幾何学序論講義ノート【集合・写像・数】

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幾何学序論講義ノート

【集合・写像・数】

市原一裕

平成

26

年

7

月

7

日

(2)

(3)

3

はじめに

このノートは「幾何学序論」の講義用のノート（講義を実際にするためのメモ，および，学生の自習（予習と復習）用）として作成しています．わからないところや，ミスだとおもわれるところがあれば，いつでも遠慮なく，市原まで連絡ください．質問やコメントによって，みんなのノートとして，より良いものにしていければと思っています．

さて，この0章で，講義の概略や講義前の準備について説明しましょう．

この講義（幾何学序論）のテーマは「集合と位相（トポロジー（topology））」

です．より正確には（固い感じのいいまわしでは）「集合論と位相空間論」がテーマです．

知っての通り，いわゆる現代の数学は

代数学，幾何学，解析学，（数学基礎論），（応用数学），· · ·

というように大きく分類されています．もちろん研究の先端においては，それぞれの分野を横断するような革新的な研究が，日進月歩で押し進められています．しかしそれでも，「集合論と位相空間論」は，現代数学の（ほとんど）

全ての基盤ということができるかと思います．（もちろん異論のある方もいらっしゃるかとは思いますが）．つまり，この現代数学の共通言語ともいえる「集合論と位相空間論」の初歩を習得することが，この講義の目標となります．

ここで「初歩を習得」とかいた具体的な内容として考えているのは，いわゆる

「読む」「聞く」「書く」「話す」

というようなことが，きちんとできるようになるということです．その為には，基本的な用語を知ること（定義を覚える，意味を理解する，感覚的にわかる），および，抽象的な論理を理解して使えるようになること，が必要だと思います．特に後者は，普通は講義を聴くだけではできるようにはならないと思います．従って，自分の頭で考え練習することが大事です．このノートが少しでもその役に立つと嬉しいのですが．

また大変残念なことに，いわゆる「位相空間」について，より深く学ぶところまでは進むことができないと思います．意欲のある人は，あとに述べる参考文献をもとに，ぜひ自分で勉強を進めていって欲しいと思います．

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講義題目について

蛇足かもしれないですが，講義題目について補足です．上のような講義内容，つまり，「現代数学の共通基盤」として集合と位相を学ぶ，を説明すると，

なぜ講義題目が「幾何学序論」なのですか？と質問をされることがあります．

これには，大きく２つの理由があると考えています．

一つは，歴史的理由です．数学の共通基盤（というか出発点）として，「数学」という学問をはじめて言語化（理論的に）した本というのが，いわゆるユークリッドの「原論（ストイケイア（ギリシャ語），英語では「Elements」）」

でした（紀元前３世紀）．この本の多くの部分（全てではない）が「幾何学」

に関するものであり，幾何学原論などとも呼ばれることから，「幾何学序論」

という講義題目で，現代数学の基礎である「集合と位相」を学ぶことにしています．

もう一つは，現代数学において，より詳しく，位相空間を専門的に扱う分野を位相幾何学（トポロジー）といっています．そこで，「幾何学序論」という講義題目で「集合と位相」を学ぶことにしています．注意ですが，英語で

Topologyといったときに，この学問分野の名称（通常，日本語では，位相幾

何学）と，集合に対して決まる構造（日本語では厳密には位相構造，この講義では最後の方に触れるだけかもしれない）の両方を指します．良く混乱して間違ってしまうことがあるので，どっちの意味で言って（書いて）いるのか，気をつけるようにしてください．

講義の概要

（ここは講義が進んでいくに連れて，随時，加筆修正を行っていきます）

前期は第1章から第3章までです．

第1章はテーマは集合の基礎です．集合の相等の証明がかけるようになること，直積集合とはなにかがわかること，集合族の性質の証明ができるようになることが目標です．

第2章のテーマは写像の基礎と集合の濃度です．全単射について基礎的な証明が出来るようになること，さらにそれを用いて，集合の濃度の大小について理解することを目標とします．

