偏微分方程式に対する共役勾配法の適用
下血二郎＊富田信昭＊仁木 滉＊＊沢見英男＊＊
（昭和48年11月29日受理）
Solution of the patial differential equation used the method of Conjugate Gradients．
Jiro SmMoNisHi， Nobuaki ToMiTA， Hiroshi NiKi， Hideo SAwAMi
（Received November 29， 1973）
S．O． R method is an effective iterativ・e method， which is usua11y used by using computer， for solving the differefice of ellipitic type．
In this paper， we describes that the ceefficent matrix with N−degrees for Dirichlet problem connected with the Laplacian differential equation， distingush the superiority of C． G method． ln some cases， C． G method are far better than S． O． R method using optimum accelerating factor for convergence rates and equality of numerical soltttions．
1． ま え が き
ラプラス方程式の離散近似によって得られる行列方程式
（連立一次方程式）を計算機を利用して解く場合，実用的 な解法として，過大緩和法（Succe∬ive Over−relaxation Method；S・ O・ R法）が頻繁に使用されている。
本報告書では，行列方程式の解法の一つである共役勾配 法（Conjugate Gradients Method；C． G法）が系統的な繰
り返し計算の収束を加速する方法であり，S．0．R法と同 様な巡回型の繰り返し法であるという見地から，これら二 つを比較し，C． G法がS．0． R法に比べて著しく優れてい
る場合があることがわかったので報告する。
報告書の冒頭でラプラス方程式を満たすディリクレ闘題 の離散近似が正定値対称な係数行列を持つ行列方程式とな ることから，C．G法の適用が可能となることを述べる。続 いてS．0．R法およびC．G法の概略を巡回型繰り返し法の 見地から紹介し，それらの特徴と収束性について検討を加 える。後半は，矩形領域における簡単なディリクレ問題を 取り上げて，最適加速係数を用いたS．O．R法（以後S．O．R
（ωoPt）と記す。）とC． G法との比較を行い， C． G法が優れ ている場合があることを報告する。特にディリクレ境界条 件によって解の収束に要する回数がS．0．R（ω。Pt）法のそれ
に比べて約50％減ぜられる例を紹介する。最後に，S・0・R 法の解の精度が計算される変数の順位によって変化すると いう欠点に対して，C．G法の解の精度は均一であることが わかったので，その優位性について述べる。
2．ヂィリクレ問題の離散近似化
ここではディリクレ問題の数値解を求めることを考え る。すなわち，閉じた領域で定義され，その内部で（1）式 のラプラス方程式を満たす関数％（x，y）の値を求める。
｛｝g gg一（一：sy）＋tbe．（yx221L）一．．．（x， y）＋．i，，（x，y）＝＝：o （1）
O〈X， Y〈1
領域の境界をrで表わすと，U（X，のは（1）式の微分方 程式の他に，次のディリクレ境界条件を満たさねばならな
い。
＊電気工学科
＊＊岡山理科大学応用数学科
u（x，ア）一9（x，の （x， y）∈r （2）
ただし，9（X，y）は境界r上で定義された関数である。
今，与えられた領域をFig．1に示すように正方格子状に 分割する。（1）式を満たし，さらに（2）式の境界条件を満た す関数κ（X，y）の近似値をこの内部格子点だけで求めるご とにする。そのようなU（X，y）の近似値を求める方法はい
皆
So．o
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疹。，1 9。，2
