刻

t

f (x, t)

x

t

∂

∂t f(x, t) = − ckA cos(k(x − ct)), ∂

∂x f(x, t) = kA cos(k(x − ct))

∂

∂t + c ∂

∂x

f(x, t) = 0 (2)

を満たしていることがわかる.

一方, (1) は線分上を正の方向に進む波であったので,負の方向に進む波

g(x, t) = A sin(k(x + ct)) (3)

を考えると,

g(x, t)

∂

∂t − c ∂

∂x

g(x, t) = 0 (4)

を満たすことがわかる. これら

(1), (3)

∂ ²

∂t ² − c ² ∂ ²

∂x ²

f(x, t) = 0 (5)

という方程式を導くことができる. この方程式

(5)

c

³ .

ここで, 波動方程式の解の特徴的な性質をいくつか見ていくことにしよう

.

•

(5)

u ₁ (x, t)

u ₂ (x, t)

u(x, t) = au 1 (x, t) + bu 2 (x, t)

(5)

∂ ²

∂t ² (u 1 + u 2 ) = ∂ ²

∂t ² u 1 + ∂ ²

∂t ² u 2

という

,

•

f (x, t) = A sin(k(x − ct))

k

⁴ .

3 もっとも, 物理学の道筋としては, この逆を行なっていて, 先に微分方程式が導かれ, その解の一つと して, 正弦波を得ることができる. すなわち, (5) から, 解は, 任意の関数

u

u

f (x, t) = u

(x − ct) + u

(x + ct)

4 逆に,

A sin(k(x − ct))

u(x − ct)

すことができる.

2.1.2

今度は, 長さ

L

L

x = 0

x = L

0

c

(5)

f(x, t)

f (0, t) = f (L, t) = 0

を満たさなければならないということである. これをまとめると, 長さ

L

c

 

 

 

 ∂ ²

∂t ² − c ² ∂ ²

∂x ²

f(x, t) = 0, x ∈ [0, L], f (0, t) = f (L, t) = 0

(6)

を満たさなければならないということである. ここで, (6) の中で与えられた

f (0, t) =

f(L, x) = 0

を境界条件と呼ぶ.

波動方程式

(6)

f (x, t)

f (x, t) = η(t)φ(t)

と変数分離されていると仮定する

⁵ .

(6)

c ^{− 2} η (t)φ(x) = η(t)φ (x)

η(t) = 0, φ(x) = 0

c ^{− 2} η (t)

η(t) = φ (x)

φ(x) (7)

が成り立つ. この方程式

(7)

x

t

x, t

− λ

(7)

η (t) = − c ² λη(t), φ (x) = − λφ(x),

5 実際には,波動方程式

(6)

˜

u(x, t) = 1

2 max { 1 − | x − ct − 4 | , 0 } + 1

2 max { 1 − | x − ct − 4 | , 0 }

とおき,

f (x, t) = ˜ u(x, t) − ˜ u( − x, t)

f(0, t) = 0

しかし, 実際の音を生み出す解は, このような形のものになるため,ここでは,定在波の解析を行なうこと にする.

という２つの方程式に分解されたこととなる. ここで, 境界条件

f(0, t) = f(L, t) = 0

f (0, t) = η(t)φ(0) = 0, f (L, t) = η(t)φ(L) = 0

η (t) = − c ² λη(t), (8)

 



φ (x) = − λφ(x),

φ(0) = φ(L) = 0, (9)

という方程式を考えれば良いことがわかる.

始めに, 方程式

(9)

φ(x) = a ₁ sin( √

λx) + a ₂ cos( √ λx).

ここで,境界条件

φ(x) = 0

a ₂ = 0

φ(x) = a sin( √

λx) (10)

という形に限ることがわかる. さらに, もう一つの境界条件

φ(L) = 0

√

λL = nπ, n

という条件を満たさなければならないことが容易にわかる. すなわち,

λ = n ² π ²

L ²

である. ここで,

n = 0

λ = 0

a = 0

n

a

− a

n

n

λ _n = n ² π ²

L ² , φ _n (x) = a sin(

λ _n x) (11)

と定義すると,この

φ _n (x)

(9)

(9)

φ(x) =

∞ n=1

a n sin(

λ n x)

次に,

φ(x) = φ _n (x)

η(t)

φ (x)/φ(x) = − λ _n

(8)

η (t) = − c ² λ _n η(t)

η(t) = A sin(

λ n ct) + B cos(

λ n ct)

と書けることが知られている.

