α∽ +6 .こ よつて定め られ る数列

赤 阪正純 (httpソ フ inupri web fc2 com) 分数型漸 化式 (Part  ^Ⅱ

例 題

条件 α

αη

_{α∽ +6 .こ} よつて定め られ る数列

π }に 対 して

(1)%=瓦 _￨っ

}の

}の

(2)(1)を

,数

}の

tぎ 詢

シフ ｀ し ^2F

それでは同じ問題を別の方法で解いてみよう

今回も, この置き換えが何を意味するのかわか りませんが, とりあえずやってみます 署t稚 んや奪…

ク

o (1)all化

式 απ■

^π +8ょ

り

両

ら α π Hピ =場 絆ノ イ

^tDリ

^,―

(2) (1) ^{よ り}

%+1+:=41π

^十

2■

ttが 備た。演 ント

4α

η

π +6)

αη

̲2αα

η

_η ‑2)

η

ら

̲ 

_2(α αη

π ‑2)

̲l 2 

^απ

αη

=:(1+み

)

=:十

ん り

磁 +1=40η

したが って

辺 の逆数 を とって

%+:= (ο

l+1,)4η ^1= (￨ケ 十 _:)・

^{42 1}

∴ け :・ ・ イ T:=7

よって ,%=α

η

^り,αη =奇 +2な ^ので

αれ =71可 +2=紆

1

α汁

う ま ヽヽ、 ヽ

■ ^13凛 ヽ

︲一に タス 付 ・

″ た

こ の %フ ム

輛 ^t式 澪 t'印 ∫ う ぞ

Ъ つ ま り ^,数 列

^{+:}は ,初} 項ε

比 ⁴

の等比数列なので

(01=所^4っ

=z4っ =与

),

=Oη よ

珍 注 厳密 には ,こ の問題 の場合 も ,α _π

あ るこ と述べ ない とい けませ んが ,ま あいいで しょう 多 注

漸 化式

^{の両辺か ら 2を 弓}

^{て式変形 し ,  両辺}

α″―

_{現 わオ ■る}

のを確認 してか ら逆数 を とってい ます

なかなか うまい方法ですが ,そ れ に しても上手 く行 き過 ぎて いる感 じが します

ヌ タ

さて ,漸 化式 の

_αη

^{を解 くのに 2通} りの方法を紹介 しました ,い ずれも「不思議な置き換え」

と「絶妙な式変形 Jで 解けていることが分か ります

しかし ,そ もそもなぜ ,夕 η

_干を ,ο η =z÷ _讐

どと置き換えたのでしょうか

んて 数字 ,ど こから出てきたんでしよう

… でもまあ理由はともか く ,  とりあえず ,な んとか解 くことができ たから ,こ れにて一件落着 としましょうかね

^…

しかし

導を見たときに「ああ ,あ の解法でやってるんだな」という意識を持つことは必要です

^式の

意味や解法の背景を全 く知 らずに解 くのと ,あ る程度 ,意 味を理解 したうえで解 くのとでは

いぶん違 う と思います

⑥

のときと同様に ,な ぜそ ういう置き換えをするのか全く知 らなければ ,今 ^一つピ ンとこないで しょう

なぜ,そ のように置き換えしたのか,そ の秘密を知 りたい人だけ ,次 のページからの話をお読みください

じ一いうかリー

tか

⁵

すぉ しだ^lす 見

3か

赤 阪正純 (httpソ フ inupri web fc2 com) _{分数型漸 化式} (Part  Ⅱ

それで は ,置 き換 えの秘密 を解説 しよう

も う一度言 い ますが ,入 試 で出題 され る場合 は必ず誘導 があ る ので

き換 えの背景 な ど知 らな くて も何 の問題 もあ りませ ん

「どうしても仕組みが知 りたい Jと い うマ ニ アな人 だ け ,強 い気合 をも って以 下の解 説 を読 み進 めて い って くだ さい

相 当 ムズイ ので覚悟 して くだ

さい

置き換えの秘密 蒻

いきなりですハ 数 型酎 ヒ式 鋪 =器 が

編

糾

という

(理

)形

,α ,β ,た

(つ

,α ,β ,た

,9,7,Sを

, 

αη

+1‑α ̲器

α

α ″

̲

ィ 場 争 幸

β

pα η

σ ̲α

(″

α″ +s)

pα

+g̲β

+s)

〆 よ ‐

こ げけ じこ の 後ら は ユ J場 僚夢

(p―

=争

=署

×

し た が っ ζこ れ たか _:争 ]者 の 形 に な る た め は

̲(p―

^{γ α}

^η―

^{― g)}

ー″β

η―

― _c)

α ″    :Fiftti:

鶏

(ク^{ー ″α}

)(α

― σ 驚

p̲γ

α

Sα

― σ

αη ―

ター ″α

ttk

芽発、 マ 青導砕〆 ズズ 人

た =郷

=掲

β =デ _≒諾

となれ ば よい

この とき

α =片 _γα   ^ぐ =→  pα ― ―″α2==sα ̲‑9 ‑  _α

_{α― 卜}

9 ‑  ^α =器

β

^=う ffテ : 

 pβ

^̲9 

^{+s)=pβ +g} 

=器

したがって

_{,α ,β}

2つ

(な

,こ

ン トとな る数

￡ lI資

,][´

_″ノ ^リ

′についての方程式 ′

=pι +gは

,も

+1=pα

+gに

おいて,απ+1と απを共 に すと置 き換 えた式 に偶然たまたま一致 して し まっている ^￨

な んと Hい 廻漸 化 式の■ ^=′ 「軒 豊 子を押 ^=か 者 争 ^]者 と いう 形眩形 でき る と

と αとβに 湘 試 の襴

「 機 軒子 において し」 と

^{に α輝 き換え試 ′ =写} _井

けば求めることができるのです

何たる偶然

たる奇跡

これが漸化式の真髄

命 _"サ ′ ″ ^f′ 2じ をく膚げ晨促ι _7rr

ヽｉｔｒｉ′′ め

次方程式になるので ,α ,β 以外に解は存在しません

つ ま り ,′ について の方程 式 ′

^{十 σ} を解 けば ,分 数 型漸化 式の変形のポイ まるとい うことです

しかも ,驚 くべきことに

Sβ

σ