MEMolR50F SAOAMI INSTI
−
）U・
TEOF
TECHNOLOGY No
．
6，
Vo1．
1，
1972自
由
境
界
問
題
と
し
て の
拡
散
火
炎 問
題
に
対
す
る
数値
解 法
に
つ いて
斎
藤
武
雄＊Numerieal
Method
for
aDiffusion
Flame
Problem
Reduced
to
aFree
Boundary
Plobrem
by
Takeo
SAITo
Anumerical method for two
−
phasefree
boundary problem arisingin
diffusion
且ame of Burke−Schu−
mann type
is
proposed．
It is revealed
，
for the 丘rst セime
， that a certain problem of diffusionflame
is
「educed t・ ・
free
b・und ・ry p・・bl
・m （・ ・St・f・ゴ・p・・bl・m ）whi ・hhas
been
・t・di・d by m ・ny phy。i
，i
、t、 a。d mathematicians for a century，
A new methodfor
the numerical solutionby
a負nite difference scheme adopting
Crank ・
Nicolson’s
difference
formula is fQund．
This method is widely applicable to other
problems of free
boundary
such as melting，
freezing，
evaporation，
recrystalization，
dissolution
，
solidi．
fication
，
sublimation and ablation．
§
1．
緒 言考 える領 域 内に
，
あ る 量 （た と え ば，
質 量 流 束や 熱 流束な ど）の不連続 面が存 在 し， その面が， 周 囲の境界 条
件に拘 束を受けつ つ 時 間的に移 動する よ うな 問 題は
，
自由境界 問 題 （free boundary Problem ） と 言わ れ， 従 来 よ り
，
おもに数 学 者 及 び 物 理 学 者の手に よっ て， 究明 さ れて きてい る。
こ の 問題は，
不 連 続 面の 存 在の た め，
多 くの 場 合，
非線形に な り，
その解 析 解 も非 線形第二種 Volterra 型 積 分 方程 式で 表 現さ れ てい るが， 実 際のエ 学上 の応用面か らは ， 数 値 解 法が非 常に 困難で， これ ま で信頼出 来 る有 効 な 方 法は 見 当ら ない。
筆者は， 拡 散 火 炎の研 究 D の 過 程に お い て，
Burke
＆Schumann
に ょ り扱わ れ た拡散火 炎の問 題2｝ は， こ の 自 由境 界 問題 に 属 するこ とを 始め て 見 出し， こ の間題 をCrank −Nicolson
公 式を 採用 し た 有 限 差 分 方 程 式に よ る 数 値 解法に よっ て解明し た。本 論 文は， こ の解 法が
，
他の多 くの 自 由境界 問題， た とえ ば，
金属の 溶 融，
氷結， 再結 晶， 液滴の蒸発，
解 ＊ 助 教 授 機 械 工学 科 1971 年9
月29
日受理 離， 昇 華， 凝固，
そ れに宇 宙 船の ア ブ レー
シ ョ ン （abla−
tion）の問 題 などに 対 する具 体的 解法に も 適 用 可能であ る との考 えか ら， こ れらへ の適用をも考 慮 して取ま とめ た もの で ある。
§
2
．
従来
の 自 由境
界問題
の取扱
い自由境 界 問 題 （
free
boundary
Problem ）に関 する最初の文 献は
，
1889 年のJ．Stefan3
｝＊ の もの で ある。
そ のため，
この 種の問 題は彼の名に因ん で Stefan’
s prQ・
blem と も 呼 ば れ る。 まずこ の聞題の 代表 的 な 例 を 示 す。今， X： 横 方 向距離
，
t： 時間，
U （X，
t）；点 （X．
t）に お ける温度， s（t）； 境界の位 置とす れ ば，
第1
図に示 すよ うな充 分に厚い金 属 板の一
方の端を その金 属の溶 融 点 以 上の温度に保ち，
温 度 勾 配 が 常に一1
に な る ように 維 持 した場 合に溶 けた 金属 とい ま だ溶 けて い ない 金属 との 境 界 x＝
s（のを求め る問 題は次の よ うに formulate す ＊Joseph
Stefan （1835．3、
24〜
93．
1．
7）Physisist
of
Austria，
1863Prof．
ofWien
University，
1884
Stefan−Boltsman
ガslaw
NII-Electronic Library Service 相模工 業 大 学 紀 要 第
6
巻 第1
号 → → → → 熱 流 束 → → → → t＝
O t＝
tl O x（tD 第1
図 自由境界 問 題の 代 表 例 （半 無 限 金 属 平 板の 溶融〉 る こ と が出来る。1
織
1
∴
｝
（1）た だ し， （1）に お い て， 温度伝導 率 な どの物 性 値は， 簡 単の た め， すべ て X
，
t の 中に 含まれて い る と考 える。 上式か らわか る ように ， 方 程 式 自体は古 典的な熱 伝導型 で あ る が，
通 常の熱 伝 導の問 題 とは次の よ うな 点で全 く 相 違 す る。 第一
に，
考えて い る 領 域の 中に ， 温度 勾 配 ∂ee／0X
の不連 続面 が 存 在す る。
第二 に， し か もその不連 続面 （i．
e．
freeboundary
）の位 置は， 時 間と共に 移動 し，
その動き方は，
既知で は な く式を 解 く過 程に おい て 始め て定 ま る もの であ る。 こ の よ う な境 界の移 動 を伴う問 題と し て は
，
従 来 movingboundary
problem4 ）一
一
10）とい うの があるが， その 多 くは
，
境 界の動き方が，
あ ら か じめ与えられ てい るもの であっ て解 析の手法は通 常の た と え ば，
熱 伝 導問題の場 合 とほとん ど同様である。
自 由境界 問題に属する物理的 現象に は， こ の meltin9 の 問 題の ほ か ， 湖 水の表 面が凍 結する場 合 な どの氷 結の問 題，
