等角写像による座標変換を用いた構造物の最適位相 に関する研究
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(2) 等角写像による座標変換を用いた構造物の最適位相に関する研究 *1. 北山哲士. *2. , 山川宏. A Study on Optimum Topology Using a Coordinate Transformation. by Conformal. Mapping Satoshi KITAYAMA and Hiroshi YAMAKAWA Waseda University,Dept.of Mech.Eng.,59‑314,3‑4‑1,Ohkubo,Shinjuku‑ku Tokyo,169‑8555 Japan This paper presents a method to determine the optimum topology of 2-D elastic plane structures by making use of coordinate transformation.We use conformal mapping which is well known to be effective in two dimensional fluid mechanical,electromagnetical and elastic problems as a coordinate tranformation function.First,we examine two quantities of stresses in conformal mapped elastic problem.We show that those two quantities of stresses can satisfy the Laplace equation,and then we clarify that a correspnding same relationship between fluid mechanics and electromagnetics can be also valid in the theory of elasticity.Then we proposed a simple design method for optimum topology by making use of coordinate transformation by conformal mapping.We also proposed a method to determine of the similarity qualitatively between the obtained optimum topologies.Finally,we treated several numerical examples by the proposed method.In numerical examples,we can examine the effectiveness of the proposed method.. Key Words::Optimum Optimum topology,Coordinate transformation,Conformal mapping,Reasoning, Invariants of stress,Preliminary design,Finite Element Method,Computer Aided Analysis. 1. .. 緒. 言. で最適位相を決定していた.. しかしながら で最適位相を決定していた しかしながら,, 設計者の労 力の増大,, 解析時間の増大や見通しの悪さといった問 力の増大. 設計の流れは設計要求の把握から始まり,, 概念設計 設計の流れは設計要求の把握から始まり 概念設計,,. 題点が生じることが指摘できる.. そこで最適位相問題 題点が生じることが指摘できる. 基本設計,, 詳細設計 基本設計 詳細設計,, 生産設計と大きく５つの設計段階. が設計上流部の問題であり,, 後続の設計で修正等が加 が設計上流部の問題であり. に一般に分けることができる.. そして概念設計と基本 に一般に分けることができる. えられることを考慮すれば,, 簡単な形状における最適 えられることを考慮すれば. 設計の一部を設計上流部,, 基本設計の一部と詳細設計 設計の一部を設計上流部 基本設計の一部と詳細設計,,. 位相と複雑な形状における最適位相の類似性があれば. 生産設計を設計下流部と言うことができる.. 最適設計 生産設計を設計下流部と言うことができる. , これらの問題点は簡単な形状における最適位相設計. は従来,, 主に設計の下流部で行われており は従来 主に設計の下流部で行われており,, 細部の寸法. を行うことで解消できるものと考えることができる.. などを決定するために行われていた.. しかし などを決定するために行われていた しかし,, 近年のコ. そこでこれまで筆者等の研究においては形態学の考え. ンピュータのハードウェア・ソフトウェアの急速な発. 方を参考にして研究を展開した. （３）. .. 達に伴う解析技術,, 遺伝的アルゴリズムなどに代表さ 達に伴う解析技術. 形態学は生物学の一分野である.. 個々の形の正確な 形態学は生物学の一分野である. れる組合せや優劣順位の最適化のアルゴリズムの発達. 定義よりもむりろ関連した形との比較や検討すること. により,, 設計上流部に対して数値計算的なアプローチ により. を形態学では対象として扱う.. ある形を基本の形ある を形態学では対象として扱う. が可能になり,, 最 適 設 計 は 設 計 上 流 部 で も 可 能 に な り が可能になり. いは比較の形として採用し,, 例えば他の形をその変形 いは比較の形として採用し. （１）. つつある. .. で説明することが行われるが,, これには数学的手法 で説明することが行われるが これには数学的手法,, 具. 最適位相問題は構造物の合理的な位相形態を求める. 体的には座標変換が用いられる.. 形態学者の 体的には座標変換が用いられる 形態学者のDD ・トムソ. 問題,, つまり構造物の離散的及び連続的な基本的レイ 問題. ンは生物の形の類似性に着目し,, 座標変換により ンは生物の形の類似性に着目し 座標変換により,, ある. アウトを決定する問題として近年広く研究されている. 基本形状から類似形状を表現できることを示した.. 例 基本形状から類似形状を表現できることを示した. （２）. . 従来 従来,, 複雑な形状をした最適位相を求める際は 複雑な形状をした最適位相を求める際は,, こ. の複雑な形状について直接解析し,, 最適化を行うこと の複雑な形状について直接解析し 原稿受付. ＊. 平成 ?? 年? 月 平成??. 日. 日.. 准員，早稲田大学大学院（〒169‑8555 准員，早稲田大学大学院（〒 169‑8555 東京都新宿区大久保 東京都新宿区大久保3‑ 3‑. ＊１. 4‑1,59‑314） 4‑1,59‑314 ）. 正員，早稲田大学理工学部.. 正員，早稲田大学理工学部. ＊2. E‑mail: gon@yamakawa.mech.waseda.ac.jp. えば人の骨格を座標変換することによりチンパンジー の骨格を表現できることを示している. (4). .. ところで,, 流体力学や電磁気学においては等角写像を ところで 用いて座標変換することにより,, 問題を簡略化するこ 用いて座標変換することにより とがしばしば行われている.. 流体力学においては流れ とがしばしば行われている.
