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CAE 演習： Easy-σ lite に よる応力解析

目標：

機械工学実験「はりの曲げと応力集中」

の有限要素法による応力解析を行う

1

CAD: Computer Aided Design CAE: Computer Aided Engineering

【コンピュータシミュレーション】

CAM: Computer Aided Manufacturing

スケジュール

1. 有限要素法の基礎と応用例

2. 例題（ Easy-σ の使い方の説明）

3. 課題１：応力集中の解析課題 4. 課題２：はりの曲げの解析課題

本日中に、課題 1 と 2 を提出してください。

二年

A

～三年

S

材料力学第一・第二

三年

S CAE

演習（

Easy- σ

演習）

三年

A

有限要素法

三年

A

デジタルエンジニアリング演習

関連講義

2

材料力学

•

材料力学は，いくつかの単純な仮定を置くことにより，非常に簡 単な式で，部材の変形や内部の応力・ひずみを近似的に表現 することを可能にする力学

•

仮定が成立する範囲においては，容易に解析が可能である．

たとえば，荷重

F

が

2

倍になれば，たわみはどうなるか．梁の幅

b

もしくは高さ

h

を変えればどうなるかが，即座に理解できるから である．たとえ，構造が複雑になっても，この式がもつ傾向は大 きく変わることはない．

図1.1 材料力学で扱われる梁 l

h b

F

 

 



 =

−

= , 12

3

3

3 bh

EI I y Fl

3

有限要素法の原理と応用例

• 有限要素法では，同じ梁の問題を 図 (a) のように，解析対象領域を，

節点で囲まれたメッシュ状の領域

（要素）に分割し，変形を近似的に 解く．

• 有限要素法では，ある要素内の変 位分布は，節点の変位の値を使っ た形状関数によって，内挿された 値で近似される．そして，代表点で ある“節点”の変位を数値計算で 求める．

 解は近似解、メッシュに依存す る

図2a) 有限要素法で行われる近似（解析領域を節点で囲まれた要素で分 割）b) 要素の数が少なく、近似の精度が低い例（一次要素を使用） c) 要 素の数が十分で近似の精度が高い例（二次要素を使用）

シミュレーションの検証と妥当性確認

（ Verification & Validation ）

東芝インフォメーションシステムズ 吉田有一郎氏の

PPT

より

5

現実世界 概念モデル

数理モデル 物理モデル

計算モデル

シミュレーションモデル

実験計画 実験データ 実験の結果 シミュレーションの結果

一致？

コードの 検証

計算の 検証

妥当性確認 不確かさ

評価 予備計算

定量的一致

モデル・実験 の修正

No

有限要素法の応用例

例題

Easy-σ を動かしてみよう

1

CAE 演習用 Easy-σ のページ

http://www.fml.t.u-tokyo.ac.jp/lecture/CAE.html

• すべての配布資料、 64bit 版 Easy-σ を配布

Easy-σ Lite の立ち上げ方

• C:¥Program Files (x86)¥geolab¥Easy-Sigma 2D Lite¥Pre.exe

（プリプロセッサ）（配布

PC

のデスクトップにアイコンあり）

•

“ヘルプ”の“バージョン情報”で、必ず、

ライセンスキー“

Easy-Sigma 2D Lite@Geolab

” を入力して ください。入力すると、節点上限が

5000

になります。

3

認識感度の設定

• 「設定」の「認識感度の設定」で、感度を最大

にしておいてください。

Slack を活用します

• 対面 or Slack で質問してください。

• 共通の質問・回答は Slack で共有します。

5

※非常によくあるトラブルと対策（計算が進まない！）

対策１）

１．ファイルを一旦保存して、

Easy-σ

を立ち下げる

２．保存したファイルをダブルクリックして再度、

Easy-σ

を立ち上げて計算 する

対策２）

・フォルダ・ファイル名を単純にする。

C:¥tmp¥aa.2del

等 対策３） ファイルが壊れてしまう場合

・元ファイルを再びダウンロードして、再び作り直す（

easyσ

のバグ）

対策４）

・実は計算が出来ている場合もあります。ポストプロセッサを立ちあげて みましょう。

対策５）

・

easy-σ

は

windows3.1

時代のソフトです大目にみましょう。

・そのまま再試行を押すとうまく行くときもあります。

・泉まで相談、どうしようもなくなったら解析済ファイルを渡します。

その他注意点

• 表示がバグる場合があります（カ ーソル位置とウィンドウの位置が 違う・メニューがどっかに行く）。

ディスプレイの拡大表示設定を 100% にすると直ります。

• メッシュ分割は 23 が最大です。

• 作図や解析域の設定は修正しな いでください。修正してしまった 場合は、元ファイルでやり直すか

、申し出てください。

7

EASY-σ の使用法

P=100 N/mm ²

45mm 5mm

10mm

10mm

上下・左右対称を使った

1/4

モデル

45mm

H 型鋼の解析 ( 圧縮分布荷重 )

※ 解析ファイル配布

マニュアル・解析ファイルの ダウンロードについて

1. CAE

演習（

Easy-σ

）のページより、マニュアル・解析ファイルをダ ウンロードして保存してください。

2.

