模擬実験と回帰診断

模擬実験と回帰診断

高 橋 武 則 * 楊 国 林 料

S i m u l a t i v e  E x p e r i m e n t  and R e g r e s s i o n  D i a g n o s t i c s  

T a k e n o r i  T a k a h a s h i  a n d  K o u l i n  Y  oh 

要 旨 コンビュータの発展のめざましい現在，統計教育においてパーソナルコンビュータの利用は 当たり前のこととなりつつある。そして，このことによりかつてはごく一部の人のものと言われていた 高度な解析が，多くの人に可能になってきた。中でも重回帰分析の利用の機会は飛躍的に増えている。

しかしながら，とりあえず手持ちのデータをコンビュータで処理して，そのまま結論とするケースが少 なくない。このため，得られた結論に信頼のおけないものや妥当で、ないものがしばしば登場する。本研 究では，模擬実験を用いて回帰診断を行い，重回帰分析のスムーズな導入と，回帰診断を体験学習する ことにより，重回帰分析の使いこなし方を確実に身につけるアプローチを提案し，実施した実例を紹介 する。

1 . は じ め に

重回帰分析は高度な統計手法のうちで最もよ く用いられる一つである。しかしながら，意味 のある重回帰式を得るためには回帰診断は不可 欠である。近年回帰診断の可能なソフトが多く 提供されているが，回帰診断を実際に行ってい る人の数は決して多くはない。本研究は教室内 で手軽に出来る模擬実験を用いて回帰診断を体 験学習方式で学ぶアプローチを提案し，合わせ て実施事例を紹介する。回帰診断は単なる分析 に終わらせてはならない。診断の過程で、明らか になった外れ値についてはその原因を解析し，

再発防止のための対策が必要で、ある。また，外 れ値であることが分かった場合には，そのデー タをキャンセルする。しかし，そのままではデ ータ数が減り，あるいはバランスのとれた実験 では欠測値となる。したがって，データを取り 直す必要がある。その際安易な取り直しは慎む べきで，ここでは実践的で合理的な診断とデー

*非常勤講師数理統計学

**本学助教授生体情報工学

(  4 7   ) 

タの取り直しのためのアプローチを提案し，具 体例を紹介する。

模擬体験(実技演習)により統計のもつ意味 とその有効性を実感した学生は，統計のさらに 深い理解と高度な応用のために統計理論の学習 へと進むのがよし、。有効性を実感した経験を有 する学生の勉学意欲はきわめて高し、。

2 .  

体 験 学 習 方 式 の 重 回 帰 分 析 教 育

2 . 1  

基本方針

多くの人にとって自然に学ぶことが出来かっ 実践力が養われる教育方式として，体験学習方 式がある。できれば本物を体験することが望ま

しいが，多くの場合それは費用と手間の点で困 難である。仮に可能で、あったとしても，本物に よる体験を通しての教育は，受講生の側にとっ てはしばしば苦痛になる。時聞が掛かるのと，

固有技術を理解しなければならないからであ る。このとき，模擬実験を用いて教育を実施す ることは大いに有効な方法である。

このような教育方式を設計するにあたり，そ の基本方針は以下の通りである。

( 1 )   GLM ( G r a d u a t e d  L e v e l  M e t h o d )  

とす

る。すなわち，前の実験はそれ自体が目的であ ると同時に後の実験の準備になるように設計す る。ただし，スキップが可能な場合にはスキッ プすることもある。

( 2 )  

必ず回帰診断を行い，外れ値の原因を追 求し，再発防止をはかる。

( 3 )   micro‑CDA

を基本ソフトとする。

( 4 )  

計算および作図は原則としてコンビュー タで処理し人手では行わない。

本書では計算や作図はコンピュータで行うこ とを前提に構成している。このため東京理科大 学芳賀敏郎教授の開発された

I micro‑CDAJ 

というプログラムを使用する。このプログラム はたいへん優れたプログラムであり，かつソー スプログラム(言語は

BASIC)

が公開されて いる。

2 . 2  

模提実験

本研究では模擬実験モデルとして「紙へリコ

② 

プター降下

J

(以後，降下のことを飛行と呼ぶ) を用いて，重回帰分析の実践的回帰診断のアプ ローチを展開する。このアプローチは他の模擬 実験モデ、ルで、も行うことができる。著者の開発 したオリジナルモデルには「コイン滑走」と「紙 グライダー飛行」がある。しかし今回の報告 では重回帰分析の実践的回帰診断のアプローチ そのものに焦点を合わせるので，初心者にとっ て実施の容易な紙ヘリコプターを用いる。な お，紙ヘリコプターそのものは著者のオリジナ ルで、はないが，これを用いてのカリキュラムの 構成と演習の進め方については著者が独自に創 案し設計している。