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亀。，。
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亀﹂▼ 2
9
3姻3え、よ
The finite−difference grid．
叉
くつかあるが1），5点差分方程式
4Ui，ブー（Ui＋1，ノートκi，ノ＋1＋ai＿1，ノ＋z％，ノ＿1） （3）
を適用すれば，内部格子点におけるU（X，y）の近似値の平 均値として表わすことができ，内点数に等しい差分方程式
（3）式が成立する。すなわちそれらを行列の形で表わすと（4）
式となる。
Ax＝b （4）
xは（3拭を用いて得られる関数値Ui，ゴの近似値を要素とす る解ベクトルであり，bは既知の境界値9扉から計算され る要素からなる定数項のベクトルである。また，Aは次の 形を持つ係数行列であり，この形はディリクレー問題にお いては不変なものである。
礁蓋鋸翻⑤
1二単位行列
（51式に示された係数行列は正則であり，正定値対称な行列 であることは容易に証明できる。2）したがって，正定値対 称の行列において定義されるC．G法の適用が可能となる。
3．逐次過大緩和法
（Saeeesive Over−Relaxation Methoの
方程式Ax＝・bをそれと同値なX＝＝g（X）＝Mx＋gなる 形に変形し，任意の初期値x（o）から出発して，逐次代入 x（le＋1）＝g（x（ゐ））を進めて解を求める。このような方法を 反復法とよぶ。
今，係数行列Aを対角成分のみからなる・0，左下三角行 列E，および右下三角行列Fの和
A＝D＋E十F （6）
に分解すれば，反復法の代表的な一つであるS．0．R法は次 のように表現される。
」x （le＋1）＝Dml（b−Ex（fe＋1）一Fec（k）） （7）
x（h＋1）＝x（le）＋tu（ x （h一＋1）一xCk）） ｛8）
ここで，敏々＋1）はガウス・ザイデル反復法によってk＋
1回の反復後に計算された値である。ωは加速係数とよば れ，1＜ω＜2の値で定義される。また，〔7），（8）式より X（le＋1）を消去すれば次式を得る。
x（le＋1）＝ （1＋ wD IE） rl ｛（1一 to）1一 toD−l17 ｝ x（h）
＋o（D＋oE） lb （9）
すなわち，
M（．） ＝ （1一 ．D−IE） 一1 ｛1一 to） 1一 tuD−IF｝ aO）
g＝＝ tu （D−toE） 一lb （11）
で置き換えれば，S．0．R法は反復法の一般的な形，働式で 表わすことができる。
x（le＋1）＝M（to）x（k）＋g （12）
M（ω）は一般に反復行列とよばれている。
次に解の収束の様子について考える。今，（12｝式の第k回 反復ベクFルエ㈲に対して，誤差ベクトルを
e（h）＝x−A−lb a3）
とすれば，
e（k）＝＝！1f（o）e（k 1）一M2（to）e（le−2）一・・…Mk（to）e（O） （1di
を得る。これは行列とベクトルのノルムを用いると Ii e（le）1［）11Mle（co）ir・11e（o）II le20 as）
となるから，もしe（o）が零ベクトルでないならばllM々（ω）1 はk回反復後のe（le）とe（o）のノルムの比豚矧／豚0）「1の上
界を与える。すなわち
R（Mk（o））1i−log（（1］21fle（to）U）i／k）＝一logllMk（o）ll （16）
を彦回反復の平均収束率とすれば，（16）式は各竣工の誤差ベ クトルのノルムの平均減少率を示すことになる。またleが 十分大ならば，この平均収束率は反復行列M（ω）のスペク
トル半径ρ（M（ω））を用いて㈲式と表わすことができる。
4im R（Mle （to））一 一log （M（ to）） （17）
ゐ→◎。
結局，S．0．R法においてその解の収束速度は反復行列M（ω）
のスペクトル半径を知ることによって推測できる。
4．共役勾配法
（Conjugate Gradients Method）
ディリクレ問題における係数行列A，すなわち（5）式は正 定値対称行列である。そこで，連立一次方程式
Ax ＝b （4）
に対して正値二次形式
f（x） ＝一｝ （x， Ax）一（x， b） ＋ C （18）
を考える。
一つの近似解欧々）に適当な規則に基ずく修正を加えて，
