平成１６年度 茨城大学 解答例
1.
(1)
固有値− 1
（３重解）なお，固有ベクトルは
(0, 1, 1), (1, 1, 0)
の２個です．(2)
T
−1=
⎛
⎜ ⎝
0 1 − 1
0 0 1
1 − 1 1
⎞
⎟ ⎠
(3)
T
−1AT =
⎛
⎜ ⎝
1 0 0
0 − 1 1 0 0 − 1
⎞
⎟ ⎠
2.
(1)
B A = 2
1 = 2
（下の計算で示したヤコビアンの絶対値（面積変換率）になることに注意します．）
(2)
J = ∂(x, y)
∂(u, v) =
¯ ¯
¯ ¯
¯ 1 1 1 − 1
¯ ¯
¯ ¯
¯ = − 2
．ZZ
B
x dxdy = 2 ZZ
A
(u + v) dudv = 2 Z
10
³Z
10
(u + v) du ´ dv = 2
Z
1 0h u
22 + uv i
10
dv
= 2 Z
10
³ v + 1
2
´
dv = 2 ∗ 1 = 2
1
3.
y
000− 2y
00− y
0+ 2y = 0
の特性方程式
t
3− 2t
2− t + 2 = (t − 1)(t + 1)(t − 2) = 0
より，t = ± 1, 2
． 特殊解η
は，1
D
3− 2D
2− D + 2 e
ix= 1
i
3− 2i
2− i + 2 e
ix= 1 4 − 2i e
ix= cos x + i sin x
4 − 2i = (4 cos x − 2 sin x) + i(4 sin x + 2 cos x)
20
の虚数部分を取って，η = 1
10 (cos x + 2 sin x)
．（特殊解を
η = a sin x + b cos x
とおいて，これを３回微分し，それらを原式に代入してa, b
を求めてもよい．）∴
y = C
1e
−x+ C
2e
x+ C
3e
2x+ 1
10 (cos x + 2 sin x)
4.
(1)
( x = cos t
y = 1 + sin t
とおくと，x
2+ (y − 1)
2= 1 ( − 1 ≥ x ≥ 1, 1 ≥ y ≤ 2)
（半円の図略）(2)
dz
dt = − sin t + i cos t．
Z
C
z dz = Z
π0
z dz dt dt =
Z
π0
{ cos t + i(1 + sin t) } ( − sin t + i cos t) dt
= Z
π0
( − 2 cos t sin t − cos t) dt +i Z
π0
(cos
2t − sin
2t − sin t) dt = 0 − i Z
π0
sin t dt = − 2i
． 正則関数については，積分路を半円の直径にとれば，Z
−1+i 1+iz dz = h z
22
i
−1+i1+i
= ( − 1 + i)
2− (1 + i)
22 = − 2i
．と計算してもかまいません．(3)
dz
dt = − sin t + i cos t
．Z
C
z dz = Z
π0
z dz dt dt =
Z
π0
{ cos t − i(1 + sin t) } ( − sin t + i cos t) dt
= Z
π0
cos t dt + i Z
π0
( − cos
2t − sin
2t − sin t) dt = 0 + i Z
π0
