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東 京 都 立 大 学 博 士(理 学)学 位 論 文(論 文 博 士)
論 文 名(和 文)
テ)イワ ク レ 纏 のSノ 難1イづ 勺 てつ・ ・ ノ(
著 者
マ 灯 薄 丈
審査 担 当者(自 署)
琵 酒 り 髪1、
委 員 ぢr7を 歩
委 員 栗 1」/一
審 査 報 告 年 月 日 'Fk
G年2月 ク 日
Onq‑AnaloguesoftheDiricletSeries
(デ ィ リ ク レ級 数 のq一 類 似 に つ い て)
HirofumiTSUMURA
津 村 博 文
0.Introduction
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fa、SCillatingari重11111etiCP1て)P(・rtieS.FO1』eXanlple・illthel9tll(・entUry.1{11r11111ergaVelhe
lbll・Wil19Crit・ ・ri・11Wlli(・h…aSr(・latledt・tll・6rStCa・e・fF(・rmaゼSL・.・IT}le・relll:
(1{1.11‑‑‑‑1(コ1D●s(.11じitle1いi()1]L)
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111・11e・fll1・al)Pr・a、clleSt・sl.UdytlleBerll・1.111hlUIlll・e1・s.Ca、rlit.Zde伽e(lthc,g‑
Berl1・ullinmllb・r・{、 プ"(ω}f・1・ac・ml・1exmlml…r9([3]).Nall1・ly{3。(の}wer・(1・ 盒lled
illdll(・tivelyl.)ぎ
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ノ・‑adiぐZet・fUnCti・n(,(・)・ ・nstruct.・ ・it・yKUb・t・1alKILe・P・ldt・ ら,(・)i・a1)‑a・liCanal・ ・9U・
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11・ld.W}1i・llar…11al・9・USt・th…rdilla・5▼r・1・ 雨 ・11S
((1‑1、)一 一 β ・("≧1).
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Wa,C。nSt1・UCtle・1andWa・illV・ ・tigat・dbyal・t・i5allth・rs・IWa・sa・Vaf・11nd・.lliml・ ・rl.allt
relatiollbetweel1五 ρ(5.＼)alldwhatis('all(・daZ1・‑extel1寸iollofa.lgebra・icIlllmberfie】d・
SillcetheIl.五 ρ(.s.＼)hasbeelldleIllostre111arkableノ,‑adi(‑fl111cti(川illIlmllbert}1eory・
In1982.K・blilzc()llstrl1・t・d・ ノ,‑cli・fl111・1i・ll(,.q(・ ・)wlli・hil11・ ・rP・latledth・g‑
Bemoullimmll)e1・sahlol1‑posiliveiuteg(・rs.whereq∈c,,([15]).Notetllatlimg.̲1(1、,?(,5)=
(,(・ 〉.S・(1,,,(・ ・)…a…ll・da9‑anal・9‑1』tl1・ ノ,‑adi・zd・fnncti・ ・11・NI・ …ve・hed・ 盒lled
th・ luldi・ 川 五1、、,し・へ)wlli・ ・ll…a…lled・ ・1‑allal・gu・ ・fth・ ρ 一a・li・ 五 一flm・ti・11,alldh・
SU99・ ・t・dtl1・ibll・Wil191W・P1'(・bl・1ns・
(Kol)litz"sProbl̀・ms)
(1)A・ethe・ …ml・lexarlalyti・(f↓s…i・ ・swhi・h五 ρ.,(・ へ)・allb・vi・ …d・ ・
illtl・ ・P・1・tlin9.iiit.lle・am・Wa》7dlat乙,(・ ・へ)illt・1'P・1・t・ ・ ゐ(・ へ)?
(2)1)oCarlitz?s,プA.(ワ)(xで11ril1寸hec()(・flicielltsofs()llleS1.irlil19tyl)eseriesfbr
P‑・(llc・1…111pl・Xallalyli・q‑1()9‑F‑fllll・ti・lls?