再 結晶の問題， 液滴な どの蒸 発の 問題，
解 離の問 題， 昇華の問 題， 固 形 化の問 題， ablation の問 題な どの 自然 界の重要な問 題が含 ま れ る。 更に，
こ の あと述べ るよ うに
，
拡 散 火 炎の問 題や tissue の 中を lactic acid が反応しな が ら浸 透 する問 題11，が新しく仲 間 入 りを する 。 具体的 な 数 値解 法に入 る前に， こ の問 題に対す る解 法の 経過に つ い て簡単に 述べ る。
Stefan
の研 究の後，1931
年，
M．
Brillouini2♪は， 自 由 境 界 問 題 の特 別な場 合につ い て解 を得た が問題の解 の存 在や一
意 性につ い て は言及 しなか っ た。
1950 年 代に入 りG ．
W．
Evansi3 ［，
G．
Ses−
tini， A・
Datzeff ら は，0
≦t
≦ ○ 。 の範囲で， 系 （1
） の問 題の解の存 在と一
意 性の証明に 成功し た。 ま た1．
Kolodner14） は， 初め て
，
two−
phase freeboundary
problem に関し て， 彼 等 と 同 様に， 非 線 形 型
Volterra
第二種の積 分方 程式に よる 解 を 得て い る。 そ の後， A．
Friedmanl5〜
18，は ， 同 じ二 相 自 由 境 界 問題につ い て解 析 し， 二相の場合 は，
境 界の動 き方は， 必 らずしも単調 （monotonous ＞で ない こと を 示 した。 実 際， 拡 散火炎の火 炎 面の形 状は， over ventilated flame＊ の 場 合 は ，
ds
／dt
（但 し s は火炎面 位置）は， 最 初は， 正で， 途中で 負に 変わ るの で単 調 変 化で は ない。 最 近になっ て， Ber−
nardSherman
は ， 筆 者の提起し た基 礎式に基づい て， 後に述べ る （8
）一
（14）式の 問 題 の一
次 元の問 題 （i。
e．
，
flat
flame
の場合 ）につ い て， 解の存 在の証明 を試み て い るtg｝ 。 自由境界 問題の研 究は， こ の他，Boley20
）・
21｝，Miranker and
Keller22
，・
zz｝，
Dresselza〕，
25 ，，
Kyneree ）・
27），
Evans
ll−lsaacson・
MacDonald28
｝，Landau29
），
Suttonso）， Douglas31）
，
Shiffman32， ， Shermanss ｝一
一
3e） ， Citron3Tl 等 に よ り行なわれて い る。
自 由 境 界 問 題は， 厳 密解が得ら れる場 合が 非常に 少な くほ とん どの場 合 explicit solu−
tion は望 むこ と が 出来ない。 多くの場合，
解の 形は ， 非 線 形Volterra
第二種の積分 方 程 式に 帰 着 さ れるが， 数 値解を 求 め るこ と が非 常に 困 難で ある の で，
実 際の応 用 面か ら考 え れ ば， 利用価 値が少ない 。 そこで， 自由境 界問題の数 値 解 法が必 要 と なるが，方 法と しては，G ．
W ．
Evans
，E ．
lsaacson
，J
．
K ．
L
MacDonald2s
〕 らが提唱し てい る級 数 展 開法とJ
．
DouglasJr．
と T．
M ．
Gallie
Jr．
as）が 行 なっ て い る有 限 差 分 方 程 式に よ る方法 とが あ る。 級 数 展 開 法は， 級 数の 係 数を求め るこ と が， 非 常に 困 難で あるこ と と， 級 数の収 束 範囲 が限 られてい るこ と の た め に， 実用 的ではない。 これ に対 し， 有 限 差分方 程 式に よ る方法は，級 数展開法の ような 欠 点 が ない上，任意 ＊ 酸 素 濃 度が大き く 火炎の 尖 端 が 閉じ る よ う な火 炎を 言 う。 これ に対し， 尖 端が閉じない 火 炎を underventi・
lated flame と言 う。
こ の 揚 合は， 単 調で ある。 ぞ2
一
N工 工一
Eleotronio Library自由境界問題 と し ての 拡 散 火炎問 題 に対 す る数値 解 法に つ い て （斎 藤 武 雄）
の境 界 条 件に対し適用可能で ある点か ら最も実用 的で あ る と思われ る。 た だ， Douglas と
Gallie
の方 法の適 用出 来る 範 囲 は
， 一
次 元 の one−
phasefree
boundaryproblem に限 られ
，
しか も， 境 界の動 き 方 が， 単 調で あ る もの に限 定 される。 そこ で，
次節以降に おい て， 問 題を two
−
phase 問題と して， Burke・
Schumann type のcylindrical
diffusien
flame に しぼっ て， その数 値 解 法につ い て， 詳述 する。 §
3．
二 相 自 由 境 界 問 題の数 値解
法 two−
phase 自 由境界問 題の例と して，
拡 散 炎の問 題を 取 ヒげ， その数値 解法につ い て述べ る。 前 節に おい て述 べ た よ うに，
自由境 界 問 題に おい て ば， 境界が時 間 ある い は， 場 所 と共に 移動す るの で， 通常の有限差 分方 程式 に よ る数 値 解 法は ， 適 用出来ない。
その た め ， 自 由 攬 界 が 移動する場 合で も成 立 する ように ， 境界近膀での差 分 式を構 成す るこ と が 必 要で ある。一
相の 自 由境 界問 題 の 数 値 解法に つ い ては， 既に ， DouglasJr
．
とGallie
Jr
．
38） に よっ て研 究 が 行 なわ れて い るが，
前 述の ご とく，
二 相 の 自 由境 界問 題の ように境 界の動きが単調で ない問 題に 対 して は，
適用出 来ない。 また，
彼 等は，
有 限 差 分 公 式 とし て explicit 型 を 用い てい る が， 周 知の ように， こ の公 式に おい て は， 空間の キザ ミ コX と時 間キ ザ ミ At の 間にdt
≦ （Ax
）2／2
とい う制 約 が あり，dt
を任 意の 大 ぎさに と れ ない ため ， 演 算 時 間 が 莫 大に なっ て実用 的 ではない 。 その ため，