(3) の解析,, 電磁気学においては電場の解析が行われてい の解析 る. 例えば 例えば,, 流体力学において複雑な境界条件の下で流 れを解析するときは,, ある簡単な境界条件を設定し れを解析するときは ある簡単な境界条件を設定し,, そ の簡単な境界条件の下での流れを解析し,, 等角写像関 の簡単な境界条件の下での流れを解析し. sx + sy 1 2 ü + ( sy - sx ) + 4txy 2 ïïï 2 2 ï ý s + sy ï 1 2 s2 = x ( sy - sx ) + 4txy 2 ïïï 2 2 þ s1 =. (1). 数により座標変換することにより問題とした複雑な境. と こ ろ で 二 つ の 直 交 座 標 系, 系, す な わ ち 座 標 系 （ ξ ,. 界条件の流れを解析することが行われる.. また 界条件の流れを解析することが行われる また,, 弾性学. η）と座標系（ｘ,, ｙ）があるとき η）と座標系（ｘ ｙ）があるとき,, この座標系の間の. においても楕円孔の解析などは等角写像を用いて楕円. 応力には次の関係式があることが知られている.. 応力には次の関係式があることが知られている. を円に変換して,, その円において解析を行い を円に変換して その円において解析を行い,, それを写. sx + sy = sx + sh. (2). 像関数により楕円に変換するといった手法が用いられ. sh - sx + 2itx h = e 2 ia ( sy - sx + 2it xy ). (3). ている.. その他に多角形 ている その他に多角形,, 扇状の曲線外形を有する図形. ここで,, i は複素数である ここで は複素数である.. 座標系（ξ 座標系（ξ,, η）と座標系. , また一般の四角形などの外形を有する二次元弾性問. ( x , y ) の間の応力の不変量から次式で示す主応力の和. 題に対しては等角写像により座標変換するのが有効で. と主応力の差で示すことができるφ,, ψも不変量とし と主応力の差で示すことができるφ. あるとされている.. これらの形状を有する二次元弾性 あるとされている. て考えられる.. て考えられる. 問題において最適位相を求める場合,, 簡単な形状にお 問題において最適位相を求める場合 いて求めた最適位相を等角写像により座標変換するこ とによって近似的な最適位相が求められるのであれば , 計算精度の低下や所要時間や手間の増大 計算精度の低下や所要時間や手間の増大,, また見通し の悪さといった問題もある程度解消できるものと考え る. 等角写像を用いる利点は境界条件 等角写像を用いる利点は境界条件,, 幾何学的形状を 変換して問題を簡略化できるところにある.. また 変換して問題を簡略化できるところにある また,, 流体 力学では速度ポテンシャル,, 流れ関数という概念の二 力学では速度ポテンシャル つの保存量,, 電磁気学においては等電位線 つの保存量 電磁気学においては等電位線,, 電気力線と いう概念の二つの保存量があり,, それらは同じ形式の いう概念の二つの保存量があり 偏微分方程式を満足することから流体力学と電磁気学 （５）. においては類似性があることも知られている. . 弾性. 学においても同様の類似性が成立するのであれば,, 等 学においても同様の類似性が成立するのであれば 角写像は座標変換としての有効性がより鮮明になり, その類似性に基づいて等角写像を利用できることにな り, 従来の変換方法とは別の利点が利用できることに なるが,, この点は従来の研究で必ずしも明確にされて なるが いない.. いない そこで本研究においては,, 二次元弾性体の最適位相 そこで本研究においては 問題に等角写像を用いた手法を提示する.. はじめに二 問題に等角写像を用いた手法を提示する つの応力に関する保存量がLL a p l a c e の方程式を満足す つの応力に関する保存量が ることを示す.. これにより流体力学 ることを示す これにより流体力学,, 電磁気学における 類似性と同様な類似性が弾性学にも成立することを示. f = s1 + s2, y = s1 - s2. (4). 以上のように等角写像による座標変換においては, 主応力の和と差が保存する.. したがって弾性ひずみエ 主応力の和と差が保存する ネルギやミーゼスの相当応力を目的関数や制約条件に 考える場合には有利なものと思われる.. 一方 考える場合には有利なものと思われる 一方,, 骨の研究 やミッシェルトラスになどに見られるように,, 最適な やミッシェルトラスになどに見られるように 位相形態は応力が直交する状態において得られること が推定されるので,, 簡単な形状の最適位相を等角写像 が推定されるので によって座標変換する場合,, 他の変換よりが最適位相 によって座標変換する場合 の保存も期待できるものと思われる.. の保存も期待できるものと思われる ２・２. 等角写像による座標変換. ある正則. 関数が存在する場合,, この正則関数による写像は等角 関数が存在する場合 であることが知られている.. これから であることが知られている これから,, 正則関数を用い て座標変換すると等角写像の性質が利用できる.. つま て座標変換すると等角写像の性質が利用できる り, 基本的な形状を座標系（ξ 基本的な形状を座標系（ξ,, η）にとり η）にとり,, これを正 則関数 z = f (z ). (5). により座標変換することにより座標系（ｘ,, ｙ）の形 により座標変換することにより座標系（ｘ 状に変換する.. ここで 状に変換する z = x + i h üï ïý z = x + i y ïïþ. (6). なる関係がある.. なる関係がある. す. そしてその類似性を活用した等角写像を用いた最 適位相決定法を示し,, その数値計算例を通じて他の変 適位相決定法を示し. ３．流体力学、電磁気学と弾性学の対応. 換よりも最適位相の保存が期待でき,, 本研究の有効性 換よりも最適位相の保存が期待でき. 流体力学及び電磁気学の分野では等角写像を用いる. を示す.. を示す. ２． ２・１. ことにより,, 流体力学では流速の解析 ことにより 流体力学では流速の解析,, 電磁気学では電. 等角写像による座標変換 応力不変量. 場の解析が行われることがある.. ここではそれぞれの 場の解析が行われることがある 分野における対応関係を簡単に示す.. 分野における対応関係を簡単に示す. 二次元弾性体に荷重が負. 流体力学においては速度ポテンシャルと流れ関数と. 荷している二次元応力状態で,, この弾性体の微小要素 荷している二次元応力状態で. いう二つの概念が存在し,, これらから流速が求まる いう二つの概念が存在し これらから流速が求まる.. 速. を考える.. この微小要素には を考える. sx , sy , txy. の応力がかかり,, の応力がかかり. この結果,, 主応力が次式によって求まる この結果 主応力が次式によって求まる... 度ポテンシャルをφ,, 流れ関数をψとするとφとψの 度ポテンシャルをφ 間には次式のコーシー・リーマンの関係が存在する.. 間には次式のコーシー・リーマンの関係が存在する.