すなわち, 長さ

L

λ n

ν _n = c √

λ n

2π = nc 2L

以上をまとめると,次の定理を示したこととなる.

Theorem 2.1.

n

λ _n = n ² π ²

L ² , ν _n =

√ λ _n c 2π = nc

2L φ _n (x) = a sin(

λ _n x), η _n (t) = A sin(

λ _n ct) + B cos(

λ _n ct)

 

 

 

 ∂ ²

∂t ² − c ² ∂ ²

∂x ²

f (x, t) = 0, x ∈ [0, L], f(0, t) = f(L, t) = 0

の定在波は,

f(x, t) =

∞ n=0

η _n (t)φ _n (x) (12)

と書ける.

これを別の言葉でいい直せば,次のようになる.

長さ

L

,

ここで,始めに波動方程式

(5)

f (x, t) = u ₁ (x − ct) + u ₂ (x + ct)

で書ける, すなわち, 速度

c

− c

sin(k(x − ct)) + sin(k(x + ct)) = 2 sin(kx) cos(kct)

と書けるので,定在波とは,正の方向に進む波と,負の方向に進む波とが重なって,止まって いるように見えているという理解ができることに注意しよう.

2.2

長さ

L

(9)

_





φ (x) = − λφ(x), φ(0) = φ(L) = 0

が解を持つような

λ

この方程式が元の波動方程式からどのように導出されたかを, もう一度注意深く見てみ よう. 元の波動方程式は

∂ ²

∂t ² − c ² ∂ ²

∂x ²

f (x, t) = 0

に境界条件をつけたものであった. この方程式に対して,

f (x, t) = η(t)φ(x)

(9)

∆ = ∂ ²

∂x ²

 



∆φ(x) = − λφ(x),

φ(x) = 0, x

(13)

と書けることがわかる. このような性質を持つ関数

φ(x)

∆

λ

ここで, 設定を一般にして, 問題の意味を考えてみよう. すなわち, 物体の境界が固定さ れている時

,

,

∆

ラス

(Laplace)

式の意味であることがわかる. これまでは, 物体としては, 長さ

L

さて, (13) の解となる固有値はすべて

0

⁶ .

0

φ(x) = 0

λ _n

0 < λ ₁ ≤ λ ₂ ≤ · · ·

であり, 固有値

λ _n

φ _n (x)

⁷ .

6 正確には,領域がコンパクトの時に,このような性質を持つ.

7 正確には,

φ

(x)

この時,

f(x, t) = η _n (t)φ _n (x)

η _n (t)

c ² η _n (t) = φ n (x)

∆φ _n (x) = − λ _n

η n (t) = A sin(

λ n ct) + B cos(

λ n ct)

でなければならないことがわかる. この時の振動数は,

ν _n = ^√ _2π ^λ

^c

したがって,ここまでのことをまとめると,次のような定理になる.

Theorem 2.2.

Ω

 

 

 

 ∂ ²

∂t ² − c ² ∂ ²

∂x ²

f (x, t) = 0, x ∈ Ω, f(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω

の解のうち, 定在波は, ラプラシアンの固有値問題

 



∆φ(x) = − λφ(x), x ∈ Ω, φ(x) = 0, x ∈ ∂Ω

の固有値

{ λ _n }

{ φ _n }

f (x, t) =

∞ k=0

a _n η _n (t)φ _n (x)

と書ける. ここで,

η n (t) = A sin(

λ n ct) + B cos(

λ n ct)

また, 物体の形を変えずに大きさだけを変えた場合の固有値の変化の様子は容易に計算 することができる.

Theorem 2.3.