こ こ で は，新た にCrank ・
Nicolson
公 式3D ）を採用 した。
こ の公式で は， 安 定 範 囲に関 して，
At
とdx
の問に， 特別 な制 限が ない ため ， 計 算 時 間の 大 幅な短 縮が可 能で ある。 3．
1 拡散炎の問 題の基 礎 式第 2図の よ う に， 同 心 的に配 置 された 二つ の 円管の有 限長の 内 管か ら燃 料と酸化 剤 の混合流 が， また こ の内管 と無 限 長の外管との 間の annulus 部分か ら酸 化 剤流が
，
同 速 度 で 流 出し，
図に示す 形 状の cylindricaldiffusion
flame
が出 来 る場 合につ い て，
火 炎の形 状 及び 濃 度 分 布 に っ い て の解 析を 行な う。
こ の よ うな 火炎 は，
Burke−
Schumann2
）に よ り最 初に 行 なわ れた の で， Burke−
Schumann 火 炎 と呼ぶこ とも ある。
燃料中に 含ま れ る02
の量は ， 可 燃限 界外の量である。
理 論解 析を する上 で，
次の よ うな仮 定を設 定 する。（1）
．
火 炎領域に おける燃 料 側 流 速 と酸素 側流 速は，
等 しく一
定である。 （2）．
物質の伝達は，
拡 散のみに ょ り乱 ∂u ∂γ Glv er e 厂 or 〜1
↑↑
ir
思
L 第 2図1
↑↑
1
δこノ δv δ 罪 扉＝
歹＝
∂．』
o OUTER TUBECylindrical
Flame
れ や その 他の 因 子に は よ らない 。 （3）．
拡 散は ， 半 径方向 の みで ， 軸方 向拡 散は ない。 （4）．
温 度 場の影 響は ない 。 （5
），
浮 力は 考慮しない 。 （6
）．
圧 力は， 場 全 体にわた り一
定で ある。 （7）．
燃焼に よ るモ ル 数 変 化は ない。 （8）．
反 応 は．
数 学的に一
つ の面で起こ る。い ま
．
r，
y を そ れ ぞ れ半 径 方 向 距離，
軸方向距離を表 わす 座 標と し， U （r，
y）： 点 （r，
y）に おける燃料 濃度 （モ ・レ濃 度 ）V
（r，
y
）： 点 （r，
y）に おけ る外側 流 中の酸 素W
（r，
y）；点 （r
，
y）に おけ る燃 料 流 中に 含ま れ る酸 素の 濃度Uo
，
Ve
，
vao
： そ れ ぞ れ U， V，
W の初期 濃度D
，，
1
）2，
D3
： そ れ ぞ れ 燃料．
外 側流中の 酸素，
内 側 流 中の 酸素の拡 散 係数 V1，
V2； それ ぞ れ 内 側 流， 外 側 流の流速L ，R
： それぞれ内 管，
外 管の半 径W1 ，
W2 ，
U72
： それぞれ燃料，
外側 流 中の酸 素， 内 側 流中の 酸素の 反 応 速 度 S（y）： 自 由 境 界 （火炎面 ） とす れ ば，
上 述の仮 定の も とに おける濃 度U
，y
，罪 に 対す る拡 散 方 程 式は，
次の よ うに なる。…
i
；
…
臓
二
重
liii
…
i
飜
箒
三
三
三
IL
竃
｝
（2） こ れ らの式に対 する初 期 及び境界条 件は，
3
NII-Electronic Library Service 相摸工業 大 学 紀要 第
6
巻 第 1号 U≡0
に おい てU ＝ Uo，
V
＝
0，
W
＝
Mo
O≦r≦L
U ＝0．
V ＝Yo ，
冊二
〇L
≦r≦R
r （3） r＝
O，R に おい て ∂U
／∂r＝
∂Y
／∂r；
∂W
／∂r＝O，
v≧0
で ある。 （2），
（3）の問題は，
右辺 に 反 応 項 Wl， W2 ，Ws
が含まれる た め， 明ら かに 非線形で ある が，D
、＝D2 一
圦＝
酬 で か つ ， Vt＝
・
V2
＝
VO の特 別 な 場 合に は ， 次 の ように し て， 線形 化 出来る。 反 応は ， 火炎面 （fiame
surface ）だけで 起こ り， 完 全燃 焼を 行な う もの とすれ ば，W
，＝
（M2
＋Ws
）／η （4） た だ し，
η は ， 燃 料 1モ ルを完 全 燃 焼 させ る に 要する 酸素の モ ル 数を表わす。 従 っ て，
（2
），
（3
）式は，
∂0／∂y
＊＝
∂2cノ∂γ＊2＋ ∂c／Pt＊∂伊＊二
撫
。謝
た だ し， σ＝ U −
V
／η一W
／η，y
＊＝iCv
／L2，
k
＝ Db／Vo，
r＊ ＝ r／L ．
境
界条件 （6） を 満 足 す る （5）の解は， （5 ） （6）C ＝C
。（LIR
）2− Vo
／η＋（2L2
Co
／R2
）・
Σ ｛Jt
（μ）・
Jo
（μゲ＊）exp （
一
μ2彩＊）／P
’
Jo2
（μRIL
）｝．
（7）た だ し
，Co ＝ Uo
＋Vo
／η一
罪o／ηJo，
Ji
は第一
種の Besse1 関数で μ は， 」，（μEIL
）＝
＝
O の 正根で ある 。 こ の ように， 流 速 が等しくかつ ガス の拡 散 係 数 が 等 し い と仮定 し た特別の場 合に は，
（7
）式に 依 り，
濃度 分 布，
火 炎 面 位 置 等を求め るこ とが出来る。 し か し，
もし，
D1キ 班 キDB
の場 合の ような一
般の場 合は， 上 記の よ うな， explicit solution は得 られ ず 問 題は， 完全に非 線 形 自 由 境 界 問 題 と なる。（
2
），
（3
）の系は， sink termWl
，va2
，Ws
を 境 界 条 件に 含ま せ るこ とに よっ て ， 次の よ う に書 き換え るこ と が 出 来る。 ∂U／∂y
；
∂2U
／r2 ＋ （1／Pt）（∂U
／∂r），
o＜rくs（v
） （8
）鷺
1
：
磁翻
罰
∂V
／∂y＝kl
｛∂2V
／∂r2＋（1／r）・
（∂7
／∂の ｝， s（V
）＜r＜RIL
（9
） （10
） 4 8＊（v）＝
s（v）／L
，Schmidt
数，
数 と し， 簡 略の た め， ＊ を省略 し た。 上 式で ， s（7）は， 火 炎 面 （freeboundary
）であっ て s（0
）；1
である 。 上 記 （8
）一
（14
） 式の拡 散 火 炎の問題 が， 自 由境界 問 題 に 属 する か どうか に つ い て は， B．
Sherman
氏の確認を得てい る＊19） 。 通常の 自 由境 界問題では， （14）式に 相 当 す る式の 中に ， latent heat term
が 存在し，
ds
／ay
の項 が含まれ る が， こ の問題で は， こ の項が欠 如 し て い る。