(4) ¶f ¶y ¶f ¶y = , =¶x ¶y ¶ y ¶x. ここでPP とQ は前述の流体力学 ここで は前述の流体力学,, 電磁気学におけるφ 電磁気学におけるφ,, (7). ψに対応する実関数である.. ここで ψに対応する実関数である ここでPP を主応力の和 を主応力の和,, つ. この関係式からφとψの間には共役な調和関数の関 係, つまり つまりLL a p l a c e の方程式を満足することが知られて. まり P = s1 + s2. (14). と置いてみる.. 式( 1 4 )を式 と置いてみる ) を式(( 1 3 )に代入すると ) に代入すると. いる.. いる. ¶ 2f ¶2 f ¶ 2 y ¶2 y + 2 =0 2 + 2 = 0, ¶x ¶y ¶x 2 ¶y. ¶ ¶ ( s + s2 ) + 2 ( s1 + s2 ) = 0 ¶x 2 1 ¶y. (8). 一方,, 電磁気学においては等電位線 一方 電磁気学においては等電位線,, 電気力線という 二つの概念が存在し,, これらから電場が求まる 二つの概念が存在し これらから電場が求まる.. 等電位 線をφ,, 電気力線をψとすると 線をφ 電気力線をψとすると,, φとψは共に共役調和 関数の関係式,, つまり 関数の関係式 つまりLL a p l a c e の方程式を満足すること から,, 流体力学における速度ポテンシャルφ から 流体力学における速度ポテンシャルφ,, 流れ関数 ψに対応していることが知られている.. ψに対応していることが知られている そこで弾性学においてこれらに対応する量を考えて みる.. 弾性学においては みる 弾性学においては,, 流体力学や電磁気学ほど明確 （６）. かつ具体的な共役な調和関数に関する記述はない. .. 二次元弾性問題の典型的で美しい解法はAA i r y の応力関 二次元弾性問題の典型的で美しい解法は 数を導入することによって解かれてる.. A i r y の応力関 数を導入することによって解かれてる 数をFF ( x , y ) とおくと 数を とおくと,, この応力関数が満足すべき力の. 4. 2. 4. ¶ F ¶ F ¶ F +2 2 2 + =0 ¶x 4 ¶ x¶ y ¶y 4. (9). である.. また応力関数は複素関数φ である また応力関数は複素関数φ,, ψによって具体的. æ ¶ ¶ ö çççè 2 + 2 ø÷÷÷( sx + sy ) = 0 ¶x ¶y. (16). となり,, これは変位の適合条件式となることから となり これは変位の適合条件式となることから,, 主応 力の和はLL a p l a c eの方程式を満足することがわかる 力の和は e の方程式を満足することがわかる.. 次に他の一つの調和関数QQ を考える 次に他の一つの調和関数 を考える.. Q を考えるにあた り, はじめに実関数 u (x , y ) v, (x ,y ) で表される正則関数q で表される正則関数q を 考える.. 考える q = u (x , y ) + iv (x , y ). (17). q は正則関数であるからコーシー・リーマンの関係 式を満足すると仮定すると,, 式( 1 7 ) をx とy でそれぞれ 式を満足すると仮定すると ２回偏微分して,, その和を求めると ２回偏微分して æ ¶2 v ¶2 v ö÷ i çç 2 + ÷ èç ¶x ¶ y2 ÷ø. F (x , y ) = Re [ z f ( z ) + j (z ) ] z = x + iy. (10). z = x - iy (ｚの共役 ). (18). となる.. ここで式 となる ここで式(( 1 7 ) の実数部 u (x , y ) と虚数部 v (x , y ) を次のように置いてみる.. を次のように置いてみる u (x ,y ) = sy - sx üï ïý v (x , y ) = 2txy ïïþ. に次式で表すことができる.. に次式で表すことができる. (19). q がコーシー・リーマンの関係式 がコーシー・リーマンの関係式(( 7 ) を満足すること を満足すること,, 応力関数の満足する条件式(( 9 ) などを考慮すれば 応力関数の満足する条件式 などを考慮すれば,, 最終. 式(10) (10)の中のφ の中のφ(z) (z)は は, ある解析関数 ある解析関数f(z) f(z)から成り から成り,, f (z ) =. となるが,, ここで式 となるが ここで式(( 2 )を考慮すると式 ) を考慮すると式(( 1 5 )は )は. æ ¶2 u ¶2q ¶ 2q ¶ 2u ö÷ + = çç 2 + ÷+ ¶x 2 ¶ y2 èç ¶x ¶y 2 ÷ø. 平衡条件に対応する偏微分方程式は. (15). 1 f ( z )dz 4ò. (11). と表される.. 一般にこの解析関数 と表される 一般にこの解析関数ff ( z ) はP とそれと共役 な調和関数 Q から成り から成り,,. 的に式(( 1 8 ) は次式のようになる 的に式 は次式のようになる.. æ¶ 2u æ ¶2 v ¶2q ¶2 q ¶2u ö ¶2 v ö÷ + = çç 2 + 2 ÷÷÷ + i çç 2 + ÷= 0 ¶x 2 ¶y 2 èç ¶x ¶y ø èç ¶x ¶y 2 ÷ø. (20). 式(( 1 2 ) と式 式 と式(( 1 3 ) から からQQ を実関数と考え を実関数と考え,, 式( 4 ) を考慮 して式(( 2 0 ) を考える して式 を考える.. ここで. f ( z ) = P + iQ. (12). と表される.. と表される ある荷重条件の下で応力が生じるということは対応 するAA i r y の応力関数が存在することであり する の応力関数が存在することであり,, そのため には解析関数ff ( z ) が存在することである には解析関数 が存在することである.. これは これはPP とそ. Q=. u 2 + v2. (21). とおけば ¶2Q ¶2Q + =0 ¶x 2 ¶y2. (22). れと共役な調和関数QQ が存在しなければならないこと れと共役な調和関数. となる.. 従って となる 従って,, 式( 1 2 ) , 式( 1 3 ) に示す に示すPP と Q は具体的に. になるが,, 現在のところ になるが 現在のところPP とQ に関して明確な具体的な. 