Ω

k

k ^{− 2}

2.3

ここまでのことをまとめてみよう.

物体

Ω

(13)

{ ν n }

ν _n =

√ λ n c

2π

物体の大きさを

k

k ^{− 2}

⁸ .

我々が耳にする音とは,このような物体上の波の振動から生み出される媒質（空気）の振 動である. 前にも述べた通り, 実際の波は単純な正弦波ではなく,いろいろな振動数の波が 重ね合わせの原理によって重ね合わされているが,音の高さを決定している要素は,その中 でも最も振幅の大きな波の振動数である.

8 物体上の波の速さは,物体の張力等に依存する.

3 _{音を合成する}

前の章では,音とは波の合成でできていることを見た. ここでは, 実際にどのようにすれ ば音を合成できるかを見てみよう.

音は物体を伝わる波から発生する振動によって生み出されているので, 始めに単純な正 弦波から発生する波を作ってみよう.

物体が振動数

ν

f(t) = A sin(2πνt)

と書くことができる. 変数

t

ν

物理学では, 振動数は

Hz

k

k Hz

f (t)

νH _z

る音は,一般に

20Hz

20000Hz

ここでは,時報の音の高さである

440Hz

このような, 単一の周波数からなる音を純音と呼ぶ.

3.1

ところが実際の音は, このような単一の周波数からだけで構成されているわけではない.

ここでは, 実際に弦の振動から発生する音を考えてみよう.

弦を叩くと,弦の上に波が発生し,そこから音が生まれる. この音のでき方を単純化する と, 弦の上に発生する定在波から音が発生していることがわかるので,この音は叩いた弦の 上に存在できる定在波からできていると考えられる.

ここで, 一つの弦に関して, どのような周波数の音が含まれるかを考えてみよう. 弦の長 さを

L,

c

λ _n = n ² π ² L ²

ν _n =

√ λ _n c 2π = nc

2L

で決まる. すなわち,発生する音の周波数は

{ ν _n }

ν _n

この音を聞いた時に,我々が感じる音の高さとは, 何から決まっているのかを考えてみよ う. 一般に,定在波から発生する音の周波数は

ν _n =

√ λ _n c 2π

η _n (t) = a _n sin(2πν _n t) + b _n cos(2πν _n t)

η(t) =

∞ n=1

η _n (t)

を聞いていることとなる. このうち,音の強さが最も大きい周波数の音を,我々は音の高さ として認識している. 音の強さとは,

a ² _n + b ² _n

一般に, 最も低い周波数の音を基底音と呼び, それ以外の音（の成分）を倍音と呼ぶ. す なわち,弦から発生する音の場合には, 基底音の周波数を

ν ₁

ν n = nν 1

の周波数の音が含まれていることがわかる.

実際には, すべての倍音の振幅が同じということはなく, 高い周波数の成分ほど, 振幅が 小さくなる. この倍音の成分とその振幅の様子が音の音色を決めていることがわかる. 倍 音成分の様子は, 音源の物理的性質,音源の周りの様子などによって, 複雑に変化する.

ここでは, 実際にフルートの音の倍音成分の分布を調べてみよう

⁹ .

n cos(ν _n )

= b _n sin(ν _n )

= a _n

1 +0.015636 +0.030164

2 +0.536752 -0.507734

3 +0.802538 -1.000000

4 +0.083393 -0.338684

5 +0.324261 +0.173519

6 +0.380096 -0.697617

7 -0.164064 -0.023018

8 +0.053562 +0.018355

9 -0.455701 -0.264336

10 -0.196629 +0.634445

このデータから, 逆に楽器の音を復元することができる. すなわち, この表を元に, 振動数

νHz

ν 3

ν = ν ₃

η(t) =

10 n=1

a n sin(ν n t) + b n cos(ν n t)

9 ピアノは実は結構面倒.