こ の項が ない こ とで 起る本 質 的 相 異はない が， 数 学 的 取 扱い （例 え ば， 解の存 在や一
意 性 の議 論に お い て） が， 少々面 倒になる ようで ある。
3・
2 有 限 差 分 方 程 式によ る 数 値 解 法 自 由境界 問題の数 値解 法に 関 し て は， 既 述の ように， 級 数 展 開 法， 積 分 方 程 式を解 く方 法， 差 分 方程式 を解 く方法の三つ が 考え ら れ る。 ほ と ん どの 場 合， 解は，Volterra
型 第二 種の非 線形積分 方 程式の形 で 与えられ てい る が，
工学上 の実 際の応用面か ら考え れ ば，
こ の積 分 方 程 式の適 当 な数 値解 法 が ない ため に ， 実 用 的 な 解 と は言い 難い。
その ため ， 解 析 解 を 出し て， その解 よ り数 値 解を得る とい うの で は なく， 基礎式を直接， 差分方 程 式に変 換し， 数値計 算 を す る 方 が最も有 効で ある。
そ こ で筆者は ， こ の方法 を 拡 散火炎の場 合に採 用し，
特に ， free boundary 近傍に おけ る挙動 に留 意 した差分 式 を 作 り，
数 値 計 算 を 行 なっ た。
こ の方法は，
他の種々 の 自 由 境 界 問 題に 適 用 が 容 易で あ り， 極め て応 用範囲の広い も1
：
器
諞
1
灘
1｝
鋤∂
va
／∂y・
・
k2
｛∂2W
／∂r2＋（1
〃 ）・
（∂W
／∂r）｝，o
＞ r＞8（v
） （12
）購
：
驪 誇 義
｝
火炎面に おける共 通条 件は，
D1
Uo1
∂U
／∂rl＝
（1
／η）・
（D2
Vo
［∂V
／∂州＋Da
佩ol∂W
／∂rl） （14
） で ある。
た だ し， r＊ ＝ r／L， U ＊≡
UI Uo ， γ ＊＝
V ／ Vo， 杯厂＊＝
p7
／彫o ， v ＊＝1
：） 1 y／v，L2 ＝
（2
／Sc ・
Re
）／（v！L
） ，k1 一D2
vl／D
， v2，
k2 ＝1
》D1，
So
： レ： 燃 料の動 粘 性 係数，Re
：Reynolds
＊Benard
Sherman
博士 との 偶人的 交 信に よ る。 ｛ 刈 N工 工一
Eleotronio Library自 由境界 問 題 として の 拡 散火炎 問題に対する数 値 解 法につ い て （斎 藤 武 雄 ）
ので ある
。
筆 者の計 算に おい て は差 分 表 示 式は， 簡 単の ため，
pure diffusion fiame （即ち， 燃 料 流 中に 02 が含まれない 場 合 ）の 場 合だけ を 取 上 げた。 最 初に， 従 来
の差 分 公 式 （explicit
difference
formula
）を 用い た 表示 式を説明 し
，
の ちに新 しい 公 式 （Crank ・Nicolson dif−
ference formula ） を 用い た麦 示 式 を 示 す。
3．
2．
1Exp 且ici．
t differenee form 皿la
を 用 い た場 合軸対称の 偏 微分 方 程式 ∂
U
／δy；
∂2U ／∂r2 十∂U
／r ∂r （15
） に対する差分表示式は，
半 径 方 向の mesh size を4r ，
軸方向をdv
と し て， r＝
0 即 ち，
中 心軸位置をi ＝
1 と取れ ば，
（σ‘，
ゴーUi，
ゴ＿
1）／dy ＝
（1／（dr
）2）・
｛（1
十1
／（2（i− 1
）））・
［ノ耄＋1，
ゴー
2し．
ゴ＋（1−
1／（2（盛一
1）〉）・
α＿
1．
ゴ｝ 2≦i
≦m−
2 （16） て ある． 尚， 表 示 式に関 して は ，G ，
D．
Smith4
°1の著 書 に詳 しい。
た だ し， 翫，
5 は， 中 心 軸か ら数えて， 半 径 方 向にi
番目 （中心軸をi ＝
1 とする）， 軸方向に数え て （y二
〇を 」1＝
O とする）ゴ番目である点の 濃度を表 わす。 r＝
0 す なわ ち，
中心軸に おい ては，
（15）式の右 辺 第二 項 （1
／r）（∂Uf
∂r）は，
zero ／zero の不 定 形 となる。
その た め この点で は，
その極 限 値を求め な けれ ばな らな い。Maclaurin
の展開公式よ り，
U ’
（・）…U ’
（・）・rU’
（・）・圭
… P厂
’
（・）・…
（・7） が得 られ る が，
（∂U
／∂r）r＝
o＝
0 よ り， ぴ （0）； 0 であ る か ら，
（1
／r）（∂U
／∂r）。 ＝o→ ∂2U ／∂r2 であるこ とが わ か る。 よっ て （15）式は，
r ＝ 0 近 傍で は，
∂ひ／∂y＝
：2・
（∂2ひ／∂γ2）．
（18） これに対す る差 分 表 示 式は， （U
，，
ゴー
ひ1，
ゴ＿
1）／dy
＝ （4 ／（Ar
）2）＜〔f2，
ゴーU
，，
ゴ），i ＝1
（19
） で あ る。
次に，
火炎面 近 傍の差 分 表 示 式である が，
火炎面が，
ay の時 間の間に移動 し て しま うの で， 特に注意を払 う 必 要がある。
自 由境 界 間 題の 数 値 解 法のむ ずか し さは， こ の よ うに境界が，Ay
の進行の 間に 変動して し まうこ とか ら生 ずる。 こ こ では， と くに こ の点に 留意し， 新 し い方 法 を 取 入 れた。
い ま， 第3
図に示 す よ うに，火炎面の仮定位 置をX
〔「》，
その位 置に もっ と も近い （Xt
「｝ を越え ない 範囲で）格 子 線の位 置 を 中心軸よ り右 方に数え m 番目 とし， そのす ぐ右 隣りの格 子 線の位 置を （n ＋1）番 目とする。
す なわ ち，Gauss
記 号 ［ 】を用い て表わすな らば，
｝ u，
Tr．
1ノ↑
ゴ1−
1 3 ゴー
1 ひ σ，
．
−
2，
ノ 勾 v。
3．
ノ びη彈 1．
∫ y，、12，
ノ ση
，
げ y”
，
】、
丿
四一
3 況一
2 ゴ31 柵一
1 拠 xω π ト1 暢 ＋27 じ十3 π 卜4 → 1・
第 3図 自由 境 界 近 傍 （即ち火 炎 面 近 傍 ）の 濃 度 分 布5
NII-Electronic Library Service 相 模工業 大 学紀 要 第
6
巻 第1
号 m ＝ ［xc
「〕／dr
］＋1 （20
） となる。 こ のよ うに すれ ば， m 番目の 点に おける 差分 表 示は， 次の ように かける。
（Um
，
」− Um ，
ゴ＿
