圧縮材の座屈

1

第１３回 圧縮材の座屈 （１０章）

• 座屈とは

• 座屈荷重

• 偏心荷重（曲げと軸力）

• 断面の核

p.145~

2

（復習）

モールの定理：数学的な共通性

荷重と応力の関係

弾性曲線法

2 2 ( ) d v M x EI dx   1 ) ( 1 C dx x M EI dx dv_{ } 

_

 2 1 ) ( 1 C x C dx dx x M EI v



  M(x) dx x dM x Q( ) () 積 分 () ) ( ) ( 2 2 x p dx x dQ dx x M d _{ } EI x M( ) ) (x p の代わりに を荷重（Z荷重）として応力図を描けば， 曲げモーメントがたわみに，せん断力がたわみ角に相当する 微分方程式を解く代わりに、応力を求める作業をすればよい



Z :Z荷重



微 分 3

（復習）

モールの定理（手順）

• 荷重により梁に生じた曲げモーメントをEIで除して

仮想荷重と考える

• この仮想荷重に対するある点での

せん断力 ⇒

たわみ角

に相当する

曲げモーメント ⇒

たわみ

に相当する

（例）単純梁の支点のたわみ角：

1 A M EI  _  _   は 図 1 B M EI  _  _   は 図

を仮想荷重と考えたときのA点の支点反力

を仮想荷重と考えたときのB点の支点反力

（復習）

モールの定理における支点条件（２）

4 P.126

◆もとの梁の支持条件

◆共役梁の支持条件

（復習）

分布荷重による全荷重および図心

5 P.129

◆分布荷重形状： n 次式の全荷重および図心位置（一般解）

: 1 h W n    全荷重 2 G X n   図心位置(大きい荷重側からの距離): 6

第１３回 圧縮材の座屈 （１０章）

• 座屈とは

• 座屈荷重

• 偏心荷重（曲げと軸力）

• 断面の核

p.145~

定規を破壊するには！？

（教科書より）

7

身近にある座屈現象・・・

（教科書より）

8

9

弾性座屈とは

• 圧縮力を増していくと、降伏する前に横に変形して

不安定になる現象

• このときの圧縮力を

「オイラー座屈荷重」

という

その特徴は・・・

– 力の方向とは異なる方向に変位

– 材料強さに無関係

– 細長さと境界条件で決まる

• 解析法・・・微分方程式法，マトリックス法，エネル

ギ－原理による近似解法（Ritz，Galerkin）

10

座屈現象（両端ピン）：微分方程式法 （１）

x v P P

ここで，圧縮力をうけて座屈を起こした状態でのつりあいを考える

たわみv は微小であると仮定

すると，vとMの関係より

EI x M dx v d () 2 2  

_{（教科書p.114）}

L

v P x

P

M(x)

一方，x の点での曲げモーメントは，

M x( ) P v

（力×距離）

2 2 2 '' 0 '' 0 d v P v P v v v k v EI EI dx       _       _  

ここに

EI P k2

（メモ） 微分方程式の一般解について

11

◆一般解を示す前にsin関数，cos関数，exp関数の特徴を確認

ここで，n階微分を Y

(n)

_で表現

(1) ( ) e e e kx kx n n kx n Y Y k k Y Y k k Y          (1) (2) 2 2 (3) 3 (4) 4 4 sin cos sin cos sin Y kx Y k kx Y k kx k Y Y k kx Y k x k Y                 (1) (2) 2 2 (3) 3 (4) 4 4 cos sin cos sin cos Y kx Y k kx Y k kx k Y Y k kx Y k kx k Y                 (2) 2 0 Y k  Y (4) 4 ₀ Y k  Y (4) 4 0 Y k  Y （↑↓方程式が異なる） (2) 2 ₀ Y k  Y （↑↓方程式が同じ） e±kx･sin(kx)， e±kx･cos(kx) が一般解 e±kx _が一般解 sin(kx)， cos(kx) が一般解 13

座屈現象（両端ピン）：微分方程式法 （２）

x v P P

L

境界条件として x0,Lにおいて v0 1 0 , 2sin 0 C C kL   



1, 2, . . . .



n k n L     2 2 2 2 cr n P EIk EI L     2 0 v k v の一般解は vC1coskx C 2sinkx 2 P k EI  _      座屈現象は C2=0 以外で発生することから sinkL0となる。 最小座屈荷重（n=1） EI L Pcr 2 2   表10.1参照

14

座屈現象（一端固定・自由端の解法）

x v P 境界条件： 意味のある解： 最小座屈荷重： 微分方程式： δ l 0 0 ( '' 0) , 0 x でM v  xlでv 2 1 0 , 2cos 0 k C kC kl     (2 1) cos 0 2 n kl k l      2 2 2 (2 ) cr P EIk EI l    kx C k kx C k v kx kC kx kC v kx C kx C v sin cos " cos sin ' sin cos 2 2 1 2 2 1 2 1         P.149では xは固定端から 15