次に示すような主応力の和と主応力の差となる.. 次に示すような主応力の和と主応力の差となる. （６）. 記述はほとんどない. . そこで、ここでは そこで、ここではPP と Q を明確. にする.. にする. (23). 以上のことから,, 流体力学 以上のことから 流体力学,, 電磁気学におけるφ 電磁気学におけるφ,, ψ. P とQ は調和関数であることから次式で示す は調和関数であることから次式で示すLaplace Laplaceの の 方程式を満足する.. 方程式を満足する 2. P = s1 + s2, Q = s1 - s2. 2. と対応する量は弾性学においては主応力の和と主応力 の差が対応し,, 類似関係があることがわかる の差が対応し 類似関係があることがわかる.. この流体. 2. 2. ¶P ¶P ¶ Q ¶Q + 2 =0 2 + 2 = 0, ¶x ¶y ¶x 2 ¶y. 力学,, 電磁気学と弾性学の類似関係を表１に示す 力学 電磁気学と弾性学の類似関係を表１に示す.. (13).
(5) Table 1 Corresponding relationship of Fluid mechanics,Electromagnetics and Elasiticity Electromagnetics. Fluid mechanics. Elasiticity. φ. velocity potential. φ. equipotential line. s1 + s2. ψ. stream function. ψ. electric line of force. s1 - s2 d i f f e r e n c e o f p r i n c i p a l s t r e s s e s. ４. 提 示 す る 最 適 位 相 設 計 法. sum of principal stresses. ５．最適位相の類似性の検討. 本研究では,, 静 荷 重 を 受 け る 二 次 元 弾 性 体 の 最 適 位 本研究では. 基本的設計領域によって得られた最適位相を等角写. 相問題を考える.. まず 相問題を考える まず,, 解析や最適化が簡単な幾何学的. 像を用いて座標変換した座標変換最適位相と , 座標変. 形状を 有 す る 設 計 領域 を 基 本 的 設 計 領 域 と し, し , これを. 換後と同一の形状において直接求めた最適位相の類似. 直交座標ξ‑‑ η座標で定義されるζ平面にとる 直交座標ξ η座標で定義されるζ平面にとる.. この基. 性を検討する.. 比較 性を検討する 比較,, 検討方法には位相の把握が定量的. 本的設計領域において有限要素法で応力解析を行い要. のみでは困難のために以下のような比較,, 検 討 が 必 要 のみでは困難のために以下のような比較. 素の板厚を設計変数に取り,, 設定した目的関数 素の板厚を設計変数に取り 設定した目的関数,, 制約条. となる.. となる. 件の下で最適位相を求める.. この基本的設計領域で求 件の下で最適位相を求める. a)定量的な比較 a) 定量的な比較,, 検討方法. めた最適位相を基本位相と呼ぶことにする.. 基本的設 めた最適位相を基本位相と呼ぶことにする. b)定性的な比較 b) 定性的な比較,, 検討方法. 計領域で求めた基本位相の最適な板厚を保持しながら. 定量的な比較,, 検討方法としては 定量的な比較 検討方法としては,, 弾性ひずみエネル. 式( 5 ) で示す等角写像関数により直交座標 で示す等角写像関数により直交座標xx ‑ y で定義さ. ギ, 質量などの物理量に関する比較 質量などの物理量に関する比較,, 検討方法が考えら. れるzz 平面に座標変換をし れる 平面に座標変換をし,, 類似形状の最適位相（以後. れる.. 一方 れる 一方,, 位相の定性的な比較 位相の定性的な比較,, 検 討 方 法 の 一 つ と し. , 座標変換最適位相と称す）とする 座標変換最適位相と称す）とする.. また比較 また比較,, 検討の. ては,, ファジィ推論を活用し ては ファジィ推論を活用し,, 最適位相を表す要素に関. ため座標変換後と同一の形状における最適位相を求め. するメンバーシップ関数を作成し,, 定性的に両者の類 するメンバーシップ関数を作成し. る. 等角写像関数を用いて座標変換をすることにより 等角写像関数を用いて座標変換をすることにより,,. 似性を検討する方法が考えられる.. 筆者等は別報にお 似性を検討する方法が考えられる. 直線や曲線境界を持つ各種の要素が表現できる.. 具体 直線や曲線境界を持つ各種の要素が表現できる. いて,, 最適位相の類似性を検討する際に いて 最適位相の類似性を検討する際に,, 粗い要素分割. 的な変換の様子を図１に例示する.. また 的な変換の様子を図１に例示する また,, 提示する最適. によって得られえた最適位相と細かい要素分割によっ. 位相設計法の流れと直接的に求めた最適位相との比較. て得られた最適位相に関してメンバーシップ関数を作. , 検討を図２に示す 検討を図２に示す... 成し,, そ れ を 基 準 の メ ン バ ー シ ッ プ 関 数 と し て 類 似 性 成し. ζ plane. を論じた. Z plane. η. (3). . これに対して本研究では これに対して本研究では,, さらに簡単な方. 法を求めて直接位相の類似性を定性的に比較 , 検討す. Y. る別の手法の適用を試みる.. すなわち類似性の基準と る別の手法の適用を試みる なるメンバーシップ関数を同じ要素分割数の座標変換 最適位相と直接的に求めた最適位相の両方に関して作 η. ξ ζ plane. X. 成し,, 類似性を定性的に検討する方法を提案する 成し 類似性を定性的に検討する方法を提案する.. 以下. Z plane X. にはこの定性的な類似性の比較,, 検 討 方 法 の 説 明 に 重 にはこの定性的な類似性の比較 点を置き,, 基準となるメンバーシップ関数の作成方法 点を置き. z = f (z ). を述べ,, 基本的設計領域によって得られた最適位相を を述べ 等角写像を用いて座標変換した座標変換最適位相と座. ξ Fig.1 Coorinate transformation from ζ‑ p l n a e t o z ‑ p l a n e. Y. Definition of basic design domain. 