！（x（k÷1））がア（x（の）より小さくなるようなx（k＋1）を定め ることができ，かっこれの反復により真の解△一lbへ接近 することができれば，（4）式に示す連立方程式の解法とな る。勾配法はそのような方法として，次のように定義され
る。
今b第fe回反復における近似値κ㈲に対する剰余ベクト ルをr（k）とすれば，r（k）はx（k）におけるf（x）の勾配に等
しい。すなわち，
r（勧＝Ax（le）一ゐ＝grad／P（」じ）Ix一コF（le） （19＞
であるから，le回の近似値工㈲に対する修正ベクトル∠κ㈲
をx（o），x（1），…x（k）における勾配ベクトルの一次結合とし て用い，次回の近似値x（le＋1）を⑳式の形で求める。
x（le＋1）＝x（k）十zix（le）
k
＝x（k）十Xckl ・rf （k＝＝O，1，2， ・・・… ）cle，kiiO （20）
ゴ置。
この方法を一般に勾配法とよぶ。勾配法における1反復は 次の二つの手順から成る。
1）x（k）に加えるべき修正方向p㈲を一定の規則により定 める。
2）そのp（k）の方向においてf（x）が極小となる点を求め，
それをX（k＋1）とする。
修正の方向p（k）の決め方によって種々の勾配法が考えられ るが，C．G法もその代表的な一つである。
C．G法は次のアルゴリズムで遂行される。
1）任意の初期値x（o）から p（o）＝r（O）＝＝Ax（O）一b
を計算する。
2）．次の手順を繰り返す（k ・＝O，1，2，……）
κψ＋1）＝x（k）＋αlep（め
r（fe＋1）＝＝r（k）一crkAp（k）
P（fe＋1）＝ r（k＋1）＋Ble p（le）
ただしafle，βkは
・k一認翻）…魚肉；1寄））
である。
ここで，⑳式は⑳式に変形できるから k
r（々＋1）；r（le）＋ΣCk，ブ・4 r（ゴ）
ブ＝o
剰余ベクトルr（のは（27）式に表現できる。
r（fe）＝Rle（A）r（O）
（21）
22）
（23）
（24）
（25）
（ee）
（27）
邸（X）はk次の多項式であり剰余多項式とよばれる。
今，第姻近似値x（k）の誤差ベクトル⑬式を再び考える。
e（fe）＝x（k）一A lb （13）
x（o）に対する誤差ベクトルe（o）をスペクトル分解すれば，
e（o）＝Σcゴθブ （2鋤 ノ鵠1
となる。ただしvi（1酬＝1）は係数行列Aの固有値λノ（ノ＝
1，…n）に対する固有ベクトルである。〔28）式から誤差ベクト
ノレe（k）1よ
e（k）一x（k）一A−lb ＝A−1r（k）一Rle（A）Σo戸ゴ n ゴー1
＝Σcブ1〜le（λブ）こフノ （29）
ブ漏1 となる。
ここで，の巧を誤差ベクトルe（o）に対する固有値λノ のcontributionとすれば， e（le）に対するλiのcontribution はの1〜威λゴ）viであり， k回反復後の近似値κ㈲に対す る誤差ベクトルe（のは，すべての固有値のcontributionを 砺（λノ）倍したものになる。したがって，その収束の様子 を知るためには，各反復計算後に，すべての固有値λノに 対して，どのようにRle（λ ノ）が零に近づいているか知る必 要がある。
5．．実験結果および考察 5・1 係数行列Aの固有値と解の収束度について S．0．R法における解の収束速度は前述のように，反復行 列M（ω）のスペクトル半径によって決定される。加速係数 の関数となるS．0．R反復行列M（ω）のスペクトル半径はヤ コビ反復行列のスペクトル半径をパラメータとして，②図 のように表わされる。
復によって真野A−1bに到達することができる。すなわち
Rn （X） ＝O （X＝Xl， N2一 v ptn） （33）
ただし，λはAのすべて異なった実固有値である。
つまり，係数行列Aの固有方程式が重根を持つような問 題においては，解の収束の速度は速くなることが期待でき
る。
LO
Vept i
O．5 8（肘ω））
ご鋳ζ
1．0 ［．5 Uloet 2D
Fig．2 Spectral radius in S．O．R as function ot m．
o ↓ε0冨謹
一・Q
一3
一4
一5
一6
一7
C．G
⑤q冷r
鮎、，
O 10 20 30 40 50
1TERATIeN NUMER Fig．3 Comparison of S．O．R（to，pt） rnethod and C．G method for all different eigenvalues．
