微分方程式ー超入門ー

微分方程式ー超入門ー

微分方程式とは何か：未知の関数の微分係数を含む方程式

微分方程式の解法=積分すること

微分方程式＝必然性

法則）、可能性の集合

境界条件・初期条件

現実化

現象化）

傾き１の直線の集合を表す微分方程式

1 ( : )

dy y x c c

dx = ⇔ = +

積分定数

(2, 0) 0 2 2

2

c c

y x

⇒ = + ⇒ = −

⇒ = −

点 を通るとき

傾きαをもつ直線の集合を表す微分方程式

( ) ( : )

dy y x c c

dx = α 一定値 ⇔ = α + 積分定数

の集合

円の集合を表す微分方程式

2 2 2

( : )

x y r r

x

dy x

dx y

+ =

⇓

= −

一定の半径    で両辺を微分

y

傾き の直線

円周上の点（ｘ、ｙ）における 接線の傾き y

x

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

直交

2

2 2 2

2 2 2 2

0

1 1

2 2

( 2 )

ydy xdx xdx ydy

xdx ydy c

x y c

x y c r

→ = − → + =

→ + = ≡

→ + =

→ + = =

∫ ∫ ^一定値

に対応する同心円の集合

楕円の集合を表す微分方程式は？

2 2

2 2

2

1 ( : )

x x

a b

a b

x

dy x b

dx y a

+ = ≠

⇓

= − ×⎜ ⎟ ⎛ ⎞

⎝ ⎠

一定

   で両辺を微分

dv kv dt = −

変数分離形の微分方程式

( ( ) :v t

未知関数、

：一定）

1 2 1 2

c' c'

2 1

( ) ( )

log ( , : )

e e e ( ' , e )

e

kt kt

dv dv

kdt kdt

v v

v c kt c c c

v ⁻ v c ⁻ c c c c

→ = − → = −

→ + = − +

→ = ± ⋅ → = ⋅ ≡ − ≡ ±

∫ ∫ ^{積分は和である！}

＊ 積分定数

一般解

0 0( )

t = v ≡ v

初期条件： のとき, 一定値 とすると

( )

e

v t = v

_特殊解

x = +

∫ ^積分定数

＊ 公式