第3章のテーマは数体系の構築です．自然数の定義（ペアノの公理による）

から始め，同値関係を用いて，整数の集合と有理数の集合を構成していきます．さらに，コーシー列の集合から同値類を考え，実数の集合を構築します．

抽象的な数体系を論理的に構築していく様子を学ぶことが目標です．

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参考書

この講義では，特に決まった教科書（テキスト）は使用しません．昨年度までの講義内容をもとに，このノートを基に進めていきます．

より詳しい内容を勉強したい人は，以下の参考書が役に立つかと思います．

ただし，このノートで使っている用語や記号とは，いろいろ異なっていることがあるので，注意してください．

• ライブラリ新数学大系-E 1

「集合と位相への入門」ユークリッド空間の位相

鈴木晋一(早稲田大学名誉教授) 著

定価：1,733円（本体1,650円+税）

発行：サイエンス社発行日：2003-04-10

ISbn 978-4-7819-1034-5／A5判／168頁

• はじめての集合と位相大田春外著

定価：税込み2,730円（本体価格2,600円）

判型：A5判ページ数：272ページ

ISbnコード978-4-535-78668-4 発刊日：2012.08

• 数学30講シリーズ3 集合への30講志賀浩二著

A5／196ページ／1988年05月20日 ISbn978-4-254-11478-2 C3341 定価3,780円（税込）

• 数学30講シリーズ4 位相への30講志賀浩二著

A5／228ページ／1988年09月10日 ISbn978-4-254-11479-9 C3341 定価3,780円（税込）

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7

第 1 ^{章集合}

この章では，まず（高校で教わったような）集合についての復習からスタートします．まずは，集合の相等などについて，ちゃんと（論理的な）証明がかけるようになるようにしましょう．また最後は「集合の集合」である集合族を扱います．

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1.1. 集合とは第1. 集合

第

1

講

1.1

^集合とは

定義1.1.1. 【集合（set）】

確定した，互いに区別できる対象を1つにまとめたもの（数学辞典より）

注意 1.1.1. 定義（deﬁnition）とは，用語の意味を明確に規定する文のこと

（式を含んでもよい）．よくdef. とかdfとかdf’nなどと省略される．

これから特に定義はなにかということをよくよく考えること．

集合の表し方（記法）

• ものを書き並べて{ }でくくる（列挙法）

• 「〜をみたすものの全体」という言い方

• {記号|条件}

集合の記号：∈，3（属する（belong to）），∈/（属さない）

用語：要素，元（element）空集合（empty set）：∅，∅

注意 1.1.2. （記号の由来）詳しくは，以下を参照．

Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic http://jeff560.tripod.com/set.html

よく使われる記号

N，Z，Q，R，C 厳密な定義はあとで．．．

1.2

包含関係

定義1.2.1. 【部分集合（subset）】２つの集合XとY について，Xのどんな要素もY の要素になっているとき，XはY の部分集合であるという．X ⊂Y，もしくは，Y ⊃X であらわす．⊆，⊇もつかう．

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第 1. 集合 1.2. 包含関係

定義 1.2.2. 【真部分集合（proper subset）】集合X が集合Y の真部 分集合であるとは，X ⊂Y だがX 6⊃Y であること．(，)であらわす．