2

圃

2 . 1 6

つの説明変数

本研究では，質的変数も含む多数の説明変数 がある場合の重回帰分析を扱うために，以下に 示す6つの条件を取り上げる。各々の条件は図

2 .  1

に示している。

④ 

E E

‑

‑

‑ ‑

‑ ‑

‑ ‑ ‑ 田

‑ ‑

‑ ‑

LーらlTLI

E目 ‑

‑

‑

‑ E m  

‑ ‑

‑ ‑

E目 ‑

‑

L1h1﹁

L t

‑ ‑

‑ ‑

‑ 目

‑ ‑

Ea

‑‑

‑ ‑

‑ ‑

‑ 句

‑ ‑

E h

‑

‑ E

﹃ E

‑ ‑

E E

‑ ‑

m

‑

‑

E目

‑ ‑

J E

4︐ ﹃

E

J︐

E E

‑

‑

‑ 目

E E

‑ ‑

‑ ‑

E E

‑

‑

t‑t+BT4E 

EE

‑‑

‑ ‑

‑ ‑

E E E E  

‑ ‑

‑ ‑

!  日;;jj;;;jjjjJjji三日|二l~~

‑ E 目 E

E ‑

‑ ‑

‑

‑ B E  

E ‑

‑ ‑

lrLI‑TIT 

‑

‑ E E  

‑ ‑

‑ ‑

‑ ‑ E ‑

E E 同

‑

1F﹂﹄﹄﹁

1 ‑ ‑

‑

‑ ‑ 目 ‑

E E 田

‑ E E M E  

‑ ‑ ‑

‑ ‑ 一

E

E ‑

‑ ‑

E E 同

‑ ‑

‑ E

‑ ‑

E m

‑

‑ ‑

‑ ‑

︐ ﹃ 目 ﹂

Ed1E1

‑ E m

‑

‑‑ 田‑

‑ E E

‑

‑ ‑

‑ ‑

'TAB‑τIT 

‑E E‑

‑ ‑

‑ ‑

E E E E  

E ‑

‑ ‑

②:翼の長さ ③:翼の幅 ④:足の長さ ⑤・足の幅

:この部分は切ってはならない この部分に機体番号を記入する 図

2 . 1

機 体 の 各 部 位 の 名 称 と サ イ ズ の 定 義

図

2 . 2 翼の幅が狭い場合

図

2 . 3 翼の幅が広い場合

(  4 8   ) 

班の番号

3

班

実験の番号 2回目

機体の番号

5

号機 図

2 . 4

機 体 へ の 番 号 の 記 入 例

①  紙質

② 翼 の 長 さ

①  翼の幅

④ 足 の 長 さ

⑤ 足 の 幅

⑥ 重 さ

この実験では，機体の条件が複雑になるので，

以下のようにして機体を準備する。

(1) 機体番号を書く。

( 2 )  

用紙の上の条件欄にそれぞれの条件を記 入する。

( 3 )  

条件に合わせてマーカー(ラインマーカ ー)で切るべき線を書く。

( 4 )  

条件とマーカーが合っているかどうか別 の人がチェッグする。

(5)  1枚に3機あるので，各々の機体ごとに 分離する。(多人数で作業ができる。)

( 6 )  

マーカーの線に合わせて切る。

2 . 2 . 2  

実験上の注意

(1)  1回の飛行を 3台のストップウオッチで 計測しメジアンを採用する。

(2)  1機につき 3回飛行させて，メジアン (メジアンのメジアン)を採用する。

( 3 )  

飛行の順番は必ずランダムにする。その 方法として，紙を小さく切って番号を書いてく

じを作り，よく混ぜ、てから抜いて順番を決め る。

( 4 )  

重回帰の解析が終了するまでは，実験に 用いたすべての機体をそのままの状態で保存し ておく。このことにより，解析の途中で外れ値 や，おかしなことが見いだされた場合に，その 原因を現物に基づいて探ることができる。

( 5 )  

実験条件に不審な点があれば，条件が合 っているかどうかを実物で確認する。

( 6 )  

飛行あるいは計測に不審な点があれば，

再度飛行させて検討すあ。

(7)  検証のための実験にあたっては，対象の 実物機の複製機を作成し，これを利用すること により，実物機はできる限りその状態を保存す る。

3 .  

教育カリキュラム

本章では教育全体の構造について述べる。こ の教育のゴールは説明変数が

6

個の重回帰分析 である。そこへスムースに到達するために段階 的なカリキュラムを用意している。しかし，実 施にあたっては大きく三つのタイプで実施する

ことヵ:で、きる。

(1)  すべてのカリキュラムを実施する。

( 2 )  

いくつかのカリキュラムをスキップす る。

(3)  必要最小限のもので実施する。

本章ではカリキュラム全体の概要を紹介し，

4 

章と

5

章においては重要な実験について紹介す る。なお， "、くつかのカリキュラムの中では時 間短縮法を紹介しているが，できればこれを用 いずに正式にデータを取った方がよい。

3 . 1  

実験誤差の管理:全ての基礎

実験誤差を管理することは最も重要な基礎で ある。この実験における誤差は大きく

3

種類の 誤差(製作誤差，飛行誤差，計測誤差)に分類 できる。これらのばらつきを分解し，中でも大 きいものを低減することによって最終的に実験 誤差を十分に小さなものにしてから実験を始め なければならなし、。誤差のばらつきが大きいと 以後の実験においてしばしば次のような問題が 発生する。

( 1 )  

異常な機体を検出することができない。

( 2 )  

本来有意差のあるものが有意差がないと いう結論になる。

( 3 )  

得られた回帰式が使いものにならない。

(区聞が広くて推定が役に立たない。)

なお，ばらつきの分解にあたっては，多くのデ ータをとってヒストグラムを作成するのがよい が，少ないデータで行わざるを得ない場合も考 えられるので，正規確率紙を用いる場合につい て紹介する。

3 . 2   1

つの分布:定数項のみの回帰

一つのタイプの紙ヘリコプターを多数機作成 して飛行させたデータは，一つの正規分布に従

うことが期待される。これは，回帰分析として は定数項のみの回帰式と考えることができる。

この段階から回帰診断を行う習慣を身につける ことは重要である。また，この段階での回帰診 断は直感的にも分かりやすいので学習上の効果 も高

L

、。この場合の回帰診断では以下の

3

点を 吟味する。

(1)残差の吟味 (t値でチェック)

( 2 )  

正規性の確認(正規確率紙でチェッグ)

( 3 )  

データの独立性(ダービンワトソン比で チェック)