i
この図の示す通り，加速係数は最適加速係数（以後ω。Pt と記す。）の上，下どちらにずれてもρ（M（ω））は大となり，
解の収束速度にかなりの影響を与えることが推測できる。
一方，C．G法における解の収束速度は，その剰余多項式 轟（λゴ）をいかに速く零に近づけるかによって決定される ものであった。
今，㈱式のように係数を定めるC．G法において，その剰 余多項式は次の実関数で定義される重み関数について直交 多項式となる。
W（λ）＝Σλゴ2Cブ2δ（λ一λの （δ：デルタ関数） 圃 ゴ＝1
ここで，oゴは初期誤差ベクトルθ㊥のスペクトル分rw28）式 によって定義されたものである。すなわち剰余多項式は，
fw（X）Rk（X）Rl（）L）dX−O （k：Ntl） ｛31｝
｛30）式を満たす。ところで，重み関数ω（X）は実固有値λ1，
λ2，……Anに対してのみ零でないから，（31）式は（32）となる。
Σ λ ゴ2 c／ 1〜ん（λゴ）1〜」（λノ）＝0 （k≒e） （32）
ゴー1
したがって，直項多項式の定理から，n次の多項式Rn（λ）
は係数行列Aの異なった固有値λ1，λ2……λnに対して零と なり，丸め誤差を考慮しなければ，C．G法は高々n回の反
o o
o
Fig．4 111ustration of region and boundary condition for Dirichlet problem with all different eigenvalues．
comment； 1） order of matrix A is 322 degrees．
2） number of different eigenvalues are 322．
筆者等は最初に，N次係数行列Aの固有値が重根となら ない問題，すなわちN個の異なった固有値を持つディリク レ問題において，S．O．R（ω。Pt）法とC．G法の解の収束の様 子を反復回数に対する剰余ベクトルのノルムを観測するこ とによって比較した。その様子を（3〕図に示し，Fig．4に実
験に用いた領域の形状，および境界条件を示した。
このように，固有値が重根とならない問題に対しては，
C・G法での解の収束は一定ではなく，その速度もS・0・R
（ω。Pt）に比べて遅いことが多い。
次に，係数行列Aの固有値が重根となる問題について考 える。Fig． 5はAの固有値を（34）式によって解析的に求める ことができる矩形領域を示す。
｛＝g
λ 孔二⊥
1﹃PO孔 @Q l こ
o
CaAe（の
《誌1
o
ここではAの固有値が重根を持つ，上記二例の問題にお いて，C．G法の収束の様子をS．O．R（ω。Pt）のそれと比較し た。その結果をFig．6，7に示す。ただし，この問題では，
S．O． R法におけるt・oPtは次式によって計算できることが
0
﹁Oω＝尋﹁﹁
→
一2
一3
一4
一5
一6
一7
一8
A
QT14
9 砕
口
0
⊥po飴
o
f・e
％今
鴇
l c繊（b）
Fig．5 Two modeis used the experiments．
〉．i，」＝ 1一一ll一 （cos｝t ＋cos−IZItL）
1＄i：一｛gP−1， 111｛jS．g−Q−1 ｛34 ただし，P， Qは領域の縦，横の分割数である。
ここで，P＝・9， Q＝14の矩形領域を考えれば係数行列 Aは104次となり，固有値の数は104となるが重根は15あ
り，異なった固有値の数は89となる。同様にP＝Q−gの 正方形領域の場合はAの次数は64次となり，異なった固有 値の数は33となる。したがって，Fig．5に示す領域におけ
る問題では，その係数行列Aは複数の重根を持つことがわ かる。
O IO 20 30
1丁ERATION NUMBER Fig．6 Comparison of S．O．R （toopt） method and C．G method for rectangular models．
0
﹁OO﹁ヨ一
→
一2
一3
胸4
一5
一6
一7
一一W
一一X
ts
O 10 20 30
iTERATION NUMBER Fig．7 Comparison of S．O．R method and C．G method for square models．
わかっている。