注意 1.2.1. • 「A⊂B」⇔「A⊃B」（排反事象ではない）

• X⊂X

• ∅ ⊂X （数学的（論理的）な意味）

bababababababababababababababab

注意1.2.2. AはBに含まれている，つまりA⊂Bのときでも，A はBの要素ではない．（「含まれている」という言い方にだまされないこと！）

注意 1.2.3. ひとつの集合内の部分集合達を考えるとき，それらすべてを含

む集合を全体集合といったりする．

定義1.2.3. 【集合の相等】２つの集合X とY が等しいとは，

X ⊂Y かつX ⊃Y が成り立つこと．

（つまり，全ての要素が等しい）

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1.2. 包含関係第1. 集合

練習問題 1.2.1. 次の集合を列挙法で表しなさい．

(1) {n²|n∈Z, −2≤n≤3}

(2) {^p_q |p, q∈Z, 1≤p≤3, 1≤q≤4} (3) {x|x∈R, x²+x+ 1≤0}

練習問題 1.2.2. {3x|x∈R}=Rを示しなさい．

練習問題 1.2.3. A={2x²−1|x∈R}とB={x∈R|x >−2}について，

A(Bを示しなさい．

練習問題 1.2.4. A={n∈N| nは偶数}とB ={n(n+ 1)|n∈N}について，A)Bを示しなさい．

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第 1. 集合 1.3. 集合の演算

第２講

1.3

^{集合の演算}

演算（えんざん）とは，いくつかの与えられたものから，一定の法則を適 用して，他のものを作り出す操作のこと．

以下，1つの集合U を固定して（U を全体集合（Universal set）として），

その部分集合について考える．つまり，{x| · · · }と書いたら{x|x∈U,· · · } のこと．

1.3.1

和集合と共通部分

定義1.3.1. 【和集合（Union），∪（cup，カップ）】

２つの集合AとBについて，

A∪B :={x|x∈Aまたはx∈B}をAとBの和集合という．

注意 1.3.1. X :=Y という記号で「XをY で定義する」という意味．

定理1.3.1. 任意の２つの集合AとBについて次が成り立つ．

(1)A∪A=A (2)A∪ ∅=A

(3)A∪B=B∪A (4)A⊂A∪BかつB⊂A∪B

定義1.3.2. 【共通部分（intersection） ∩（キャップ，cap）】

２つの集合AとBについて，

A∩B :={x|x∈Aかつx∈B}をAとBの共通部分という．

注意 1.3.2. 共通部分のことを，積集合（product set）ということもある．

定理1.3.2. 任意の２つの集合AとBについて次が成り立つ．

(1)A∩A=A (2)A∩ ∅=∅

(3)A∩B=B∩A (4)A⊃A∩BかつB⊃A∩B

定理1.3.3. 集合A，B，Cについて以下が成り立つ．

(1) 「A⊂CかつB⊂C」ならばA∪B⊂C (2) 「C⊂AかつC⊂B」ならばC⊂A∩B

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1.3. 集合の演算第1. 集合

定理1.3.4. 集合A，B，Cについて以下が成り立つ．

(1) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (2) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (3) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (4) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

1.3.2

補集合

定義 1.3.3. 【補集合（complement）】

全体集合U の部分集合Aに対して，

A^c :={x∈U |x /∈A}をAの補集合という．

（cはcomplement の頭文字）

注意1.3.3. 高校ではA¯を使っていたと思うが，ここではA^c

にする．¯は，他でも使うので

（例えば，共役複素数）．

定理1.3.5. 全体集合Uの部分集合Aについて，

(1)A∪A^c =U (2)A∩A^c =∅ (3)(A^c)^c=A (4)集合BがA∪B=U とA∩B =∅をみたすならばB=A^c 定理1.3.6. 全体集合Uの部分集合AとBについて，

(1)A⊂B⇔A^c⊃B^c

(2)【ド・モルガンの定理】 (A∪B)^c =A^c∩B^c (A∩B)^c=A^c∪B^c

1.3.3

差集合

定義1.3.4. 【差集合（diﬀerence set）】

２つの集合AとBについて，A−B:={x|x∈A, x /∈B}

をAとBの差集合という．A−B=A∩B^c =A−(A∩B)ともかける．

注意 1.3.4. A\Bと書くこともある．

注意 1.3.5. BがAの部分集合でなくても，A−Bは定義される．

定理1.3.7. ２つの集合AとBについて，

(A∪B)−(A∩B) = (A−B)∪(B−A)

注意 1.3.6. (A∪B)−(A∩B)のことを，AとBの対称差（たいしょうさ，

symmetric diﬀerence）ともいう．A4Bであらわしたりする．

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第 1. 集合 1.3. 集合の演算 練習問題 1.3.1. 集合U の部分集合A，B，Cについて，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)を示しなさい．

練習問題1.3.2. 全体集合Uの部分集合AとBについて，(A∩B)^c=A^c∪B^c を証明しなさい．

練習問題 1.3.3. ２つの集合AとBについて，

(A∪B)−(A∩B) = (A−B)∪(B−A)を証明しなさい．

（Hint: 定義1.3.4と定理1.3.6と定理1.3.4を使う．）

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1.4. 直積集合第1. 集合

第３講

1.4

^直積集合

定義1.4.1. 【直積集合（direct product）】（Cartesian productとも）

２つの集合Aと Bに対して，Aの要素xとBの要素yの組(x, y)全体の集合を，AとBの直積集合といい，A×Bとかく．

注意 1.4.1. 最初に「発見」したのは，ルネ・デカルトとされる（1637年）．

いわゆる座標（デカルト座標）．

注意 1.4.2.

• 組(x₁, y₁)と(x₂, y₂)に対して，

(x1, y1) = (x2, y2)⇔x1=x2 かつy1=y2

• A6=B ならばA×B6=B×A

定理1.4.1.