3 . 3   2

つの分布:1変数の回帰(単回帰分析 の基礎)

3 . 3 . 1  

質的変数が一つで水準が

2

の回帰 紙質を

2

種類用いて，同ーのデザインの紙ヘ リコプターを

n

機ずつ作成して飛行させたデ ータは，分散の等し1，、2つの正規分布に従うこ とが期待される。ただし，平均値に関しては同 じ場合もあるし異なる場合もある。実験として は平均値が異なるような紙質を用いるとよい。

このときの回帰診断では以下の点を吟味する。

[ A ]

各々の分布に関しての吟味

( 1 )

残差の吟味 (t値でチェッグ)

( 2 )  

正規性の確認(正規確率紙でチェック)

( 3 )  

データの独立性(ダービンワトソン比で チェック)

[ B ]   2

つの分布に関しての吟味 (1)  等分散

( 2 )  

質的変数が一つ

(2

水準)の回帰のもと での残差の吟味

【時間短縮法】

3 . 2

の実験の結果を利用して(こ れを第 l水準のデータとして)，これとは別の もう一つの紙質のデータをとったら両者を合わ せてこの実験とすることができる。

3 . 3 . 2  

量的変数の場合には直線回帰 重り(クリ

γ

プ)を

2

水準(第

l

水準はグリ ップ

1

個，第

2

水準はクリップ

3

個)用いて，

同ーのデザインの紙ヘリコプターを

n

機ずつ 作成して飛行させたデータは，分散の等しい2 つの正規分布に従うことが期待される。この場 合滞空時間の平均値は必ず異なり，重い場合は

(  5 0  ) 

短く軽い場合は長くなる。このときの回帰診断 では以下の点を吟味する。

[A]各々の分布に関しての吟味

(1) 残差の吟味 (t値でチェック)

( 2 )  

正規性の確認(正規確率紙でチェック)

( 3 )  

データの独立性(ダーピンワトソン比で チェック)

[B]  2つの分布に関しての吟味 (1)  等分散

( 2 )  

量的変数が一つの回帰のもとでの残差の 吟味

[ C ]

推定と確認実験

各水準の平均値を平均してクリップが

2

個の 場合の平均値を推定する。改めてn機を作成 し，クリップを

2

個付けて飛行させて平均値を 求め，確認する。

【時間短縮法】重りのみが異なるので，

n

機の 機体を lセットだけ作り，これをグリップの数 だけ変更して

3

回利用する。

3 . 4   1

変数実験:単回帰分析

3 . 4 . 1  

直線回帰(範囲が狭い場合)

3 . 4 . 1 . 1 

内挿による推定が成功する実験 翼長が

6と 1 0

の場合に対して各

n

機ずつの実 験を行い，この結果得られた回帰式で翼長

8

を 推定し，その上で確認実験を行う。

[A]量的変数が一つの回帰のもとでの残差の

吟味

(1)  t値による吟味

( 2 )  

正規確率紙による吟味

( 3 )  

時系列の観点の吟味(ダービンワトソン 比を含む)

[B]推定と確認実験

得られた回帰式に翼長

8

を代入して推定す る。推定の後で改めて翼長が

8

の

n

機を作成 して飛行させ平均値を求め，確認する。

【時間短縮法】翼長1

0

の機体が

n

機あるので，

これをカットして翼長

8

の機体を

n

機作成す る。

3 . 4 .   1 .   2 

外挿による推定が失敗する実験 すでに前の実験で翼長が

6

，

8

， 

1 0

の結果が 得られているので，このデータから求めた回帰

式を用いて翼長が

1 5

の場合の滞空時聞を推定す る。推定の後で改めて翼長が

1 5

の

n

機を作成 して飛行させ平均値を求め，確認する。この実 験によって外挿が危険であることを理解する。

【時間短縮法】この実験方法自体が時間短縮法 になっている。正式には翼長が

6

，8， 

1 0

の実 験から始めなければならないのである。

3

^省

4 . 2

曲線回帰(範囲が広い場合) すでに前の実験で翼長が

6

，8， 

1 0

の結果が 得られているので，翼長が

16

の実験のみを行 う。翼長が

6

，8， 

1 0

， 

1 6

のデータで

2

次の曲 線回帰式を求める。

この段階でも前述の回帰診断は必ず行う。以 後，回帰診断は必ず行うこととして，回帰診断 に関する記述は省略する。

この式に翼長1

5

を代入して推定する。すでに 前の実験で得られている翼長1

5

の結果と推定と の比較を行う。

【時間短縮法】この実験方法自体が大幅な時間 短縮法になっている。正式には翼長が

6

，

8

， 

1 0

， 

1 6

の実験から始め，翼長1

5

の確認実験も改 めて機体を製作して行わなければならないので ある。

3.5  2

変数実験:基本的な重回帰分析/等高 線図の作図が可能な場合

2

変数の実験の解析は等高線図を用いて行う ことができる。そして，実験の範囲が広くなけ れば，同じデータを用いて重回帰分析を行うこ とが出来る場合も少なくない。重回帰分析が適 用できれば，分析が楽にな4るとともに，回帰診 断が可能になる。したがって，等高線図を作成 して概形を確認し単純な形状であった場合には 重回帰分析を適用すべきである。しかし，範囲 をかなり広くとるともはや低次の式で近似する ことは困難になり，その場合には等高線図を用 いる方が望ましくなる。

