ベクトル・行列の計算をしよう + 反復法で 1 次方程式

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.. .

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ベクトル・行列の計算をしよう

反復法で

次方程式

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

数値計算法

今日の目標

.

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1 1

次元

次元配列を利用してベクトル・行列の 計算ができるようになろう

.

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2

反復法を使って

次方程式の解を求めるプログ ラムを書けるようになろう

hig3.net

樋口さぶろお (数理情報学科) ベクトル・行列の計算をしよう+反復法で1次方程式数値計算法L12(2010-07-09) 1 / 16

ベクトル・行列の計算 ベクトル=1次元配列

復習

数列

次元配列

数列

は

^次元配列

^{で表現することもで} きた

1 i n t i ;

2 i n t n =10;

3 i n t x [ 1 0 ] ; /∗ x [ 0 ] , x [ 1 ] , . . . , x [ 9 ] が 使 え る ∗/ 4

5 x [ 0 ] = 2 . 0 ;

6 f o r( i =0; i<n−1; i ++){ 7 x [ i +1]=2∗x [ i ] + 1 ;

8 }

x:

配列の 名前

^配列の

インデックス

,

^添え字

x[3]:

配列の 要素

配列の

サイズ

長さ

ベクトル・行列の計算 ベクトル=1次元配列

ベクトル

次元配列

x= (x0, x1, . . .)↔ x[i]

n

次元ベクトルはサイズ

の

次元配列で

縦ベクトル横ベクトルどっちでも同じ

例えば内積は

1 d o u b l e a [ ] ={0 , 1 , 2 , 8 , 8 , 9 , 0};/∗宣言と同時に初期化するならサイズ指定不要∗/ 2 d o u b l e b [ ] ={0 , 1 , 2 , 8 , 8 , 9 , 0};

3 i n t i ; /∗ ベ ク ト ル の 成 分 番 号=配 列 の イ ン デ ッ ク ス∗/

4 i n t n =7; /∗ ベ ク ト ル の 次 元=配 列 の サ イ ズ ∗/

5 d o u b l e i n n e r = 0 . 0 ; 6

7 f o r( i =0; i<n ; i ++){ 8 i n n e r+=a [ i ]∗b [ i ] ;

9 }

10 p r i n t ( ”%f\n ” , i n n e r ) ;

ベクトル・行列の計算 ベクトル=1次元配列

行列

次元配列

A= (Aij) ↔ a[i][j] a[

^行

^列

n×m

行列は

サイズ

の

次元配列で

^行

^{上から数えて何番目}

j

列

左から数えて何番目

1 d o u b l e a [ 2 ] [ 3 ] ={{2 , 3 , 4},

2 {2 , 3 , 4} }; /∗ 2行3列 の 行 列 ∗/

3 i n t nrow =2 , mcolumn =3;

4 i n t i , j ; /∗^行, 列 の イ ン デ ッ ク ス∗/

5 f o r( i =0; i<nrow ; i ++){ /∗^{行列を出力}∗/ 6 f o r( j =0; j<mcolumn ; j ++){

7 p r i n t f ( ”%f ” , a [ i ] [ j ] ) ; /∗i行j列∗/

8 }

9 p r i n t f ( ”\n ” ) ;

10 }

横ベクトル

行列

縦ベクトル

行列

次元配列じゃないの

そう思ってもいいけど

^{次元配列で十分}

ベクトル・行列の計算 ベクトル=1次元配列

ベクトル・行列の積の成分表示

.

.

下の例はn= 3.

n×m行列A= (Aij),m次元ベクトルx= (xj),w= (wi)

.

w=Ax ^の第i^成分wi は?

.

.

.

.. .

.