In[16いatl・h・()・ ・t・11・ 童・・1・(,↓se・ie・ 乙,(・ へ)whi・h・ati・fi・ ・lth・a・1・ ・ve・ ・11diti・ns
K・blit,Z・ ・qlli1・ ・d.S・}1・9・v・al1・mswe・t・th・ ・P・ ・bl・m(1)・
Thema、inresllltoftllispal)erisgi＼ ▼illgallallswertolheproblell/(2)inbo重htlle
complexca.se([2・4])alldtlle1,‑a(licぐase([20])・II1§1・wetreaU.h(・ ぐomplexcase・Nalllely
we(・olls†rllcta、(・omplexfllllctionθ(1'̀1)inwlli('ll1.heq‑Bemoll】liIlumbersoc('111'asthe
coeffi(・ielltsoflheStirlil19exl)allsiol1.Byllsil19(ノ(・ 〜'・9)・wedesぐribetllevaluesofSa・toh's
2
q一 五 一se・i・ ・ 五,(・.＼)・tP・ ・itiv・illt・g・lb・ ・This1』 ・slllti・a・1‑arlal・9u・ ・fth・ ・1・dina・yr・1・ti・ll
be寸weelltlleDirichle寸1ブseriesalldtllelo9‑Fイ1111ctiolLHellce、vecanregardθC〜 ・.9)asthe
・/‑1・9‑F‑fllll・ti・ 川whi・ht.11eal)・vePr・bl・ln(2)illtll・ ・ ・・mpl・ ・xca・ereqllir….Ill§2.w・
trea.tllleρ 一adiccase.Namelywecol!stl●lldaノ,‑adid●lulctioǹ1ρ(・ 〜・.(1)irlwhi(・hllleq‑Elller
Illlml)ers()(Cl11・astllecoeffiぐi('lltoftlleρ 一a(.licStirhllgexpa、llsioll.Byllsingθ ρ(.〜・.g).we
describethevalllesofKoblitlz●sftinct.IOII五 ρ,9C㌦ ＼)a.tPositiveil1寸.(・9ers.Sowegivearl
indirectans、vertotlleI)roblel11(2)illtlleノ,‑adicca・se.Ill§3.w・e(lefilletllerllodified(1‑
Berllol111illuml)crsandc(川1plexq‑!ブseries.Alldwegi、 ・esolnerelatiollsbetweel/t}1evalues
oftheseで1‑」r.‑seriesa.11d寸11eclassnulnl)el・sofalgebraicIll1111b(、rfields.「1「11ese1・elatiollscall
ber・gard・da.・g‑1・ePr・Selltat,i・lllbrth・ ・lassl1Uml・erf・rlmlla、s.II!§4。WegiVeS・lne
・ecUr・i・lllbrlnUl・ ・{brth・valll…f(C・)・ticl()f乙(・ へ)・.tl)・ ・ili…illt・gel・Sj・y・ ・11Sid・ ・il19
((‑aIlal・9u…ftlleDiri・h1・1・ ・1・i…whi・'hi・t・191・ ・1・t・qlle・1‑E111・ ・lmlllbe・s.P「r・IIlth…
{brmlllas.we・1・t・ills・Ill・fam・11・f・rmlll・ ・((2)=π2/6.(C1)=π4/90.…,alld・bt・,ill
Ilewseriesrepreselltationfor((3).((5)・ ・…Tllese1'esllh.ssllggeslt.lla重q‑allaloguesぐ)f
theDirichletseriesal・eusefllltoolsloill、 ▼で・stigalethePr()Perliesofor(lil!aryal・ithll1(・tic
・bject・.ln§5and§6.w・giv…m・ ・'1'・cult・ab・11t1,‑adica1・idlm・ti・flln・ ・ti・n・.Nall・ely
wecollstrllctノ,‑adicallalylicl'1111cliollswhi(髄11illlerPolaletllegellerahzedElderm‑Illlbers
([19]).alldtll・B・ ・IIIIIIIllb・rs([21])・B5▼illv…1ig・1i・11・fth…fu11・ti・IIS.w・gives・ll1・
・・ngrl1・IICe・1幽 ・1・th・ ・ellUIlll・ ・r・ ・
Acknowledgement.