t）／∠iy ＝
（2
／（X
【r 〕− Ar
（m−
2）））・
｛（Um
＿
1，
ゴ一
σ転ゴ）／dr − Um ，
ゴ／（XCr
）− dr
（m−
1 ）） 《 1ノ（（m− 1
）・
Ar
））・
Um ＿
エ，
ゴ／（X （r 〕−
Ar（m−
2）），i ；
m （21） したがっ て， （16
），
（19），
（21）式か ら， 燃 料の濃 度に関 1b一
α2一
c12b一
αi一
c2，
Z ゐ一
Ciの
し て，
次の m 元一
次の連立 方 程式が 得 られ る。一
α m＿
ユ ゐm＿
1『
α nti
一
Cm＿
lbmllu
・・，
iu2，
ゴ σ耄．
ゴ ［”
−
dエ、
ゴd2，
ゴdi，
ゴUm ＿
1卩
ゴ@idm
＿ 1P u。．
」1
ld ．ゴ
＿ 」． 一
＿」
22
） ただし， b， ＝4dv／ （dr ）2十1
，c1
＝b
エー
1，d
エ，
ゴ；
σま， 」1
， αi
＝（i
−3
／2）
／（i
− 1 ）， bi ＝（dr）
2
／dy
＋C
Ci
＝（i
− 1
／2 ）／（
¢−
1
），
di，ゴ冨Ui，ゴ＿r
（ ）2／ dy，
α
楢＝−
2du
・（1−
1／（2
（？n
−1）））
／（（
dr（
m−2）−r
｝）
dr
）bm
；2d7
／（tiT
（丿ζ
【の一dr
（m−2）））十2
∠lv （ 丿 ζ「Cr
）−
dr
（m−2
））・（xc
「，−Ar （|1
））
）＋
1
，4 ，
5
＝Um ，i
＿1 次 に，外側流体の酸 素 の 濃 に 関 す る偏微分方 程式 ∂W ∂y
＝kl
（∂2
γ〃2
＋1
〃 ） （ ∂V
／ ∂r） ）G
＝1
）2Vl
／ DL に 対し も， 同様
に，ただし， 砺÷1＝2riy
・ki
／（d
プd
γ（
n十1
）−
X
（「〕）） 十2dy
・乃1
〆（（4r（n
＋1）−X
［r
り ∠tr‘n− X〔「｝
））十1， Cn＋1
＝2dy・ki（1 十1
／2n
）／（∠ Si4r
（n十
1） − X（ 「｝
））
， dn ＋1
．ゴ＝臨＋1
」＿
1，α{n
＝（i− 3
／2
）／（i
−1
＞，
bi＋
n
□（li7 う2／
（dy
・kt
）＋
2，＋”＝（i
−
1／
2
）／（
i−
1），di
＋n，
ゴ； Vi ， ゴ＿1
（dr）
2
／（4y
・kl
）
α1＝ 2∠t 写
・
k1
／（
Ar ） 2，bl
＝
α1
＋1
， dl．i＝
， ゴ＿t，1
＝（R
／L ）／dr
＋ 1 ． （ 22 ） ， （23
）で 表 わされるmatrix は，いわゆる 対角 線matrix （
tri
− dianal
matrix ） と 呼ばれ るも の で ， Gauss の去
を
用す
ことにより ける。（2 j， く11
■
bnエ
「a{2CPt
十1B
＋2 − ＋2α
i十 b‘＋
NCi
”一
十1bt＿
一α1
鵑l＿
工 一！
・ ＋ 副 ．．・ ．・
1 琉 ＋n
， Vc＿
1．
z
，ゴ
@
し ＋1，
ゴ In
＋・・1
−
Idn ＋ ‘，ゴ dt ＿1．idl ，ゴ （23）自 由境 界問題と し て の 拡 散火炎 問題に対す る数値解法につ い て （斎藤 武雄） （
23
）の差 分系の安 定 性に っ い て は， 境 界 点の処 理に注 意 を 払い ， Brauer の定理 40｝を用い て証 明す るこ と が出 来 る。 純 粋拡 散 炎の場 合であるので， （14
）式右辺第二項は， い ら な く，
火 炎面に お け る共 通条 件は，
ioU
／δγ1
＝
（刀h
VofTiDi
Uo
）・
1
∂V
！∂γ1
．
（24） ∂U
／Orく0，
∂V／∂r＜0鋤 であるこ とを考 慮すると上式 は ， ∂U1
∂r ＝一
（Ph
Vo
！rpaUo
）・
（∂σ／∂r） である か ら， 差 分 表 示 式は， Um，
j／（X
〔「＋1）一
（m−
1）4r
）＝
（ヱ）2レ「o！ηD1
卍ニノb
）・
V
：n ＋1．
ゴ／（％dr − X
（「＋1〕） し た がっ て，
火炎面 位置のX
｛「＋1） 近 似は （25）x
〔「 ＋1｝； （nArUm ，
ゴ＋k
（m− 1
）th
Vn
＋1，
ゴ〉／（UTm．
ゴ ＋k・Un
＋1、
ゴ） た だ し，
k ＝D2
Vo
／ηD1
Uo
（26） か ら， 求め られ る。
すな わち， 始め の仮 定 位 置X
〔「〕 を 補正する新 しい 位 置X
〔「＋1｝ がこ の式か ら定め られる。 順 次こ の，X
｛「
＋1｝ を ， 前と同 様にxc
「〕 とし て ，itera
−
tion をX
〔「＋1］一
X
〔「
）＜δ（δ は精 度で10”
4・
・
10”
6 位に 取る）に な る まで行ない，
次の time levelに移 行す る。次の time leve1（ゴ＋ 1）の火炎面 位 置の第 zero 近 似
型
摯
1 と しては，X
狸
1；
2X ゴー
Xj＿
1（27） とすればよい 。 ここに
，Xj ，
Xj ＿
1 は，
それぞれ フ，
3− 1
timeleve1
に おける確 定火炎 面 位置である。
（ゴ＋1＞time levelに おける
勾
の 位 置は， 次の三 つ の うちいず れか で ある。 （i
）．
m 番目 と （n ＋1
）番目の格子線の間に ある。
（ii）．
（n ＋ 1） 番 目 と （n＋2
） 番 目の 格 子 線の 間にあ る。 （iii
＞．
（m−
1）番 目 と m 番 日の格 子 線の間に ある。
（
i
）の場 合に は， （ゴー1
）timelevel
に お け る差 分 表 示 式は， 前と同じ で よいが， （ii
），
（iii
） 場 合は ， 次の よ う に 変え なけ れ ばな ら ない。
まず， （ii）の場 合であるが， こ の時は， 濃度分布は， 第 4図の ようにな り， 仮定 し た火 炎面位 置X ∫掣
1 のす ぐ 左の格 子 線 （i．
e．
，
ゴtimeIeve1
で （n ＋1 ）番目の格子 線 ）に 対 応す る濃 度は， ゴtime level で は，
対 応 する位 置 が ない ため ， 差 分 方 程 式 を解くこ と に よっ て 直接 求め るこ と が出来ない 。 そ れ故，
こ の 場合は， 火 炎 面 近 傍の 濃 度と し て は， 図の よ う に，
σ瓦ゴ＋1 を取 らな け れば な ら ない e 濃 度Um
＋1、
ゴ＋1 は， こ の timelevel
に おける 確定し た火炎 面 位置Xj
＋1 と位置 r ＝ （m−
1）dr
， （m−
2）dr
