算数・数学教育における「基礎・基本」の明確化のための学習対象再考 : 有意味な学習・理解の段階及び評価方法の立場から(<特集1>基礎研究「その1」「2次方程式の解の公式は基礎・基本か」)

Tokyo University of Science

NII-Electronic Library Service Tokyo _Universityof _Soienoe

算 数

・

数 学 教 育 にお ける 「基 礎

・

基 本」 の 明 確 化の た め の 学 習 対 象再 考

　 　 　

一

有

意

味 な学 習

・

理 解 の段 階お よ び評 価 方 法 の 立 場か ら

一

常 葉 学 園 大 学

・

大 学 院 　 　 鈴 木 隆

一

郎

1

．

は じ め に

　

こ こ で は

、

「

2

次

方

程 式 の

解

の 公 式 は基

礎 ・

基 本 か 」 を

検

討 す る た め の 拠 り所 と な る事 柄 を 明 らか にす る こ とを 目 的に し て

、

教 授

・

学 習 の過 程 に 焦 点 を 当て

、

実 際の 教 授

・

学 習 の場 で の学 習 対 象の考 察 を 試 み たい

。

認 知 論や 人 工知 能の 立 場か らの 検 討 も必 要 で あろ う が

、

他 に ゆ ずる 。 理 解 は論理 的に 段 階 を 追 っ て 進む もの で は な く

、

飛

躍

が あっ て

本

人 も他

者

か ら も形

（

言

語 、

図

、

数 式

、

物理 ）に し て 示 す こ と は な か な か 困難で あ る。 理 解 の段

階

と し たの は 、 説 明 す る 側に と っ て

、

説明 の 規 則 性 を持た ない と何 も 始め ら れ ない の で _、 理 解を

意

図 し た 説 明の 段 階とい うこ と で ある 。

2

．

授

業進

行 の段

階

　

明 治 時 代 初 期に

静

岡 兵

学 校

の

数 学 教

師が 日本で

最

初 に始め た と さ れ る 　 　   新 し く 学 ぶ 事 柄 の 説 明

　 　  

例 題

　 　  

練 習 問 題 　 　   応用 問 題 の 段 階 を 踏 ん で 進 める授 業 方 法は

、

今 日 の 日本の中 学

・

高 校 教 科 書に も 受け 継が れ て い る 。 小 学 校で は

、

例 えば

、

加

減

乗 除の 説 明は

、

  と  を

一

緒に し た形 で

、

具 体 的 数

値

を

使

っ て

  段

階の

説

明 を行 っ て い る

、

3

．

有 意 味 な 学 習

・

理 解 の段 階 　 本テ

ー

マ の 問 題 点 を 明 確 に する た め に 敢 えて 以下 の 具 体 的 記 述 を させ て も ら う

。

算 数

・

数 学 の ある

一

つ の 学習項 目が上 記 の

4

段 階 を

踏

ん で 教授 さ れ る 場 合 を想 定 す る。 例 え ば

、

1

次

方

程

式

の

解

法 を学ぶ と き

、

等

式

の 四 性 質 を既 知と して

、

　 　

  段 階で は

、

例 え ば

、

「パ ン 屋で の 買い 物 におい て

、

パ ンを

5

個

買

っ て

、

　 　

500 円 支 払 っ て

、

釣 り銭 を 50 円 もらっ た

。

パ ン

1

個い _{く ら か 」} の 問 題 場 　 　 面 を示 して解 決 方 法 の 必要 性 を認 識 させ

、

解 決 方 法 を

、

モ デ ル化 （言 語

　 　

化

、

物理 化

、

図 式 化

、 数 式

化 ） を 提 示 し 用 い て説 明 す る。 そ して

、

　 　  

段 階 で は 、 例 え ば 、

rl

次 方 程

式

2X

＋

3

＝

X

−

₁

_{を解 く 」 と し て} 、

　 　

