輸送現象まとめファイル2017_01

第５章 流れの解析 5.1 平行平板内流れ 流体の連続の式と運動量方程式を連立して解き、流体内部の速 度分布を求める。第一の例は、平行平板内流れの定常状態速度分 布である。非圧縮性流体（密度ρが一定）、定常状態（ _{∂ ∂t}の項 が０）、重力以外の外力が働かないとき、デカルト座標系の x-y 二次元速度分布 ! v x, y

( )

を決める方程式は次の様に書ける。 連続の式： ∂u ∂ x+ ∂ v ∂ y= 0 (5-1) x 軸方向運動量方程式： u∂u ∂ x+ v ∂ u ∂ y= − 1 ρ ∂ p ∂ x+ν ∂ 2_u ∂ x2 + ∂ 2_u ∂ y2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟+ gx (5-2) y 軸方向運動量方程式： u∂v ∂ x+ v ∂ v ∂ y= − 1 ρ ∂ p ∂ y+ν ∂ 2_v ∂ x2 + ∂ 2_v ∂ y2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟+ gy (5-3) 境界条件は、次の通りである。 x=0 でu=u0、v=0、p=p0 (5-4a) y=0 でu=v=0 (5-4b) 未知数はu, v, p、式の数は３つなので、境界条件を使って式を解くことができる。x方向速度は、入口で一様流 入速度u=u0から次第に変化し、Fig.5-1 の様にある区間（速度助走区間）を経過すると、uはy座標のみの関数と なる。またy方向速度vはv=0 となり、x方向圧力損失（ _{dp dx = Δp Δx}）は一定になる。従って _{dp dx}以外の _{∂ ∂ x} を含む項とvを含む項を無視する。hを中心から平行平板までの距離とし、x方向に重力が働かないので、発達領 域で(5-2)式は次式のように簡略化される。 0= −1 ρ dp dx+ν d2_u dy2 (5-5) y=0でu=0、y=hで du dy= 0 (5-6) 発達速度領域で、平行平板間強制対流速度分布は次式となる。 u u_max = 2 y h ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟− y2 h2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟， umax= − h2 2µΔpΔx (5-7) 次の例は、Fig.5-2 のように、重力のみが働き厚さhの液膜が傾斜 した坂の上を流れているとき、 gx=ρg sinθとなる。また自由表面流 であり外からの圧力は均一一定である。発達速度状態の速度分布は、上と同様の手段で求められ、最大速度は次式 で得られる。 u_max= ρh2g 2µ sinθ（液膜落下のとき） (5-8) 1 2 Fig. 5-1 平行平板層流速度分布 Fig.5-2 落下液膜の流速分布

x

y

5.2 円管内速度分布 円管内速度分布は広く流体、熱、物質移動によく現れる。(x,y,z)の直交座標系から(r,θ,z)の円筒座標系への変数変 換の詳細は省略し結果のみを書くと、密度ρと粘度µが一定のときの三次元連続の式と運動量方程式は次式になる。 円筒座標連続の式： 1 r ∂ ∂r

( )

rvr + ∂vz ∂ z + 1 r ∂v_θ ∂θ = 0 (5-9) 円筒座標r方向とz方向運動量方程式: ∂v_r ∂t + vr ∂v_r ∂r + vz ∂v_r ∂ z + v_θ r ∂v_r ∂θ − v_θ2 r = − 1 ρ ∂ p ∂r + µρ ∂ ∂r 1 r ∂ ∂r

( )

rvr ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭+ ∂2_v r ∂ z2 + 1 r2 ∂2_v r ∂θ2 − 2 r2 ∂v_r ∂θ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + gr (5-10) ∂v_z ∂t + vr ∂v_z ∂r + vz ∂v_z ∂ z + v_θ r ∂v_z ∂θ = − 1 ρ ∂ p ∂ z+ µρ 1 r ∂ ∂r r ∂v_z ∂r ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟+ ∂2_v z ∂ z2 + 1 r2 ∂2_v z ∂θ2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + gz (5-11) r-z二次元運動量方程式では、∂ ∂θの項とv_θを含む項が無視できる。定常状態で _{∂ ∂t}の項も消える。円管内流動 で、流体が均一分布で入口から入り、入口からしばらく進むとr方向速度分布vrを含む項は消え、発達した速度分 布状態で ∂vz ∂ z = 0であり、 ∂ 2 _{∂ z}2_{の項も消える。最終的に(5-11)式の z 方向方程式のみが残る。重力の項を無視} すると、(5-11)式は次式のように簡単になる。 0= −dp dz+µ 1 r d dr r dv_z dr ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ (5-12) 境界条件は、r=0で dv_z dr = 0、r=r0でvz=0である。 従って円管内速度分布： v_z v_max = 1− r2 r₀2 、 v_max= −r0 2 4µ Δp Δz ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ (5-13) を得る。 一般的な速度分布の場合、例えば密度一定のとき、連続の式(4-4)式、運動量方程式(4-8), (4-9), (4-10)式の４つの 方程式を定められた境界条件で解き、三次元速度 ! v u,v, w

