基数のなす順序集合
alg-d
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2016
年
5
月
21
日
選択公理の下では，基数全体がなすクラスは「整列」されているのであった．では選択 公理がなかった場合はどうなるのであろうか? 実は「任意の順序が実現されうる」ので ある． 定理 1. (I,≤)を順序集合とする．ZFにおいて次の命題を仮定しても矛盾しない: ある 集合{Si | i ∈ I}が存在して，i, j∈ I に対して「i≤ j ⇐⇒ |Si| ≤ |Sj|」となる． 証明. permutation モデルを構成する．(I,≤) ∈ R∞(∅) を順序集合とする．単射 I ∋i7−→ {j ∈ I | j ≤ i} ∈ P(I)により(I,≤)は(P(I), ⊂)に埋め込まれるから，(P(I), ⊂)
に対して主張を証明すればよい．
|A| = |I| · ℵ0 と仮定し，A = {ain | i ∈ I, n ∈ ω} と書く．p ⊂ I に対して
Sp = {ain | i ∈ p, n ∈ ω}と置く．以下を満たすpermutationモデルV を構成すれば
よい．
• {Sp | p ⊂ I} ∈ V．
• 関数hをh(p) := Sp で定義するとh∈ V．
• p ⊂ q ⇐⇒ |Sp| ≤ |Sq|．
G := {g ∈ Aut(A) | 任意の i ∈ I に対してg(S{i}) = S{i}} として normalイデアル
Pfin(A) ⊂ P(A)から定まるpermutationモデルをV とする．
まず任意の g ∈ G に対してg(Sp) = Sp だからsym(Sp) = G，sym(h) = h である．
よって{Sp | p ⊂ I} ∈ V，h ∈ V である．
またp⊂ qならばSp ⊂ Sqだから|Sp| ≤ |Sq|となる．
p ̸⊂ q かつ|Sp| ≤ |Sq|と仮定する．単射f : Sp −→ Sq でf ∈ V となるものを取る．
ある E ∈ Pfin(A) が存在して fix(E) ⊂ sym(f)となる．i ∈ p \ q を取り，m ̸= n を 1
aim, ain ∈ E/ となるように取る．g∈ Gを g(aik) := ain (k = mのとき) aim (k = nのとき) aik (それ以外のとき) で定義するとg∈ fix(E) ⊂ sym(f)だからg(f ) = f となる． f (aim)∈ Sq だから，f (aim) = ajl と書けばj ∈ qとなりj ̸= iなのでg(ajl) = ajl で ある．一方， f (ain) = f (g(aim)) = g(f )(g(aim)) = f (aim) = ajl となるからf が単射であることに矛盾する．
参考文献
[1] Thomas J. Jech, the Axiom of Choice, Dover Books on Mathematics, 2008