(1) 集合Aに対して，A× ∅=∅ ×A=∅

(2) 集合A，B，Cに対して，

(a) (A∪B)×C= (A×C)∪(B×C) (b) (A∩B)×C= (A×C)∩(B×C) (3) A⊂X，B ⊂Y のとき，

(X×Y)−(A×B) = ((X−A)×Y)∪(X×(Y −B))

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第 1. 集合 1.5. 冪集合

1.5

冪集合

定義1.5.1. 【冪集合（べきしゅうごう，power set）】集合Aの部分集

合の集合をAの冪集合（べきしゅうごう）といい，2^Aであらわす．

注意 1.5.1. 冪集合の記号はいろいろある．P(A)とかP(A)とか．

定理1.5.1. （冪集合の要素の個数）

要素がm個の集合Aに対して，その冪集合は2^m個の要素（集合）からなる集合である．

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1.5. 冪集合第1. 集合 練習問題 1.5.1. A×B6=B×Aとなるような集合AとBの具体例をあげなさい．

練習問題1.5.2. 集合A，B，Cに対して，(A∩B)×C= (A×C)∩(B×C) を証明しなさい．

練習問題1.5.3. 集合A={1,3,5}に対して，2^Aを列挙法であらわしなさい．

練習問題 1.5.4. 空集合∅に対して，2^∅と2²^∅ を列挙法であらわしなさい．

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第 1. 集合 1.6. 集合族

第４講

1.6

^集合族

定義 1.6.1. 【集合族（family of sets)】ある集合Λの各要素λ∈Λに対応して，集合A_λが与えられているとき，この集合の集まり{A_λ}λ∈Λ

を，Λを添字集合（index set）とする集合族という．

Λ: ギリシャ文字のひとつ．ラムダとよむ

注意 1.6.1. 集合族と添字集合は，なんの関係もない．添字集合は単にラベ

ルをつけるだけのもの．

記号

確認：以下では，全体集合Uを一つ定めてあって，{Aλ}λ∈Λは，集合Λ を添字集合とする部分集合族をあらわす．

1.6.1

集合族の和集合・共通部分

定義1.6.2. 【集合族の和集合】

集合族{Aλ}λ∈Λの和集合とは

∪

λ∈Λ

A_λ:={x∈U | ∃λ∈Λ s.t. x∈A_λ}

例 1.6.1. Λ ={1,2}のとき，∪

λ∈Λ

A_λ=A₁∪A₂

一般には，Λは自然数とは限らないので，このように列挙するような書き方はできない．

定義1.6.3. 【集合族の共通部分】

集合族{A_λ}λ∈Λの共通部分とは

∩

λ∈Λ

Aλ:={x∈U | ∀λ∈Λ, x∈Aλ}

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1.6. 集合族第1. 集合

定理1.6.1. （集合族の和集合・共通部分の性質）

全体集合Uの部分集合族{Aλ}λ∈ΛとU の部分集合Bに対して，以下が成り立つ．

(1) (∪

λ∈Λ

Aλ

)

∪B = ∪

λ∈Λ

(Aλ∪B)

(2) (∩

λ∈Λ

Aλ

)

∩B = ∩

λ∈Λ

(Aλ∩B)

(3) (∩

λ∈Λ

Aλ

)

∪B = ∩

λ∈Λ

(Aλ∪B)

(4) (∪

λ∈Λ

Aλ

)

∩B = ∪

λ∈Λ

(Aλ∩B)

1.6.2

集合族の補集合

定理 1.6.2. 全体集合U の部分集合族{Aλ}λ∈Λに対して，次が成り立つ．

(1) (∪

λ∈Λ

Aλ

)c

= ∩

λ∈Λ

(Aλ)^c

(2) (∩

λ∈Λ

Aλ

)c

= ∪

λ∈Λ

(Aλ)^c

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第 1. 集合 1.6. 集合族

練習問題 1.6.1. n∈Nに対して，An:=

[

−1 n,1

n ]

⊂Rとするとき，

∪

n∈N

An ⊂[−1,1] =A1を証明しなさい．

練習問題 1.6.2. n∈Nに対して，A_n:=

(

−1 n,1

]

⊂Rとするとき，

∩

n∈N

An ⊃[0,1]を証明しなさい．

練習問題 1.6.3. 全体集合Uの部分集合族{Aλ}λ∈ΛとUの部分集合Bに対して，以下を証明しなさい．

(∩

λ∈Λ

Aλ

)

∩B= ∩

λ∈Λ

(Aλ∩B)