(

)

、圧力pを求めることになる。しかし運動量方程式は非 線形であり、例え２次元でも解析的に解くことは不可能である。最近では、大型計算機を使った直接数値解法の手 段が発達しており結果が得られている。しかし直接解法だけでは、パラメーターの影響あるいは作用する支配的力 等に関する情報を得る事は、なかなか難しい。そこで、以後に示す無次元化と無次元数を用いて、どの項が支配因 子なのか、さらには、次元解析を用いて整理する手法が有効となる。 5.3 速度境界層 流体がある物体の回りを流れるとき、物体近辺の境界壁表面近くと、境界壁から遠く離れた位置とでは、流体に 働く要素が異なってくる。例えば、Fig.5-3 の翼周りの流れを考えると、翼から十分離れた領域では、粘性の効果 が十分に小さいと考えられる。すなわち、運動量方程式の右辺粘性項が無視できる。一般に非圧縮性の運動量方程 式（Navier-Stokes 方程式）で粘性項を無視した場合の流れ をポテンシャル流れ（完全流体）と呼ぶ。完全流体は理論数 学手段を使いかなり解き明かされており、詳しい内容は流体 力学教科書（例えば、今井功著「流体力学」岩波書店）に説 Fig. 5-3 物体の周りに発生する境界層

明されている。 一方翼に近い部分では、固体壁上で速度０の境界条件が課されるので、速度が主流速度から小さくなる。この領 域を速度境界層と呼び、流れを解析する上で、重要な概念である。速度境界層内では、流体の粘性が無視できない。 逆に圧力項は、固体壁に近くなっても境界条件の影響を受けにくいので、境界層内では、圧力は境界層外部の値を 使用する。従って、まず圧力分布を粘性の影響を考慮しないポテンシャル流で解析し、求めた圧力分布を既知とし て、粘性の影響を考慮した境界層方程式で解析する（境界層近似）手法がよく用いられる。 例えば、後で出てくるFig. 6-4 の平板境界層から十分離れた主流流れu∞は、一定で一様と考えられる。従って、 重力を無視し非圧縮性２次元定常状態の平板境界層における流れの方程式は次式になる。 ∂u ∂ x+ ∂ v ∂ y= 0 (5-14) u∂u ∂x+ v ∂u ∂y=ν ∂2_u ∂x2+ ∂2_u ∂y2 " # $ % & ' (5-15) 通常(5-15)の右辺第一項（x 方向速度変化の x 方向変化）は第二項に比べて十分に小さいので、無視される。 主流速度が遅いとき、流れは層流であり、u, vとも時間的に変化しない。この条件で、流れ関数を使う解法があ る。流れ関数φを次の様に定義すると、(5-14)式は自動的に満足される。 u= ∂φ ∂ y、v= − ∂φ∂ x (5-16) さらに次の相似変数ηと無次元流れ関数ζを使って整理する。 η= y x u_∞x ν 、φ = u∞ν xζ (5-17) (5-16)式に(5-17)式を代入して整理すると、次の速度式を得る。 u= u∞ dζ dη、 v= u_∞ν 2 x η dζ dη−ζ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ (5-18) その結果、(5-15)式は次式に変形される。 d3_ζ dη3+ ζ₂ d2_ζ dη2 = 0 (5-19) 境界条件は次のように表せる。 η=0 でζ=0、ζ ’=0、η=∞でζ ’=1 (5-20) ζをηの多項式で表し、(5-19)式、(5-20)式に代入して多 項式の係数を順次求める。現在では表計算ソフトを使っ て、パソコン上で数知的に求める事が出来る。解いた結 果はBlasius の解と呼ばれ、Fig。 5-4 に示されている。 要するに、境界層内速度はηのみの関数として表わせる。 η定義式中のRex

