第1部 第7章：対応関係コード表のグループにおけるタイプの識別とその特徴

るタイプの識別とその特徴

著者

野田 容助

権利

Copyrights 日本貿易振興機構（ジェトロ）アジア

経済研究所 / Institute of Developing

Economies, Japan External Trade Organization

(IDE-JETRO) http://www.ide.go.jp

シリーズタイトル

アジア経済研究所統計資料シリーズ

シリーズ番号

96

雑誌名

国際貿易データと貿易指数 : 国際比較可能な貿易

指数を目指して

ページ

209-231

発行年

2012

出版者

日本貿易振興機構アジア経済研究所/Institute of

Developing Economies (IDE-JETRO) 

URL

http://hdl.handle.net/2344/00008874

第

_{7 章}

対応関係コード表のグループにおけるタイプの識別とその特徴

野田容助

はじめに

体系の異なる分類どうしを結び付けるには両者 の対応関係を明らかにした対応関係コード表が必 要であり、対応関係コード表を使用する場合には 両者の分類がどのような対応関係にあるかを検討 することが重要な課題となる。本書の第6 章で述 べたように、対応関係コード表の中で分類の核に なる閉じた対応関係にある分類コードの集まりが グループである。貿易データにおいて体系の異な る分類間の変換はグループ内におけるの分類間の 対応関係に基づいて、場合によっては取引額も考 慮して配分ウエイトを推計し、この配分ウエイト でそれぞれの分類コードに対応する取引金額およ び数量を再配分することで可能となる。配分ウエ イトの推計方法については野田［2007］が参考に なる。 貿易データにおいて分類A から分類B への方向 に変換するとき、グループ内におけるA と B の対 応関係の状態は5 つのタイプに分けることができ る。両者における対応関係の分類コードが1 対 1 から構成されるタイプ1、1 対多であるタイプ 2、 多対1 であるタイプ 3、多対多であるタイプ 4 で ある。タイプ4 は貿易データの変換において配分 ウエイトを未知数とする構造方程式において、配 分ウエイトが一意の解となるタイプ 4a とそうで はないタイプ4b に分けることができる。 本章では商品グループ内で構成される変換のた めの配分ウエイトの構造式において対応関係のタ イプを識別する方法を示す。この識別方法に従え ば対応関係はタイプ4a とタイプ 4b の 2 つに分け ることができ、タイプ1 からタイプ 3 まではタイ プ4a の特殊な状態であることが示される。本章で はまた対応関係のタイプ 4a を中心に貿易データ を変換するときの基本的なパターンを示し、その ときに得られる配分ウエイト行列を推計する。 本章はグループ化された対応関係のタイプ、対 応関係のタイプ識別の具体例、貿易データの変換 とその評価から構成されている。

1．グループ化された対応関係のタイプ

グループ化された対応関係を使用するには対応 する2 つの分類A と分類 B がどのような対応関係 にあるかを知ることが必要である。グループ内に おいてA は n 個の分類コードから構成され、B は m 個の分類コードから構成されているとする。さ らに対応関係はA からB へ変換するという方向を 持っているとする。 （１）対応関係のタイプ1 は A と B のそれぞれの 分類コードが1 対 1 に対応する関係である。すな わち、m と n が共に 1 である。このタイプではグ ループに含まれる対応する対応関係の個数は1 個 である。 （２）対応関係のタイプ2 は A と B が 1 対多の対 応関係であり、m>1に対してn は 1 である。こ のグループに含まれる対応関係の個数はB に含ま れる分類コードの個数のn に等しい。このタイプ

は変換において配分構造が生じる対応関係である。 （３）対応関係のタイプ3 は A と B が多対 1 の対 応関係であり、m が 1 に対してn>1である。タイ プ2 とは逆に、グループに含まれる対応関係の個 数はAに含まれる分類コードの個数のmに等しい。 このタイプは変換において統合型の対応関係であ る。 （４）対応関係のタイプ4 は A と B が多対多の対 応関係であり、m>1であり同時にn>1である。 このタイプのグループに含まれる対応関係の個数 について特に決まったパターンは存在しない。こ のタイプは配分構造と統合型が共存する対応関係 である。 対応関係のタイプ4 はさらにタイプ 4a と 4b と に分けることができる。タイプ4a は配分ウエイト 行列を推計するときに一意的な解を持つ対応関係 の集まりであり、タイプ4b はそうではない対応関 係である。対応関係のタイプ１から3 まではタイ プ4a の特殊なパターンである。 1.1. 配分ウエイト行列の構造 分類A から分類B への対応関係をもとに前者の 取引額を変換して後者の取引額を推計するとき、 その変換のフィルターの役割を果たすのが配分ウ エイト行列である。商品分類の改訂に伴って作成 される新旧それぞれの商品分類をA とB においた とき、野田［2007］によれば、配分ウエイト行列 は商品分類の改訂前後のそれぞれの取引額を利用 して推計されるが、そのために以下で説明するよ うな仮説が必要となる。この仮説を変換可能であ るための仮説といい、グループ化されたA から B への配分ウエイト行列をもとに前者の取引額を後 者のそれに変換するための配分構造が定式化され る。しかし、商品分類から産業分類への変換の例 のように、特に同一年度における変換の場合には 変換のための仮説はそれほど強い必要はない。 商品グループ内におけるA からB の方向に対す る対応関係が存在するとき、商品分類の改訂前後 のそれぞれの期間にこの両分類による取引額が存 在し、取引額の構造は多変量定常確率過程に従っ ているものする 1 。すなわち、分類 A における取 引額の構成比はその期間においてA の取引額の構 造から得られる標本として解釈することができる。 同じように分類B についてもB の取引額の構造か ら得られる標本とする。しかもその期間に両分類 によるそれぞれの標本が同時に得られるものとす る。 実際には同一期間からは両分類の取引額の構成 比に相当する標本は得られず、両分類の取引額の 構成比は商品分類における改訂前後の期間からそ れぞれ得られる。この仮説は改訂前の期間から得 られた標本が改訂後の期間から得られた標本と同 一の標本から求められるという相当に強い仮説と いえる 2 _{。ここで重要なことは、この仮説は改訂} 前の分類B の構造がそのまま改訂後にも同じよう に維持されていることであり、しかも得られる標 本は取引額そのものではなくその構造を示す構成 比としていることである。 商品グループ内における分類A の n 個ある分類 コードのa 1 a_nのそれぞれに統計値であるn 個 の 取引 額_{x 1}* x*_n が 対応 して いる とす る。 n j=1 に対して、x*_jは年次データに相当するh 個の標本から構成されるベクトルとして表わされ、 )' ( *₁ * * jh j j x x x =  である。(x₁*x*_n)'= X*とすれ ば、 * * * 1 * 1 * 11 * * 1 ' ' X x x x x x x nh n h n =           =              となる。したがって、A のある期間の取引額の行 列は n×h 行列の_X*_{で表わされる。} m l をすべて の要素が1 である m 次ベクトル、D(x)をベクト ルx を対角要素とする対角行列とする。X*につ いては、 (1-1) X = X*D(l_m'X*)−1 として構成比を要素とする行列X が作成できる。

