高階偏導関数，微分 順序交換， 定理 演習問題１

熊本大学 数理科学総合教育

高階偏導関数，微分 順序交換， 定理 演習問題１

問

1. 2

変数関数

f (x, y) =

 



 

xy(x

²

− y

²

)

x

²

+ y

²

(x, y) ̸ = (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

対 ，以下 問 答 ．

(i) b ∈ R

^．

f

_x

(0, b)

求 ．

（

Hint : b ̸ = 0

場合

f (x, b)

商 微分公式 使

x = 0

代入 求

，

b = 0

使 ． 偏微分係数 定義

f

x

(a, b) = lim

x→a

f (x, b) − f(a, b) x − a

求 ．）

(ii) f

xy

(0, 0)

求 ．（

Hint : f

xy

(0, 0)

定義 求 ．）

(iii) (i), (ii)

同様 ，

f

_yx

(0, 0)

求 ． 問

2. a, b ∈ R C

^{1 級 関数}

f(x, y)

^{対 ，}

( a ∂

∂x + b ∂

∂y )

f(x, y) = a ∂f

∂x (x, y) + b ∂f

∂y (x, y)

定 ．

f (x, y) = x

²

+ e

^y

+ sin(x + y)

，以下 問 答 ．

(i)

( ∂

∂x − 2 ∂

∂y )

f (x, y)

求 ．

(ii) (i)

^求

2

^変数関数

g(x, y)

^．

( 3 ∂

∂x + ∂

∂y )

g(x, y)

^{求 ．}

(iii) 3 ∂

²

f

∂x

²

− 5 ∂

²

f

∂x∂y − 2 ∂

²

f

∂y

^{2 求 ．}

1