IW・111dliket・eXpl・e・slllygratit11d・ ・1・dl…p・ ・1>>F・Wh・ll・IPednl・inpreparir19
tllisdoctorial(lisserla,1iol1.Mytlllanksfil'slgotoProl'essorKellNa.ka川111a.forgivillgme
severalpie(・(・sofhelpfllla(lviceaticlpropel'itｺstrllctiollollthispape1・ 。Ian・1t.ha.11kflllto
ProfessorIlir()oNlikiwho911id(<1meilltotllet.heorき ▼ofq'Cy(・lo寸.omlcFieldべa.11drelale(1
飼d・.a.smy・elllillarillsh・11d・1・i旧h・masler・'・urs・ ・fgr・dllates・h・ ・1・fnlatll・maticsi・
TokyolletroPolitaIIUlliversitぎ 。Tllelast・bll寸Il()tleastofIllytllarlkssllouldbe寸eIIdere(.1
tothela.t.eprol●essorMakol(.)Isllida.wlloillsh・11ct(・dmeillt.llebalsicsof亀 徹AlgebraicNllrrlber
The・ ・ジdm・ingtheP・ri・d・)fnlystlldellt・11ipillllislmde1Ugra.dllate・ ・millarcla・ ・.
Notations.
Q:thefieldofratiollahluml)ers.R:thefieldofreallltlmbers.c:d‑1Pfieldof
complexnllmbers・1):aprillleiiulnher・Q些 ・:thefieldofρ 一adicIlllmbel・s.zρ:thering
ofノ)‑adicintegers・Z葦:thegrouPofE)‑a(li('unit.shlZρ ・C,,:the1)‑adic・conlplct,ionof
algebraiccloser('ofQ,・ ・ ω:1heTeidmll}1k'rcharader・ 〈 ・〉:tlleProledion()fz芦onto
theloca.1111111SIIIZρ:〈 の=(1/w'(θ)fbrσ ∈Z弄 ・io91,:t.lleρ 一a.diぐloKarit}rrnl、1nd .1011.
exPρ:t}leノ)一(li(り 〈1}〉<>iifntialfllllctio1L」:tlletil1111witllt'heindexolllitsvallleswhiぐh
alrelnllhipl(・S()f/,.
Contents.
0.
§1.
§2.
§3.
§4.
§5。
§6.
IIltrodllction.
KOblitZOsPr・1)1(・milldlec・111pleXcase.
K・blitZ亀sPr・bl・ ・millllle1,‑adi・'caSe.
q‑rePreSelltati(川fb1・tll…lassl1Uml・el』lbmlllla・.
Evalllatiollof((.・)〜md五C・.＼)atPositiveillt〔 ・9ers.
/,‑adicillt(・rl)Olatiollsoftlle9(・11eraliZedElllernUIIlbers.
1,‑adicillterP()1atiollsoftheB(・llIllllll})E'1'S.
Referellces.
・・ 。・。・ ・。・1
・●。 ・.・,● 。')
・・・ ・・・…12
...㌧)㌧)
一一
・ ・・ ・ ・ ・ …27
...a6
・・ ・ ・・ ・ … 、18
… ・ … ・ ・5・1
1
§1.Koblitz'sProblemIllthecomplexcase.
1・dlisse・ti・1Lld・/b…c・mpl・ ・xllulllbe・wlll・M〈1・a・dlll・ ・
Wit}司 ・1i>LR)…c・lnpl・ ・Xmllllb・ ・ ∴W・ll・ ・tl1(・ll・1・1i(川 同 一[…1]
Notetllat
1 ,!虫["]=1‑、1・
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Proof.See[16].
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(べ ・ ≧1).
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(L3)
PROPOSITIONi.2.For,〜 ・∈Cwid1レ ・>1/(1‑1̀1})2.
1
ti
卿1・ の=一{・ 〜'b9・ 〜●㌔ 一 、1(lo9・ 〜'+1)}
㌔ ∴ 書1譜 ∵)〃舶(11・̀/).、1・
Proof.Bき ▼(L3).
ワ(….ti.の 一 Σ ゼ"(・ 〜・+['・])1・9…
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tlleflllldi(.)llilltllerigh1‑ll・11・lsi・lc・ftheeqllatl・11in1,t'111111212.2i・al1・lyti…)1L4",正br
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TIIEORENI2.9.Forノ η ∈Zwith〃 ノ>1.
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REMARK・Let̀1→1alld'1=(whicllisrlPri!11illverootoflmhき ▼・The!.1ρ1、(・ 〜8・"・1)is
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diff・re1曲 ・1116ず ρ.,.(wlli・1・wasd・filledil・[B]・
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ロ aSSelb↑1011
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3人.、(・1)=
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f(.)rん>1.IlealS()COIIShwtedllle
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乙1(一 ん.
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(F、,,、(o・＼・〃)一 一 ≒
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Proof.In(2.5).let.〜 ・=[ノ]/qノ[
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