図1 商品グループ内における分類 A の_{a 1} a_nから分類B のb への方向に対する配分構造_i 分類Aの取引構造 X 分類A 配分構造とウエイト(ωij) 分類B 分類Bの取引構造 Y ) ( ' _{11 1} 1 x xh x _{= }  ) ( ' _{j1 jh} j x x x _{= }  ) ( ' _{n1 nh} n x x x _{= } 1 a  j a  n a 1 b  i b  m b ) ( _{i1 ik} i y y y′_{= } （出所）筆者作成 （注）商品グループ内における分類A の分類コード ajから分類B の分類コード biへの方向に対する配分ウエイトがωij である。分類A と分類 B のそれぞれの統計値 X と Y の年数はそれぞれ h と k としている。 表1 商品グループ内の分類 A から B の向けた変換の配分構造 分類A 分類B 1 a a₂ … a_j … a_n Total 1 b ： ：x1ω11 2ω12 x ： j j x ω ₁ ： n n x ω ₁ ： ： y1 i b x_{1 i}ω ₁ x2ω i2 xjω ij xnω in yi ： m b ： 1 1 m xω ：x2ω m2 ： mj j x ω ： xnω mn ： m y Total x₁ x₂ x_j x_n 1 （出所）野田容助編『東アジア諸国・地域の貿易指数―作成から応用までの基礎的課題―』（SDS No.88 アジア経済研 究所 2005）の第 2 章の表 2 を引用 （注）ωijは商品グループ内における分類A の ajから分類B の biへの方向に対する配分ウエイトである。表2 において i,j 要素は取引額を表示しているため、この表は配分額表とも呼ばれる。配分額表において分類 A の Total となるx1x_n は分類A の周辺和、分類 B の Total となるy1y_mは分類Bの周辺和と呼ばれる。 同一商品グループ内において分類Bのm個ある 分類コードのb1b_mのそれぞれに対する取引額 を_{y 1}* y*_mとする。年次データのy*_i はk 個の標 本から構成されるベクトルで表わされ、i=1m に対して ( * *)' 1 * ik i i y y y = _ である。(_{y 1}* y*_m)'₌ * Y とすれば、B の取引額の行列は m×k 行列のY* で表わされる。Y*についても同じように、構成 比を要素とする行列を、 (1-2) _{Y =Y}*_{D(l 'Y}*₎−1 n として作成できる。 商品グループ内においてA からB の方向に対す る変換のための配分ウエイトをA の分類コードの j a からB の分類コードのbiへの方向に対して

ω

ij とする。図1 と表 1 に

_ω

_ijに対する配分構造が示 されている。_{ω を要素とする行列が配分ウエイij} ト行列であり、これをW とすれば、           = mn m n W ω ω ω ω     1 1 11 と表わされ、m×n 行列である。商品分類の対応

関係では商品グループ内にA のajとB のbiそれ ぞれの分類コード間に対応関係がない状態が存在 するのが一般的である。このような状態は配分ウ エイト行列において0 となる要素が存在する状態 であり、要素としてωij =0を含むような一般的な 配分ウエイト行列をW_gとする。表1 に示されて いる変換のための配分構造において、a_jの取引額 は、x_j =(

_ω

_1j++

_ω

_mj)x_jとなり、 1 1j+ +

ω

mj =

ω

 である。ここで、j=1_nである。一般的な配分 ウエイト行列はウエイト条件として、 (1-3) lm'Wg =ln' となる。両分類の取引額が同一期間に存在すると 仮定しているので標本数は同一とすることができ、 図2 に示されているように B の分類コードである i b のi=1_mに対してy_iは、 1 1 i i x y = _ω ++xnωin と表すことができる。この配分ウエイト行列に対 して構造式は、 (1-4) Y =WgX+U と表すことができる。U は誤差であり Y と同じ構 造を持つものとする。 したがって、商品グループ内に存在するA から B への方向に対する対応関係とそれぞれの分類に 対応する構成比で構成された取引額行列のX と Y が得られたとき、（1-3）式と（1-4）式から配分ウ エイト行列W_gが推計される。 商品分類の改訂に伴って作成される新旧それぞ れの商品分類に対する配分ウエイト行列の推計方 法の例は野田［2007］が参考になる。商品分類か ら産業分類への変換に対する配分ウエイト行列の 推計と貿易データの変換の例は内田・野田［2007］ が参考になる。 1.2 対応関係のタイプ識別の準備 分類A から分類B への方向をもった対応関係が 考えられるとき、グループ化された両分類におけ る対応関係のタイプの識別のために、（1-4）式に おいて撹乱項をU= 、一般的配分ウエイト行列O の表記を簡単にするためWg =W とおいて転置す ると、Y'=X'W'となる。O はすべての要素が_mn 0 から構成されるm×n 行列である。混乱がないと きは簡単に O で表わす。i=1mに対して、 ) ( ' _{i1 in} i ω ω ω =  とすれば、W'₌(

_ω

_1

_ω

_n)と表 わされ、 (1-5)

(

y_{1 } y_m

)

=X'

(

_ω

_{1 }

_ω

_m

)

となり、y_i =X'_ωiである。（1-2）式からわかるよ うに、i=1mに対してy_i =(y_i1y_ik)'である。 （1-5）式をベクトルに置き換えるため、                     =           =           m m m X X X X y y ω ω ω ω     1 1 1 ' ' ' ' とする。y'=(y₁'_y_m')はY から、 , , , ₁₂ 11 y  y y_1k,_,y_m,k−1,y_mk となるように行に沿って上から順に要素を取り出 し て 作 成 さ れ た mk 次 ベ ク ト ル で あ る 。 ) ' ' ( ' _{ω1 ωn} ω =  は配分ウエイト行列W から、 mn n m ω ω ω ω ω11, 12, 13,, , −1, となるように行に沿って上から順に要素を取り出 して作成されたmn 次ベクトルであり、これを配 分ウエイトベクトルという。さらに、           = ' ' 2 X X X _ とすれば、 (1-6) y=X_2ω と表わすことができる。定義からわかるように、n 次の単位行列をI とするとき、ωのウエイト条件_n は（1-3）式のウエイト条件より、I をn m 個並べ た行列を、C_n(m)=