注意 1.6.2. a < bである実数aとbに対して，[a, b]は数直線上の閉区間をあらわす．つまり，

[a, b] ={x∈R|a≤x≤b} くわしくは後で

注意 1.6.3. 記号≤は 5の意味．5は世界的には余り使われていない記号

なので，この講義では≤を主に使う．「小なりイコール」と日本語では読むことが多い．「x以下」「たかだかx（at mostx）」などともいう．

注意 1.6.4. a < bである実数aとbに対して，(a, b)は数直線上の開区間をあらわす．つまり，

(a, b) ={x∈R|a < x < b} 同様に，半開区間(a, b]や[a, b)も定義する．

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1.6. 集合族第1. 集合

【余談】集合の集合？

集合族は「集合の集合」のようなもの．では，本当に「集合」？

ただし，「集合の集合」を無制限に使うのは危険！

（ラッセルのパラドックス，1902）

V :={X |X は集合は集合だろうか？

もし，これが本当に集合ならば，

Z:={X∈V |X 6∈X} は V の部分集合．つまり，集合．

さて，このZについて，Z∈Z だろうか？それとも，Z6∈Z だろうか？

（参考文献）

結城浩(著)

「数学ガールゲーデルの不完全性定理」(数学ガールシリーズ 3)

（コミック版もある）

個人的なおすすめは野矢茂樹(著)

無限論の教室(講談社現代新書)

もうひとつ，参考文献．

一昨年の３年生がゼミ発表の為に調べて書いた解説を，次のページに置いてあります．

http://www.math.chs.nihon-u.ac.jp/~ichihara/Labo/Notes/2012/3rd/0516Kiyota.pdf 正直，ちょっと難しいだろうけど，良い読み物になっていると思う．

ちなみにこの学生は，このゲーデルの不完全性定理に関して卒論を書きました．

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23

第 2 章写像の基礎と集合の濃度

この章では，まず写像について復習をして，基本をしっかり身につけるようにする．特に，全射／単射を確実に理解しよう．最後には，全単射の考え方を利用して，集合の濃度について学ぶ．

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2.1. 写像とは第 2. 写像の基礎と集合の濃度

第５講

2.1

^写像とは

定義2.1.1. 【写像（map）】

集合Xから集合Y への写像とは，Xのある要素とY のある要素との間の対応関係のこと．

注意 2.1.1. 狭い意味では「ある要素からある要素を対応させるルール（法

則）」のこと．一般には明確なルールはなくても良い（対応関係さえはっきりしていれば）（ディリクレの定義）

【写像の表し方】f :X→Y で写像fをあらわす．

写像fが要素xをf(x)に写すことをx7→f(x)とあらわす．

定義2.1.2. 【始域（source），終域（target）】

写像f :X→Y に対し，集合Xをfの始域，集合Y をfの終域という．

定義2.1.3. 【定義域（domain），値域（range）】

写像f :X →Y に対して，f による対応関係があるようなx∈X の集合をfの定義域といい，x∈Xに対してf(x)の集合をfの値域という．

注意 2.1.2. この定義からわかるように，一般には，f の定義域はf の始域

の部分集合であり，f の値域はfの終域の部分集合となる．

ただし通常は，始域と定義域は一致すると仮定しておく．このような写像を特に全域写像，そうでない写像を部分写像ということもある．

例 2.1.1. h:N→R，h(n) = 1

n−3 とすると，これは写像ではない（全域写像ではない．部分写像ではあるけれど）．例えば，始域をN− {3}とするか，

h(n) =





 1

n−3 ifn6= 3 2π ifn= 3 などとすれば写像になる．

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第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.1. 写像とは

