目 次
まえがき iii 第1章 微積分の名著と古典 1 1 二つの名著：高木貞治『解析概論』と藤原松三郎『数学解析』. 1 高木貞治『解析概論』のいろいろ . . . . 1 目次をもう少し . . . . 3 成立の経緯など . . . . 4 藤原松三郎『数学解析』 . . . . 5 2 古典の世界 . . . . 8 解析概論の系譜 . . . . 8 古典のいろいろ . . . . 14 第2章 実数の創造と実数の連続性 18 1 無理数を創る . . . . 18 有理数ではない実数とは . . . . 18 デデキントの切断. . . . 20 実数直線. . . . 21 単調な有界数列は収束する . . . . 23 数を語る言葉を求めて . . . . 25 直線の連続性 . . . . 27 実数の連続性を支えるもの . . . . 28 無理数を創る . . . . 30 『解析概論』の「附録1 無理数論」について. . . . 31 2 実数のいろいろ . . . . 32 厳密性を求める心. . . . 32目 次 vii 得られたものと失われたもの. . . . 33 上界と上限，下界と下限 . . . . 34 数列の極限の表記法 . . . . 37 日常語を離れる理由 . . . . 39 単調に増大する有界な変化量は収束する . . . . 41 極限と無限大数 . . . . 43 区間縮小法 . . . . 44 区間縮小法からデデキントの定理を導く . . . . 45 アルキメデスの原則 . . . . 47 実数の連続性のいろいろな表現 . . . . 48 実数の連続性のもうひとつの表現 . . . . 49 有理数のコーシー列で実数を創る . . . . 51 コーシー列の由来. . . . 53 コーシー以前の無限級数 . . . . 54 ポアンカレの言葉(1)：厳密な数学と厳密ではない数学 . . 57 ポアンカレの言葉(2)：厳密性の確保と客観性の喪失. . . . 60 3 微積分の厳密化とは . . . . 62 変数と変化量 . . . . 62 変数の関数 . . . . 65 変化しない変数 . . . . 67 連続関数とイプシロン＝デルタ論法 . . . . 69 不等式の力 . . . . 71 砲弾の軌跡 . . . . 73 論理と実在 . . . . 74 ペアノ曲線 . . . . 76 中間値の定理 . . . . 78 中間値の定理の証明 . . . . 80 連続関数の最大値と最小値 . . . . 81 微積分の厳密化とは . . . . 84 第3章 昔の微積分と今の微積分 86 1 0を0で割る. . . . 86
viii 目 次 微分商と微分係数. . . . 86 「0を0で割る」から「限りなく近づく」へ . . . . 88 関数のグラフとその接線 . . . . 90 微分商の合理化に向う . . . . 92 「微分」の導入の真意とは . . . . 94 曲線の長さとピタゴラスの定理 . . . . 95 曲線と折れ線 . . . . 98 2 変化量の微分と関数の微分 . . . 100 ロールの定理と平均値の定理. . . 100 連続関数の微分可能性 . . . 102 フーリエの宣言と厳密な微積分 . . . 104 微分の微分 . . . 106 独立変数とは何か. . . 108 等式d2y dx2 = f (x)が成立しない例. . . 109 3 フーリエ解析のはじまり . . . 110 フーリエの著作『熱の解析的理論』 . . . 110 関数と曲線 . . . 111 フーリエからディリクレへ . . . 114 フーリエ級数の係数と定積分. . . 115 4 不定積分から定積分へ. . . 117 求積法と積分法 . . . 117 原始関数の一覧表. . . 120 連続関数の桃源郷. . . 124 連続関数の定積分. . . 125 外の世界へ . . . 127 原始関数と不定積分 . . . 129 「連続関数の世界」の再構成 . . . 132 リーマン積分とルベーグ積分. . . 135 面積と定積分 . . . 138 「連続函数以外では，微分積分法はむずかしい！」 . . . 140
目 次 ix 第4章 「玲瓏なる境地」をめざして 142 1 「関数」の定義を求めて . . . 142 還元不能の3次方程式 . . . 142 ゼロより大きくもなく，ゼロより小さくもなく，ゼロに等 しくもないものとは . . . 145 ヨハン・ベルヌーイの美しい発見 . . . 147 対数のパラドックスのいろいろ . . . 154 対数のパラドックスのいろいろ（続）. . . 156 超越関数y = (−1)x. . . 157 複素解析の誕生：1745年. . . 159 複素変数の立場から実変数を統制する. . . 162 正則な解析関数 . . . 164 複素変数関数の「コーシーの和」 . . . 165 解析関数の正則性とは . . . 168 正則関数と解析関数 . . . 169 2 初等超越関数の解析性. . . 171 指数関数と三角関数 . . . 171 有理式の積分関数の逆関数(1)：指数関数 . . . 172 有理式の積分関数の逆関数(2)：正弦関数 . . . 174 オイラーの等式 . . . 177 玲瓏なる境地 . . . 178 3 解析的延長（解析接続） . . . 179 「正則性」と「解析性」をめぐって . . . 179 解析的延長（解析接続） . . . 181 自然境界と正則領域 . . . 182 単性解析関数 . . . 183 複素対数関数再論. . . 185 ガウスのアイデアによれば . . . 186 解析関数を局所的に見る . . . 188 有理型関数 . . . 190 解析関数の分岐点. . . 191 正則領域と有理型領域 . . . 192
x 目 次 あとがき 195 索 引 197 【凡例】 一．高木貞治先生の著作『解析概論』にはいろいろな版が存在しますが，本書では 『定本 解析概論』をテキストにしました．単に『解析概論』といえば『定本 解析概 論』を指しています． 『解析概論』では人名はCauchy，Riemannなどというように原語で表記されて いますが，本書では片仮名に直してコーシー，リーマンというように表記して引用 しました． 二．藤原松三郎先生の著作『数学解析第一編 微分積分学』（全2巻）は，地の文は 片仮名，人名は平仮名で表記されていますが，最近になって，現在行われている表 記にあらためた改訂新編『微分積分学―数学解析第一編』（全2巻．編著：浦川肇， 高木泉，藤原毅夫．内田老鶴圃．第1巻は2016年，第2巻は2017年刊行）が刊 行されました．本書では引用にあたってこの改訂新編を参照しました． 三．高木貞治先生の著作『近世数学史談』にもいろいろな版が存在しますが，本書 で参照したテキストは1970年に出版された共立全書（共立出版）の1冊です． 四．コーシーの『解析教程』には邦訳書『コーシー解析教程』（訳：西村重人，監 訳：高瀬正仁．みみずく舎．2011年）が存在します．本書ではこの翻訳書を参照 しました． 五．オイラーの『無限解析序説』（全2巻）にも邦訳書が存在します． 『オイラーの無限解析』（第1巻の翻訳書．訳：高瀬正仁．海鳴社．2001年） 『オイラーの解析幾何』（第2巻の翻訳書．訳：高瀬正仁．海鳴社．2005年） 本書ではこの邦訳書を参照しました． 六．デデキントの2冊の著作『連続性と無理数』，『数とは何か，何であるべきか』 については，邦訳書『数について―連続性と数の本質』（訳：河野伊三郎，岩波文 庫，1961年）を参照しました． 七．ポアンカレの言葉はエッセイ集『科学と方法』（訳：吉田洋一，岩波文庫，1953 年）から引きました． 八．コーシーの『解析教程』とオイラーの『無限解析序説』以外の古典（著作と論 文）については，参照にあたって直接原典を参照し，必要に応じて適宜訳出しま した．