(

I_{n } I_n

)

とするとき、 (1-7) n m mn n m m n l l W m C = =           + + + + = + + = ' ) ( 1 1 11 1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

   

となる。X₃ =

(

C_n(m)' X₂'

)

'とすれば、X は₃ mn n mk+ )× ( 行列であり、ウエイト条件と配分ウ エイトベクトルの構造式をまとめた連立方程式が 得られ、 (1-8)

ω

₃

ω

2 ) ( X X m C y l_{n n} =       =       と表わすことができる。ここで、       = 2 3 ) ( X m C X n としている。 配分ウエイト行列を推計するときには取引額に おける標本の数は多ければ多いほど望ましいわけ であるが、本章では対応関係のタイプを識別する ことを目的としているので、取引額はA と B にお ける適当な年の取引額のみを利用しても構わない。 また、取引額の年における平均を利用することも 可能である。以下、適当な年の取引額のみの利用 した例と取引額の年における平均を利用した例を それぞれ示す。 1.3 取引額として最初の年度を採用 対応関係のタイプを識別するとき、分類A と分 類B における取引額として適当な年のものを利用 しても構わない。最初の年を取っても一般性を失 わないのでB は最初の年のそれを採用する。取引 額行列のY から最初の列を取り出すことで取引額 は得られ(_{y 11} y_m1)となる。n 次ベクトルにお いてi 番目の要素が１でそれ以外の要素がすべて 0 であるベクトルをe_i(n)とすれば、 Hy y y k e k e y k e y k e k e y y y y m m m m =                     =           =           =                1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 )' ( )' ( ) ( )' ( ) ( ' ' となる。ここで、H はe₁(k)'を対角要素とする行 列であり、 m I k e k e k e H ⊗ =           = )' ( )' ( )' ( 1 1 1  と表わされ、m×mk 行列である。⊗ は行列のクロ ネッカー積である。取引額に i 番目の年を取り たいときにはe₁(k)の代わりにe_i(k)とすればい い。 Y における最初の年度は（1-6）式の左から H を 乗 ず る こ と に よ っ て 求 め る こ と が で き 、

ω

2 HX Hy= となる。 m I X k e X k e X k e HX ⊗ =           = ) ' )' ( ( ' )' ( ' )' ( 1 1 1 2  はm×mn 行列であり、 ) ( ' )' ( _{11 1} 1 k X x xm e = _ である。（1-8）式においてyとHyを入れ替えれば、 (1-9) ω ω 4 2 1 11 ) ( )' ' ( X HX m C Hy l y y l n n m n =       =       =  と表わされる。ここで、(C_n(m)' (HX₂)')'= X₄ とおいている。すなわち、             =       = ' )' ( ' )' ( ) ( 1 1 2 4 X k e X k e I I HX m C X n n n   であり、rank(X₄)=m+n−1となる。 未知数を_{ω とする連立 1 次方程式の（1-9）式に} おいて、_{ω について一意の解が存在するのは}X₄ のランクがm+ n−1のとき、すなわちmn 個ある 配分ウエイトの中で(m-1)(n-1)個のウエイトが 0、 m+n-1 個のウエイトが 0 でない場合のときである。 そのとき、X₄は正則行列となり逆行列が存在す

るため、（1-9）式の解ω は、 )' )' ( ' ( 1 4 l Hy X − _m = ω と一意に表すことができる。 1.4 取引額として平均を採用 対応関係のタイプを識別するとき、分類 A と B における取引額の平均を採用することも可能であ る。y の平均を_i y_i =l_k'y_i/kとすれば、 Gy k y l y l y y m k k m =           =           / ' ' ₁ 1   となる。ここで、G は m 個の 'l を対角要素とす_k る行列をk で除した行列であり、 k I l k l l G _{k m} k k / ' / ' ' ⊗ =           =  と表わされ、m×mk 行列である。(y_1y_m)'₌ y' とする。（1-6）式の左から G を乗ずることにより、 ω 2 GX Gy= となる。(Xl_k/k)'=(x₁x_m)'=x'と すれば、 k X X l l GX k k / ' ' ' ' 2                     =   =(Xl_k/k)'⊗I_m=x⊗I_m はm×mn 行列であり、y=GX_2ωとなる。（1-8） 式においてy と Gy を入れ替えれば、 (1-10) ω 5ω 2 ) ( X GX m C y l_{n n} =       =       と表わされる。ここで、(C_n(m)' (GX₂)')'=X₅と おいている。rank(X₅)=m+n−1となる。未知 数を_{ω とする連立 1 次方程式の（1-10）式におい} て、_{ω について一意の解が存在するのは}X のラ₅ ンクがm+ n−1のときであり、（1-10）式の解ω は、 )' ' ' ( 1 5 l y X − _m = ω と一意的に表すことができる。 取引額として最初の年度を採用したときと取引 額として平均を採用したときの違いは、連立1 次 方程式で表わされた（1-9）式と（1-10）式の違で ある。両式の違いは（1-9）式で使用されている H とX であるのに対して、（₄ 1-10）式で使用されて いるのはG とX である。₅ 1.5 対応関係のタイプ識別 実際の対応関係において分類A の１つの分類コ －ドが分類B の分類コ－ドの個数である n 個のす べてに対応しているとは必ずしも限らない。この ことは、いくつかの_{ω が 0 であることを意味しij} ており、（1-9）式あるいは（1-10）式において一 般的な配分ウエイト行列W をもとにした配分ウ エイトベクトルが考慮されることが必要になる。 商品グループ内の対応関係の中で、0 でないウ エイトの個数は、グループ内にある対応関係の結 合の手の数の合計に等しい。この情報を利用する ことによって、m,n>1のときの対応関係のタイ プ4 の中で（1-9）式あるいは（1-10）式によって ω が一意的に解けるグループとそうでないグル ープにタイプを識別することができる。X₄のラ ンクを基準にすれば、配分ウエイト行列において 0 でない要素の数が m+n-1 に等しく、その解ω が 一意的な解を持つグループを対応関係のタイプ 4a、その解ω が一意的な解をもたないグループを 対応関係のタイプ4b とする。 例えば、取引額として最初の年度を採用して連 立方程式の（1-9）式を基準としたとき、商品グル ープ内の対応関係においてmとnを共に2とする。 配分ウエイトベクトルは、_ω'=(_{ω11ω12 ω21ω22}) となり、すべての要素が0 でないとすればその個 数 は 4 で ある 。（ 1-9 ） 式 に おい て左 辺は )' 1 1 ( y₁₁ y₂₁ であり、右辺のX4は、             = 21 11 21 11 4 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 x x x x X となり、rank(X₄)₌3である。配分ウエイトベク