標変換後と同一の形状において直接求めた最適位相の 間の類似性を検討する具体的な方法を提案する.. 間の類似性を検討する具体的な方法を提案する ５・１. メンバーシップ関数の作成方法. 最適位相の類似性という定性的な判断を簡単に行うた Calculation of optimum topology in basic design domain(Basic optimum topology). めに,, 最 適 位 相 を 表 す 要 素 に 関 し て メ ン バ ー シ ッ プ 関 めに 数を作成する.. 本研究において 数を作成する 本研究において,, 最適位相は有限要素法. Comparison and Coordinate transformation using conformal mapping function with remaining the optimum thickness (Transformed optimum topology). examination. で細分割した各要素の板厚の分布で表すので , 板厚に 関するメンバーシップ関数を作成する.. その目的のた 関するメンバーシップ関数を作成する めに基本的設計領域において,, 例えば図３に示すよう めに基本的設計領域において. Optimum topology by directly method. Fig.2 Flow of proposed method. な複数の有限要素を内包する太線で囲まれた小領域を 考える.. 考える.
(6) す面積の最大値 Amax ではメンバーシップ関数値は０と し, 面積の最小値 Amin においてはメンバーシップ関数値 が１とする. これらから横軸にずれを表す面積 が１とする. これらから横軸にずれを表す面積,, 縦軸に メンバーシップ関数値を取ると,, こ れ が す べ て の 領 域 メンバーシップ関数値を取ると. まず各要素の板厚をある閾値で分類してメンバーシッ. を定量的に把握する基準となるメンバーシップ関数と なる.. この例を図 なる この例を図55 に示す に示す.. Values of membership function. Fig.3 Division of design domain. プ関数の値を与える.. プ関数の値を与える tiL £ ti £ tia (i = 1,2, L n) ® 0.0 üïï ïï tai £ ti £ tib (i = 1,2, Ln ) ® 0.5 ïý ïï ï tbi £ ti £ tU i (i = 1,2,L n) ® 1.0 ï ïþ. (24). あり,, tiL , tUi は与えられた各板厚の下限値 あり は与えられた各板厚の下限値,, 上限値であ る. また また,, 添字の 添字のii は要素数を表す は要素数を表す.. 式( 2 4 )は ) は,例えばある 要素の板厚が tia £ ti £ tib の範囲にある時の板厚のメン バーシップ関数の値が0 . 5 となることを意味する バーシップ関数の値が0 となることを意味する.. なお この例では３つの閾値を用いた簡単な分類を考えてい るが, 必要に応じて閾値の数は増加できる るが, 必要に応じて閾値の数は増加できる.. 図３に示す 太線で囲まれた小領域ごとに,, それぞれ基本設計領域 太線で囲まれた小領域ごとに において最適位相を求め座標変換した座標変換最適位 相と , 座 標 変 換 後 と 同 一 形 状 に お い て 直 接 求 め た 最 適 相と, 位相の板厚に関するメンバーシップ関数を作成するこ とができ , これらのメンバーシップ関数の関係は例え とができ, ば図44 のよう表現される ば図 のよう表現される.. ここで図 ここで図44 の太線は座標変換 後と同一の形状において直接求めた最適位相のメン. Amin. 0.0. Ax. Area. Amax. Fig.5 Similarity of a domain. 図５に示す細線が基準となるメンバーシップ関数で ある . こ の メ ン バ ー シ ッ プ 関 数 を 基 準 に 考 え る こ と に ある. より,, 各小領域ごとに類似度を求める より 各小領域ごとに類似度を求める.. 例えば 例えば,, ある小 領域において,, メンバーシップ関数を作成し 領域において メンバーシップ関数を作成し,, ' ずれ ずれ'' を 表す面積が Ax であるとする であるとする.. この場合 この場合,, この領域のメン バーシップ関数値は図55 の太線から バーシップ関数値は図 の太線から,, 0 . 5 と決定される と決定される.. このようにして各小領域の類似度を定量的に求めるこ とができる.. とができる ５・２ 全体の類似に関する検討方法 全体 の類似度を求めるには , 各 領 域 に お け る メ ン バ ー シ ッ の類似度を求めるには, プ関数値から,, 横 軸 に 小 領 域 を 順 番 に 並 べ 縦 軸 に 各 領 プ関数値から 域のメンバーシップ関数値を取ることにより例えば図 6 のような類似性に関する図が作成される のような類似性に関する図が作成される... バーシップ関数であり , 細 線 は 基 本 設 計 領 域 に お い て バーシップ関数であり, 最適位相を求めそれを座標変換することにより得られ た座標変換最適位相のメンバーシップ関数である . 図4 た座標変換最適位相のメンバーシップ関数である. に示す横軸は各小領域における要素番号,, 縦 軸 は 板 厚 に示す横軸は各小領域における要素番号 のメンバーシップ関数の値である.. また のメンバーシップ関数の値である また,, 図 4 の斜線部. 1 .0. 0 .5. 0 .0. Small domains Fig.6 Total similarity. は両者のメンバーシップ関数が一致しない割合 , すな は両者のメンバーシップ関数が一致しない割合, わち'' ずれ わち ずれ'' を表す を表す.. Values of membership function. 0.5. Values of membership function of each domains. 