保存した解析ファイルをダブルクリックで立ち上げてください。

この手順を守らないと、解析できないことがあります。

9

Easy-σ の使用法の動画

https://www.youtube.com/watch?v=iXo_tED7ZpU （ 5:19 ） https://www.youtube.com/watch?v=Tvaw8ok5U-Q (4:07)

https://www.youtube.com/watch?v=oFQnJMb47Z4 (5:18)

補足説明）二次元応力解析

• 多くは二次元でモデル化可能（計算軽）

• どれかの近似を選択する必要がある

（“設定“の“物理モデルの設定”）

平面応力 平面ひずみ 軸対称

11

二次元解析～平面応力場近似

• 奥行き方向に関する応力を すべてゼロと仮定する

（σ _z =τ _xz =τ _yz =0）

x y z

（

a

^{） 平面応力問題}

 

 



 

 



 

 





 

 





− −

 =



 



 

 



xy y x

xy y

x E

γ ε ε ν ν

ν τ ν

σ σ

2 0 1

0

0 1

0 1

1 ²

( _{x y} )

z xy

y x

xy y x

E

E ε ν σ σ

τ σ σ ν

ν

ν γ

ε ε

+

−

 =



 



 

 



 







 







+

−

−

 =



 



 

 



, )

1 ( 2 0

0

0 1

0 1

1

二次元解析～平面ひずみ場近似

• 奥行き方向に厚く、解析面が奥行き 方向には拘束されてしまう場合に 用いる近似（ε _z =γ _xz =γ _yz =0）

（

b

^{） 平面ひずみ問題}

 

 



 

 



 

 

 





 

 

 





+

−

−

− +

= −

 

 



 

 



xy y x

xy y x

E E

γ ε ε

ν ν

ν ν

ν

ν ν

ν τ

σ σ

) 1 ( 0 2

0

0 1 1

1 0 1

) 2 1 )(

1 (

) 1 (

平面ひずみと平面応力は似て非なる近似！

0 ,

1 0 2

0

0 1 1

1 0 1

1

²

≡

 

 



 

 



 

 

 





 

 

 





−

− −

− −

= −

 

 



 

 



z xy

y x

xy y x

E ε

τ σ σ

ν ν

ν ν

ν ν

γ ε ε

13

課題 1

応力集中係数の解析

応力集中と応力集中係数

構造部材の断面が一様な場合には、引張や曲げなどの荷重 に対して、部材内の応力は一様となるが、部材に切欠きなど が存在して形状が急激に変化する部分があると、その近傍の 応力が局所的に極めて高くなる。この現象を応力集中という。

多くの破壊現象は、応力集中によって生じる。

円孔を有する無限板の引張

σ _max

x σ ₀

σ ₀

円孔部分に応力集

中が生じている。

3 / ₀

max =

= σ σ α

応力集中係数

α σ _y

2

帯板の応力集中係数（配布資料図 11-4 参照）

0 max / σ σ

α =

外荷重 板厚，

:

) : (

0 2 h p

h a b

P

= −

σ a :

円孔の半径、

b :

板の幅

基準応力

σ ₀

： 荷重を円孔部の最小断 面積で割った応力

a σ

x σ₀ P

2b ²

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

α

a/b

a)

b)

理論解 （図11-4参照）

a/b=0.3でα≃2.35

3

課題 1 ^{応力集中係数を求める}

中央に円孔を有する無限長の有限幅帯板の 応力集中係数を有限要素法で求め，有限帯板 の応力集中係数の理論値と比較しなさい．た だし，モデルサイズは，

a=30[mm],

b=100[mm], P=2.0 × 10 ⁴ [N],

ヤング率は

205[GPa],

ポアソン比は

0.3

とする。厚さは

h=1 mm

とする．

・モデルは

1/4

モデルにして、縦方向の長さは 十分に大きくとること（

200mm

以上）。

・適正なメッシュサイズを検討せよ。

・荷重は分布荷重に変換すること（

EASYσ

では、

分布荷重は面積あたりの荷重となることに注 意）。

2 a 2 b

P

P 4

単位系を考える

荷重Pは[N]系、モデルは[mm]系なので、

応力は[力/(長さ

² )]なので、

[N/mm ² ]=[10 ⁶ N/m ² ]=[MPa]の単位にな

る。

よって、ヤング率は[MPa]で入力しなけ ればならない。

鉄 の ヤ ン グ 率 は

205[GPa]