トルの個数は4 であるのにX のランクは₄ 3 とな るので両者は一致しない。このことから配分ウエ イトベクトルに0 の要素が存在しないときには対 応関係のタイプは4b となる。 配分ウエイトベクトルの要素の1つを0とおく。 11 ω を0 とおいても一般性を失わない。（1-9）式 において左辺は(1 1 y₁₁ y₂₁)'であり、右辺の ) ( ' _{ω12 ω21ω22} ω = に対して、             = 21 11 21 4 0 0 0 1 0 1 0 1 0 x x x X となり、rank(X₄)=3である。配分ウエイトベク トルの個数は 3 であり、同時にX のランクは₄ 3 となるので両者は一致する。配分ウエイトベクト ルに0 の要素が 1 個存在するときには対応関係の タイプは4a となる。 配分ウエイトベクトルの要素の2つを0とおく。 11 ω とω₂₂を0 とおけばグループが 2 つに分割さ れるのでグループ内の対応関係という仮説に矛盾 する。ω₁₂とω₂₁についても同様である。ω₁₁と 12 ω を0 とおけば m が 1、n が 2 となり対応関係 のタイプ2 になる。（1-9）式の左辺は(1 1 y₁₁)' であり、その右辺は_ω'=(_ω21ω22)に対して、       = 21 11 4 _{0 1} 0 1 ' x x X となり、rank(X₄)=2である。配分ウエイトベク トルの個数は 2 であり、同時にX のランクは₄ 2 となるので両者は一致する。対応関係のタイプ 2 は対応関係のタイプは 4a の特殊な状態と解釈さ れる。次に_ω11と_ω21を0 とおけば m が 2、n が 1 となり対応関係のタイプ3 になる。（3-5）式の左 辺 は(1 1 y₁₁ y₂₁)' で あ り 、 そ の 右 辺 は ) ( ' _{ω12 ω22} ω = に対して、       = 11 21 4 _{1 0 0} 0 1 0 ' x x X となり、rank(X₄)=2である。配分ウエイトベク トルの個数は 2 であり、同時にX のランクは₄ 2 となるので両者は一致する。対応関係のタイプ 3 は対応関係のタイプは 4a の特殊な状態と解釈さ れる。 配分ウエイトベクトルの要素の3つを0とおく。 11

ω

が0 でないとしても一般性を失わない。その ときはm と n は共に 1 であり、対応関係のタイプ 1 となる。配分ウエイトベクトルの要素は

_ω

₁₁の1 個から構成される。（1-9）式において左辺は )' 1 ( y₁₁ と な り 、 右 辺 は

ω

₁₁ に 対 し て )' 1 ( ₁₁ 4 x X = となるため、そのランクは1 であ る。配分ウエイトベクトルの個数とX のランク₄ は一致するので、対応関係のタイプ1 はタイプ 4a の特殊な状態と解釈される。 取引額として年における平均を採用して（1-10） 式を基準とするときは、上記のX を₄ X に変える₅ ことで同じようにして対応関係のタイプを識別で きる。すなわち、X における₄ x と_i1 y を_i1 X にお₅ いてx と_i y に置き換えることである。_i 以上のことから商品グループ内の対応関係にお いて分類A とB における分類コードの数をそれぞ れn と m とするとき、m と n を共に 2 とすれば、 対応関係のタイプ1 から対応関係のタイプ 3 まで は配分ウエイトべクトルの解_{ω が一意的な解を} もつ対応関係のタイプ4a の特殊な状態である。

2. 対応関係のタイプ識別の具体例

取引額として最初の年度を採用し連立1 次方程 式の（1-9）式を利用た対応関係の識別の具体例を 示す。グループ化された分類A と分類 B における それぞれの分類コードの個数のn と m がともに 1 より大きく、0 ではない配分ウエイトの個数が m+n-1 のときは対応関係のタイプ 4a である。配分 ウエイト行列として、簡単な例を想定して、 (2-1)             = 0 0 0 0 1 21 1 12 11       m n W ω ω ω ω ω

とする。このときの配分ウエイトベクトルは、

(

)

0 0 0 0 ' 1 21 1 11     m n ω ω ω ω ω = と表わされる。配分ウエイトベクトルの_{ω から} 0 = ij ω の要素を取り除くため、_{ω の要素を} 0 ≠ ij ω のときは_{ω 、}* ₌₀ ij ω のときは_{ω となる}** ように分割し、 (2-2) _Pω=ωp ₌

(

_ω*' _ω**'

)

' となるような変換行列P を利用する。ここで、

(

11 1 21 1

)

*_' m nω ω ω ω ω =   である。_{ω は}** (m− n1)( −1)個の0 を要素とする ベクトルである。 変換行列P は以下のような 6 つのプロセスによ り作成される。 ［１］配分ウエイトベクトルの_{ω のω1ωm}に対 応させてP 1 P_mとし、i=1mに対して初期値 としてP_i =I_nとする。 ［２］ω₁'=(ω₁₁ω_1n)のときは、j=1_nのす べての要素がω₁j ≠0なので、 n I P* ₌ 1 、P1** =φ とする。ここで、_φは ** 1 P は存在しないことを表 している。 ［３］i=2mに対してωij =0ときはPiからj 行を取り除いて * i P とし、取り除いたj行をP_i**と する。_ωi'=(_ωi10_0)のときは、j=2_nに対 して

ω

ij =0となるので、Inから j 行を取り除け ばe₁(n)のみが残り、これがP_i* =e₁(n)'となる。 取り除いたj 行は、 ) ( ))' ( ) ( ( _{2 1} * * − = = n n i e n e n oI P _ である。o はすべての要素が 0 であるベクトルで を表している。 ［４］_{P 1}* P_m*を対角要素とする行列をP*とす れば、             = * * 2 * m n P P I P  となり、(n+m−1)×mn行列で表わされる。P**を、             = − − ' ' ' * * * * 2 1 , 1 , * * m n m n m P P O O P  とすれば、(m−1)(n−1)×mn行列となる。 ［５］_P'₌

(

_P*' _P**'

)