.

w_i =

m−1

∑

k=0

A_ik x_k (i= 0, . . . , n−1)

だって〜



w0

w1

w2



=



A00 A01 A02 A03

A10 A11 A12 A13

A20 A21 A22 A23









 x0

x1

x2

x3





=



A00x0+A01x1+A02x2+A03x3

· · ·

· · ·





· · · のところを埋めてみよう

ベクトル・行列の計算 ベクトル=1次元配列

行列

^ベクトル

のプログラム例

1 i n t nrow =3 , mcolumn =4;

2 d o u b l e a [ 3 ] [ 4 ] ={{2 , 3 , 4 , 5},

3 {3 , 2 , 3 , 4},

4 {0 , 2 , 0 , 4}; /∗ 3行4列 の 行 列 ∗/

5 d o u b l e x [ 4 ] ={1 , 2 , 1 , 3}; /∗ 4次 元 ベ ク ト ル ∗/

6 d o u b l e w [ 3 ] ; 7 i n t i , j , k ; 8

9 f o r( i =0; i<nrow ; i ++){ 10 w [ i ] = 0 . 0 ;

11 f o r( k =0; k<mcolumn ; k++){

12 w [ i ]=w [ i ]+ a [ i ] [ k ]∗x [ k ] ;

13 }

14 }

ベクトル・行列の計算 ベクトル=1次元配列

n×n

正方行列

.

C =AB

の

成分

は

.

.

.

.. .

.

.

C_ij =

n−1

∑

k=0

A_ikB_kj



C₀₀ C₀₁ C₀₂ C10 C11 C12

C₂₀ C₂₁ C₂₂



=



A₀₀ A₀₁ A₀₂ A10 A11 A12

A₂₀ A₂₁ A₂₂







B₀₀ B₀₁ B₀₂ B10 B11 B12

B₂₀ B₂₁ B₂₂





=



A₀₀B₀₀+A₀₁B₁₀+A₀₂B₂₀ A₀₀B₀₁+A₀₁B₁₁+A₀₂B₂₁ · · · A10B00+A11B10+A12B21 · · · · · ·

· · · · · · · · ·





· · ·

のところを埋めてみよう

ベクトル・行列の計算 ベクトル=1次元配列

正方行列の積

のプログラム例

2 {2 , 0 , 9}

3 {8 , 8 , 4} }; /∗ 3^行3^{列 の 行 列} ∗/

4 d o u b l e b [ 3 ] [ 3 ] ={{3 , 3 , 4},

5 {2 , 9 , 4}

6 {6 , 3 , 4} };

7 d o u b l e c [ 3 ] [ 3 ] ; 8 d o u b l e w [ 3 ] ; 9 i n t i , j , k ; 10 i n t n =3;

11

12 f o r( i =0; i<n ; i ++){ 13 f o r( j =0; j<n ; j ++){

14 c [ i ] [ j ] = 0 . 0 ;

15 f o r( k =0; k<n ; k++){

16 c [ i ] [ j ]= c [ i ] [ j ]+ a [ i ] [ k ]∗b [ k ] [ j ] ;

17 }

18 }

19 }

ベクトル・行列の計算 ベクトル=1次元配列

1

次元

次元配列を引数にとる関数

1 d o u b l e f (d o u b l e v [ ] ){ 2 i n t i , j ;

3 f o r( i =0; i<5; i ++){

4 v [ i ] = . . . ;

5 }

6 r e t u r n 0 . 0 ;

7 }

8 9

10 d o u b l e g (d o u b l e x [ ] [ 5 ] ){ /∗サイズを省略していいのは最初のインデックスだ

け ∗/

11 i n t i , j ;

12 f o r( i =0; i<5; i ++){ 13 f o r( j =0; j<5; j ++){

14 x [ i ] [ j ] = . . . ;

15 }

16 }

17 r e t u r n 0 . 0 ;

18 }

ベクトル・行列の計算 ベクトル=1次元配列

配列と関数にまつわる

重要な情報

配列

^ポインタ

プログラミング・演習

したがって

^{で呼び出すと}

^配列

^の中身

^成分

^{が変更されて}

に返ってくる

の中での

の変更が外に影響する

配列と関数にまつわる

今回の演習では不要な情報

(

上のことがあるので必要性は高くないが

配列を返り値にすること は

^できない

配列を引数として与えただけではサイズは関数に伝わらない

^サイ

ズが可変な場合

サイズも引数として与える

グローバル変数にする

など

ベクトル・行列の計算 反復法

(

復習

非線形方程式を解くための反復法

f(x) = 0⇔x=g(x)

g(x) = x − 1

Af(x)

A6= 0

は調節する定数

漸化式

で定まる数列

^が

に収束

=⇒f(x_∗) = 0.