に おける濃度Um ，
i＋1，
Um
＿
1．
ゴ＋1 とか ら， 濃 度 分 布曲線が，
火 炎 面 近 傍では，
二 次曲線で 表わ さ れ る とし て求め る。 （iii）の 場 合 も，
や は り同様 に 砺，
ゴ＋1 に 対応 す る ゴ time levelに おげる濃 度が存在 しない の で， （ii
）の場 合 ゴ＋1 」 ゴー
1 ひ。
−
1，
ノ．、 σ 脱，
ノー
1 ひ隗
b1げ÷1v
通 」・
脇一
1 帆 苓翁 ？z十1 π十2 恥一
1 皿 x ∫ π十1 ？し十2 π十3 第 4図 （ii）の 場合の濃度分 布一
7一
NII-Electronic Library Service
相 模工業 大 学 紀 要 第
6
巻 第1
号と同 じく 臨
，
ゴ札 を 求 め る 必 要 が あ る。 こ の よ うにUm
＋1，
ゴ＋1，V
而 ＋1 なる濃度が 必要で あ る 理 由は， 次のtime
level
で これ らを 用い る か らである。 以上 explicit型の差分 公 式 を 用 いた 場 合の数 値 解 法につ い て述べ た。
具体的数 値計 算 例は
，
の ちに示 す。
3
．
2．
2 Crank・
Nicolson differenceformula
を用 いた 場合 3
．
2．
1 で述べ た 前 進 型 公 式を使っ た方法 は・
表示式が 簡単である とい う利 点はあるが， その 解 が 安 定で 収束 性 の よ い範囲が，Ay
≦（ar
）2／2
に よ っ て，
制 限 を 受 け る‘° こ の こ とは， 得 られる解の精度を上 げよ う と し て，dy
を 細か くす れ ばdu
は ， 極 く小さ くしな ければな らず， 例 えば，dr
＝ 0．
01 の場 合は， Av ≦ 0．
00005 と な り，
y＝
1 ま で到達 する に は，20，
000
回 以 上の ス テ ッ プが 必要と な る。 し た が っ て，
経 済 性の点か らは， 前 進 型 公 式は 実用的で は ない。 そこ で，
上記の ような 制 限の な い差 分 公 式が 望まれるが， これ に 叶 うもの と し て は，
1947 年，
J．
Crank
とP ．
Nicolsons9
）に よっ て提案さ れ た い わ ゆ る Crank・
Nicolsondifferece
formula が ある。 こ の公 式は， （
15
）式を， 次の 表示 式で表 わ す もの である。
研
、
广 硫ゴ＿
1）／dy
二
（1／2
（」r）2）・
｛（（i−
o．
5）／（盛一
1））・
防＋1，
5−
2Ui，
ゴ十（（i− 1．
5
）／（i− 1
））・
Ui＿
t．
5十（（i
−
o．
5）／（i− 1
））Ui
＋1，
ゴ＿
1− 2Uj ，
ゴ＿
1 十（（i−
1．
5）／（i−
1））・
Ui
−
1，
i＿
1｝，
¢キ1
（28）こ の公式は
，
今 考え てい る timeIeve1
ゴ に おける差 分 とその一
つ 前のtime
Ievel
（JL
1）に おける差 分の平 均を取っ た に す ぎない が， その 効 果は 大 きい もの が あ る。
その最 大の ものは， 前進型の よ う にAr
とdy
の 間 に， 制 約が ない とい うこ とで， 任 意の time step が 取 れ る こ とで ある。
し た がっ て， 計 算 時 間の大幅な 短縮が出 来る。Crank ・
Nicolson
公式を実際に ， 自由境界 問題に適用 し た 例は ないが， 境 界が 移動 するこ とに よ り生ずる問 題 を 解 決 す れ ば， 次に述べ る よ うに し て適 用可能である。 前と同 様， 純 粋 拡 散 火 炎の場 合 を 取 上 げ る。 燃料管 中心近傍に おける表示 式は，（乙在
．
ゴー
Uz
，
ゴ＿
1）／dy
＝ （2／（Ar
）2）・
（乙ら，
ゴー
Ul
．
i十 こノi
．
ゴ＿
1− Ul．
i＿
1），i ＝
1 と な る。 次に， 火炎 面 近傍の表示 式は， 次の三つ の場合 に つ い て， 分 けて考え る必 要 が ある。 す なわ ち， 第5
図 に示 す よ うに， （a ）．
（ゴー
1）time 1evel に お け る 火炎 面 位 置X5 ＿
tが
Xi
と同 じ帯の中に ある場 合，
（b ）．
左 隣 りの 帯の中に あ る場 合，
（c ）．
右 隣 りの帯の中にある場 合， の 三つ で ある。
まず （a）．
の 場 合，（
Um ．
i− U
■、
ゴ＿
1）／dv＝
（1／2）・
｛（2
／（Xj・
〔o ｝− dr
（m− 2
）））・
（（Um ＿
1，
厂Um 、
i）／dr−
U
漉．
ゴ／（Xi
°｝− dr
）m− 1
）））一
一
Um＿
1．
ゴ／（（m−
1）∠fr（Xj・
〔o，−
rr （m−
2）），
十（2
／（丿ぐゴ＿
1−
dr
（m− 2
）））・
（（乙「m＿
1．
ゴ＿
1一
こ11π，
d＿
t）／rir 明「
ゴ＋1 ゴ m＿
2 ゴー
1 び ひ鯛＿
L ノ y γη
＋2，
ノ 妬，
ノ γη．
1，
∫ 徊一
1 悌 x（Φ ノ噂
π・
i・
1 π十2 葛一
Ib xノー
： a xノー
1c 錦 5図Crank ・
Nicolson
公 式 を 用い た 揚合の 火炎面近 傍 濃 度 分布一
8 《 N工 工一
Eleotronio Library自由境 界 問題と し て の 拡 散 火 炎 問題に対 する数 値解 法に つ い て （斎 藤 武 雄 ）
一Um ．
ゴ＿
1／（X
ゴ＿
1．
−
dr （m−
1）））Um
＿
1．
j−
1〆（（m−
1）Ar（X
ゴー
1−
Ar（m−
2））｝，
i
； m （30 ） （b），
（c）の場 合は，
そ れ ぞ れ，
（Um ，
ゴーUm ，
i＿
1）ノ」Ψ ＝ （1
／2
）｛（2／（丿『ゴte｝− dr
（m− 3
）））（（Um ＿
2．
厂Um ＿
1，
ゴ）／4r− UTn＿
1．
j’
，
・
t（Xj
iD）−
dr（m−
2）））−
Um
＿
2，
〆（（m− 2
）Ar
（X
ゴo〕一
」γ伽一3
））十（2／（
X
ゴ＿
1−
」r（m−
2）））・
（（Um ＿
U−
1− Um ，
ゴー
1）／」r− U ．
m．
」／（Xi −
1−
dr（m−
1）））−
Um
−
1，
i−
11（（m− 1
）dr
（Xi ＿
1− dr
（m− 2
））｝・
1 δ …一
α21『
Cl2b一
αi一
c2■
Zb，
一
Ci一
α m＿
1 1■
b1
＊−
el＊一