a）oPt＝＝一奄窒撃狽撃魔撃翌?D． （35）
ここで，pamaxはヤコビ反復行列のスペクトル半径であり，
（36）式で計算される。
pmax ＝＝S一 （cosf＋cose） （36）
P，Qは圃式と同様，領域の分割数である。この時， S．O．
R（ω。Pt）反復行列M（ω。Pt）のスペクトル半径ρ（M（ω・Pt））；
λmaxは次式によって与えられる。
Nmax ＝ mllnt ［（ibmax tuopt）2−2（toopt−1）
・・…ω・酬（。＿ω。・，）・一・（・繭）い・）
Fig・5，6からわかるように， c．G法では係数行列Aの重根 の数が解の収束速度に大きく影響することは明らかであっ て，そのような場合，C． G法はS．0．R（tUePt）法に比べて，
解の収束性が優れている場合があることがわかる。特に上 記の特別な領域を除いては，S・0．R法の計算に先だって ω。Ptを正確に知ることは非常に困難であって，一般には計 算の過程において漸近的にt・ePtを求める方法が用いられ る。3），4），5）したがって，実用的なS．O．R法では加速係数 がωoPtに対して数％ずれることは度々生ずる。この事実 を考慮すれば，C．G法の収束はS．0．R法のそれに比べてさ らに速くなり，C．G法の優位性を顕著にする。（7）図にω・ρt
＝1．4903の問題において，それが上下5％ずれた場合のS，
0．R法の収束の様子をも加えて示した。境界条件はいずれ も（5）図Case（a）とした。同様に分割数P，Qを変えてS・0・R
（a）oPt）法と比較した結果を（1）表に示す。これらの結果か．
らも同様な結論を得る。
Table 1 Comparison of S．O．R （toept） methnd and C．G method for various rectangular models．
＝XJ 2 ci 2 Rk （N， ） Rl （Xi） 一＝ o （k一一X一一．1） （32）
ブー1
上式において，のは初期近似値x（o）における誤差ベクトル e（o）のスペクトル分解によって定義された定数であった。
しかもこの定数は解かれる領域の境界条件，9（X，y）に左 右されることが（28）式よりわかる。
e（o）＝x（o）一・4−1ゐ＝Σの吻 圏 」 一1
したがって境界条件によってのが零に近くなる場合が考 えられ，実質的に（32）式の項数を減ずる可能性がある。す なわち，境界条件によってC・G法の解の収束性は改善され る可能性を暗示している。
境界条件がC．G法の収束速度にどのように影響を与える か調べるために，（5）図Case（の， Case（ののように境界条 件を変えて，各反復後の剰余ベクトルのノルムの減少の様 子を（8）図に表した。領域の大きさは，P＝ Q＝：9であり，
係数行列Aの次数は64である。
1 ∩り﹁8一藝
一1
一一@2
一3
一4
一5
一6
一7
一8
slze
QxP
14 × 14 19 × 19 19 × 14 24 × 19
iteration number 一・X S．O．R （oopt）
46 65 55 75
C．G 38 55
O＼
噂︑
サ、 、 、 、、
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へ も ︑い＼︑
︑洩覧い︑
O．O￡︹ξ
O iO 20 30
1TERATION NUMBER Fig．8 Comparison of S．O．R （toopt） method and C．G rntehod for some boundary conditions．
48 65
5・2 境界条件と解の収束速度について
ここで再び重み関数w（λ）⑳式に関しての直交多項式（32）
式を考える。
一般にCase（ののように境界値を与えると， Case（a）1の 場合に比べて，同一初期近似値x（o）に対する剰余ベクトル r（o）のノルムはCase（のの方が大となる。しかし， Fig． 8の 結果はCase（のの境界件条がCase（a）の場合よりも収束速 度を著しく高め，解の収束に要する反復回数は，ほぼ50％
に減ぜられていることを示している。特にここでの実験結
果では，C．G法は10回の反復によって真弓に到達したと考 えてよい。すなわち，（32）式における指数は実質的に10近
くまで減ぜられていると考えられる。