_{とすれば、mn×mn行列で} 表わされる。P の行を適当に並べ変えればI_mnに 一致させることができる。この作成された変換行 列P は直交行列である 3 。 * ω と_{ω に分割されたω は（2-2）式から得ら}** れる。（1-9）式の右辺において、ω**=0を利用す れば、 * * 4 4 4ω X P'Pω XP'ω X P 'ω X _{= =} p ₌ となり、さらに、_ω*は_{ω から要素が 0 でないも} のを取り出して作成されたベクトルでなので、 (2-3) _* * 2 * ' ' ) ( ω       =       P HX P m C Hy l_{n n} となる。（2-3）式を上下の 2 つに分ければ、上の 式はウエイト条件、下の式は配分ウエイトの構造 である。ウエイト条件は、  ) ( ( ' ) (_{m P}* _{I e1 k} C_n = _n e₁(k)) となるので、_{ω のウエイト条件は、} * n n m n l P m C =             + + = 1 12 1 11 * *_' ) ( ω ω ω ω ω   か ら 、 ω₁₁+ωm₁=1 と(ω12ω1n)=(11) ' 1 − =ln 、と、が得られる。したがって、

(

_{11 1}' _{21 1}

)

' * m n l _{ω ω} ω ω = −  となる。（2-3）式の下の式から配分ウエイトの構 造が得られ、 (2-4) w x x x x P X y y Hy n m             = = = 11 11 1 11 * * 2 1 11 )' ' (    ω となる。ここで、w=

(

ω₁₁ l_n−₁' ω₂₁ω_m1

)

'であ

る。（2-4）式を変形すれば、             + + +             =             0 0 1 21 1 21 11 11 1 21 11     n m m x x x y y y ω ω ω となる。x₁₁++xn₁=1なので、これを解いて、 (2-5) 11 1 21 11 11 11 1 21 1 21 11 1 21 11 / 1 / 0 0 x y y x y x x x y y y m n m m             + − =                           + + −             =                 

ω

ω

ω

となる。 商品グループの対応関係のタイプが 4a のとき は配分ウエイトベクトルの解は（2-5）式と ' ) (ω₁₂ω_1n =l_n によって求められ、 (2-6)             + − = 0 0 / 0 0 / 1 1 / ) 1 ( 11 1 11 21 11 11 11       x y x y x x y W m となり、その解は一意的である。配分ウエイト行 列を求めるには分類A と分類 B の取引額の X と Y を共に必要とする。 取引額を年における平均とした（1-10）式を対 応関係における識別の基準にすれば、（1-9）式の ときに利用したHをGに置き換えることで変更可 能である。それは、前者における特定年度の取引 額であるx と_i1 y を後者においては平均の取引_i1 額であるx と_i y に置き換えることである。_i 2.1 既知値を考慮した配分ウエイト行列の解 上記の配分ウエイト行列の推計方法はω_ijが 1 となる既知であるj 行についても、未知の値とし て解いている。推計する配分ウエイト行列のW の パラメターの数をできるだけ少なくするには、既 知であるωij =1のj 列を取り除くことで可能とな る。既知値を考慮した配分ウエイト行列の推計方 法は、W を未知の部分と既知の部分に分割し、未 知のパラメターをできるだけ少なくして解く方法 である。W をω が１ではない未知の部分の_{ij W}*_と それが1 となる既知の_{W に分割するため、変換}** 行列であるQ を利用する。_Q=

(

_Q* _Q**

)

_に対し て、_WQ=(_W* _W**)_{となるようなQ を考える。} ここで、W* =WQ*、W** =WQ**であり、Q は直 交行列となる。というのは、W において、_ωijが1 ではない列がa 個存在しそれを_{j 1} j_a、残りの 列をj₁'_j_n−a'とする。｛_{j 1} j_a j₁'_j_n−a'｝ を適当に並べ変えて｛1…n｝とすることができる からである。変換行列は、Q*=(e_j1(n)_ e_ja(n)) とQ**=( _'( ) _'( )) 1 n e n e a n j j  ₋ となるので、 n i i n i I n e n e Q Q Q Q QQ = = + =



= )' ( ) ( ' ' ' 1 * * * * * * が求められる。 （1-4）式において配分ウエイト行列のW をW、_g O U = と置き換えた式は、 2 * * 1 * 'X W X W X WQQ WX Y = = = + となる。ここで、Q*'X =X₁、Q**'X =X₂であ る。 (2-7) _Y** _=Y−W**_X2 とすれば、 (2-8) Y**=W*X1 となる。W*はその要素に1 を持たない配分ウエ イト行列である。_W*_がm×n*_{行列になったとす} れば、（1-3）式のウエイト条件は、 (2-9) _' * _* n mW l l = となる。したがって、（2-8）式を（1-4）式、（2-9） 式を（1-3）式と置き換えることにより_W*_の解は W と同じようにして求めることができる。 この方法を（2-1）式に適用すれば、一意的な解 である（2-5）式が求められることを以下に示す。 取引額は最初の年度のみを対象とする。すなわち、 WX Y ₌ において両辺に右からe₁(k)を乗じた、値

のみを必要とするので、 )' ( ) ( ) ( )' ( 1 11 1 1 1 11 n m x x W k WXe k Ye y y   = = = となる。（2-1）式より、W は * ( _{11 1})' m W = _{ω ω} と )) ( ) ( ( _{1 1} * * _{e m e m} W = _ に分割され、 (2-10) _WQ

(

_W* _e1(_m) _e1(_m)

)