解 く 過 程 を解 説 し な が ら解 を

得

る と こ ろ ま で進み、

結 果

と し て の

解

く ア 　 　ル ゴ リ ズム を示 す。 そ し て

、

　 　   段 階

で は 、 「

5X

−

2

＝

−

2X

＋

4

を 解 け」等の い くつ かの 間 題 解 き

　 　

の

練

習をする。 そ し て、

　 　

  段 階で は

、

1

次 方 程 式 を解 くこ と を

利

用 し た問 題を

解

く

練

習 をす る。

一

_方

_、

_{小 学 校 に} お い て は

、

例 え ば

、

分 数の 割 り算 の仕

方

を

学

ぶ と き

、

　 　

1

段 階で は

、

整 数の 割 り算 を 既 知 と し て

、

その型 式を分 数に 拡 張 す る。

　 　

H

段

階で は、

計 算 方

法 を図 を用い て創 り出 し

、

こ の 図を用い た 計

算

方 法

　 　

の 創ら れ る過 程に 同型 対 応 し た数 式 変 形が 行 わ れ 、 分

数

を ひ っ く り 返 し 　 　て 掛け る とい う 計 算 方 法 を 得 る

。

　 こ こ で 揚げ た よ う な 段 階 を 踏 ん だ 記 述 の教 科 書 が 検 定 教 科 書 と し て圧 倒 的 に多 く利用 さ れ て い る。 こ の こ と は

、

経 験 的に も

、

科 学 的 に も

、

今 日の 日本 に お い て は

、

標 準 的 な 「学 習

・

理 解 （説 明 ）の 段 階」 と捉 え て よ い で あ ろ う。

4 ．

評 価 方 法

　

こ こ で の 評

価

の

方

法 と は

、 選

抜を 目的と し た入 学 試 験

、

学 校 で 行 われ る定 期 試 験

、

そ し て 新 しい 単元 に 入 る にあた っ て の プ レ テ ス ト な ど を指す こ と に する 。 今日 の 試 験 の 中 身か ら

、

こ れ ら試 験は 次 の よ うに分 け ら れ るで あろ う。

一 133 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

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α 型 ；

 

や

 

の形 の 問 題 を 出 して

、

そ れ を 解 き

、

最 後の 答え を 出 す。

 

　 　 　 　 　

段 階の モ デル 化 過 程の理

解

を調べ _{る問 題 は 決 して 出 さ ない} 。

　 　 　 H

段 階の 結 果 と して の計 算 方 法を利用 す る問 題を 出 して

、

それを

　 　　　　

解

き、

答

え を 出 す。

1

段 階か ら出 発 し て

fi

段 階の 各 過 程を

踏

む こ

　 　 　 　 　

と は

決

し て

求

め な い。

　 　

β型 ：  段 階の モ デル化 過

程

の理

解

を調べ る問 題 を 出 して

、

学 習 対 象の

　 　 　 　 　

数 学 概 念の仕 組 み を 理 解 する 必 要 性を知 ら せ る。

　 　　　　

1

段

階

か ら 出 発 し て

ll

段 階の 各 過 程 を 踏み

、

学

習

対

象

の

数 学概 念

　 　 　 　 　

の仕 組み を 理

解

す る 必要 性を知 ら せ る。

　

α 型 の 試 験 が 圧 倒 的に多 数 で あ る。 入 学 試

験

の 模 擬 試 験

、

入 学

試 験 問題

で は

、

β 型 は

、

極 め て稀 で

、

無い と言 っ て も よい く らい で ある_。 例 えば

、

分 数 の

掛

け

算

の公

式 、

余

弦

定 理

、

加 法 定 理 を導 き出 す と 力丶 サ イ ン、 コ サ イ ン の 定 義 を 述 べ _{る （}

一

_{度 だけ東}

_{京 大 学}

_{で 出 題 され た） 等の 問}

_題

_が

_{頻 繁}

_{に 出}

_題

_{さ れ} る な ど とい う こ と は まずな い _。

5

，

学 習 対 象の 配 列 と基 礎

・

基 本

　