上記の結果は，本質的に収束速度が境界条件に影響され ず，反復行列M（ω）スペクトル半径によって一意的た決定
される，S．0．R法に比べて特筆すべき利点といえる。
偏りが生ずることになる。つまりここではκNの精度に比 べてXlの精度が劣るという結果になる。
Table 3 Variation of approximated solutions for S．O．R （tuept） method and equality of approximated solutions for C．G method．
Table 2 Comparison of S．O．R （o，pt） methpd and C．G metbod for two boundary conditions； Case（a）
and Case（b）．
X1 （Xl，1）
Ut R l−9−1・fE99wggg4999ggggpat3
C．G ［O．49999999999 iteration number
size
i S・O−R （toept）
X2 （X2，1）
X156 （Xl，13） 1 X169（X13，13）
O．49999999987 O．49999999999
O．50000000000 O．49999999999
X155 （X2，12） X168（X12，13）
C．G
Q×P p・ase（a） 1・醐i・…（のi・ase （・）
・4×1引 46152；38 25
19×1例 65 174 …55 i35
と
14xgI35 139 31 ．23
『鍾。幻5』｝一石≡「≠．一露…じ38
・…g旨τ旨ゑ・一 副52
S．O．R i堰@O．30282s821i」tl） O．30282582Qltl，！11 it．G 1−6 1．一5511111｝g｛ISe302s2ss265sl，im．3022ss262s I I
O．30282582628 O．30282582628
X3 （X3，1） X154 （X3，13） X167（Xll，13）
S，O．R ［ O．21！303301461 O．2113033e4961 O．21130330513 g9．．］19：：2：＝：：：：：；1130330glnv61i O．2i1303305i610．2ii−303305i9
X4 （X4，1） i X153 （X4，14） ［ X166（XIO，13）
S．O．R j O．163290334 t51 O．16329033ept9911 O．163290338rt6
Table 2は領域の大きさを変化してCase（の，Case（b）二 種類の境界条件を与えた場合の解の収束に要する反復回数 を比較したものである。この結果からもCasee（のの境界条 件が著しくC，G法の収束を速めていることがわかる。
なお，ここでの境界条件の意味はディリクレ閻題が満た す境界上での関数値であり，（2）式で表わされる条件であ
る。
5・3解の精度の変化について
ここまでは，S・O．R法とC．G法における解の収束速度に ついて論じてきた。次にそれらの方法によって求まった近 似解の精度について，若干の考察を加える。
S．0．R法の定義式（9）式は，第海十1回の反復における解 ベクトルx（k＋ユ）の第i番目の要素Xi（le＋1）ρ近似には，そ の反復段階ですでに近似されている第i−1番目までの要
秦，すなわち，κ1ψ÷1），X2（k＋1）……κゴ（k＋1）力朝いられるこ とを示している。すなわち，二次元要素で表わせば，
xi，」・（h＋1）＝＝ xi，1・（k）＋o ｛（xi＋1，」・（le）一t−xirl，ti（k＋1）
＋xi，／ ＋1（le）＋xi，］」一1（k＋1）／4）一xi，ti（k）］ （38）
であって，例えば第k÷1回目の反復において，第1番目 の要素X1（k＋1）はいつもk回反復後の近似値工㈲によって 近似されることになり，第エV番目の要素XN（k＋1）はいつ も，k＋1回反復後の近似値κ＠＋1）によって近似されるこ とになる。結局計算される要素の順位によって解の精度に
C．G IO．163290338621 O，163290338621 O．16329033862