だ か ら 、

205000と入力する。

これにより、出力は[mm][N][MPa]系とな る。

11.322070

※すべての課題のモデルの作り方

• 「作図」、「解析域」の設定を行う必要はありま せん。設定されたファイルをダウンロードしてく ださい

• 以下の設定のみを行ってください。

– 「境界」「荷重」「調整（メッシュ）」「生成」

– 「設定」の「物理モデルの設定」と「物性値」

6

課題 1 モデルの作り方「境界」①

•

「作成」の「境界」を選びま す。赤い矢印が向き合って いるボタンを押しても

OK

で す。

•

設定したい線分を右クリッ クして拘束方法を選びます

。左右対称なので、ここで は

x

方向面拘束を選びます

。設定は線分毎にしか出来 ないので、下の線分にも同

じ設定をします。 ^{ここも設定！}

課題 1 モデルの作り方「境界」②

下端も上下対称なので、

Y

方 向面拘束を設定します。

8

課題 1 モデルの作り方「荷重」①

•

「作成」の「荷重」を選択しま す。または、緑の下矢印の ボタンを押します。

•

荷重がかかる上端を右クリ ックして、線形分布を選び ます。

課題 1 モデルの作り方「荷重」②

•

線形分布を選んだら、右の ような画面になります。

•

直交

σn

の欄をダブルクリッ クして、出てきた電卓に荷 重（応力値）を打ち込みま す。

•

ここでは、単位長さ当たり の荷重である

20000N/200mm=100 N/mm

を入力します。

•

点

2

も同じことをします。

10

ダブルクリック

点

2

も忘れずに

課題 1 モデルの作り方「調整」①

•

「作成」の「調整」を選択しま す。または、赤の

1

と書かれ たボタンを押します。

•

メッシュの分割数の設定が

、四角マークを左クリックし てから、右クリックすると行 えます。いろいろなメッシュ を試してみてください。

課題 1 モデルの作り方「調整」②

•

マウスでモデル全体を囲む とすべての分割数を同じに して設定することも出来ま す。

12

課題 1 モデルの作り方「生成」①

•

「作成」の「生成」を選ぶか、

メッシュの絵が描かれてい るボタンを押すと、メッシュ が生成されます。

•

このメッシュで良い場合は 必ず「決定」ボタンを押して ください。このボタンを押さ ないと解析が出来ません。

•

押したら、決定ボタンが消 えますので、「戻る」を押し ます。

必ず決定ボタ ンを押す

課題 1 モデルの作り方「生成」②

• これまでの作業がうまく 行っている場合は、二 重矢印の「解析開始」

ボタンが点灯します。

• これが消灯したままの 場合は、モデルに何ら かの不備がありますの で見直してください。

14

解析開始ボタ ンが点灯

課題 1 モデルの作り方「解析モデ ルの設定」

• 「設定」の「物理モデル の設定」で、適切なモデ ルを選んでください。

• 材料モデルは、必ず「

弾性」を選んでください

。

• 問題特性は、今回のよ

うな薄い板状の構造の

場合、「平面応力」を選

びます。

課題 1 モデルの作り方「物性値」

•

「設定」の「材料値」で、物 性値を設定してください。

• PPT

に説明があった通り、

単位系に注意して物性値を 入力します。

•

ここでは、単位系を

N, mm, Mpa

系とし、ヤング率は

205000MPa,

ポアソン比

0.3,

厚み

1mm

を入力します。比 重は

0

にしてください。

16

課題 1 モデルの作り方「解析開始」

•

これで、すべての設定が完 了しましたので解析開始ボ タンを押してください。自動 的にポストプロセッサが立 ち上がります。

•

解析がすでに行われている 場合やポストプロセッサが 立ち上がらない場合は、解 析開始ボタンの右の赤い 矢印で、ポストプロセッサを 立ち上げます。

解析開始ボタ ンを押す

解析がすでに 行われている 場合は、赤い 矢印でポストを 立ち上げる

課題 1 結果の見方（応力）①

• 色分け図で右クリックで

、 σy を選びます。

• 凡例の一番下の値が 応力の最大値です。

18

補足

POST

の色分け図で凡例（カラーバー）が出てこない人は、「ウィンドウ」で凡例表 示を

on

にしてください。

課題 1 結果の見方（応力）②

20

• 断面上の成分で、右クリ ックして「水平」を選びま す。再び右クリックして、「

数値入力」を選び、 0 （下 端）を入力します。