L06,プチテスト

ベクトル・行列の計算 反復法

連立

次方程式を解くための反復法

¨

§

¥

栗原§3.4¦

をもっと単純にしたもの

x,b: m

次元ベクトル

行列

は別の用途

未知数ベクトル

の満たす

次方程式

を考える

とおくと

この方程式は

非線形方程式の反復法と同様ののりで

と書きかえられる

g(x) = (E − _A¹M)x+ _A¹b

(E

は単位行列

はスカラー

ベクトルの漸化式

xn+1 =g(xn)

の定めるベクトルの列

が

に収束

は

次方程式の解

ベクトル・行列の計算 反復法

いつ収束するの

非線形方程式の場合

^{と関係していた}

^今回は

^{次方程式なので}

条件がもう少し詳しくわかる

x_∗

に収束する場合

x_n+1−x_∗= (E−_A¹M)(x_n−x_∗)

すなわち一般項は

xn−x_∗ = (E−_A¹M)ⁿ(x0−x_∗)

よって

行列

のすべての

固有値

の絶対値が

未満にな るようにスカラー

^{が調節できれば}

^初期値

によらずに

^に収束 する

だって

大注意

^そういう

^{が取れないような行列}

^もある

^{というかそのほう}

が普通

^例

^…

ベクトル・行列の計算 反復法

反復法ののり

in

^{疑似コード} 配列

に適当な初期値で初期化 以下反復

I x

を更新する

に

を代入する)

I |

誤差

今回の

前回の

が定数より小さければ

を抜け出す)

x

を出力

注意

わざとはっきり書いてないけど

法の収束のときみたいに

変数として

今回の

^と前回の

がいるよね

の計算のところが行列やベクトルの積だよね

大注意

の

^は

ベクトルのインデックスでなく

^数列

^ベクトル

列

の添え字

したがってプログラム中には現れない

ベクトル・行列の計算 反復法

来週の

計画

来週は予習

^復習

^問題

^次の連立

^{次方程式を}

^{拡大係数行列だけの操}

作で

の消去法

前進消去

後退消去

で解け

2x+3y+z=1 x +z=3 x −y =2

の類似問題

お知らせ

演習

ラーニングシステムの評価ページの合計にはこれまで意味 のない点数やパーセントが表示されましたが

現在は

科目 の点数

点のうち

これまでに獲得した点数を表示するよ うにしました

演習

土

の補講は自由参加

この日

が

E11,E12,E13

の課題の提出の最終チャンス

病気

公務欠席

などによる延長はありません

講義 レポート

^課題

^資料参照

ベクトル・行列の計算 反復法

ファイナルトライアル計画

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科目の成績100点中50点. 外部記憶ペーパー使用可能.別紙参照.

準備としては,まずは各回のquizを確実に解けるようになること,演習課題を心から理解す ることをお奨めします. 模範解答を作ろうプロジェクトはない予定.

現在のところの出題計画(2010-07-16に更新されます) 台形公式で数値積分しよう!

シンプソン公式で数値積分しよう! データの平均,分散,標準偏差を求めよう! 2変量データの相関係数を求めよう! 2分法で非線形方程式を解こう!

反復法で連立1次方程式や非線形方程式を解こう!(一部プチテスト範囲再出題) 連立1次方程式をGauss-Jordanの消去法計算機バージョンで解こう!

行列やベクトルを成分で計算するプログラムを書こう! ニュートン法のプログラムを書こう!(プチテスト範囲再出題) 漸化式で定義される数列akについて∑n

k=0akを求めるプログラムを書こう!(プチテス ト範囲再出題)