3 . 5 . 1  

等高線図による解析

翼長と翼幅を各々

4

水準ずつ取り上げて，

1 6  

種類の紙ヘリコプターを製作し，飛行させて等 高線図を作成する。これより，指定した条件 (翼長，翼幅)のもとでの滞空時聞を予測し，

確認実験を行う。誤差が小さければ十分精度の よい推定が可能である。この場合，等高線の作 図は誤差を考慮して描くことがポイントであ る。事し誤差が十分小さくない場合には，機体 を複数作成したり，飛行を複数回試みたりし て，そのもとでの平均値を用いるようにする。

また，実験に不安(製作や飛行や計測にたまに 異常なことが起こる)を感じた場合にはメジア

ンを採用する。

3 . 5 . 2  

重回帰分析

等高線図で用いた同じデータで重回帰分析 (必ず

2

次の項まで用いる)を行い，両者の比 較をするとよい。重回帰分析を適用すると，回 帰診断が可能になり，有効な情報を手に入れる

ことができる。

3

圃

5.3

重回帰分析の適用が危険で等高線図 の方が望ましい場合

応答局面の模様が複雑に変化している場合に は重回帰分析の適用を避けなければならない。

実験条件の範囲をかなり広くとるとこの状態に なる。あえて重回帰分析を適用した場合と，等 高線図で推測した場合を比較するとよい。重回 帰分析の適用限界を知るためにも，これは一度

トライすべきである。

3 . 6   3

変数実験:重回帰分析

3.6.1 

質的変数が入った

3

変数実験

: 2

枚 の等高線図の作図が可能な場合 前節で述べた2変数(翼長と翼幅)各4水準 で1

6

機の実験を

2

種類の紙のもとで実施する。

この場合には，各々の紙ごとに等高線図で解析 するとともに，各々に対して重回帰分析も実施 する。

2

種類の紙のもとでの結果が似ている場 合には，紙質を質的変数として

3

変数の重回帰 分析を行う。この分析では3

2

機のデータがすべ て用いられる。

2

つの等高線図がおおむね同じで，平均だけ が異なるという場合には質的変数の意味が直感 的に理解できる。

3 . 6 . 2  

量的変数のみの

3

変数実験:全体を 一望する等高線図が作図できない場

A 

1=1 

3

変数がすべて量的変数の(翼長，翼幅，足 幅)の実験を行う。この場合

3

枚の等高線図で 表現することも可能であるが，作図が大変で、あ ることと，

3

枚の等高線図から全体を読みとる ことも大変なので，等高線図の作図は行わな い。したがって，最初から重回帰分析を適用す る。ただし，範囲については広くふらないよう にする。

3 . 7   6

変数実験:最終目的の重回帰分析

6

変数(紙質，翼長，翼幅，足長，足幅，重 り)の実験を行う。各々の水準を

2

水準とし，

L 3 2

の直交表を用いて割付て実施する。この実 験では変数の数が多いので，機体製作や重りの 数そして飛行の順番などを間違えないようにす るために実験の管理を十分慎重に行う必要があ る。

3 . 8  

実施方法

以上のカリキュラムのうちで最も重要な「実 験誤差の管理」と

1 6

変数実験」の具体的な実 施の方法について，前者を第

4

章で後者を第

5

章で紹介する。なお，他のカリキュラムについ ては紙数の都合により割愛する。

4 . 1  

ぱらつきの分解

実験のばらつきは大きく

3

つの要素に分解す ることができる。

σ ' T 2  = σ p 2   + σ F 2 + σ M 2 

( T o t a

l) 

( P r o d u c t i o n )  ( F l i g h t )  ( M e a s u r m e n t )  

σT2:

全体のばらつき σp2:製作のばらつき

σF 2 

:飛行のばらつき

σM2:

計測のばらつき

4 .  

1. 

1 3

種類の実験

実例で紹介する実験では，経験者が慎重に作 成して飛行したものであるため，各々のばらつ きの値は比較的小さい。

この実験では全部で1

0

機作成する。

(1)第 lの実験

σ1 2 :  n

機の機体を l回飛行

(  1

号機から

9

号機を使用)

σ12=σT 2 

_{= 昨}

2+σ i + 

(1

M2 

9

機を各

I

回飛行した結果の正規確率紙を図

4 . 1  

に示している。図より (1

1 2

の推定値は

5 . 7 ²

ニ

3 2 . 4 9

となっている。

(2) 第2の実験

σ i :

1機の機体を

n

回飛行

( 1 0

号機を使用)

σ22

ニ

σ i+ σM 2

9 9 . 9 9   9 9 . 9 5   9 9 . 9  

4 .  

実 験 誤 差 の 管 理 : 全 て の 基 礎

9 9 . 5  

以後の実験では各種の条件を変更して結果を 観測するわけであるが，同一条件のもとでの繰 り返し(製作+飛行+計測)を行った場合のば らつきは実験誤差であり，これが十分管理され ないと実験で何を調べているのかが分からなく なる。紙ヘリコプターは製作を慎重に行わない とぱらついてしまうし，とても軽くて脆弱なの で飛行方法を注意しないと飛行がばらついてし まう。計測は滞空時聞をストップウオッチで測 るので一瞬のタイミングの狂いで大きなばらつ きを生じてしまう。

実験を開始する前に，実験誤差を管理するこ とはとても重要である。

寸 ﹄ ﹁

+ 

+ 

吋

﹄T

4 ﹄ ﹁

吋﹄ ﹁

vanUμFAυAUnunUAυnununu nunud司

n NU

円dnozuA

性 向

︒

︒

︒ 守 よ

ド

1 

0 . 5   0 . 1   0 . 0 5   0 . 0 1  

128  130  132  134  136  1 3 8   1 4 0   142 

図

4 . 1 第 1

の実験の正規確率紙

(  5 2   ) 

9 9 . 9 9   9 9 . 9 5   9 9 . 9   9 9 . 5   99 

9

唱

: 2

 

II  I I I I I I I I ￨ ν  

γ  ー ーーー‑17

80  70  6

日

1~

1 

0 . 5  

ハU

A 品告

玄

唱i

︒ ︒

η ο

?  