式( 2 4 ) における tia , tib は, 主観的に決めた板厚の閾値で. 1.0. 図66 の 太 線 は 小 領 域 に お い て 完 全 に 類 似 し て い る の 図 であれば１になることを意味し , 細 線 は 各 小 領 域 の 類 であれば１になることを意味し,. 1 .0. 似度を線で結んだものである . 太線と細線に囲まれた 似度を線で結んだものである. 面積,, つまり図 面積 つまり図66 の斜線部全体が全体としてのとしての ' ずれ ずれ'' を表す を表す.. 全体としての類似度を求めるには 全体としての類似度を求めるには,, 図 6. 0 .5. 0 .0 1. 2. 3. 4. Number of elements Fig.4 Membership function. 各小領域ごとに図４に示すように基本設計領域にお ける最適位相を座標変換した座標変換最適位相と座標 変換後と同一形状において直接求めた最適位相の板厚 に関するメンバーシップ関数を作成する . そ し て 個 々 に関するメンバーシップ関数を作成する. の領域のメンバーシップ関数の'' ずれ の領域のメンバーシップ関数の ずれ'' を表す面積の値 の中で,, その最小値と最大値をそれぞれ Amin ,Amax と置く の中で . 各小領域との相対的類似ということから 各小領域との相対的類似ということから'' ずれ ずれ'' を表. の斜線部のずれを表す部分の面積を全体の面積から除 いた部分,, すなわち白い部分となり いた部分 すなわち白い部分となり,, この面積を全体の 面積で除した商を類似度と定義し , それによって全体 面積で除した商を類似度と定義し, の類似性を定性的に判断する.. さらに の類似性を定性的に判断する さらに,, 本研究において は座標変換最適位相と直接的に求めた最適位相の両者 を直接的に位相の類似性を検討しているため , 類似性 を定性的に言及する類似度を閾値によってわける主観 的な類似基準を設け,, それによって類似性を定性的に 的な類似基準を設け 判断する.. 判断する.
(7) ６．. 数. 値. 計. 算. ６・１. 例. 数値計算例を通じて等角写像による座標変換を用い た最適位相設計を行い,, 本 研 究 で 提 示 す る 手 法 の 有 効 た最適位相設計を行い 性を検討する.. 性を検討する まず,, 解析及び最適化が簡単な基本設計領域を図 まず 解析及び最適化が簡単な基本設計領域を図77 に 示すような簡単な正方形領域とする.. 解析モデルとし 示すような簡単な正方形領域とする ては図88 に示すような固定部分 ては図 に示すような固定部分,, あるいは支持部分があ るような33 つの境界条件及び荷重条件を考えた るような つの境界条件及び荷重条件を考えた.. 図8 ( a ) は片側と下半分の各変位を完全に固定,, 図8 ( b ) は下の は片側と下半分の各変位を完全に固定 端点の変位を固定,, 図8 ( c ) は四隅の変位を固定したモ 端点の変位を固定 デルである.. この基本的設計領域を デルである この基本的設計領域を11 0 0 の有限要素に分 割し,, 各要素の板厚を設計変数とし 割し 各要素の板厚を設計変数とし,, 構造物の総質量一 定という制約条件のもとで,, 目的関数である弾性ひず 定という制約条件のもとで みエネルギを最小にするような最適位相を求める表２ に示すような最適位相問題を設定する.. 図9 に基本設計 に示すような最適位相問題を設定する 領域において求められた最適位相の結果を左側の色の. 等角写像による座標変換を用いた座. 標変換最適位相と定量的検討. 図99 に示した基本 図. 設計領域で得られた各最適位相を基本位相と呼ぶこと にする.. この基本位相をζ平面にとり にする この基本位相をζ平面にとり,, 基本位相の最適 な板厚を保持しながら,, 次 の 等 角 写 像 関 数 を 用 い て 座 な板厚を保持しながら 標変換をする.. 標変換をする z = f ( z ) = ez. (25). この座標変換によって得られた位相を類似形状におけ この 座標変換によって得られた位相を類似形状におけ る座標変換最適位相とする.. また る座標変換最適位相とする また,, 比較のためアイソパ ラメトリック要素を用いて座標変換後と同一の形状に おいて直接最適位相を求める.. 表５ おいて直接最適位相を求める 表５,, 表６ 表６,, 表７に最適 位相の比較図,, 主応力の差である Q = s1 - s2 の分布比較 位相の比較図 図, 並びに定量的な比較 並びに定量的な比較,, 検討量として弾性ひずみエネ ルギ,, 質量値を ルギ 質量値を示す 示す.. ここで第 ここで第33 章に示した等角写像の 際の保存量の一つの主応力の差であるQQ は光弾性試験 際の保存量の一つの主応力の差である の等色線に相当するものである.. もちろん の等色線に相当するものである もちろん,, 主応力の和. グラデーションで示す.. また構造パラメータを表 グラデーションで示す また構造パラメータを表33 に示. である P = s1 + s2 も保存することが確認されている も保存することが確認されている.. こ. す.. れらの結果から,, 本研究で提示した手法により求めた れらの結果から Table 2 Optimum topology design problem. Design variables. にそれぞれの形状に対して求めた最適位相と極めて類. t = {t1 ,t 2 ,L , tn }T. (Thicknesses). 似していることがわかり,, また主応力の差の分布も極 似していることがわかり. (Mass). めて類似していると言える.. 弾性ひずみエネルギ及び めて類似していると言える. M (t) £ C. Constraints. tiL £ ti £ tiU ( i = 1,2, Ln ). 質量値もほぼ同じ値となった.. 質量値もほぼ同じ値となった. (Lower and upper bounds of thicknesses). Objective function U =. 1 { }T u [ K ( t ) ]{ u } (Strain energy) 2. 1.00[m ]. ６・２. 類似性に関する定性的な検討. 第55 第. 