物理学者でない人 のための統計力学

物理学者でない人 のための統計力学

東京工業大学　渡辺澄夫

１．物理学につい て

統計力学

統計力学　＝　 確率微分方程式

作用素代数・非可換幾何 無限次元の確率論

統計力学の深化と展開

無限は有限と違う　＝　無限次元の確率論

このチュートリアルでは・・・

このチュートリアルでは、

有限次元の平衡状態から無限次元へ移行する

問題について、物理学を習ったことが無い人に 本当に基本的かつ基礎的なことを解説します。

２．平衡統計力 学

カノニカル分布

x R∈ ⁿ とする。

ハミルトニアン H(x) によって記述される 逆温度 β の平衡状態とは

p(x|β) = exp( -βH( 1 ｘ ) ) Z(β)

という確率分布のこと

例

x=(p₁,q₁,p₂,q₂,…p_n,q_n) R∈ ²ⁿ

H(x)=(1/2) Σ (pⁿ _i²+q_i²)

i=1

　 n 個の互いに自由なバネ

⇒ 平衡状態 p(x|β) は正規分布

例

x=(p₁,q₁,p₂,q₂,…p_n,q_n) R∈ ²ⁿ

H(x)=(1/2) Σ pⁿ _i² + U(q₁,q₂,…,q_n)

i=1

相互作用 U を持つ多体系

研究課題：平衡状態をコンピュータで作るには

例

x=( ｓ ₁,s₂,…,s_n) 2∈ ⁿ H(x|w) = － Σ w_ij S_i S_j

(i,j)

スピンシステム

研究課題： w が確率変数のときに何が？

例

x=( ｘ ₁, ｘ ₂,…x_n) R∈ ⁿ

H(x|a)= - Σ log p(a_i|x) – log φ(x)

N i=1

確率モデル p(a|x) 事前確率 φ(x)

平衡状態＝事後分布

休憩：量子統計力学

x=(p₁,q₁,p₂,q₂,…p_n,q_n) は非可換代数の生成元 H(x)=(1/2) Σ pⁿ _i² + U(q₁,q₂,…,q_n)

i=1

CCR: [p_i,q_j]= √ δ^-1 _ij

平衡状態は、非可換代数から複素数への 線型写像 (KMS 状態という）になる

平均値

確率分布 p(x|β) により、任意の関数の平均が

定義される

E[ f(x)|β] = ∫ f(x) p(x|β) dx

平均と確率分布

E[ |β] = ∫ ^p(x|β)

は f(x) C[xdx ∈ ₁,..,x_n] から複素数への線型写像

C[x₁,..,x_n] から複素数への線型写像（自然なもの）

があれば、有限次元のヒルベルト空間とその上の 確率分布が（実質的に）ユニークに再構成される

休憩：量子統計力学

無限次元のヒルベルト空間上の作用素 X_i と (∂x_i) を (p₁,q₁,p₂,q₂,…p_n,q_n,…) と考えるとある非可換 代数が生成される。 逆に

CCR を満たす無限個 (p₁,q₁,p₂,q₂,…p_n,q_n,…) が 生成する非可換代数上に KMS 状態があると、

ヒルベルト空間上の表現が作れる（ GNS 再構成）。

３．心の準備

目標：無限次元

x を無限次元のベクトルとする。

ハミルトニアン H(x) が与えられたとき平衡状態

Exp(-βH(x)) を定義して解析するための方法を

与えよ。

心の準備（１）

x = (x₁,x₂,…,x_n,…)

R^∞ : ＝ {x ; - 　∞ < x_i < ∞ } ヒルベルト空間

E= {x R∈ ^∞; Σ x^∞ _i² < ∞}

i=1

は R^∞ の中のほんの一部分である。

心の準備（２）

ヒルベルト空間

E= {x R∈ ^∞; Σ x^∞ _i² < ∞}

i=1

lim x_i = 0

正規直交系 { e_i } について lim (u,e_i)=0 しばしば物理学にとって狭すぎる

心の準備（３）

x=( ｘ ₁, ｘ ₂,…, ｘ _n,…) 2∈ ^∞ x, y 2∈ ^∞ が弱同値であるとは

無限個のスピン

Σ |(x_i,y_i) -1| < ∞

集合 2^∞ ＝無限個の同値類の和集合

異なる同値類は、異なる物理状態に対応

∞ i=1

心の準備（ 4 ）^{確率分布の収束}

有限次元の場合でもいろいろな問題がある

p(x|a) exp( - x∝ ²/a) +exp(-(x-1)²/a) (x R)∈

1

→δ(x)+δ(x-1)

→δ(x-1)

→δ(x)

心の準備（ 5 ）^{平均の収束}

平均値の極限　≠　極限による平均値

p(x|a) = (1/(a+1))(aδ(x)+δ(x-a)) (x R)∈

p(x|a) → p(x|∞)=δ(x)

E[x|a] = a/(a+1) → 1 ≠ E[x|∞] =0

無限次元では 日常茶飯事 しかも物理的現象と

４．有限から無限 へ

例による説 明

p_n(x) exp( - |x|∝ ²) x = (x₁,x₂,…,x_n)

x = (x₁,x₂,…,x_n,…)

p(x) p∝ _n(x₁,x₂,…,x_n)φ(x_n+1,…) p_∞(x) exp( - |x|∝ ²)