4  α U η o  

噌i

4n

坐望

内o

唱' AA 

9血

Q υ 

唱i

AU η九ou 

噌i

n M6  

U 

の ︐4 

唱i

n0

  の

︐4 

' iF z

h υ 唱i噌E

) 0 0   (

‑

‑ n u n u  

図4

. 2 第 2

の実験の正規確率紙

l

機を

9

回飛行した結果の正規確率紙を図

4.2

に示している。図より

σ i

の推定値は4

. 92

=24.01

となっている。

( 3 )

第

3

の実験

σ 3 2 :振り子の振幅を n回計

測

σ 3 2=σM2 

時間間隔が一定でかつ真値が分かるものとし て糸と重りで、作った振り子を用いて計測誤差を 評価する。振り子のー往復の時聞を計測した

9

回の結果の正規確率紙を図

4 . 3

に示している。

図より

σ l

の推定値は4

. 6 ² = 2

1. 1

6

となってい る。なお，振り子の周期は糸の長さを

m

(メ ートノレ)単位でLとすると，次式で求めるこ とができる。

T=2π

♂疋

g=9.8 ( m ! s 2 )  

この実験では

L=0.54 (m)

で，

T =

1. 4

8   ( s ;  

秒)である。図4

. 3

より正規確率紙による平均 は1.

4 9  

(s)なので理論値に対してバイアスが ないことも分かる。また，

9

個のデータのメジ アンも1.

4 9   ( s )

である。

4 .

1.

2 

n機の

2

回 飛 行 (

1

号機

‑9

号機を再 飛行)

飛行行為は飛行時と着床時に機体にダメージ

9 9 . 9 9   9 9 . 9 5   9 9 . 9   9 9 . 5   99 

95  90 

* 

80  70  60  50  40  30  20 

山

V

1 

0 . 5  

n u 

v o  

噌i

At

v o  

 

唱i

QG F0 

41

 

AU 

Hhu 

唱i

a u 

A時A

4i

 

a υ

a n  

宝

噌i

aせ4 'i 

qa

  d坐1ム

唱4

F 0

4よ

︑ ︐

n u n U [

‑ n u n U  

図4

. 3 第 S

の実験の正規確率紙 を与える。また，飛行回数

n

が大きいと飛行 のための取扱いの中で機体の状態を変更してし まう危険が高い。そこで，

n

機の各々を

2

回飛 行させ各々の

2

回の結果の差の絶対値である範

囲

R ( R a n g e )

から

σ22=σF 2 +σM 2 

を求めることが考えられる。

σ 2

は

CR!d 2 )2= (R!

1. 1

2 8 ) 2  

で求められる。これで、求めた結果と，

1

機

n

回 飛行で、求めた結果を比較するとよい。

第

l

の実験で飛行させた

9

機を再度飛行させ て求めた結果は表

4 .1

である。

表

4 . 1より， (R!d 2 )2=4. 7 2=22. 28

となって いる。この結果は第

2

の実験より正規確率紙で 求めた値と整合している。したがって，この実 験では機体は慎重に扱われ，多数回の繰り返し

表 4 . 1 9 機 各 2

回飛行の範囲

R

機体

N o . 1 1  2  3  4  5  6  7  8  9 

I

計

l

回目 1 1 3 11 2 8  1 3 8  1 2 7  1 3 1   1 3 7  1 3 0  1 3 4  1 3 2  

2 回目 1 1 3 81 3 4  135132122131127138137 

範囲 R 1 7  6  3  5  9  6  3  4  5 1 4 8  

飛行にもかかわらず問題となるようなダメージ を受けていないと判断できる。

4 . 1 . 3  

各ぱらつきの把握

3

種類のばらつきの値は以下のようにして求 めることができる。なお，すべてを正規確率紙 から求めた値で、揃えて計算している。

σp2

ニ

σ1 2

一

σ i = 5 . 7 ² ‑4. 9 ² =2. 9 ² 

σF 2

_ニ

σ22

ー

σ l=4. 9 ² ‑4. 6 ² =

1. 

7 ²  σ _M 2 = σ l  ^{=4.6 2} 

寄与率とは各ばらつきが全体の中で占める割合 のことであり，以下のようになる。

製作のばらつきの寄与率二

2 . 9 ² / 5 . 7 ²

ニ

0 . 2 6 ( 2 6 % )  

飛行のばらつきの寄与率=1.

7 ² / 5 .  7 ² 

=0.09 (  9%) 

計測のばらつきの寄与率

=4.6 ² / 5 . 7 ²

=0.65 (65%) 

これより，計測のばらつきが問題であることが 分かる。

4 .

1.

4 

ぱらつきの低減

寄与率の大きなばらつきの低減をはかる。今 回の結果では計測のばらつきが問題である。こ れに対して以下の対策を行った。

9 9 . 9 9   9 9 . 9 5   9 9 . 9   9 9 . 5   99 

95  90 

*~可~司E司F司ー-r-引ー-，-ー←→ーー→-.-

8 0   70  6 0   5 0   4 0   3 0   2 0   1 0  

ノ^ζ

1 

0 . 5   0 . 1   0 . 0 5   0 . 0 1  

136  138  140  142  144  146  148  150 

図

4 . 4

改善された計測に関する正規確率紙

[ A J

計測に関しての対策

( 1 )   3

人がストップウオッチで同時に計測し て，メジアン(大きさの順に並べて

2

番目の値) を採用する。

この対策のもとで、振り子の実験を行ったところ 図

4 . 4

の正規確率紙の結果を得た。図より

σ'32

の推定値は

2 . 4 ²

^ニ

5 . 7 6

となっている。したがっ て，計測のばらつきが

4 . 6 ² =2

1.