俗

に _{言 う} 「_{公 式}を覚 え る 」が

、

「公 式を 使 う」 た めの 出 発 点 と な っ て い る の で は な か ろ う か。 そ し て 、 こ の 「公 式 を 覚 える 」 は

、

α 型の

試 験

が も た ら した 教 育 の結 果 で はなか ろ う か。 「

数

学 の結 果 （公 式 ） を 利用 す る こ とがで き るか 」 が試 され て も

、

「数 学の

結

果 （公

式

） を 導き だ せ る か 」 が 試 さ れ な い わ け で ある か ら

、

学 習 者に とっ て の 「基 礎

・

基

本

の定 義 _{」 は} 「公 式を暗 記 する 」 に な っ て し まい か ね な い。

　

ある数 学 概 念 ○ を 理 解 し て そ れ を 用 い て数

学 概

念

●

を理 解 す る を

、

○→ ● と表 す とす る と

、

→ ○

　 　 　 ○

→ _● 　 　 　 ●→ ◎ 　 　 　 ◎→ ◇

　 　 　 　

◇

→ の よ う な 理 解 の 段 階となる

。 踏

ん だ段

階

を

後

で表せ ば

、

→ ○→ ●→ ◎→ ◇→ と な り

、

俗 に 言う 「教 材」 の 配 列の よ うに み える が

、  段

階

、 1 ・H

段 階 の 各 過 程や 数

学 概 念

の上 位

・

下 位 の 関 係で ある

。

した が っ _て

、

→ _の 直 近 左

側

_は

、

直 近 右 側の 学 習

・

理 解 の 出発 点で あ っ て

、

右 側は学 習

・

理 解の 目 的 で ある 。 理 解の 出 発 点 と して必 要 な 事 柄 を基

礎 ・

基 本と呼ぶ とすれ ば

、

基

礎

・

基 本は 相

対 的

に

決

定 さ れ る こ と に な る

。

6

，

教 師に よ る基

礎 ・

基 本の 明

確

化 の 必 要 性

　

学習 す る側 に と っ _ては

、

学 習を進め _る 上_で 何_を基 礎

・

基 本 _{とす る か は 重要} で ある 。 未 習 の事 柄 につ い て 、

学

習 順

序

を明

確

に する こ と は 不 可 能で あ る わ けで ある か ら

、

当 然

、

既に 知 っ て い る 立 場にある 教 師が

、

配 列 を_は っ きり さ せ る役 目 を負わ ざ る得ない 。

7

．

ま と め

　

「

2

次 方 程 式の 根の 公式」 は、 学 習 者 に と っ て相 対 的 に基 礎

・

基 本 で あ り

学

習 目 的で も ある 。 今 日 の 日本で

大

切な こ と は

、

「公

式

を 覚 え る 」 の 方 法で

飛

び 飛び の 学 習 で は な く

、

学 習 者に とっ て 「連 続」 し た仕 組 み

・

体 系と捉え る こ と の で き る 理

解

が 重

_要

だ と考 える。 筆 者の 勤 務 先 常

葉 学

園

大 学 教 育 学

部 の入 試 は

、

開 学 （昭 和

55 年 ）

以

来

英 数 国で

、

数 学 を 外 す 圧 力を 排 し て き た

。

そ して

、

入 試 問 題

5

題の内の

1

題 を

、一

部 の数 学

教

師 の 不 同 意 を 排 して

、

「正 弦 定理 を

証

明 せ よ 」

、

「対 数 の定 義 を 指 数 関 数 か ら 導 出 せ よ 」

等

の 「

俗

に 言 う公式 」 や 「定 義」 を 入

試

問 題と して 出 題 し

、

こ の 種の 問 題 を 出題 す るこ と を広 報 して い る 。

2

題 に増 や したい と思 っ て い る 。 こ の 種の 問 題 を

、

従 来 型 の公 式

利

用の 問 題に 比べ て

、

受 験 生の 多 く が回答で きて い な い とい う入 試 結 果 で ある こ と を

、

最 後 に記 して お き たい 。

一

₁₃₄

一

N工 工

一

Eleotronio _Library