とすれば良い. 実際の楽器の音らしく聞こえるためには, これだけでは不十分で,例えばピ アノの音の場合, 音は時間とともに減衰していくので, もっともらしく聞こえるためには,

（例えば）

η(t) = e ^{− t} (

10 n=1

a _n sin(ν _n t) + b _n cos(ν _n t))

3.2

3.2.1

次に, わずかに振動数の異なる２つの音を重ねてみよう. すなわち, 振動数

α

β

η ₁ (t) = A sin(2παt), η 2 (t) = A sin(2πβt),

sin(a) + sin(b) = 2 sin( a + b

2 ) cos( a − b 2 )

η ₁ (t) + η ₂ (t) = 2A sin( α + β

2 ) cos( α − β 2 )

α = β + n

η ₁ (t) + η ₂ (t) = 2A sin(2π(α + n

2 )t) cos(2π n 2 t)

ここで, 我々人間の耳には, ある程度以上高い周波数の音の強さは, 一定に聞こえるとい う性質を利用すると, sin の方の成分は, 我々の耳には, ある高さの音（周波数

α + n/2

すなわち, 振動数が

n

cos(2π n

2 t)

で変化することがわかる. すなわち,１秒間に

n

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2 -1 1 2

一般に音が純音でない場合にも, 同じようにうなりを観測することができる. ここでは, 基底音の周波数を

ν,

¹⁰

η ₁ (t) = a _n sin(2πν _n t) = a _n sin(2πnνt)

k

η ₂ (t) = a _n sin(2πn(ν + k)t)

η ₁ (t) + η ₂ (t) = 2 a _n sin(2π(ν + k

2 )t) cos(2πn k 2 t)

となる. 前と同様に, sin(π(ν

+ k)t)

2 a _n cos(2πn k 2 t)

であると考えることができる. ここで,

η ₁ (t)

{ a _n }

a _n

η ₁ (t)

η ₂ (t)

n ₀ k

a _n

cos(πnkt)

nk

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2 -1 1 2

10 すなわち,

ν

= nν

3.2.2

我々が耳にする音がきれいに聞こえるかどうかは, その音の変化が規則的かどうかに関 わっていると考えられる. そこで, 音の変化の規則性を, その関数が

0

始めに, 基底周波数

ν

η ₁ (t) = a ₁ sin(2πνt)

η _k (t) = a _k sin(2πkνt)

η ₁ (t) = 0

T ₁ = { t ∈ R ; t = k 2ν }

η _k (t) = 0

T _k = { t ∈ R ; t = k 2kν }

k

T _k ⊃ T _k−1 ⊃ · · · ⊃ T ₁

という関係があることがわかる. すなわち,基底音の零点の集合は, 倍音の零点の集合に含 まれる.

さらに,

η 1 (t) + η k (t)

a k ≤ a 1

η 1 (t) + η k (t) = (a 1 − a k ) sin(2πνt) + 2a k sin(π(1 + k)νt) cos(π(k − 1)νt)

{ t : t = n 2ν }

{ t : t = n

ν(1 + k) , t = n + 1/2 ν(k − 1) }

a ₁ = a _k

η ₁ (t) + η _k (t)

{ t : t = n

ν(1 + k) , t = n + 1/2 ν(k − 1) }

となり,

k

2 4 6 8 10

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

2 4 6 8 10

-2 -1 1 2

一般に我々が耳にしている音は, 前に述べた通り,倍音の成分を含んだ音がほとんどであ る. そこで,

η ₀ (t) =

k=0

a _k sin(2πkν ₀ t)

ν ₀

η ₁ (t) =

k=0

a _k sin(2πkν ₁ t)

と書かれる基底周波数

ν ₁

ν ₀

ν ₁

m/n

ν ₀ = m n ν ₁

η ₁ (t) =

k=0

a _k sin(2π km n ν ₀ t)

である. この時, どれだけの倍音がきれいに重なるかを計算してみると,

η ₁ (t)

sin(2π ^km _n ν ₀ t)

0 (t)

km

n

k

n

であることが必要かつ十分であることがわかる. したがって,２つの音の周波数比が「単純 な有理数」で表されているほどその音を重ねた時にきれいに重なることがわかる. ここで

「単純な有理数」とは, その有理数を既約分数で表した時, 分母が小さな整数になることで ある. 実際には, ２つの音の周波数が単純な有理数比になっていることは少ないと思われ, 正確には,「単純な有理数比により近い周波数比をもつ２つの音はきれいに重なる」という ことであると思われる.