1 6

から

2 . 4 ²

^ニ

5 . 7 6

になり，もとのばらつきの約

2 / 3 ( 5 . 7 6 /   2

1.

16=0.27)

へと低減することができた。し たがって，ばらつきは約

1 / 4

に低減されてい る。また，飛行においては以下の(

2 )

と

( 3 )

を，製 作に関しては(

4 )

と

( 5 )

の対策を行った。

[BJ飛行に関しての対策

( 2 )

飛行の際にカウントダウンする。(例え ば 「 さ ん に い ち は い !J) 

( 3 )  

床にお盆を置き，着床の瞬間クリップが お盆に当たり音がでるようにする。

[ C J

製作に関しての対策

( 4 )  

紙をカットする際に鉄ではなくカッター と定規を用いて正確な直線に切る。

このことは製作時聞を短縮で、きかっ紙に簸や査 みを与えない。

9 9 . 9 9   9 9 . 9 5   9 9 . 9   9 9 . 5   99 

んom

﹂ 呼

ν 

1  0 . 5  

︒AA告 噌i

A υ

a n  

ヨti 

n δ  

︒ ︒

句よ

n o   qd  

噌i

バ せ

η︒

噌i

︒ ︐

︒

61ム

ハu

n o  

噌i

06

 

04 

1 5 1 1  

aoo ハ

υ n U

図

4 . 5

改善された誤差に関する正規確率紙

(  5 4   ) 

( 5 )  

翼を一端折りつぶしてから戻して

9 0

度に するのは紙にストレスを加えることになる。こ れを避けるため，直角になっている角(フロ

γ

ピーの箱，積み木など)を用いて最初から

9 0

度 に折る。

以上の対策のもとで，改めて

9

機作成し飛符 .計測した結果の正規確率紙を図

4 . 5

に示して いる。全体のばらつきが

5 . 7 ² =32.49

から

4 . 7 ²

ニ

22.09

に な り ， も と の ば ら つ き の 約

2/3 (22.09/32.49=0.68)

へと低減することができ た。

5 .   6

変数の重回帰分析

重回帰分析のゴールとして，

6

変数の重回帰 分析を体験する必要がある。本章では，実際に 行われた重回帰分析を紹介する。なお，分析の プロセスで重要な結果を示す。また，

i m i c r o ‑ CDAJ

の使用状況を明らかにするため，各々 の分析における対象のメニューとそのなかのど のメニューを選択したかについても合わせて示 す。

5 . 1  

実験の条件と実験結果

実験で取り上げる変数とその水準を表

5 . 1

に 示す。この実験では質的変数を 1，量的変数を

5

の合計

6

変数を取り上げている。水準はいず れの変数も2であり，その幅は狭い範囲で、取っ ている。したがって，応答局面に関しては平面 近似を考えている。また，重回帰分析にあたっ

ては交互作用項を取り上げずに分析している。

5 . 2  

紙ヘリコプターの滞空時間に関する重 回帰分析の解析例

本節では

micro‑CDA

で解析した結果を要約 して示す。ここではまず実験で、得られたデータ をそのまま用いて変数選択し推定と確認実験 まで行う。その上でこの結果に基づいて次節で 団帰診断を行う。

5 . 3  

確認実験の実施

上記の解析の中で、行った予測(データを取っ た範囲の内側，すなわち内挿での予測であるこ とに注意)に対して，実際に

5

機の紙ヘリコプ ターを作り飛行させて確認した。

紙質=コピー用紙，翼長=

7

，翼幅=

6

，  足 長 さ =9， 足 幅 =4，重さ

=1

→ 予 測 値=1.67

l号機1.

6 6

， 

2

号機1.

6 3

， 

3

号機1.

6 0

， 

4 

号機1.

6 1

， 

5

号機1.

6 5

→平均値=1.63 確認の結果は予測と比較的よく整合しているこ

とが確認で、きた。

5 . 4  

残差の検討

全体としては解析はおおむね満足で、きるもの であるが，図

5 . 8

の残差で気になる機体が

5

機 ある。また，確認実験で飛行させた

5

機はすべ て予測値を下まわっている点も気になる。問題 となる機体のうち

1 5

号機と

2 5

号機はt値の絶対 値が2を越えている。また， 4号機と 8号機は t 値の絶対値が極めて

2

に近い。したがって，

この

4

機について検討してみた。

表

5 . 1 9

機各

2 回飛行の範囲 R

No. 

変数の記号 変数の内容 単位 コ ド

X 1 

紙質

種 類

①:コピー用紙 ，②:レポート用紙

2  X

2  翼の長さ

目盛り

① : 

6 

，①: 

9  3  X 3 

翼の幡

目盛り

① : 

5 

，②: 

7  4  X 4 

足の長さ

目盛り

① : 

8 

，②: 

1 0   5  X 5 

足の幅

目盛り

① : 

4 

，②: 

6  6  X 6 

重さ クリップ^P ①:クリップ

1

個，②:クリップ

2

個

Y  滞空時間 1

秒 有効数字は0

. 0 1

秒(計測最小単位)

表 5 . 2 データ表

N o .   色 よ ^{量 長 翼}

^X

^{幅 3  足}

^X

^{長 4  足}

^X

^{幅 5}  重 量 滞空時間

^{Y  飛順番行}

^備

^考

1 

①コ ①6  ①5  ①

8 

①4  ①l  1. 5

0   2 8  

2 

①コ ①6  ①5  ①

8 

②6  ②2  1. 3

0   1 6   3 

①コ ①6  ①5  ②1

0  

①4  ①l  1. 5

6   1 2   4 

①コ ①6  ①5  ②1

0  

②6  ②2  1. 

