数学演習１
No.10 2006. 6.22
変換と一次変換
担当：市原!
変換"
座標平面上の点
P(x, y)
に対して,点P’(x
!, y
!)
を1
つ対応させる規則f
を,平面の変換という.このとき, P’ =f(P)
と 表し,点P’
を「点P
の変換f
による像」という.# $
!
一次変換"
点
P(x, y)
に点P’(x
!, y
!)
を対応させる変換f
について,8 <
: x
!= ax+ by y
!= cx + dy
(ただし a, b, c, d
は定数)がなりたつとき,
f
を平面の一次変換(または,
線形変換)という.一次変換
f
に対し,この関係式の係数からできる行列A = a b c d
!
を,
f
の表現行列という.# $
問題
30
点(x, y)
を点(x
!, y
!)
に対応させる変換が次のように定められているとする.このとき,一次変換はどれかこたえなさい.(1) 8 <
: x
!= x+ 4y y
!= 5x− 2y + 1
(2) 8 <
: x
!= 3x+ y
y
!= −y (3)
8 <
: x
!= x
2+ 4y y
!= x− y
問題
31
点(x, y)
を点(x
!, y
!)
に対応させる一次変換f
が8 <
: x
!= 2x + y y
!= x− 3y
によって定められているとする.このとき,次の 点の像を求めなさい.
(1) O(0,0) (2) A(1,−2) (3) B(−3, 2)
問題
32
次の条件をみたす一次変換の表現行列を求めなさい.(1)
点(0, 1)
を点(−1,3)
に，点(1,−1)
を点(3, −4)
にうつす.(2)
点(2, 1)
を点(6, 0)
に，点(0, 3)
を点(0, 6)
にうつす.一次変換とベクトル
! "
一次変換
f
が点P
を点P’
にうつしているとき,この一次変換f
はベクトル−→
OP
をベクトル−−→
OP’
にうつしていると見なす ことができる.よって,f( −→
OP) = −−→
OP’
と表すことにして,ベクトル−−→
OP’
を一次変換f
による−→
OP
の像ということにする.# $
定理
15 (一次変換と表現行列) A
を一次変換f
の表現行列とする.x
!= f(x)
ならば,x
!= Ax (ただし, Axは行列 A
とベクトルx
の積) が成り立つ.また,この逆も成り立つ.定理
16 (一次変換の性質) f
を一次変換とし,x, y
をベクトル,α,βをスカラーとする.このときf(αx+
βy) =αf(x) +βf(y)がなりたつ.
問題
33 4 3
−1 2
!
を表現行列とする一次変換を
f
とする.次のベクトルのf
による像を求めなさい.(1) 0 3
!
(2) 2 −1
−2
!
− 4 7
!
(3)
基本ベクトルe
1= 1 0
! , e
2= 0
1
!
としたとき, 6e1
− 3e
2問題
34 x= x y
!
について平面の
1
次変換f(x) = x
!y
!!
が8 <
: x
!= 2x+ y y
!= x − y
により与えられているとする.このと き,以下の問いに答えなさい.
(1) f
の表現行列A
を求めなさい.(2) a = 2
−1
!
のfによる像を求めなさい.
(3) b = −1 3
!
とし,