• 右クリックして、 σy を選び ます。

• グラフの最大値が、応力

の最大値です。

メッシュの切り方について

有限要素法のノウハウ

はじめに

• 有限要素法はポピュラーなツールである一方

、解析で苦労している人が多い

• 高度な利用技術が必要（ここではメッシュ分割 のみ解説）

– モデル化・要素の選択 – メッシュ分割の工夫

– 境界条件の設定 – 材料物性の入力

– 解析の結果の検証と分析

メッシュの作成の基本

• メッシュを無限に細かく分割  弾性理論解

• メッシュは有限  結果は近似解

• 粗いメッシュによる検証  詳細メッシュによる 解析

• 自動メッシュ分割機能

– 四面体要素（精度が低い）

– 六面体要素（精度が高いが、すべてを六面体分 割することは不可能）

 どちらにしても精度の検証はユーザー

に任される

メッシュの作成の基本

• 応力勾配が大きな領域や評価点は細かくメッシュを 分割する。

• 応力勾配が小さい・評価領域より遠くはなれたところ は粗くメッシュを分割する

基本単位

図

3

効率的なメッシュの切り方の例（上は粗く分割した いとき、下は特定領域を細かく分割したいときに有効）

評価点

メッシュの作成の基本

• 正方形に近いメッシュにする

• アスペクト比を高くしない

a) 良いメッシュの例

b) 悪いメッシュの例 高アスペクト比

低角度

高角度

図5 良いメッシュと悪いメッシュの例

メッシュの作成の例

a)

^{粗メッシュ}

×

b)

^{詳細メッシュ}

△

c)

応力集中部詳細 メッシュ

○

円孔付き帯板の解析メッシュ図（結果は表

1

参照・

a

^{の丸で示し} た場所の値を比較している）

d)

全 体 詳 細 メ ッ シ ュ △

e)

高アスペクト比 メッシュ ×

メッシュの作成の例～解析精度の比較

表１ 解析精度のメッシュ依存性

節点数 要素数 誤差

(

応力集中係数

)

a)

粗メッシュ

177 48 8.2

％

b)

詳細メッシュ

641 192 3.9

％

c)

応力集中部詳細

641 192 0.6

％

d)

全体詳細

1811 564 2.6

％

e)

高アスペクト比

857 256 10.7

％

• c)

の応力集中部詳細モデルが最も精度が出る。これは、応力が高い部分 のメッシュが細かいため。

•

全体を細かく切っても意味がない。

課題 1 の提出方法

• CAE

演習のページから課題のテンプレートをダウンロードして

、内容を仕上げてください。

•

グループ毎に相談して、仕上げたものをスタッフにチェックし てもらってください。

•

各々、

ITC-LMS

の「機械工学総合演習第二」の課題の「

CAE

演 習」のところに本日中にアップロードしてください。

PDF

ファイ ル推奨

28

課題 2

はりの曲げの解析

機械工学実験 はりの曲げと応力集中

•

Ｖ溝を有するはりの曲げ

–

両端単純支持

–

ボルトで固定した固定支持

•

はりのたわみとＶ溝まわりのひずみ計測

25 切欠き部の位置

19

500 38

中心

25.0

4 Ｖ溝の深さの測定値3.99 Ｖ溝の角度45°

Ｖ溝の先端半径0.25

ｘ ｙ

z y

単位は[mm]

2

変位計とひずみゲージの取り付け位置

( 今日の課題は、このデータを使ってください )

変位計

ｙ

⑪

0 500

ひずみゲージ

Ｖ型溝切欠き部

x

27 20

28 ｚ

21

25 22 23 24

26

29 31 30

32 33 34 35 36

⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ ⑰ ⑱ ⑲

x

CH番号 位置(x,y) [mm] CH番号 位置(x,y)[mm] CH番号 位置(x,y)[mm]

20 200, 19 26 200, -19 32 275, 14

21 200, 14 27 50, 19 33 275, 12

22 200, 7 28 50, -19 34 275, 10

23 200, 0 29 300,0(x軸方向) 35 275, 8

24 200, -7 30 300,0(x軸45°) 36 275, 6

25 200, -14 31 300,0(y軸方向)

図1 実験に用いるはりの形状と寸法（上）、変位測定点とひずみ測定点（下）

 変位データ 単位は[mm]