章で述べた類似性に関する検討方法により類似性を定 性的に判断する.. 局所的類似度に関するメンバーシッ 性的に判断する. Table 3 1.00[m ]. Design parameter. Number of elements Young's modulus GPa Kg / m 3 Density Poisson's ratio. プ関数から,, 大局的類似度に関するメンバーシップ関 プ関数から. 100. 数を作成し,, 類似性を検討する 数を作成し 類似性を検討する.. 例えば表 例えば表55 の( 2 ) の類似. 7.63 ´ 102. を検討する.. ある領域における板厚のメンバーシップ を検討する. 2.11 ´ 102 0.30. Fig.7 Basic design domain. 1000[N ]. 近似的最適位相はこれらの定量的な比較から , 直接的. 関数は図11 0 のようになる 関数は図 のようになる.. ただし式 ただし式(( 2 4 ) に示すの値 tia , tib を tia = 0.30,t ib = 0.65 とした とした.. 図1 0 中の太線は座標変換. 1000[N ]. 位相の板厚に関するメンバーシップ関数, 細線は座標変換 位相の板厚に関するメンバーシップ関数, 後の同一形状において直接求めた最適位相の板厚のメン. (a). 1.00. ´10-3 [ m ]. (b) Fig.8 Analysis model. (c). 0.50 0.00. Values of. 1000[N ]. membership function. バーシップ関数である. 斜線部は対象とした領域の バーシップ関数である. 斜線部は対象とした領域の'' ずれ ずれ'' を表す.. を表す 1.00. 0.50 0.00. 1. 2. 3. 4. Number of elements Fig.10 Membership function. このようなメンバーシップ関数を各領域で作成し図55 に このようなメンバーシップ関数を各領域で作成し図 相当する基準となるメンバーシップ関数を作成すると図11 相当する基準となるメンバーシップ関数を作成すると図 11 のようになる.. 対象とした領域の のようになる 対象とした領域のメンバーシップ関数値 メンバーシップ関数値 は図11 1 から は図 から00 . 7 5 となる となる.. これを基に各領域の これを基に各領域のメンバー メンバー. Fig.9 Optimum topologies in basic design domain. シップ関数値を求め シップ関数値 を求め,, 全体の類似度を求めると表 全体の類似度を求めると表55 ( 2 ) に.
(8) 5 章で述べたように比較基準がないので 章で述べたように比較基準がないので,, 大局的類似度. できる.. また できる また,, 別の面から類似性を判断するために図 別の面から類似性を判断するために図88. として求めた数値を表４に示すのように主観的な分類. ( a ) 〜図 〜図88 ( c ) に示す太線で囲まれた範囲の類似を検討. を行い,, 類似性を判断した を行い 類似性を判断した.. この判断基準は必要に応じ 1.00. する.. 太線で囲まれた範囲を周囲と呼ぶことにする する 太線で囲まれた範囲を周囲と呼ぶことにする.. こ. Values of. て, より細かくすることができ より細かくすることができ,, より細かな類似を言及. membership function. おける類似度は00 . 8 4 1 となる おける類似度は となる.. この類似性に関しては第. 0.75. の周囲の領域の類似を判断するため同様な方法を用い てこの領域において基準となるメンバーシップ関数を 作成し類似性を判断する.. 類似性の判断基準としては 作成し類似性を判断する. 0.00. 0.25 0.50. 表4 の判断基準を用いる の判断基準を用いる.. 類似性の判断もあわせて表 類似性の判断もあわせて表55 ,. 1.25. 表6, 6,表 表7 に示す に示す.. 表における 表におけるBoundary Boundaryは周囲 は周囲,Total ,Totalは全 は全. Area Fig.11 Basic membership function. Table 5 Comparisons of optimum tolopogies (a)Coordinate trans‑ Distribution of formed topology difference of principal stress. (1). strain energy -1 ´ 10. J. 7.61. mass. kg. (b)Optimum topology Distribution of obtained directly difference of principal stress. 6.33. strain energy -1 ´ 10. J. 7.80. mass. kg. Similarity Boundary. Total. 0.86. 0.81. ○. ○. 0.82. 0.84. ○. ○. 0.74. 0.76. ○. ○. 6.35. (2). 3.93. 3.92. 3.14. 3.14. (3). 2.26 4.00. 2.29 4.00. Table 6 Comparisons of optimum tolopogies (a)Coordinate trans‑ Distribution of formed topology difference of principal stress. (4). strain energy -1 ´10. J. mass. kg. (b)Optimum topology obtained directly. Distribution of difference of principal stress. strain energy ´ 10- 1. J. mass. kg. Similarity Boundary Total. 0.84 0.83. 1.60 5.89. 1.57 5.89. ○. ○. (5) 0.85 0.86. 1.42. 5.14. 1.41 5.14. ○. ○. 0.82 0.84. (6). 1.33 4.83. 1.29 4.83. ○. ○.