(

= u_∞x ν

)

は先の次元解析で現れた無次元数である。流速、粘度等が異なっても、Rexで整理する 事により、層流境界層内の速度分布がみごとに一つの関係で表す事が出来る。これが境界層の相似と無次元数の意 味である。 Fig. 5-4 層流境界層内の速度分布

5.4 無次元化と無次元数 直角座標系における連続の式、運動量方程式、エネルギー式、拡散方程式の独立変数は、x, y, z, tであり、従属 変数は、u, v, w, p, T, CAである。それぞれ以下のように、代表長さL、代表速度U、代表温度差ΔT、代表濃度差 ΔCAを使って無次元化する。代表長さLとして、例えば内部流れのときダクトの直径を取り、外部流れのとき着目 している物体の長さ等をとる。代表速度Uは外部流れのとき主流速度を取り、内部流れのときは平均流速umを取 る。代表温度差ΔT は二つの離れた位置での温度差（ΔT=T1-T0）を、同様に代表濃度差ΔCAは二つの離れた位置で の成分A の濃度差（ΔCA=CA,1­CA,0）を取る。無次元変数を次のように定義する。 時間： !t = tU L 、速度： !u= u U、 !v= v U 、 !w= w U 、 距離： !x= x L、 !y= y L、 !z= z L、圧力：p = p ρU2、温度： !T = T− T0 ΔT 、 発熱項： ! Q_H = QHL ρc_PUΔT 、濃度： !cA= c_A− c_A,0 Δc_A 、発生項： !SA= S_AL UΔc_A 以上の無次元変数を使うと、連続の式、運動量方程式、熱収支式、拡散式は次のように変形できる。 無次元連続の式： ∂ !u ∂ !x+ ∂ !v ∂ !y+ ∂ !w ∂ !z = 0 (5-21) 無次元(x 方向)運動量方程式： ∂ !u ∂ !t+ !u ∂ !u ∂ !x+ !v ∂ !u ∂ !y+ !w∂ !u ∂ !z= 1 Re ∂2_!u ∂ !x2 + ∂ 2_!u ∂ !y2+ ∂ 2_!u ∂ !z2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟− ∂ !p ∂ !x+ Gr Re2 (5-22) 非定常項 対流項 粘性項 圧力項 浮力項 無次元エネルギー式： ∂ !T ∂ !t + !u ∂ !T ∂ !x+ !v ∂ !T ∂ !y+ !w∂ !T ∂ !z = 1 Re Pr ∂2!T ∂ !x2 + ∂ 2 !T ∂ !y2 + ∂ 2!T ∂ !z2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟+ !QH (5-23) 非定常項 対流項 熱伝導項 発熱項 無次元拡散式： ∂ !c_A ∂ !t + !u ∂ !c_A ∂ !x + !v ∂ !c_A ∂ !y + !w ∂ !c_A ∂ !z = 1 Re Sc ∂2_!c A ∂ !x2 + ∂2_!c A ∂ !y2 + ∂2_!c A ∂ !z2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟+ !SA (5-24) 非定常項 対流項 拡散項 発生項 ここでRe, Pr, Sc, Gr は次に定義する重要な無次元数である。 Re= ρUL µ 、 Pr= µcP k_T 、Sc= µ ρD_AB、 Gr= gL3 ν2 (5-25) 以上の無次元化により、次の事が分かる。 (1) 事なった体系にある異なった流体、熱移動、物質輸送の方程式を無次元化するとすべて同じ式で表される。そ れぞれの状況に応じたRe, Sc, Pr, Grを代入する事で、各場合の移動量を定量化する事ができる。 (2) 運動量方程式、エネルギー式、拡散式ともそれぞれの独立変数u, T, CAを入れ替えると、同じ形式で表される。 すなわち運動量輸送、熱輸送、物質輸送は類似性（アナロジー）が成立し、エネルギー式で現れる現象は、同 様に物質輸送でも現れる。 (3) Re 数は、流体の慣性力と粘性力の比を表し、この比が大きくなると粘性によって流れの乱れを抑制させる働き が弱まる。