チャンネル ｘ座標 単純支持 固定支持

CH11 50 -5.02E-01 -1.34E-01

CH12 100 -8.88E-01 -2.62E-01

CH13 150 -1.24E+00 -4.13E-01

CH14 200 -1.47E+00 -5.24E-01

CH15 250 -1.56E+00 -5.69E-01

CH16 300 -1.46E+00 -5.16E-01

CH17 350 -1.22E+00 -4.02E-01

CH18 400 -8.84E-01 -2.56E-01

CH19 450 -4.84E-01 -1.24E-01

 ひずみデータ

単純支持(実験)ｘ ｙ ひずみεｘ

CH32 275 33 1.73E-03

CH33 275 31 8.72E-04

CH34 275 29 6.37E-04

CH35 275 27 4.95E-04

CH36 275 25 3.51E-04

固定支持(実験）

CH32 275 33 6.96E-04

CH33 275 31 4.31E-04

CH34 275 29 3.55E-04

CH35 275 27 2.93E-04

CH36 275 25 2.21E-04

3

課題 2 はりの曲げのたわみ

•

配布するモデル（

web

上）を使って、

F=10000 N

の荷重をはりの真 ん中に負荷した曲げの解析を行え。支持方法は、単純支持と固 定支持の

2

通りとする。物性値は、ヤング率・ポアソン比は課題

1

と同じ、厚さ（

19mm

）を設定すること。

•

変位計で中央の最大たわみを計測したところ，単純支持で

1.519 mm

、固定支持で

0.569 mm

が得られた．解析と実験を比較せよ．

また、同時に材料力学的考察を行え。

–

メッシュの評価を行い、適当なメッシュを切ること

–

解析結果（はりのたわみ量）を解析・実験・材力の３つで比較 すること。

•

最大応力値を解析で求め、

V

ノッチがなかった場合の曲げ応力と 比較して、応力集中係数を求めよ。

– V

ノッチ周りのメッシュの評価を行い、適当なメッシュを切ること

4

課題 2 のモデルの作り方「境界」

• 左上端点を右クリックし て、点拘束条件（ XY 方 向点拘束）を選びます。

• 右上端点についても同 様に、点拘束条件を入 れます。単純支持は、

片側は y 方向点拘束で す。※両側、 XY 点拘束 にしないように！

こっちは、

y

方 向点拘束

課題 2 のモデルの作り方「荷重」

• 荷重を与える、下端の 中央の点を右クリックし て、集中荷重を選びま す。

• 成分 Py に 10000N を入 力します。

6

こっちは、

y

方 向点拘束

課題 2 のモデルの作り方「調整」

• 適切なメッシュを作成し ます。

• あまりメッシュが多いと

、フリーソフトの制限に ひっかかるため、応力 集中する部分を優先的 に細かくします。

• メッシュは試行錯誤して

みてください。

課題 2 のモデルの作り方「生成」

• 満足するメッシュが出 来たら、必ず決定ボタ ンを押してください。

8

必ず決定ボタ ンを押す

課題 2 のモデルの作り方「物理モ デルの設定」「材料値」

• 物理モデルの設定では、

奥行き方向の応力は発 生しないため、平面応力 を選びます。

• 材料値は、応力集中と同 じ値ですが、厚み（ 19mm

）を入れる必要がありま す。

• これで設定は完了です。

課題 2 結果の見方（変位）①

• 変形図で、右下に出て いる値が最大変位の値 です。

10

最大変位値

課題 2 結果の見方（変位）②

• 値出力（ 123 のボタン）

で、任意の点をクリック またはマウスで囲むと

、節点の変位の値を見 ることが出来ます。

• 変位 y の欄をクリックす ると、大きさの順にソー ティングしてくれます。

• 右クリックすると、応力 を見るモードに変えら れます。

ここを押すとソ ーティング

参考資料 結果の見方（ひずみ）

• Easy-σ は、応力とひずみ を同時に見れません。

• ひずみを見たい場合は

、「設定」「モード設定」で ひずみモードを選ぶ。

12

課題 2 の提出方法

• CAE

演習のページから課題のテンプレートをダウンロードして

、内容を仕上げてください。

•

グループ毎に相談して、仕上げたものをスタッフにチェックし てもらってください。

•

各々、

ITC-LMS

の「機械工学総合演習第二」の課題の「

CAE

演 習」のところに本日中にアップロードしてください。

PDF

ファイル 推奨

•

提出したら、本日の演習は終了です（時間内仕上げられなか った人は、

1

週間程度を目途に提出すること）。