(9) Table 7 Comparisons of optimum tolopogies. (a)Coordinate trans‑ formed topology. Distribution of difference of principal stress. (7). strain energy. ´10. J. -1. (b)Optimum topology obtained directly. mass. kg. Distribution of difference of principal stress. strain energy. mass. J. kg. -1. ´10. Similarity Boundary Total. 0.81 0.79. 7.03. 5.72. 5.72. 6.95. ○. ○. (8) 0.84. 8.33. 5.14. 8.20. 5.14. ○. 0.86 ○. (9) 0.71 0.73. 6.91. 5.64. 6.82. 5.64. ○. ○. Table 4 Reference of similarity Value of similarity similarity sign. のであり,, 各領域ごとに類似性を検討することでき のであり 各領域ごとに類似性を検討することでき,, ま. 0.7 < similarity £ 1.0. た全体としての類似性も検討できる方法であることを. 0.5 < similarity £ 0.7 0.0 £ similarity £ 0.5. simliar. ○. rather similar not similar. △. 示した.. 示した. ×. （６）いくつかの数値計算例で基本的設計領域におい. 体の類似性であり,, その中の数値は類似度を示す 体の類似性であり その中の数値は類似度を示す... て最適位相を求め,, 座標変換した座標変換最適位相と て最適位相を求め. この結果,, 対象とした全ての位相に関して この結果 対象とした全ての位相に関して,, 両者の位. 座標変換後と同一の形状において直接最適位相を求め. 相は周囲及び全体において定性的に'' 似ている 相は周囲及び全体において定性的に 似ている'' と判断. たものの間には,, 定量的及び定性的な比較 たものの間には 定量的及び定性的な比較,, 検討結果か. され,, 等 角 写 像 に よ る 座 標 変 換 が 有 効 で あ る こ と が 確 され. らほぼ類似であることが判明した.. らほぼ類似であることが判明した. 認できた.. 認できた. （７）また等角写像の際の保存量の一つである光弾性 試験の等色線に相当する主応力の差の分布もある同様. ７．. 結. 言. （１）等角写像による座標変換を用いた構造物の最適. の分布を示していることがわかった.. の分布を示していることがわかった 以上により,, 等 角 写 像 を 用 い た 座 標 変 換 に よ る 最 適 以上により. 位相決定法を提示した.. 位相決定法を提示した. 位相決定方法は実用的に有効な方法であると考えられ. （２）等角写像を弾性問題に適用する際の座標変換に. る.. 関する保存量は主応力の和と主応力の差であり,, それ 関する保存量は主応力の和と主応力の差であり. 8．. らは共にラプラスの方程式を満足することを示した.. らは共にラプラスの方程式を満足することを示した. 参. 考. 文. 献. （３）座標変換に等角写像を用いた場合,, 流 体 力 学 と （３）座標変換に等角写像を用いた場合. (1)山川宏 (1) 山川宏,,最適化デザイン 最適化デザイン,(1993), ,(1993),培風館 培風館... 電磁気学の分野における類似関係が弾性学においても. (2)Suzuki,K.and Kikuchi,N.,A Kikuchi,N., A. 成立することを示した.. 成立することを示した. method. （４）等角写像における座標変換において直交する物. optimization ,Computer Method in Applied Mechan‑. 理量は主応力の和と差である.. これから基本位相を等 理量は主応力の和と差である. ics and Engineering,Vol.93,No.3,1991,291‑318.. 角写像によって座標変換する場合,, 位相が主応力の和 角写像によって座標変換する場合. ( 3 ) 北山哲士 北山哲士,, 山川宏 山川宏,, 補間関数による座標変換を用い. や差と特に密接に関連する問題に対しては最適位相の. た構造物の最適位相に関する研究,, 機論 た構造物の最適位相に関する研究 機論CC 1 編掲載決定 編掲載決定... 保存が期待できる.. 保存が期待できる. (4)D'Arcy Wentworth Thompson,柳田訳 Thompson, 柳田訳,,生物とかた. （５）直接的に定量的な類似性を比較する方法に加え. ち,(1973), ,(1973),東京大学出版 東京大学出版... て, 提案した定性的な類似性に関する検討方法は 提案した定性的な類似性に関する検討方法は,, 類似. (5)渡辺昇 (5) 渡辺昇,, 複素関数論の応用と計算 複素関数論の応用と計算,(1981) ,(1981)朝倉書店 朝倉書店... 性の基準を表すメンバーシップ関数を直接作成するも. (6)岡本哲史 (6) 岡本哲史,, 複素関数 複素関数,(1975), ,(1975),ダイヤモンド社 ダイヤモンド社... for. shape. homogenization. and. topology.
(10)
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