1 6   8  5 

①コ ①6 

@7 

①

8 

①4  ②2  1. 

4 7   3 0  

6 

①コ ①6 

@7 

①

8 

②6  ①l  1. 

4 9   1 4  

飛行ミスで再飛行

7 

①コ ①6 

@7 

②1

0  

①4  ②2  1. 3

3   7 

8 

①コ ①6  ②7  ②1

0  

②6  ①1  1. 5

8   1 8  

タイミングが微妙

9 

①コ ②9  ①5  ①

8 

①4  ①l  1. 8

6   4 

1 0  

①コ ①9  ①5  ①

8 

②6  ②2  1. 6

5   1 5   1 1  

①コ ②9  ①5  ②1

0  

①4  ①l  1. 8

5   2 3   1 2  

①コ ②9  ①5  ②1

0  

②6  ②2  1. 

5 9   2 5   1 3  

①コ ②9  ②7  ①

8 

①4  ②2  1. 

6 7   3 2   1 4  

①コ ②9  ②7  ①

8 

②6  ①l  1. 7

8   2 1   1 5  

①コ ②9  ②7  ②1

0   C D 4  

②2  1. 8

4   2 7   1 6  

①コ ②9  ②7  ②1

0  

①6  ①l  1. 6

7   1 7   1 7  

②レ ①6  ①5  ①

8 

①4  ①1  1. 4

7  

l 

1 8  

②レ ①6  ①5  ①

8 

②6  ②2  1. 2

6   2 4  

1 9  

②レ ①6  ①5  ②1

0  

①4  ①1  1. 4

1   1 0  

計 測 ミ ス で 再 飛 行

2 0  

②レ ①6  ①5  ②1

0   @6 

②2  1. 2

9   2 2  

2 1  

②レ ①6  ②7  ①

8 

①4  ②2  1. 2

5   9  2 2  

②レ ①6  ②7  ①

8  @6 

①1  1. 3

6   3  2 3  

②レ ①6  ②7  ②1

0  

①4  ②2  1. 3

7   1 1   2 4  

②レ ①6  ②7  ②1

0  

②6  ①1  1. 3

3   2 0  

2 5  

②レ ②9  ①5  ①

8 

①4  ①l  1. 9

3   6  ドアの開閉あり 2 6  

②レ ②9  ①5  ①

8 

②6  ②2  1. 4

3   1 3  

2 7  

②レ ②9  ①5  ②1

0  

①4  ①l  1. 8

5   5  2 8  

②レ ②9  ①5  ②1

0  

②6  ②2  1. 5

5   3 1   2 9  

②レ ②9  ②7  ①

8 

①4  ②2  1. 5

3   2 9   3 0  

②レ ②9  ②7  ①

8 

①6  ①1  1. 7

3   2  3 1  

②レ ②9  ②7  ②1

0  

①4  ②2  1. 6

1   1 9   3 2  

②レ ②9  ②7  ②1

0  

①6  ①l  1. 7

0   2 6  

(  5 6  ) 

m i c r o

‑C

DA  ( R e g r e s s i o n )  v e r s i o n  ' 9 0 . 1 0 . 2 3  by T .  HAGA ‑ ‑ D a t a  F i l e :  KAMIHERI (n=32 p=7) 9 5 ; 0 5 ; 0 7 1 3 : 1 2 : 0 5  

1  KAMI 1 6  1 6  

) L i s t

， 

F u n d .  ‑ s t a t

， 

Graph

， 

V a r .

， 

Monit

， 

Reg o r  End 

L 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2  

噌 上 司

i 1

ょ

ti

唱i噌i

噌 よ

1i

唱i噌

i n 4 n 4 n︐

u η 4 η L n︐ ︒

4

︒ ︐ ︒

L η L q o q o q a

滞空時間

7  TIME 

1.

500 

1.

300 

1.

5 6 0  

1.1

60 

1.

470 

1.

490 

1.

330 

1.

580 

1.

860 

1.

6 5 0  

1.

850 

1.

590 

1.

670 

1.

7 8 0  

1.

8 4 0  

1.

6 7 0  

1.

470 

1.

260 

1.

410 

1.

290 

1.

250 

1.

3 6 0  

1.

3 7 0  

1.

330 

1.

930 

1.

430 

1.

8 5 0  

1.

5 5 0  

1.

5 3 0  

1.

730 

1.

6 1 0  

1.

7 0 0   重さ

6  OMOS 

1.

0 0 0   2 . 0 0 0  

1.

000  2 . 0 0 0   2 . 0 0 0  

1.

0 0 0   2 . 0 0 0  

1.

0 0 0  

1.

0 0 0   2 . 0 0 0  

1.

0 0 0   2 . 0 0 0   2 . 0 0 0  

1.

0 0 0   2 . 0 0 0  

1.

0 0 0  

1.

0 0 0   2 . 0 0 0  

1.

000  2 . 0 0 0   2 . 0 0 0  

1.

0 0 0   2 . 0 0 0  

1.

0 0 0  

1.

0 0 0   2 . 0 0 0  

1.

000  2 . 0 0 0   2 . 0 0 0  

1.

0 0 0   2 . 0 0 0  

1.