「きれいに音が重なる」とは,実際にその音を聞いた時,きれいに響いて聞こえるという ことである. 音の重なりを,その周波数比という数学的な量に置き換えることにより, 実際 の音楽の音階が構成されている.

4 _{音階と数学}

音楽において基本となる音の高さを表すものが音階である. ここでは,音階がどのように 構成されているかを数学を利用して解析してみよう.

4.1

弦から発生する音を考察した時に見たように,長さ

L

ν _n = nc

2L

で与えられる. したがって,弦の長さを

L/2

ν _n

ν _n = nc

L = 2ν _n

となる. すなわち,弦の長さを半分にすると, 発生する音の振動数は２倍になる.

このような考察から, ある基準音（の振動数）

ν 0

2ν 0

n

ⁿ ν ₀

ν ₀

2ν ₀

₀

4ν ₀

ここで,連続的に音の高さが変化するような音を構成したいとする. ここでは,振動数

ν ₀

ν 1

η(t) = sin(2πt((1 − t)ν ₀ + tν ₁ )) (14)

ν

f (ν)

¹¹ , f

f (ν) ∼ log ₂ (ν)

といった形になるべきである. したがって, (14)で与えた振動数の変化

h(t) = (1 − t)ν ₀ + tν ₁

f

f (h(t)) = log ₂ ((1 − t)ν ₀ + tν ₁ )

となり,グラフを見ればわかるように, 低い音の方が増加の割合が大きい.

音の高さの変化の様子が一様な音を構成するためには, 振動数の変化を指数関数的にす れば良いことがわかる. 実際,

η(t) = sin(2πt2 ^t ν ₀ )

11 これは,明らかに数学的な概念ではなく,もの事を説明するためだけの便宜的な方法であることに注意し て欲しい.

とすれば, １秒間で振動数

ν ₀

ν ₁ = 2ν ₀

4.2

音楽において利用する音の高さを表す方法が音階であるが,それは, １オクターブの間に いくつかの音を割り当て,その音の高さによって音楽を構成しようというものである.

音の高さが１オクターブ違う音は, 高い音に対して, 低い音の振動数が

1/2

4.2.1

ピタゴラス音階とは,始めに次のような長さの弦を用意するものである.

1.

L

2.

⁴ ₃ L

3.

³ ₂ L

4.

2L

これらの弦を用意して, それらの間の振動数の比を計算すると, 長さ

L

ν ₀

1. ν ₀ , 2. ⁴ ₃ ν ₀ , 3. ³ ₂ ν ₀ , 4. 2ν 0

となることがわかる. これによって, １オクターブの間に２つの音の高さが割り当てられ,

ν ₀ , 4

3 ν ₀ , 3 2 ν ₀ , 2ν ₀

という３つ（４つ）の音の高さからなる音階ができたことになる.

ここで, 音階を構成している有理数

a = 1, c = 4/3, d = 3/2, b = 2

1 + 2 2 = 3

2 , 1 2 (1 + 1

2 ) = 3 4 = 1

4 3

.

すなわち,

a + b

2 = d, 1 2 ( 1

a + 1 b ) = 1

c

が成り立つ.