 = となる。 ここで注意することは、求めたい配分ウエイト 行列は配分ウエイトベクトルになっているため、 対応関係がタイプ2 となっていることである。変 換 行 列 の Q は_Q* _=e1(_n) _と  ) ( ( ₂ * * _{e n} Q = )) (n e_n から構成されるており、Q=I_nである。 11 1 *_{'Xe(k) x} Q = と **' ₁( ) ( _{21 1})' n x x k Xe Q = _ と なるので、（2-7）式の右辺からe₁(k)を乗ずれば、             − + + = − = 1 21 1 21 11 1 * * * * 1 1 * * ) ( ) ( ) ( ) ( m n y y x x y k Xe Q W k Ye k e Y   となり、x₁₁++xn₁=1を利用すれば、             + − =               1 21 11 11 * * 1 * * 21 * * 11 1 m m y y x y y y y   となる。（2-8）式の右辺からe₁(k)を乗ずれば、 11 1 11 1 * * 1 * * _{( ) ( )} x k Xe Q W k e Y m           = = ω ω  となり、これを解いて、（2-5）式が求められる。 取引額に年の平均をとれば、最初の年度のみを 対象とする取引額のx と_i1 y を平均の取引額で_i1 あるx と_i y に置き換えることで可能であり、_i 1 2 1 1 1 21 11 / 1 x y y x y m m             + − =               ω ω ω と表わされる。対応関係のタイプ4a の中で（2-1） 式で表わされる配分ウエイト行列は既知値を考慮 すれば、対応関係のタイプ2 の形式に変換される。 2.2 対応関係のタイプ 4a のいろいろな状態 対応関係がタイプ 4a のときの簡単な具体例と して（2-1）式を採用したが、それ以外にもいろい ろな状態のものが考えられる。。m と n が大きい と形も複雑になりその種類も多くなるので、m と n を共に 3 とする。このとき配分ウエイト行列に おいて対応関係のタイプ4a は 0 ではない要素が 5 個存在し、（2-1）式も含めて以下のような 4 つの 状態がが考えられる。 （１）最初の配分ウエイト行列の状態は、（2-1） 式においてm と n を 3 としたときである。既知値 を考慮したときの配分ウエイト行列の解のW は* （2-5）式で得られる。この_{W を（}* _{2-10）式へ代} 入して配分ウエイト行列が求められる。 （２）第2 番目の配分ウエイト行列の状態は、 (2-11)           = 0 0 0 0 31 23 21 12 11 ω ω ω ω ω W である。この行列は既知値を考慮した配分ウエイ ト 行 列 の 解 に よ り_ω12 と_ω23 は １ で あ り 、 )) 3 ( ) 3 ( ( _{1 2} * * _{e e} W = となる。したがって、W は )' ( _{11 21 1} * m W = _{ω ω ω} とW に分割され、** WQ=

(

_W* _W**

)

_{となる。ここで注意することは、（2-9）} 式において、求めたい配分ウエイト行列は配分ウ エイトベクトルになっているため対応関係がタイ プ 2 となっていることである。変換行列は ) 3 ( 1 * _e Q = と_Q** ₌(_e2(3) _e3(3))_{から構成される} Q であり、Q= となる。 I₃ 以下、取引額は最初の年度のみを対象とするが、 取引額を平均にしても同じように処理することが できる。Y**e₁(k)₌ y**とする。取引額は、 * * 31 31 21 21 11 1 * * _{( ) ( )'} y y x y x y k e Y = − − = となる。また、Q*'Xe₁(k)=x₁₁と_Q**'_Xe1(_k)=

)' (x₂₁ x₃₁ となることから、           − − = − = 31 31 21 21 11 1 * * * * 1 * * _{( ) ( )} y x y x y k Xe Q W k Ye y が求められ、（2-7）式から_y** _=W*_Xe1(_k)_が得ら れる。 配分ウエイト行列W の要素の中から* 0 ではな い要素を取り出して配分ウエイトベクトルの ) ( ' _ω11ω21ω31 ω = とすれば、W* _=ωとなる。し たがって、（1-9）式が求められ、 ω 4 * * 1' ')' (l y =X となる。ここで、X は₄ 4×3 行列であり、             = 11 11 11 4 0 0 0 0 0 0 1 1 1 x x x X と表わされる。rank(X₄)₌3なので、X から第₄ 1 行目を取り除いて * 4 X 、( ' **')' 1 y l から第1 番 目の要素を取り除いてy***とする。X*_{4 =}x₁₁I₃、 * * * * * _y y = なので、 *_ω 4 * * _X y = が得られる。これ を解いて、 (2-12) 11 * 31 31 21 21 11 /x W y x y x y =           − − = ω となる。このW を（* 2-10）式へ代入することに より配分ウエイト行列が求められる。 （３）第3 番目の配分ウエイト行列の状態は、 (2-13)           = 33 22 21 12 11 0 0 0 0 ω ω ω ω ω W である。この配分ウエイト行列は特別な構造を持 っており、       = 22 21 12 11 1 ω ω ω ω W を分類A の分類コードa と₁ a 、分類₂ B の分類コ ードb と₁ b から構成される配分ウエイト行列、₂ 33 ω をA の分類コードa と₃ B の分類コードb か₃ ら構成される配分ウエイトとすれば、（2-13）式は、       = 33 1 ' _ω o o W W と表わされ、2 つのグループから構成されている ことになる。W は対応関係のタイプ₁ 4b、ω33は対 応関係のタイプ1 である。したがって、（2-13）式 の状態は対応関係のタイプ 4a には属さないこと になる。 （４）第4 番目の配分ウエイト行列は、 (2-14)           = 0 0 0 0 32 21 13 12 11 ω ω ω ω ω W である。この行列は既知値を考慮した配分ウエイ ト行列の解により_ω13は１であり、_W**_=e1(3)_と なる。したがって、W は、 (2-15)           = 32 21 12 11 * 0 0 ω ω ω ω W とW に分割される。このときの変換行列は、** )) 3 ( ) 3 ( ( _{1 2} * _{e e} Q ₌ と_Q** _=e3(3) _{から構成され} る Q であり、Q=I₃ と なる。取 引額は 、 )' ( ) ( ' _{1 11 21} * _{Xe k x x} Q = とQ**'Xe₁(k)=x₃₁とな ることから、 (2-16)           − = − = 31 21 31 11 1 * * * * 1 * * _{( ) ( )} y y x y k Xe Q W k Ye y となる。（2-15）式からW の要素の中で* 0 ではな い要素を取り出して配分ウエイトベクトル_ω'₌ ) (_{ω11ω12ω21ω32} とすれば、（1-9）式が求められ、 ω 4 * * 2' ')' (l y =X となる。ここで、X は₄ 5×4 行列であり、                 = 2 1 2 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 x x x x X である。rank(X₄)₌4なので、X から第₄ 3 行目