000  足の幅

5  AHAB  4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 : 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0   足の長さ

4  ANAG  8 . 0 0 0   8 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   8 . 0 0 0   8 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   8 . 0 0 0   8 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   8 . 0 0 0   8 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   8 . 0 0 0   8 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   8 . 0 0 0   8 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   8 . 0 0 0   8 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   8 . 0 0 0   8 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0   翼の幅

3  THAB 

5 . 0 0 0   5 . 0 0 0   5 . 0 0 0   5 . 0 0 0   7 . 0 0 0   7 . 0 0 0   7 . 0 0 0   7 . 0 0 0   5 . 0 0 0   5 . 0 0 0   5 . 0 0 0   5 . 0 0 0   7 . 0 0 0   7 . 0 0 0   7 . 0 0 0   7 . 0 0 0   5 . 0 0 0   5 . 0 0 0   5 . 0 0 0   5 . 0 0 0   7 . 0 0 0   7 . 0 0 0   7 . 0 0 0   7 . 0 0 0   5 . 0 0 0   5 . 0 0 0   5 . 0 0 0   5 . 0 0 0   7 . 0 0 0   7 . 0 0 0   7 . 0 0 0   7 . 0 0 0   翼の長さ

2  TNAG  6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   6 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   9 . 0 0 0   紙質

ー

閲

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

臥

データのリスト

図

5 . 1

F  )List

，

Fund.stat

，

Graph

，

V a r .

，

M O I l i t

，

Regor End 

v a r i a b l e   mean  ロ l l l l l m u

口1

maxlmum  s t d .  d e v .   C .  V .   s k e w n e s s   k u r t o s i s   2TNAG  7 . 5 0 0   6 . 0 0 0   9 . 0 0 0  

1.

5 2 4   0 . 2 0 3   0 . 0 0 0   ‑2.138

本

3THAB  6 . 0 0 0   5 . 0 0 0   7 . 0 0 0  

1.

0 1 6   0 . 1 6 9   0 . 0 0 0   ‑ 2 . 1 3 8 *   4ANAG  9 . 0 0 0   8 . 0 0 0   1 0 . 0 0 0  

1.

0 1 6   0 . 1 1 3   0 . 0 0 0   ‑2.138

地

5AHAB  5 . 0 0 0   4 . 0 0 0   6 . 0 0 0  

1.

0 1 6   0 . 2 0 3   0 . 0 0 0   ‑ 2 . 1 3 8 *   60MOS 

1.

5 0 0  

1.

0 0 0   2 . 0 0 0   0 . 5 0 8   0 . 3 3 9   0 . 0 0 0   ‑ 2 . 1 3 8 *   7TIME 

1.

5 4 3  

1.1

6 0  

1.

9 3 0   0 . 2 0 7   0 . 1 3 4   0 . 1 3 2   ‑0.905  C o r r e l a t i o n  M a t r i x  

2TNAG  3THAB  4ANAG  5AHAB  60MOS  7TIME  2TNAG 

1.

0 0 0 0  

3THAB  0 . 0 0 0 0  

1.

0 0 0 0  

4ANAG  0 . 0 0 0 0   0 . 0 0 0 0  

1.

0 0 0 0  

5AHAB  0 . 0 0 0 0   0 . 0 0 0 0   0 . 0 0 0 0  

1.

0 0 0 0  

60MOS  0 . 0 0 0 0   0 . 0 0 0 0   0 . 0 0 0 0   0 . 0 0 0 0  

1.

0 0 0 0  

7TIME  0 . 7 8 3 1   0 . 0 0 7 7   0 . 0 0 1 5   ‑0.2498  ‑0.4245 

1.

0 0 0 0  

図

5 . 2 基本統計量

hust

，

F M  

S t   d f ( t )   s i g ( t )  

1.

3 3 1   3 1   0 . 2 0 7   v a r .   Se  D(S)  F  b 

OCON  7 7 . 4 9 9   7 6 . 1 6 9   %1774

.4

9 7  

1.

5 4 3   1KAMI 

1.

2 8 3   0 . 0 4 7  

1.1

0 5  

(一)

2TNAG  0 . 5 1 5   ‑0.816  4 7 . 5 6 7   ( + )   3THAB 

1.

3 3 1   ‑0.000  0 . 0 0 2   ( + )   4ANAG 

1.

3 3 1   ‑0.000  0 . 0 0 0   ( + )   5AHAB 

1.

2 4 8   0 . 0 8 3  

1.

9 9 6  

(一)

60MOS 

1.

0 9 1   ‑0.240  6 . 5 9 4  

(ー)

図

5 . 3

定数項のみの回帰

R )   Se

 ，.l

B‑&

ー

C a t .S c .

， 

C a t .  P o o l

， 

R e s i d u a l

， 

P r e d .

， 

L i s t

， 

M a t r i x  o r  End  S2 

E n t e r   Se  R 2  R* 2  R** 2  d f ( e )   s i g ( e )   2TNAG  0 . 5 1 5   6

1.

32%  60.03%  58.82%  3 0   0 . 1 3 1   v a r .   Se  D(S)  F  b 

OCON 

1.1

9 7   0 . 6 8 2   3 9 . 7 5 3   0 . 7 4 4   1KAMI  0 . 4 6 7   ‑0.047  2 . 9 3 4  

(ー)

2TNAG 

1.

3 3 1   0 . 8 1 6   4 7 . 5 6 7   0 . 1 0 6   3THAB  0 . 5 1 5   ‑0.000  0 . 0 0 4   ( + )   4ANAG  0 . 5 1 5   ‑0.000  0 . 0 0 0   ( + )   5AHAB  0 . 4 3 2   ‑0.083  5 . 5 7 9  

(一)

60MOS  0 . 2 7 5   ‑0.240  2 5 . 2 9 8  

(一)

図

5 . 4 第 1

の変数選択(翼の長さ選択)

(  5 8   )