定義2.1.4. 【関数（function）】

終域が数の集合（たとえば，RとかCとか）である写像のこと．

注意 2.1.3. 昔は「函数」とかいた．この「函（かん）」は「はこ」の意味．

注意2.1.4. おおざっぱに言ってしまえば，関数を（微積を使って）研究する

のが解析学．

終域が複素数の集合Cである関数を特に，複素関数といい，複素関数を研究するのが複素解析学（函数論もしくは関数論ともいう）．

定義2.1.5. 【写像の相等】

２つの写像f :X →Y とg:X⁰ →Y⁰に対して，

X =X⁰かつY =Y⁰，さらに，∀x∈Xに対してf(x) =g(x) が成り立つとき，fとgは等しいという．

例 2.1.2. f(x) =x²−1で定まる写像f :R→Rと，g(x) =x²−1で定まる写像g:N→Rは等しくない！なぜなら，fとgは定義域が異なるから．

関数をあらわす式だけをみないこと．式は関数ではない．

定義2.1.6. 【恒等写像（identity map）と包含写像（inclusion map）】

集合Xの恒等写像 id_X :X →Xとは，∀x∈X，id_X(x) =xで決まる写像のこと．つまり，なにも動かさない写像のこと．

一方で，X ( Y（つまり，X はY の真部分集合）のとき，包含写像

（inclusion map）iX :X →Y とは，∀x∈X，iX(x) =xで決まる写像のこと．

注意 2.1.5. これら２つの写像は等しくない．なぜなら，終域が違うから．

（始域も定義域も値域も等しいけど）．

定義2.1.7. 【制限写像（restriction map）】

写像f :X →Y とXの部分集合Aに対して，A3a7→f(a)で決まる写像A→Y を，fのAへの制限写像といい，f|Aであらわす．

つまり，f|A:A→Y，f|A(a) =f(a)となる．

注意 2.1.6. f とf|Aは始域が違うので，やっぱり異なる写像．

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2.1. 写像とは第 2. 写像の基礎と集合の濃度 練習問題 2.1.1. f(x) = 2x²−1で定義される写像f :R→Rの始域，終域，

定義域，値域を書きなさい．

練習問題 2.1.2. f(x) =xで定義されるf :{0,1} →Rと，g(x) =x²で定義されるg:{0,1} →Rが等しいことを証明しなさい．

練習問題 2.1.3. 包含写像i_Q:Q→Rと，制限写像id|Q:Q→Rは，写像として等しいことを証明しなさい．

(27)

第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.2. 像と逆像

第６講

2.2

^像と逆像

定義2.2.1. 【像（image）】

写像f :X →Y とXの要素xに対して，f(x)∈Y で決まるY の要素をfによるxの像という．

写像f :X →Y とXの部分集合Aに対して，{f(a)∈Y |a∈A}で決まるY の部分集合をf によるAの像といい，f(A)とかく．

特に，fによる定義域Xの像を，（単に）fの像といい，f(X)とかく．これはつまりf の値域のこと．

注意 2.2.1. f(A)はY の要素ではなくて部分集合であることに注意！！

定理2.2.1. A，Bを集合とし，f :A→Bを写像とする．Aの部分集

合A1，A2に対して，次が成り立つ．

(1) A1⊂A2⇒f(A1)⊂f(A2) (2) f(A₁∪A₂) =f(A₁)∪f(A₂) (3) f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2) (4) f(A1−A2)⊃f(A1)−f(A2)

定義2.2.2. 【逆像（inverse image）】写像f :X→Y とY の要素yに対して，{x∈X |y =f(x)∈Y}で決まるXの部分集合をfによるy の逆像という．記号ではf⁻¹(y)であらわす．

写像f :X →Y とY の部分集合Bに対して，{x∈X |f(x)∈B}で決まるXの部分集合をfによるBの逆像という．記号ではf⁻¹(B)であらわす．

注意 2.2.2. f⁻¹とかいても，逆写像ではない．f⁻¹(x)でひとつの記号．そして，f⁻¹(x)はXのひとつの要素ではなくて部分集合であることに注意！！

またBの逆像を考える時，Bはfの像f(X)に入っていなくても良い．例えば，y /∈f(X)のとき，f⁻¹(y) =∅となる．

(28)

2.3. 合成写像第 2. 写像の基礎と集合の濃度定理2.2.2. A，Bを集合とし，f :A→Bを写像とする．Bの部分集合B1，B₂に対して，次が成り立つ．

(1) B₁⊂B₂⇒f⁻¹(B₁)⊂f⁻¹(B₂) (2) f⁻¹(B1∪B2) =f⁻¹(B1)∪f⁻¹(B2) (3) f⁻¹(B1∩B2) =f⁻¹(B1)∩f⁻¹(B2) (4) f⁻¹(B₁−B₂) =f⁻¹(B₁)−f⁻¹(B₂)

定理 2.2.3. X，Y を集合とし，f :X →Y を写像とする．X の部分

集合A，Y の部分集合Bに対して，次が成り立つ．

(1) f⁻¹(f(A))⊃A (2) f(f⁻¹(B))⊂B

2.3

合成写像

定義2.3.1. 【合成写像（composition map）】f :X→Y とg:Y →Z という2つの写像に対し，fとgの合成写像g◦f :X →Zを，g◦f(x) :=

g(f(x))と定義する．

定理2.3.1. f :X →Y，g:Y →Z，h:Z→W とするとき，

(h◦g)◦f =h◦(g◦f)