無限次元の正規分布

p_∞(x) exp( - |x|∝ ²) に従う x について x = (x₁,x₂,…,x_n,…)

| Σ x_i |

(n log log n)^½

n

P( ^limsup _n→∞ i=1 　 =1 )=1

重複対数の法則

無限次元の正規分布

p_∞(x) exp( - |x|∝ ²) のサポートは、

H(0) に含まれている。

x = (x₁,x₂,…,x_n,…)

|Σ (x_i –a)|

(n log log n)^½

n

limsup i=1

H(a)={x ; ≦ n→∞ 1}

例による説 明

p_n(x) exp( - |x|∝ ²) +exp(-|x-1|²) x = (x₁,x₂,…,x_n)

x = (x₁,x₂,…,x_n,…)

p(x) p∝ _n(x₁,x₂,…,x_n)φ(x_n+1,…) p (x) = ?

1 = (1,1,…,1)

例による説 明

p_∞(x) ∝

exp( - |x|²) exp(-|x-1|²)

a exp( - |x|²) + (1-a) exp(-|x-1|²)

　　 H(0) で極限を取ったとき 　 H(1) で極限を取ったとき

　 H(0)+H(1) で極限を取ったとき

p_n(x) exp( - |x|∝ ²) +exp(-|x-1|²)

例による説 明

exp( - |x|²) exp(-|x-1|²)

　　 H(0) で極限を取ったとき 　 H(1) で極限を取ったとき

0 1

無限次元への移行

「有限次元→無限次元」の極限は、定義域に

依存して、同値でない平衡状態が複数存在しうる

◎ 極限の取り方が違うのだから、

　　数学的な矛盾ではない

◎ 物理学的に起こる現象を調べたいときは

　　どうするべきか・・・物理学のセンスが必要

◎ 物理学で起こる現象と情報学で起こる現象は

　　同じセンスで捉えてもよいか・・・今のところまだわからない

休憩：スピンシステム

x=( ｘ ₁, ｘ ₂,…, ｘ _n,…) 2∈ ^∞ x, y 2∈ ^∞ が弱同値であるとは

無限個のスピン

Σ |(x_i,y_i) -1| < ∞

X を含むヒルベルト空間を H(x) と書くと 弱同値でないとヒルベルト空間は異なり

物理学的に違う現象が起こりうる

∞ i=1

５．自由エネルギ ー

例による説 明

p_n(x) ＝ ｛ n exp( - |x|²) +exp(-|x-1|²/2)}

x = (x₁,x₂,…,x_n) 1

Z

例による説 明

Z =∫ ｛ n exp( - |x|²) +exp(-|x-1|²/2)} dx

∝ n + 2^n/2

分配関数は、平衡状態において割り振られる

確率に対応し、これが１になる状態が実現される p_n(x) ∝ ｛ n exp( - |x|²) +exp(-|x-1|²/2)}

→ 　 exp(-|x-1|²/2)

例による説 明

Z =∫ ｛ n exp( - |x|²) +exp(-|x-1|²/2)} dx

＝ Z₁+Z₂

F= -log Z = - log (exp(-F₁)+exp(-F₂)) F min(F≒ ₁,F₂)

自由エネルギー最小が実現される

例による説 明

0 1

エネルギー最小

自由エネルギー最小

無限に離れている

情報学への応用

y が与えられたときの x の分布 p(x|y)

p(x|y) を最大にする x と

∫ p(x’|y) dx’ を最大にする x は全く違う

|x-x’|<ε

自由エネルギー

エネルギーと自由エネルギーの違い

物理学と情報学の認識が最も乖離している所 本当は深い関連がある

平衡状態の安定性は自由エネルギー によって調べられる

休憩：変分原理

F 　 = 　 E 　 - 　 S

F(p) = ∫ H(x)p(x)dx + ∫p(x)logp(x)dx

p(x) が温度 1 の平衡状態

を最小化

６．相転移

例による説 明

p_n(x|α)∝ ｛ exp( - |x|²) +exp(-|x-1|²/α)}

x = (x₁,x₂,…,x_n)

　 α ＝１で入れ替わる

例による説 明

p_∞(x) ∝

exp( - |x|²)

exp(-|x-1|²/α)

a exp( - |x|²) + (1-a) exp(-|x-1|²) (α<1)

p_n(x) exp( - |x|∝ ²) +exp(-|x-1|²/α)

(α>1)

(α=1)

例による説 明

p_∞(x|α)

制御変数 α が変化するとき

確率分布（サポートも）が急激に 変化することがある

温度、外場、・・・

相転移

有限次元で相転移がなくても 無限次元では相転移が起こる

実問題では無限次元だと考える方が 正確な場合がある

p_∞(x|α) p _ｎ (x|α)

p_∞(x|α’) p _ｎ (x|α’)

α 変化 α 変化

普遍性

無限次元空間上の KMS 状態の集合は 数学的に普遍的な性質を持つ

無限次元空間では、個々の物質ではなく 数理によって現象が決まることがある

（ユニバーサリティ）

７．まとめ

まとめ

無限次元空間上の確率分布の挙動を 考える問題では、統計力学が長年の 知恵と方法を持っている

情報学、統計学において

俯瞰的な視点と、強力な手段とを与える 可能性がある