を取り除いてX 、₄* ( ' **')' 2 y l から第3 番目の要 素を取り除いてy***とする。（1-9）式は、 (2-17) *ω 4 * * * _X y = が得られる。ここで (1 1 **)' 31 * * 21 * * * _{y y} y = であり、             = 21 11 * 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 x x X である。X は正則行列なので逆行列が存在し、₄*             − − = − 2 1 2 1 1 * 4 / 1 0 0 0 0 / 1 0 0 / 1 0 1 0 0 / 1 0 1 ) ( x x x x X である。（2-17）式を解けば、 (2-18)               − − = 2 * * 31 1 * * 21 2 * * 31 1 * * 21 / / / 1 / 1 x y x y x y x y ω となる。_ωを（2-15）式に戻せば、_{W は、}*           _{− −} = 2 * * 31 1 * * 21 2 * * 31 1 * * 21 * / 0 0 / / 1 / 1 x y x y x y x y W となる。 ' * ₂' 3W l l = となることからW はウエイ* ト条件を満たしていることがわかる。（2-16）式か らy*₂₁* =y₂₁、y₃₁** =y₃₁なので、 (2-19)           _{− −} = 2 31 1 21 2 31 1 21 * / 0 0 / / 1 / 1 x y x y x y x y W となる。配分ウエイト行列は、_{W =}(_W* _e1(3))_と して求められる。 2.3 対応関係のタイプ 1 グループ内において分類A とB の分類コードそ れぞれの個数をn と m とするとき、m= n=1とな るのは対応関係のタイプ1 である。配分ウエイト は_{ω しか存在せず、11} C₁(m)=1と H=1 なので、 （1-9）式はX₄'₌(1 x₁₁)となり、 (2-20) 11 11 11 1 1 ω       =       x y となる。rank(X₄)₌1であり、m+ n−1は1 とな る。配分ウエイトベクトルの数とX4のランクは一 致するので、対応関係のタイプ1 は対応関係のタ イプ4a であり、一意の解が存在し、（2-20）式か らω11=1である。対応関係のタイプ１はタイプ 4a の特殊解である。 2.4 対応関係のタイプ 2 グループ内で A の分類コードの個数 n が 1 であ り、B の分類コードの個数 m が 1 ではないときは 対応関係はタイプ2 である。配分ウエイト行列は、 )' ( _{11 21 m1} W = _{ω ω ω} となるm×1 行列である。配 分ウエイトベクトルは、ω₁=(ω₁₁ω₂₁ω_m1)'の みが存在しており、C₁(m)=(111)=l_m'である。 ま た 、HX_{2 =}x₁₁I_m な の で 、（1-9 ） 式 は 、 ) ( ' ₁₁ 4 lm x Im X = となることから、 (2-21) _ω      =       m m I x l Hy ₁₁ ' 1 となる。 配分ウエイトベクトルの要素の個数は m、 m X rank( ₄)= であり両者は一致する。対応関係 のタイプ2はタイプ4aに属しており一意の解が存 在する。（2-21）式の構造式は、Hy=x₁₁I_mωとな るので、ω=Hy/ x₁₁として一意の解が得られる。 さらに、lm'ω=1から、 1 'Hy=y₁₁+ +y ₁ =x₁₁= l_{m  m} となる。このことから商品グループの対応関係が タイプ 2 のときの配分ウエイトベクトルは ) ( '= y 11 ym1 ω となる。すなわち、y ₁₁ y_m1は 構成比で表わされているため、_ωはB の取引額 Y の比率で割り振られることになる。 2.5 対応関係のタイプ 3 グループ内のA の分類コードの個数 n が 1 では

表2 アジア経済研究所で試みている対応関係における配分ウエイト行列の推計方法 配分構造 取引額 対応関係に配分構造なし 対応関係に配分構造あり 取引額を考慮しない (1) 木下・山田による方法 (2) Comtrade の方法*（un_c） (1) 単純均等配分の方法（s） (2) 黒子の均等配分の方法（k） 取引額を考慮する (1) アジ研の u 方式*（u） (1) 分類の独立性を仮定した同一配分パター ンの方法（p）* (2) ウエイト等号制約条件付き最小 2 乗法 （wv, wm） (3) 制約条件付き最大エントロピー法（e） (4) ニューラル･ネットワークの方式（n） （出所）野田容助［2007］の第 3 章の表 1 にもとづき著者作成。 （注）野田［2007］による対応関係のタイプ 4b における配分ウエイト行列の推計方法である。分類 A から分類 B の方 向に対する対応関係に対して、*は分類 B のみの取引額を利用することを表わしている。Comtrade 方式とアジ研の u 方 式は共に推計に当たっては配分構造を考慮しているが、推計結果が1 つの分類コードに決まることから配分構造なし の分類に入れている。（ ）の中の文字は推計方法を簡略化して表わしたものである。 ではなく、B の分類コードの個数が m=1 であると きは対応関係のタイプ3 である。配分ウエイト行 列はW =(_{ω11 ω12ω1n})となる1×n 行列であ る。配分ウエイトベクトルはω=(ω₁₁ ω₁₂ω_1n)' のみが存在しておりC_n(1)=I_nとHX_{2 =}(x …₁₁ 1 n x ) なので、       = 1 11 4 n n x x I X  となることから、（1-9）式は、 ω       =       1 11 1 n n x x I Hy _ となり、rank(X₄)=nである。配分ウエイトベク トルの個数はn なのでX のランクに一致する。₄ 対応関係のタイプ3はタイプ4aに属しており一意 の解が存在し、C₁(n)ω=ω=l_nが得られる。商品 グループの対応関係のタイプ3 のウエイトはすべ て1 となるW =

(

1  1

)

=l_n'で表わされる。 2.6 対応関係のタイプ 4b グループ内においてA とB の分類コードそれぞ れの個数をn と m とするとき、m と n が共に 1 よ り大きく、しかも配分ウエイト行列の0 でない要 素の個数がm+ n−1でないときはグループの対 応関係はタイプ4b である。連立方程式の（1-9） 式あるいは（1-10）式において、その解であるωは 一意的な解を持たない。そのため、配分ウエイト 行列の推計には、詳細分類コードに基づく単純均 等配分の方法、制約条件付き最小2 乗法、分類間 の独立を仮定した同一パターンの方法、制約条件 付き最大エントロピー法による繰り返しの比例反 復法、ニューラルネットワークの方法等の方法が あり、これらを利用して解を求めなければならな い。野田［2007］は対応関係のタイプ 4b のときの 配分ウエイト行列についていくつかの推計方法を 紹介し、貿易データを変換した結果を比較してい る。 表2 にアジア経済研究所で試みている配分ウエ イト行列の推計方法が示されている。推計方法は 取引額を考慮するかどうか、対応関係に配分構造 があるかどうかを基準にして分けることができる。 これらの推計方法の中で野田［2007］は貿易デー タの特徴や推計プログラムの難易度等を考慮すれ ば、現在のところ（2007 年 1 月）分類間の独立性