座屈荷重の一般表示

EI

l

P

e cr 2 2





（建築では を用いる） ここに ：有効座屈長さ e

l

l

k e l  K l e l l 2 e l l  le0.7l Pcr Pcr Pcr

（節点の水平移動がない場合）

（K：有効長さ係数） K K K 16

座屈荷重の一般表示

EI

l

P

e cr 2 2





（建築では を用いる） ここに ：有効座屈長さ e

l

l

k e l  K l

（節点の水平移動がある場合）

Pcr 2 e l  l (e) 回転拘束と 固定支持 Pcr 2 2 e l l l   l K K （K：有効長さ係数） 17

演習10.1

2mm 30mm

l=300mm

プラスチック

3 2

/

10

2

N

mm

E





1) 両端ヒンジ

2) 一端固定，一端自由

3) 一端固定，一端ヒンジ

4) 両端固定

N P_cr 4.39 300 20 2000 2 2     N Pcr 1.09 600 20 2000 2 2     N Pcr 8.95 210 20 2000 2 2     N Pcr 17.5 150 20 2000 2 2     mm le300 mm le600 mm le210 mm le150 4 3 3 20 12 2 30 12 mm D b I     断面二次モーメントの 小さい方に座屈する

注意

（単位を統一）

断面図

P.159

18

座屈応力度

ここに

：断面二次半径

：有効細長比

注意！ 建築における記号：λ ただし，教科書のλとは違う

座屈は座屈応力度が小さいほうの軸周りに生じる

注意！ 建築における記号： i 2 2 2 2



















r

l

E

A

EI

l

A

P

e e cr cr







A

I

r



r

l

e

P.151

（参考） 非弾性座屈式（Johnson式）

19 SN400B⇒F=235N/mm2_⇒Λ=119.7 SM490B ⇒F=325N/mm2_⇒Λ=101.8 なお，長期許容圧縮応力度（日本建築学会） は，座屈応力度をλ≦Λ：安全率1.5～2.17， λ＞Λ：安全率2.17で除した応力度とする。

（教科書ではl

e

/r）

21

座屈荷重の例

教科書p.75 問題5.1のL材

m 3 m 4 kN 3

L

応力：

kN 3

D

D

L

3

3

5

5

D



 

D

kN

4

0

4

5

D

 

L

  

L

kN

荷重：4kN（圧縮）

境界条件：D材により拘束されるので両端ピンとする

（面外にも拘束されているとする）

m

l

_k



4

（引張）

節点に向かう矢は圧縮

節点から離れる矢は引張

（圧縮）

22

座屈荷重の例

（続き）

L材の断面を直径30mmの鋼棒（SS400：F=235N/mm

2

_）とする

4 4 39760 64 mm D I  2 2 707 4 mm D A 

圧縮応力度：

_{5.7 /} 2 707 4000 mm N A N C   

座屈応力度：

①断面二次半径を求める 4 2 4 7.5 64 4 I D D r mm A D        4000 533 7.5 e l r    2 2 5 2 2 2 / 1 . 7 533 10 05 . 2 14 . 3 mm N r l E e cr             

よって、荷重によってL材は座屈しない。

しかし、荷重が増すと降伏前に座屈する

②細長比を求める 5.7 0.8 1.0 7.1 C cr     

柱の終局応力度

σ

u

［基準強度式(10.13)］

23

P.152

ここで λ は， ＝細長比／限界細長比 （細長比パラメータ） 2 ₁ y e e y E r E r           _{ } ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 24

軸力と曲げが作用する部材の応力度

M P y I M   軸力Pが図心に 働く場合 対称軸周りに曲げモー メントMが働く場合 両方が同時に働く場合、弾性では重ね合わせられる y M P A P   y I M A P_   P（－） y 引張 引張 圧縮 圧縮 圧縮（－） 引張（＋） 引張 圧縮 M P 引張 圧縮 ＋ ＋ ＝ ＝ M y y

P.156～

25

偏心距離

図心に作用するPとMは図心からeだけ離れたPに置き換

えられる（第２回目に説明）

P M P M=Pe P e P P e P ：偏心距離 M P

P

M

e



左図の状態で，引張を 正としてσtを求め，断面 内で圧縮となる条件を求 めると， 26

断面の核

• 偏心距離によって断面内の垂直応力度分布は

異なる

• 断面内に圧縮応力度しか生じないような偏心軸

力の作用領域を断面の核という

P e P _e 引張が生じる 圧縮しか生じない 2 6 6 t Z bh h e bh A      t  0     t t Z Pe A P 

27

矩形断面の核

b y z h y軸上で z軸上で同様に 6 1 6 2 _h bh bh A Z e t y    6 b ez 6 h 6 h 6 b 6 b A B C D AB上の点Eに偏心軸力PEが作用するとすると PEはA点B点に作用する力PA、PBに分解できる PA では縁C’D’が応力度ゼロで他は圧縮応力、 PBでは縁A’D’が応力度ゼロで他は圧縮応力 となるから、E点より内側の点では引張応力は 発生しない したがって、図のひし形内部が矩形断面の核で ある E A’ B’ C’ D’ 28

円形断面の核

r 4 3 2

_,

_,

4

4

r

r

A





r

I





Z





3 2

1

4

4

Z

r

r

e

A

_r













4 r

D

2 4 3 , , 4 64 32 D D D A I Z

円形断面の核は，定義より以下のようになる。

（参考） 直径で断面性能を表すと，