（げb2
＊一
σ2＊1
9
一
adi＊・
i ＝
m （31） （Um ，
i− Um ，
ゴ＿
1）／∠f
写＝
（112
）・
｛（2 ／（X
ゴtO〕−
dr （m−
2））〉曾
（（こXm＿
1，
ゴーUm ，
ゴ）／A7°
− Um ．
ゴ／（X
lo｝− Ar
（m−
1）））− Um ＿
1，
ゴ／（（m−
1）∠dPt
（X
ゴ〔o ｝− Ar
（m− 2
）〉） 十（2／（Xi−
dr（m−
3）））・
（（U
．＿
2，
ゴ＿
17Um＿
1，
ゴ＿
1）／∠ir一
砺＿
1．
ゴ＿
1！（Xj ＿
1−
」γ（m−
（η レ2
）））一Um ＿
2，
ゴ＿
1／（（？泥一2
＞Ar（X
｝−
1−
dr（m−
3）））｝・
i ；
m （32） し た が っ て，
（28）一
（32
）式用 いれば，
燃 料 濃 度に 関 し，
次の m 元連立一
次 方 程 式 を う る。bm ＿
t一
am●
bi
＊−
Ci●
・
o
．
瀞．
’ 研 防一
ー．
… 研，
ゴ一
1 1・
旨
．
°
−
c・一
・i
．
Um −
・・
ゴ．
b
・一
1
−．
U
−．
・」
「
…u
，．
ゴー
1U2 ，
ゴ＿
1一
嫉＿
1磯 ＿
1一
嬬 ＿
1…
−
am ＊bm
＊1
’
1
u
’・
ト 1Um −
・，
ゴー
1…
u
．，
ゴ．
11 （33
） ただ し，b
、一 （ti
・）21，
2dy
＋1，b
・；1・
・i＝
（i− L5
）！（i−
1）f
・・2
≦i
≦m 」 1，
bi
＝2
（dr
）2／∠IZ1
−
＋−
2fOr
2≦
i
≦m− 1
， Ci
；
（i− 0．
5）／（i−
1） for 2≦i
≦m−
1，
αm ； ｛dy／（
dr
（X
ゴω一dr
（？n− 2
）））｝（1− 1
／2
（m−
1））bm ＝
ay／（dr（Xj 〔o ⊃−
dr（m−
2）））＋勾 ／｛X
ゴlo〕一dr
（m− 2
））（Xj
〔o｝一
∠dr （っn− 1
））｝十1
，b1
＊＝b1− 2，
Cl＊＝ 1 ，α‘ ＊ ＝ ai
，
for 2≦
i
≦m− 1，
bi
＊耳
b
‘− 4
for
2
≦i
≦m− 1
， Ci ＊＝ Cifor
2
≦i
≦m−
1，
am ＊；
」鯉1
（dr （X
｝＿
一 dr（m−
2）））・
（11
（m−
1）−
1），
bm ＊＝ 1−
（dy
／（Xj ＿
1− Ar
（伽一2
）））・
（1／nr＋1／（Xi ＿
ユー
dγ（m−
1）））．
（αm ＊，b
描 ＊ は， （a）の場 合）一 9
一
NII-Electronic Library Service 相 模工 業 大 学 紀 要 第6巻 第 1号 外 側 流体中の酸素につ い ては （33）式の suHix に ％ を 加 え， m
＝1，
U
＝y
とすれ ば，
全く同じで ある。 た だし，bn
＋1； ｛4y ・
k1
／（（n ＋1）dr − Xjlo
｝）｝（1
／（ndr − XjfO
）））， Cn＋1；
｛dy・
kt
／（（n ＋1）dr
一
X
」・
（ o［）｝（1
／dy
＋1
／2n
），αn ＋i
＝
（i− O
，5
）／（i− 1
）for
2≦i
≦1−
n−
1，
bn
＋i
＝2
十2
（∠fr
）2／∠f
卸・
kl for 2≦i≦e−
n−
1， Cn＋i ＝ （i
− 1．
5
）／（i
−
1）for
2≦i
≦t−
？t− 1
， αt＝
1，bl
＝
（lir）2／dy・
k
ユ＋1， 硝＋1＝1−
｛le1
／（（n ＋1
）dT
− Xj −
1）｝・
｛1／dT
＋ 1／（n dr一
濁 の ｝， 媾＋1； （1／dr）（k1
／（（n−
1）rir−
Xi ＿
1））（1＋1／n），α
賓
＋1＝
ai＋nfor
2
≦i
≦1−
n− 1，
b変
＋i＝bi
＋n− 4
f・ ・ 2≦i
≦t−
n−
1・ c：
・ 、−
Cl… al＊− 1
・ α1＊ ＝ （4r
）2／Av ・
k1−・
−1．
以 上， Crank・
Nicolson
公 式 を 採 用 して， 火炎 面 位 置 お よび 濃 度 分布を 求め る方法を述べ た 。 火炎 面の第zero 近似 鵜 ω に対 する濃度 分 布が求まれ ば ，X
ゴ ω ，X
ゴ 【2， ，…X
ゴ1の 近 似は，
前述の前 進 型 公式の 場 合と同様に して 求められ る。 （33）式の計算で は， 1 砿 ゴ＿
1 は， 既 知で あるの で， 前 進 型の場 合の （22）， （23）式 を 解 く時 と 同じ ょうにGauss
の 消去 法 を 用い るこ と が出 来る。
§4
．
数値
計算例
熱 伝導型の 方程 式の境界値 問 題 に つ い て は， 古 くか ら，
幾 多の解法 が あ り， 線 形問題は勿 論， 非線 形問題に っ い て もた とえば，
差 分 法など に よ り解 が得られて い る。
通 常の 非 線 形 問 題の差 分 法に よ る数 値 解は ， 精 度の 点に おい ても，
大 変優れて お り，
非 線 形 問題を取扱う上 で， 差 分 法は， 有 効な 手段であ る。 しか しなが ら， 自由 境界 問 題の ように， 考えてい る領域の 中に ， た とえ ば，．
濃 度勾配の不連 続面 が存 在 する場 合に は， 従 来の取 扱い 方は， 出 来ない た め，
その解の精度，
安 定 性， 収 束 性が よ い か ど うか の判 断は，
直ちに は， 出 来 ない。
した が っ て ， 解 析 解 が え ら れる特別 な 場合 と， 数値 解 と を比 較 し， 解の精 度 を 検 定しな け れ ば ならない 。 好 都 合なこ と に，
（8
）一
（14）の系の explicit solution は， Vl＝
v2，Dl ＝
現＝
恥 の場 合に得 ら れ， その解 （7）は， 式で与 え られる。
第 6図は， 純粋拡 散炎の場合 に つ い て，Burke ・
Schumann
の 解と前 進 型お よ びCrank −
Nicolson 型の公式を 用いた 数値解 とを 比 較 した もの で ある。 1．
0 〔｝，
9 O．
8 0．
7 ン＊
0’
61
師 0．
4 o．
3 0．
2 0．
1 ん 前 進 型公 式 dr＝
0．
1 AB，
前進型 公 式 dr＝
O．
OS C．
前進型 公 式 dr＝
0・
025 D．
Crank−
Nicolson 公 式 dr＝
＝
O．
05 Burke−
Schuman nls soiution．
Crank．
Nicolson 公 式 dr；
O．
025 0 0 0．
