第 3 章 数とは 37
3.5 実数とは
3.5. 実数とは 第 3. 数とは
定義3.5.3. 【実数の四則演算】
2つの実数α= [{an}]とβ = [{bn}]について，
(1) 和α+βを数列{cn :=an+bn}の定める同値類[{cn}]と定義する．
(2) 差α−βを数列{dn:=an−bn}の定める同値類[{dn}]と定義する．
(3) 積αβを数列{en:=anbn}の定める同値類[{en}] と定義する．
(4) β6= 0のとき，商 α
β を次の数列{fn}の同値類[{fn}]と定義する．
fn:=
an bn
(bn6= 0) an (bn= 0)
定理3.5.2. 【四則演算の well-definedness】
(1) 上の数列{cn}，{dn}，{en}，{fn}は全て有理コーシー列になる．
(2) 有理数のコーシー列 {an}，{a0n}，{bn}．{b0n}があり，
{an} ∼ {a0n}かつ{bn} ∼ {b0n}であるとする．このとき，上のよう にして得られる数列{cn}と{c0n}は同値（つまり，{cn} ∼ {c0n}）．
{dn}と{d0n}，{en}と{e0n}，{fn}と{fn0} についても同様．
注意 3.5.7. 有理数を表す数列に対する四則演算は，これまでの有理数の四
則演算と一致する．
定理3.5.3. 【加法の性質】
(1) 実数の加法について，結合則と交換則がなりたつ．
つまり，任意の実数α，β，γに対して，次が成り立つ．
α+ (β+γ) = (α+β) +γ , α+β=β+α
(2) 0 = [{0,0,0,· · · }]は加法の単位元である．
つまり，任意の実数αに対して，0 +α=α+ 0 =α
定理3.5.4. 【加法の逆元】
(1) 実数αに対して 0−αを，−αと略記すると，−αは加法におい てαの逆元である．つまり，α+ (−α) = (−α) +α= 0 である．
(2) 実数αとβに対して，α−β =α+ (−β)が成り立つ．
第 3. 数とは 3.5. 実数とは
定理3.5.5. 【乗法の性質】
• 任意の実数α, β, γ∈R に対して，次が成り立つ．
(1) αβ=βα (2) α(βγ) = (αβ)γ (3) α(β+γ) =αβ+αγ
• 実数1は正の実数における乗法の単位元である．
つまり，任意のα∈Rに対して，α×1 = 1×α=αが成り立つ．
• 任意の実数αと実数0に対して，α×0 = 0×α= 0が成り立つ．
• 任意の実数αに対して，以下が成立．
(1) −α= (−1)×α (2) −(−α) =α
定理3.5.6. 【乗法の逆数】
ゼロでない実数αの逆数 α1 を，割り算1÷α の結果として定義する と，1
αは乗法においてαの逆数である．
つまり，α1 ×α=α×α1 = 1が成り立つ．
定義3.5.4. 【実数の大小関係】
2つの実数α= [{an}]とβ= [{bn}]について，次のように大小関係を定 義する．
• （復習）α=βが成り立つのは，それぞれの代表元（有理コーシー 列）{an}と{bn} が次をみたすとき：
∀ε >0,∃N(ε)∈Ns.t. n > N(ε)⇒ |xn−yn|< ε
（つまり，lim
n→∞|an−bn|= 0）
• α6=βかつ，ある代表元{an}と {bn}について，
∀n∈Nについてan≤bnがなりたつとき，α < βと定義する．
• α6=βかつ，ある代表元{an}と {bn}について，
∀n∈Nについてan≥bnがなりたつとき，α > βと定義する．
3.5. 実数とは 第 3. 数とは
定理3.5.7. 【実数の大小関係の性質】
実数α，β，γに対して，次が成り立つ．
• 次の3つのうち一つだけが常に成立する: α < β，α=β，α > β
• 推移律が成り立つ: α < β かつβ < γ ならばα < γ
• (1) α < β ならば α+γ < β+γ
(2) α < β かつγ >0 ならばα×γ < β×γ
定理3.5.8. 【実数の十進小数表示】任意の正の実数x∈Rに対して，
次の形の有理コーシー列{an} でx= [{an}] となるものが存在する．
an=x0+x1
10+ x2
102 +· · ·+ xn
10n, xi∈Z, 0≤xi≤9 ただしx0は，x=x0またはx > x0をみたす最大の整数．
練習問題 3.5.1. ２つの有理コーシー列{xn}と{yn}の関係{xn} ∼ {yn}を 次のように定義したとき，反射律が成り立つことを示しなさい．
∀ε >0,∃N(ε)∈Ns.t. n > N(ε)⇒ |xn−yn|< ε
練習問題 3.5.2. ２つの有理コーシー列{an}と{bn}に対して，数列{dn:=
an−bn}が有理コーシー列になることを示しなさい．
練習問題3.5.3. 有理コーシー列の同値類として実数を定義したとき，0.9999· · ·= 1となることを示しなさい．
第 3. 数とは 3.5. 実数とは
第１３講
前回の続き．実数の性質を調べよう．
注意 3.5.8. 実数に対して，その絶対値を，これまでと同様に定義すること
ができる．詳しいことは，ここでは省略．
3.5.2 実数の完備性と連続公理
定理3.5.9. 【実数の完備性（completeness）】
実数のコーシー列は必ず収束する．
すなわち，任意の実数の列{xn}がコーシー列である，つまり，
∀ε >0,∃N(ε)s.t. ∀n, n0> N(ε),|xn−xn0|< ε が成り立つとき，実数αがただ一つ定まり，次が成立する．
∀ε >0,∃N(ε)s.t. ∀n > N(ε),|xn−α|< ε
注意 3.5.9. 一般に，絶対値（ノルム）が定義されている集合において，任
意のコーシー列が収束するとき，その集合は完備である（complete）という．
定義3.5.5. 【上限（sup）と下限（inf）】
Rの部分集合をAとする．
• Aに対して「すべてのα∈Aに対してα≤x」となるようなx∈R が存在するとき，このxをAの上界という．
• Aの上界がすくなくとも一つ存在するようとき，Aは上に有界で あるという．
• Aが上に有界であるとき，Aの上界のうちで最小のもの，つまり 任意の「A の上界」λに対して，α≤λをみたすAの上界αが存 在するとき，それをAの上限（supA）という．
下界，下に有界，下限も同様に定義する．
定理3.5.10. 【実数の連続公理】
上に有界なRの部分集合Aには，必ず上限α= supA∈Rが存在する．
また，下に有界な集合Bには，必ず下限β= infB∈Rが存在する．