注意 2.3.1. この定理から，(h◦g)◦fおよびh◦(g◦f)のことを，h◦g◦f と書いても大丈夫ということ．

(29)

第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.3. 合成写像 練習問題 2.3.1. f :R→R，f(x) =x²+ 2とするとき，

(1) 次の集合の像を求めなさい．

(a) A1= [0,1]

(b) A₂= (2,3]

(c) A3= (4,5)

(2) 次の集合の逆像を求めなさい．

(a) B₁= [0,1]

(b) B2= (2,3]

(c) B3= (4,5)

練習問題 2.3.2. 写像f : X →Y とし，A₁とA₂はXの部分集合とする．

このとき，次を証明しなさい．

A₁⊂A₂⇒f(A₁)⊂f(A₂)

練習問題 2.3.3. 写像f : X →Y とし，A1とA2はXの部分集合とする．

このとき，次を証明しなさい．

f(A₁−A₂)⊃f(A₁)−f(A₂)

練習問題2.3.4. f :R→R，f(x) = 2x+ 3と，g:R→R，g(x) =x²+x+ 1 について，次に答えなさい．

• g◦f，f◦g，f◦f，g◦gを式であらわしなさい．

• f◦f◦ · · · ◦f（n個の合成）を式であらわしなさい（できれば，数学的帰納法で証明しなさい）．

(30)

2.4. 単射第 2. 写像の基礎と集合の濃度

第７講

2.4

^単射

定義2.4.1. 【単射（injection, monomorphism, one-to-one map）】

写像f :X→Y が単射であるとは，∀x₁, x₂∈Xに対し，「x₁6=x₂ならばf(x1)6=f(x2)」が成り立つということ．

言い換え(1)

f が単射 ⇔ ∀x1, x2∈Xに対し，「f(x1) =f(x2)ならばx1=x2」が成り立つということ．

注意 2.4.1. この言い換えは，定義2.4.1の対偶．証明のときに良く使う．

言い換え(2)

f が単射 ⇔ ∀y∈Y, ](f⁻¹(y))≤1

注意 2.4.2. ](S)は集合Sの要素の数をあらわす

どのようにして与えられた写像が単射かどうか判断するか？

定義域が有限集合のときはすべての要素の行き先を調べる．

定義域が無限集合のときは，定義の対偶（上の言い換え(1)）を調べるとうまくことが多い．

注意 2.4.3. 単射性を調べるときは，定義域を把握しておく必要がある．つ

まり，定義域によって，単射になったりならなかったりする．

2.5

全射

定義2.5.1. 【全射（surjection, epimorphism, onto map）】

写像f : X → Y が全射であるとは，「∀y ∈ Y に対し，∃x ∈ X s.t.

y=f(x)」が成り立つということ．

言い換え

f が全射 ⇔ ∀y∈Y, ](f⁻¹(y))≥1

(31)

第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.6. 全射・単射と合成写像

2.6

全射・単射と合成写像

定理 2.6.1. X，Y，Zを集合とし，f :X →Y とg:Y →Zを2つの写像とする．

(1) f とgが単射⇒ g◦f は単射 (2) f とgが全射⇒ g◦f は全射 (3) g◦f :X →Y が単射⇒f は単射 (4) g◦f :X →Y が全射⇒gは全射

2.7

全単射

定義2.7.1. 【全単射（bijection）】

写像f :X →Y が全単射であるとは，f が単射かつ全射ということ．

言い換え

f が全単射 ⇔ ∀y∈Y, ](f⁻¹(y)) = 1

定義2.7.2. 【逆写像（inverse map）】

写像f :X →Y が全単射であるとき，∀y∈Y に対して，](f⁻¹(y)) = 1 より，y=f(x)となるx∈Xが唯一つ存在する．

従って，y7→xという対応によりY からXへの写像が定まる．

この写像をf の逆写像といい，f⁻¹:Y →Xであらわす．

定理2.7.1. 写像f :X →Y が全単射であるならば，

(1) f◦f⁻¹=idY

(2) f⁻¹◦f =idX

定理2.7.2. 2つの写像f :X →Y とg:Y →Xがあって，

f◦g=idY g◦f =idX

が成り立つならば，f もgも全単射であり，g =f⁻¹かつf =g⁻¹が成り立つ．

(32)

2.7. 全単射第 2. 写像の基礎と集合の濃度 練習問題 2.7.1. f :R→R，f(x) = 2x−1が単射であることを示しなさい．

練習問題 2.7.2. f :R→R，f(x) =|x|が全射でないことを示しなさい．

練習問題 2.7.3. 次の集合X とY の間の全単射を見つけなさい．

(1) X = (0,1)，Y =R (2) X =N，Y =Z (3) X = (0,1)，Y = [0,1]