2 0．
4 0，
6 0，
8 1．
0 1．
2 1，
4 1．
6 1．
8 2．
0 → r＊ 第6
図 mesh size に よ る精度 の比較， 曲 線E
は， Burke−
Schumann の厳 密 解で あ る。
（n
＝th
） これか ら，Crank −Nicolson
公 式 を 用い た 方 法は， 前 進 型公式を 用 いた方法に較べ，
優れ た精度 を有 して い る こ と が わ か る。 通 常は，
前進型 公式の方が精度はよ い と い われて い る が， こ の問 題の場合は， 逆で ある。 前述し た よ うに，
Crank−
Nicolson 公 式を 用 い た方法で は，
y 方 向の step が， 「ir に 関 係 な く 任 意に とれるので， 前 進 型 公 式に比べ，10
倍一
数 10倍の計 算 時 間 短 縮 が 可 能 で あっ た。
前進型で は ， 演 算 時 間がか か り過 ぎ， 実 用 上 は 不利である。 半 径方 向の mesh size4
γ は， 第 6図よ り， ∠7≦0．
025
であれ ば，
満足 しうる精 度が得 られ るこ と がわ か っ た。 軸 方 向の mesh size 砌 は， y 方 向にdy
進んだ 時の火 炎 面の移 動 距 離 をAs
とす れ ば，As
く dr を 満 足 する よ うな 吻 の 最 大 値を越え ない 大き さ に 取る 必要がある。
こ の最 大 値を 越えない 大きさであ−
t一
10一
N工 工一
Eleotronio Library自 由境 界 問 題と して の拡散火炎問題に 対 す る数 値 解 法につ い て （斎藤 武雄） 1
．
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図水
素一空気 火炎（
2＝
1．26
）の火炎形 状と中 心軸濃度実線
， Burke・Schumann の 密 解 れば，Crank − Nicolson 公 式 を適 用し た 方法を うる限 りに お いては ， 任 意 の大 きさを選 べ るの で， ら ず も等 間隔step
を 取る要
はない。 本計算 では， 以上 の理由で，r
方向の 化の 激 し い 部 分 に 対し ては ，dy を細か くとり ，緩 な 部 分 に対し て 大きく とる ，いわゆ る不等 間 隔sp
を 採 用 した 。 こ のよう なstep
をとるこ とは ， 算時 間の 短縮， 精 度の 点から 有 利なこと であ
る。 第7
図 には，水 素 一 空 気 火炎 場合 の 計算結 果 を示 し た。
点線 で示 した の は， D，＝D2 場合の解 （ Burke −Schumann
解：（7
）式）
で，
実線は ．D2
／DI
＝0．
282 の 場合 の解で あ る 。 こ のよ に，拡散 係数
が 相 違 す る と ， 火 炎の形状 ，長さに 幅 な 相 達 が みら
れ る。 第8 図に は ， エチ レンー
空気火炎 場 合 で ，燃 料中 に67
．4 ％の空 気 が 含ま れ る 場合
示 す 。第 9 図は，同
じく エチ レンー
空気 火 炎 の 場 合で 燃 料中 に87
． 3％ の 空気が含 まれる 場 含 で ある 。8
，9 図
よ り，1
）t
＝恥＝ 魏 の時は ， 燃料と 一次
気中の 酸素の 濃 度 分布は ， 同じで あるが，PL
キ ヱ ）2
場合 は，酸 素の濃 度 の方が ， 燃 料 の そ れ に 比 し，
全 に小さい 。これは， エチ レ ン の拡散係 数 が， 酸 素の 散 係 数 より 小 さいた めで あ る 。実
際 の 拡 散火
炎に お ては，火炎 の領域
に おいて ，拡散係 数， 流速 分布 ， 度 分布な どが， 複雑 に変 化し て い る ので， 拡散 係 数のe
響の
み を 考 えて議論 する こと は 出来 ない が ， 水素の よ う に，拡 散係 数の
極めて 大きい 燃料では ，濃度 分布な ど ﾌ 計 算におい ，Dt
＝ ヱ ）2
とする 近似 は， 正 確 で な い こと を示。
なお，
数値計算は， す べて 東 京大学大型計算機 セン タ[H
AC
−
5
0
E
を 利用し た もので ある こ とを付 記す る 。 §5
結 言 自然 界の多くの現 象 に 共通 の 問 題であ る 由境界問 題 に っい て ，おもに，拡 散火炎の 問 題を中 に ，そ の 数値 解法 にっい て 取上げ ， 拡散 火炎以 外の 由 境 界問題 に対 する 広範 囲 な応 用を考 慮し， ことに 自由境界 の 取扱 い 方 を詳 述 した 。ここ で，採し
た方法
NII-Electronic Library Service
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相模工 業大 学 紀 要 第6
巻 第 1号 i．
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チ レ ン ー 空気火
炎， 一次空 気量
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エチレ
ンー 気 炎 （λ＝3
．26
） 一 次 空気
量87
．3 ％ ｛ 由境界
問 題について は，こ れま で，数 学的 議論 に 終 し ，工 学 上 の応用 面 は，あま り顧みられなか
た が ， 今 後 ， こ のよ う な 方面の
進 展が 望まれ
る。 謝 この論文は，東 北大 学 修 士 論文を 墓 礎 に し て お り 御 指 導を
戴 い た東北大 学 大塚芳郎 教 授， また自由境界問 閧ﾉ
つい て， 有益な討 論及び助言を戴いたRocketdyne 統計学
者 BernardSher
皿an
博 ：h に 謝意 を表 ま す。 更に ， この論文の取纒
に
際し御
言 い だ たw
通 地 信 義教 授 に御礼 申 上 げ ま す。 一12
一 ）1
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REFEREN
S斎
藤武雄 ： 部 分 予混
合噴流
炎に関
する研究，東 北 大 学修士論文 （196 j． S．P ． Burke＆T
． E．
W．
Schum
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Indust ． Chem．，
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