Table 3はFig．5Case（b）の境界値を持つディリクレ問 題の近似解の一部である。ただしP一・Q＝14でありN；169 である。この問題ではXi， XN＿i＋1（1≦i≦N）の値は等し くなると共に，Fig． 1で示す二次元座標においてはXi，dと Xi，N＿」＋1（1．＝．itt． P，1＄」一：．I Q）が等しくなり，左右対 称な解を持つ。したがって，これらの値を比較することに
よって，解の精度の変化を知ることが可能となる。
すなわち，ここでの結果では，CG法の解の精度はすべ ての解ベクトルの要素，すなわち変数Xiについて均一で．あ
り，S．O．R taの解の精度が9桁から10桁の間で変化してい ることがわかる。また，定まった順序で計算されるS．0．R 法での丸めの誤差は後位の要素に累積し，三位の要素に比 べて後位の要素の精度を劣化させる恐れがあるが，ここで の実験結果では，丸めの誤差による精度の劣化は明確に表 われていない。
このようにC．G法の解の精度が均一であることは， S．O．R 法に比べてのC．G法の利点の一つであるといえる。
ここでは，誤蓋ベクトルのノルムが最大境界値の10−7倍 となった時，解は収束したものとした。6）
6．あ と が き
S．O．R法およびC．G法が巡回型繰り返し法であるという 見地から，それらの収束性，および解の精度の変化につい
ての比較，検討を数種のディリクレ問題について行った。
その結果次のことがわかった。
1）係数行列Aの異なった固有値の数，すなわちその固有 方程式における重根の数によって，C．G法の収束速度は 大きく左右される。重根の数が多くなればなる程，その 収束は速くなり，最：適加速係数を用いたS・0・R法（S．Q．R （ω。Pt））に比べて解の収束が速くなる場合がある。
2）C．G法における解の収束はディリクレ境界条件によっ て著しく速くなる場合がある。特にFig． 5 Case（のの境 界値では，Sρ．R（ω。Pt）法に比べて解の収束に要する反 復回数は50％以上減ぜられることがわかった。
3）S。0．R法における解の精度が解ベクトルの要素すなわ ち変数の計算順位によって偏るのに対して，C．G法にお ける解の精度はすべての変数に対して均一であることが わかった。
以上，限られた問題において，S。O．R法に対するC，G法 の優位性を述べた。また，ここでは問題の大きを限定し，
比較的反復回数の少ない範囲での検討であって，繰り返し 計算特有の系統的丸め誤差の影響はほとんどないものとし た。また計算は1 ward／32bitのワーードマシンNEAC3200／
50（本校電算機室）で行ない，倍精度計算とした。本機にお ける倍精度計算は1変数48耀，有効桁数11桁である。．
なお，ここで用いたC．G法はM．Engeli等の三項回帰式
を用いる：方法である。7）
最後に本研究に協力くださった岡山理科大学恩藤哲哉氏 に感謝の意を表する。
7．文 献
1）M．E茜GELI et． aユ， Refind工terative Method for Comutation of the Solution and Eigenvalues of Self−
Adjoint Boundary Value Problems． （1959）p，p．12−23，
B工RKHAUSER， BASEL．
2）A．R．MITCHELL Co丈nputational Methods in Partial Differential Equations． （1969）p．p．102−103，」OHN
WILEY＆SONS．
3）BA．CARRE， The Determination of the Optimum Accelerating Factor for Successive Over・一relaxation．
Comput．」．，1961，4， p．73
4）H．EKULSRUD， A Practical Technique for the ト
Determination of the Optimum Re｝axation Factor of the Successive Over−Relaxation Method、 Comm．
Assoc． Comp． Math．，1961，4， P．P．184−187
5）H，NIKI， PRACTICAL TECHNIQU FOR THE SUCCESSIVE OVERRELAXATION METHOD．
Elgctron． Lett，，1971，7， p．p．173−174 6） 3），p．77
7） 1），p．33