しかし,音楽を構成するためには, これだけでは利用できる音の高さが少ないので,

ν 0

4

3 ν ₀

³ ₂ ν ₀

2ν ₀

⁴ ₃

³ ₂

4 3 · 9

8 = 3 2

という関係式が成り立つ. つまり,

⁴ ₃ ν ₀

³ ₂ ν ₀

⁹ ₈

音名

C D E F G A H C

振動数

1 ⁹ ₈ ⁸¹ ₆₄ ⁴ ₃ ³ ₂ ²⁷ ₁₆ ²⁴³ ₁₂₈ 2

⁹ ₈ ⁹ ₈ ²⁵⁶ ₂₄₃ ⁹ ₈ ⁹ ₈ ⁹ ₈ ²⁵⁶ ₂₄₃

9

8 = 1.125, 256

243 ∼ 1.05

という比の値を持っている. ここで, 例えば

C

D

α

α ² = 9 8

α

α = √ ³

8 ∼ 1.06

256/243 ∼ 1.05

このようにして,１オクターブの間に８つ（７つ）の音を割り当てることができた. ここ で, 最初の振動数

ν ₀

2ν ₀

この方法によって, １オクターブが８つの音からなる音階を定めることができたが, 良く 知られているように, 現在の音階では

A , A

実は,５度の音を順に重ねていくことによって, 元の音と（オクターブ差を除いて）ほぼ 等しい音を作ることができる. つまり, ５度の音に対して,５度の音を作るという操作を繰 り返す. この時, 順にできていく音は,

3 2

n

ν ₀

となっていくのだが,

n = 13

3

2

12 1 2

7

= 531441

524288 = 1.01364

この方法によって作られる音の振動数を計算してみよう.

n = 0 1 0 C n = 1 ( ³ ₂ ) ¹ ( ¹ ₂ ) ⁰ = ³ ₂ ∼ 1.5000 702.0 G n = 2 ( ³ ₂ ) ² ( ¹ ₂ ) ¹ = ⁹ ₈ ∼ 1.1250 203.9 D n = 3 ( ³ ₂ ) ³ ( ¹ ₂ ) ¹ = ²⁷ ₁₆ ∼ 1.6875 905.9 A n = 4 ( ³ ₂ ) ⁴ ( ¹ ₂ ) ² = ⁸¹ ₆₄ ∼ 1.2656 407.8 E n = 5 ( ³ ₂ ) ⁵ ( ¹ ₂ ) ² = ²⁴³ ₁₂₈ ∼ 1.8984 1109.8 H n = 6 ( ³ ₂ ) ⁶ ( ¹ ₂ ) ³ = ⁷²⁹ ₅₁₂ ∼ 1.4238 611.7 F n = 7 ( ³ ₂ ) ⁷ ( ¹ ₂ ) ⁴ = ²¹⁸⁷ ₂₀₄₈ ∼ 1.0679 113.7 C n = 8 ( ³ ₂ ) ⁸ ( ¹ ₂ ) ⁴ = ⁶⁵⁶¹ ₄₀₉₆ ∼ 1.6018 815.6 G n = 9 ( ³ ₂ ) ⁹ ( ¹ ₂ ) ⁵ = ¹⁹⁶⁸³ ₁₆₃₈₄ ∼ 1.2014 317.6 D n = 10 ( ³ ₂ ) ¹⁰ ( ¹ ₂ ) ⁵ = ⁵⁹⁰⁴⁹ ₃₂₇₆₈ ∼ 1.8020 1019.6 A n = 11 ( ³ ₂ ) ¹¹ ( ¹ ₂ ) ⁶ = ¹⁷⁷¹⁴⁷ ₁₃₁₀₇₂ ∼ 1.3515 521.5 E n = 12 ( ³ ₂ ) ¹² ( ¹ ₂ ) ⁷ = ⁵³¹⁴⁴¹ ₅₂₄₂₈₈ ∼ 1.0136 23.5 H

