数理物理及び演習
III（ 量子力学）
2003.5.83
角運動量と球面調和関数
II1【直交関係】中心力場中で運動する粒子の定常状態のSchrodinger方程式を極座標表 示したとき，その固有関数の角部分は球面調和関数
Y lm( '
)=(;1)m+j2mj
v
u
u
t
(2
l
+1)4
(l
;jm
j)!(
l
+jm
j)!P ljm
j(cos)e im' P l m(z
)=(1;z
2)m2 d m
z
)=(1;z
2)m2d m
dz m P l(z
) P l(z
)= 1
z
)= 12
l l! d l
dz l(z
2;1)l
で表される（
l
=012l
jm
j）。球面調和関数Y lm( '
)は，直交関係
Z
0 Z
2
0
Y l0m
0( '
)Y lm( '
)sindd'
= ll0 mm0
'
)sindd'
= ll0 mm0
をみたすことを示せ。ただし，ガンマ関数，ベータ関数に関する公式
B
(p q
)=Z 10
x p;1(1;x
)q
;1dx
(p q >
0) B
(p q
)= ;(p
);(q
)
;(
p
+q
) ;(n
+1)=n
!を用いてよい。
2【パリティ】球面調和関数
Y lm( '
)に空間反転 (!; '
!'
+)を施すこと
により，パリティを求めよ。
3【 完全性】球面調和関数
Y lm( '
)は，球面上で内積が有限となる関数f
( '
)に対
して完全系をなす。展開係数
a lmを用いて
f
('
)=X1l
=0l
X
m
=;l a lm Y lm
('
)と展開するとき，以下の問いに答えよ。
(1)展開係数は
a lm =
Z
0 Z
2
0
Y lm ( '
)f
( '
)sindd'
と表されることを示せ。
(2)
l
2についての固有関数Y lm( '
)を全て求めよ。
(3)単位球面上で定義された関数
f
('
)=1+cos2+sin2cos'
を球面調和関数で展開せよ。