を仮定した同一配分パターンの方法（p 方式）が 現実的で最良の方法であると結論付けている。

3. 貿易データの変換とその評価

貿易データを変換するためには配分ウエイト行 列を推計しなければならない。本節ではその推計 方法として現在のところ現実的で最良の方法と考 えられる分類間の独立性を仮定した同一パターン の方法（p 方式）を採用する。まず最初に、一意 的な解をもつ対応関係のタイプ 4a から構成され る配分ウエイト行列に対してp 方式を適用すれば どれだけの誤差が生じるかを確かめる。例えば、 配分ウエイト行列がm×n 行列とするとき、配分 ウエイト行列の例として、（2-1）式で表わされる 状態を採用する。そのときの配分ウエイト行列を ) 4 ( ˆ a W とすれば、一意的な解として得られ、（2-6） 式で表わされる。したがって、変換された貿易デ ータは、_Y* _=Wˆ(4a)_X*_となる 4 _{。取引額として} 平均を採用する。この式の右からl_k/ を乗じれば、k * *_{l /k x} X _k = なので、 (3-1) * ) 4 ( * ) 4 ( * * ˆ / ˆ / x W k l X W k l Y y a k a k = = となる。 p 方式では配分ウエイト行列は（1-2）式の Y の 平均値を利用して、 (3-2)             = 0 0 0 0 1 1 ˆ 2 1       m p y y y W と一意に表わされる 5 。分類 A の取引額を_{X と}* して、配分ウエイト行列に基づく貿易データの変 換により分類B の取引額が_{Yˆ になったとすれば、}p * ˆ ˆ _{W X} Yp ₌ p _{となる。取引額の平均値を採用して} いるので、この式の右からl_k/ を乗じて、 k * * _{/ ˆ} ˆ / ˆ ˆ Y l k W X l k W x yp = p _k = p _k = p となる。したがって、変換されたyˆ と元のp _{y と}* の間の誤差は、 (3-3) 1 1 * 1 2 1 * ) 4 ( * / ) 1 ( 1 ) ˆ ˆ ( ˆ x x x y y y x W W y y m a p p −             − − − = − = −  として求められる。y₁++ym =1、も満たされ るので_l '(_yˆp_{− y}*)₌0 m となることから、変換さ れた貿易データの総額はy を真の解とすれば、p* 方式による解のyˆ と同一である。しかしそれぞp れの要素については（3-3 式で表わされたような 誤差が生じている。 ベクトル y において要素の絶対値の和を、 | | | | || ||y _a= y₁ ++ y_n とする。（3-3）式の絶対誤 差は、 (3-4) * ₁ 1 1 1 *_{|| 2(1 )(1 ) /} ˆ ||yp₋y _{a= −}y ₋x x x で表わされる。対応関係がタイプ4a のとき、p 方 式による絶対誤差は（3-4）式で表わされる。（3-4） 式が0 のとき、y₁=1またはx₁=1である。 前者のみが成り立つとき、すなわち、y₁=1が 成り立つときは、y₂ ==yn =0である。（3-1） 式は、x*+ +x_n* =c 1  とすれば、 ) )( ( ˆ 0 0 * 1 1 * 1 1 11 * 1 1 * 1 21 * * 2 * 1 11 * * 1 x c m e x x x x x x x W y m m n p − +           =               _{+ +} = =               ω ω ω ω ω     と な る 。 こ の 式 か ら 、 y₁*_=ω11x₁*₊c₋x₁* と 0 1 21= =ωm = ω  が得られる。y*+ +y_m* =c 1  であり、y₂ == yn =0なので、y1* =cとなる。 したがって、 x =y*−c+ 1 * 1 11 ω * 1 * 1 x x = 、となり、 1 11= ω となる。（2-1）式を採用していたので、 1 1 12 = =ωn = ω  である。したがって、_Wˆ p _=ln' となり、対応関係はタイプ3 である。 後者のみが成り立つとき、すなわち、x₁=1が 成り立つときは、x₂ ==xn =0であり、x1*=c

表3 対応関係のタイプとその推計された配分ウエイト行列 対応関係のタイプ 項目 タイプ1 タイプ2 タイプ3 タイプ4a タイプ4b m n ) (X₄ rank 1 1 1 m 1 m 1 n n m n m+n+1 m n m+n+1 ではない ) ( ˆ i W ω11=1 y y y m m =           =           1 11 1 11   ω ω ' ) ( _{11 1} n n l = ω ω  a 表2 を参照 p Wˆ 同上 同上 同上 b p 方式 （出所）筆者作成 （注）配分ウエイト行列をm×n 行列とする。Wˆ(i)は対応関係のタイプがi のときに推計された配分ウエイト行列、Wˆp はp 方式により推計された配分ウエイト行列である。a は m と n が共に 3 のとき、配分ウエイト行列が（2-1）式で表 わされるとき、その解は（2-16）式、または（2-10）式のW*と（2-9）式、（2-11）式は（2-12）式のW*と（2-9）式、 （2-13）式はW*と（2-9）式で表わされる。b は対応関係の状態を（2-1）式とすれば、（3-2）式のWˆpである。 と * * 0 2 = =xn = x _ 、になる。（3-2）式は、 c x W y m p           = = 1 11 * 1 * _{( 0 0)'} ω ω   となる。この式から、 y c y Wˆ p =(_{ω11  ωm1})'= */ = となり、W_ˆp ₌y_{が求められる。したがって、対} 応関係はタイプ2 である。 両者が成り立つとき、y₁=1とx₁=1であると きは、y* =c 1 とx1*=cになり、 * 1 1 11 * 1 * 1 )' 0 0 ( 0 x x W y m p           = =           ω ω    となる。y₁* =_ω11x₁*なので、ω₁₁=1となる。対応 関係はタイプ１である。 以上のことをまとめたのが表3 であり、対応関 係のタイプ、m と n の大きさ、X4のランク、推計 された配分ウエイト行列の解が示されている。 （１）表3 によれば、対応関係がタイプ 3 のとき の配分ウエイト行列をW(3)とすれば、 (3) ' n l W = である。p 方式で推計された配分ウエイト行列も ' ˆ n p _l W ₌ であるので、両者は一致する。配分ウエ イト行列が同一なので変換された貿易データも一 致する。 （２）対応関係がタイプ2 のときの配分ウエイト 行列を_W(2)_{とすれば、W}(2) _{= である。それにy'} 対してp 方式で推計された配分ウエイト行列も、 ' ˆ _y Wp _{= であり、両者は一致し、変換された貿易} データも一致する。 （３）対応関係がタイプ1 のときの配分ウエイト 行列をW(1)とすれば、_W(1) ₌1_{である。それに対} して p 方式で推計された配分ウエイト行列も 1 ˆ =p W であり、両者は一致し、変換された貿易 データも一致する。 （４）対応関係がタイプ4a のときの配分ウエイト 行列をW( a4 )とすれば、推計値は（2-6）式で表わ され、それに対してp 方式で推計された配分ウエ イト行列は（3-2）式で表わされる。両者は一致せ