練習問題 2.7.4. 写像f :X →Y が単射のとき，X の部分集合A1とA2に対して，次を証明しなさい．

f(A₁∩A₂) =f(A₁)∩f(A₂)

(33)

第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.8. 集合の対等と濃度

第８講

ここでは集合の“大きさ”（要素の個数）について考えてみよう．鍵となるのは全単射．これはおよそ130年前に，ドイツの数学者G.カントールによって考えはじめられた．

2.8

^{集合の対等と濃度}

2.8.1

有限集合とは

直感的な定義：有限集合とは，含まれる元の個数が有限個の集合のこと．

つまり・・・全ての元に（有限個の）番号が付けられる集合

⇒その「番号」に対して，元たちと全単射がつくれる！

定義2.8.1. 【有限集合（ﬁnite set）】

集合Xが有限集合であるとは，あるn∈Nに対して，

全単射f :{1,2,3,· · ·, n} →X が存在すること．

この自然数nを集合Xに含まれる元の個数といい，]X であらわす．

注意 2.8.1. 本当は先にNの定義をしないといけない．．．

が，ここでは，まず直感的にわかってもらうために，それは後回し．

定理2.8.1. ２つの有限集合XとY に対して，

(1) 単射f :X →Y が存在する⇔]X ≤]Y (2) 全射f :X →Y が存在する⇔]X ≥]Y (3) 全単射f :X →Y が存在する⇔ ]X=]Y 注意 2.8.2. (1)の⇒の対偶

「]X > ]Y ⇒単射f :X →Y が存在しない」

は鳩の巣原理とよばれ有名（1834年，ディリクレ）．

(34)

2.9. 可算集合と非可算集合第 2. 写像の基礎と集合の濃度

定義2.8.2. 【集合の対等（濃度が等しい）】

２つの集合XとY が対等である（濃度が等しい）とは，

全単射f :X →Y が存在すること．このとき，X ∼Y とかく．

注意 2.8.3. ここでは「集合の濃度」とはなにか，という定義は（まだ）し

ない．あくまで「濃度が等しい」ことの定義だけ．

定理2.8.2. ２つの有限集合XとY が対等であるための必要十分条件

は]X=]Y であること．

2.8.2

無限集合とは

注意2.8.4. 無限集合についても，集合が対等である（濃度が等しい）ことの

定義は，有限集合のときと同じ，つまり全単射が存在することと定義しよう．

定義2.8.3. 【無限集合（inﬁnite set）】

集合Xが無限集合であるとは，

Xとは異なるX の部分集合（つまり，Xの真部分集合）で，

Xと対等な集合が存在すること．

例 2.8.1. Nは無限集合．

注意 2.8.5. 鳩の巣原理より，有限集合は無限集合ではない．

2.9

可算集合と非可算集合

定義2.9.1. 【可算集合（countable set）・非可算集合（uncontable set）】

集合Xが可算集合であるとは，

XとNが対等である（つまり，全単射X →Nが存在する）こと．

例 2.9.1. Rは非可算集合（証明は対角線論法による）

(35)

第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.10. 濃度の比較

2.10

濃度の比較

ここでは集合の“大きさ”を比べて，集合たちを分類してみよう．

（かなり大雑把にだけど）

定義2.10.1. 【濃度の大小】

２つの集合XとY に対して，単射f :X →Y が存在するとき，

Y の濃度はXの濃度以上であるといい，]X≤]Y とかく．

定理2.10.1. ２つの集合XとY に対して，]X ≤]Y かつ]Y ≤]Xのとき，

XとY は対等である，つまり，濃度は等しい

（つまり，全単射f :X →Y が存在する）

この定理は次の定理からわかる．

定理2.10.2. ベルンシュタインの定理（1897）

２つの集合XとY に対して，２つの単射f :X →Y とg:Y →Xが存在するとき，

実は，全単射h:X→Y が存在する．

注意 2.10.1. このf とgそのものは全単射になるかわからない．証明は，f

とgから新しいhをつくり，それが全単射になることをいう．

次の定理もカントールが証明した．

この定理により，いくらでも濃度の大きな無限集合が存在することがわかる．

定理2.10.3. 任意の集合Xに対して，]X≤]2^Xである．

幾何学序論講義ノート 【集合・写像・数】