n = − 1 ( ³ ₂ ) ^{− 1} ( ¹ ₂ ) ^{− 1} = ⁴ ₃ ∼ 1.3333 498.0 F n = − 2 ( ³ ₂ ) ^{− 2} ( ¹ ₂ ) ^{− 2} = ¹⁶ ₉ ∼ 1.7778 996.1 B n = − 3 ( ³ ₂ ) ^{− 3} ( ¹ ₂ ) ^{− 2} = ³² ₂₇ ∼ 1.1852 294.1 E n = − 4 ( ³ ₂ ) ^{− 4} ( ¹ ₂ ) ^{− 3} = ¹²⁸ ₈₁ ∼ 1.5802 792.2 A n = − 5 ( ³ ₂ ) ^{− 5} ( ¹ ₂ ) ^{− 3} = ²⁵⁶ ₂₄₃ ∼ 1.0535 90.2 D n = − 6 ( ³ ₂ ) ^{− 6} ( ¹ ₂ ) ^{− 4} = ¹⁰²⁴ ₇₂₉ ∼ 1.4047 588.3 G n = − 7 ( ³ ₂ ) ^{− 7} ( ¹ ₂ ) ^{− 5} = ⁴⁰⁹⁶ ₂₁₈₇ ∼ 1.8729 1086.3 C n = − 8 ( ³ ₂ ) ^{− 8} ( ¹ ₂ ) ^{− 5} = ⁸¹⁹² ₆₅₆₁ ∼ 1.2486 384.4 F n = − 9 ( ³ ₂ ) ⁻⁹ ( ¹ ₂ ) ⁻⁶ = ³²⁷⁶⁸ ₁₉₆₈₃ ∼ 1.6648 882.4 BB

x

1200 · log ₂ x

で与えられる数値であり,音楽では「セント値」と呼ばれている. セント値が何故このよう な式で表されるかは後に解説する.

ここで,上の表で

n = 13

x = 3 ¹³ 2 ^{− 20} ∼ 1.520,

F

G

音名 比の値 セント値

C ³ ₂

0

D ² ₃

90.2

C ₂ ³

113.7

D ³ ₂

203.9

E ² ₃

294.1

D ₂ ³

317.6 F ² ₃

384.4

E ³ ₂

407.8

F ² ₃

498.0

E ³ ₂

521.5 G ² ₃

588.3

F ³ ₂

611.7

G ³ ₂

702.0

A ² ₃

792.2

G ₂ ³

815.6 (BB) ² ₃

882.4

A ³ ₂

905.9

B ² ₃

996.1

A ³ ₂

1019.6 C ² ₃

1086.3

H ³ ₂

1109.8

(H ) ³ ₂

1223.5

ここで作られた各音の周波数比は,次のような値を持つことがわかる.

C–G, D–A, E–H, F–C ³ ₂

(P5)

C–F, D–G, E–A, G–C ⁴ ₃

(P4)

C–D, D–E, F–G, G–A, A–H ⁹ ₈

E–F, H–C ²⁵⁶ ₂₄₃

A–A , C–C , D–D , E–E , H–H ₂ ³

A –G, C –B, D –C, G –F, F –D ³ ₂

4.2.2

ピタゴラス音階では, ３度, ７度の音の周波数が, 基底音に対して, それぞれ

⁸¹ ₆₄ , ²⁴³ ₁₂₈

音名

C D E F G A H C

1 ⁹ ₈ ⁵ ₄ ⁴ ₃ ³ ₂ ⁵ ₃ ¹⁵ ₈ 2

⁹ ₈ ¹⁰ ₉ ¹⁶ ₁₅ ⁹ ₈ ¹⁰ ₉ ⁹ ₈ ¹⁶ ₁₅

⁹ ₈ , ¹⁰ ₉ , ¹⁶ ₁₅

9

8 = 1.125, 1200 · log ₂ ( 9

8 ) = 209.91 10

9 = 1.111, 1200 · log ₂ ( 10

9 ) = 182.40 16

15 = 1.0667, 1200 · log ₂ ( 16

15 ) = 111.73

9

8 :

10

9 :

16

15 :

上に挙げた周波数比は,純正律音階の「長音階」であり,もう一つ「短音階」と呼ばれるも のがある.

音名

C D E F G A B C

1 ⁹ ₈ ⁶ ₅ ⁴ ₃ ³ ₂ ⁸ ₅ ¹⁶ ₉ 2

⁹ ₈ ¹⁶ ₁₅ ¹⁰ ₉ ⁹ ₈ ¹⁶ ₁₅ ¹⁰ ₉ ⁹ ₈

ここで,長音階と短音階それぞれについて,３度,６度,７度の音は異なっているので, それ ぞれに出てくるものを区別するため,長３度

(M3),

(m3)

C

D, E , F, G, A , B