(4) 運動量方程式の左辺は非線形であり、流れが速くなる と、乱れが大きくなり、層流から乱流に至る。Re数が 円管内強制対流では 2300 以上になると層流から乱流 に遷移する。 (5) Gr数は、自然対流の大きさを表す無次元数であり、こ の数が大きくなると、自然対流の大きさが大きくなる。 最終的は乱流になる。 (6) Pr=1、Sc=1 のとき、壁近傍の濃度変化と温度変化は 同じ形で変化する。 5.5 次元解析 いままで見てきたように、例えば流体中で運動する物体 は、連続の式と運動量方程式（Navier-Stokes 方程式）で 記述できる。しかし実際の体系で、この運動量方程式は非線形であり、解く事が 非常に難しい。そこで系統的に実験をおこない、データーを整理し、未知の条件 における値を既知条件の値から合理的に求める方法が次元解析である。 ここでの次元解析とは、現象に関係する物理量間にある関数関係を、次元を持 たない無次元数で記述する方法である。無次元数は、現象に関係する物理量の組 み合わせからなり、次元解析を用いる事により、対象とする現象の特徴をうまく 表すように導く事が出来る。すなわち、着目する物理現象が複雑でこれを記述す る理論解を求める事が不可能である場合がほとんどである。この場合、現象に関 与する物理量（速度、温度、圧力、物性値、系の大きさ等）をパラメーターにして、多くの実験をおこない、関係 する物理量への依存性をうまく表すように実験結果を整理する。次元解析を用いて、実験によって得られた物理量 間の複雑な関係を一般的な実験相関式の形で表そうとするものである。 (a) 次元解析の例 Fig.5-6 の様に、密度 ρ[kg/m3_{]、粘性係数μ[Pa•s]の静止流体中を速度v[m/s]で運動する直径d[m]の球に作用す} る抗力（抵抗）Fd[N]を考える。Fdは Fd = f d,v,

(

ρ,µ

)

の関数として表される。Fdへのd, v, ρ, µの各物理量の依存性 を調べるため、いろいろな状況の Fd値を実験で求めデーター整理する。次元解析では、Fdの一般式が各物理量の 塁乗積として表せると考える（指数法）。従って次式を得る。 Fd = K

( )

ρ a1 µ

( )

a2 v

( )

a3 d

( )

a4 (5-26) K は無次元の係数、a1〜a4は未知指数である。(5-26)式が成立するためには、基本次元が両辺で同じである必要が ある。基本次元として、長さL、質量M、時間τとすると(5-26)式に含まれる各物理量の次元は、次式で表せる。 ⎡⎣ ⎤⎦ =Fd ML τ2 、 ⎡⎣ ⎤⎦ =ρ M L3 、⎡⎣ ⎤⎦ =µ M τ L、⎡⎣ ⎤⎦ =v L τ、⎡⎣ ⎤⎦ = L d (5-26)式の両辺で３個の基本次元が一致するためには、次式が成立する必要がある。 Fig. 5-6 静止流体中を動 く球に働く力 Fig.5-5

L の指数について ： 1= −3a1− a2+ a3+ a4

M の指数について ： 1= a₁+ a₂

τの指数について ： ₋2= −a₂− a₃

４個の未知数に対して、方程式が３個であるので、a2を使って残りの未知の指数を表すと、a1=1 - a2、a3=2 - a2、

a4=2 - a2を得る。この関係を再度(5-19)式に代入し、整理すると、次式を得る。 F_d ρv2_d2 = K ρ vd µ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −a2 (5-27) 球の投影面積A(=πd2_{/4)、流れの動圧ρv}2_{/2を使って、（無次元）抗力係数Cdを次式で定義する。} C_d = F_d A ρv2 2 (5-28) (5-27)式の右辺は粘性力µv_d に対する慣性力 _ρv2_{の比を表す無次元数で、前のReynolds 数である。} Re= ρvd µ = vd ν (5-29) (5-27)式に、(5-28), (5-29)式を考慮すると、抗力係数は、次の様な Reynolds 数のみの関数で表せる事が予測できる。 CD= f Re

( )

(5-30) 過去多くの異なった流体、流速、形状の条件で集められた球の抗力係数データーをまとめたものが、Fig.5-7 であ る。データーが１本のカーブf(Re)で相関でき、次元解析を用いて得られた無次元数の関数関係から、異なる条件で の抗力係数を求める事が出来る。Re 数の 小 さ い 領 域 は Stokes 流 領 域 で あ り 、 CD=24/Re の関係で表せる。続いて Re=1 付 近 か ら 球 背 後 に 渦 を 発 生 し 始 め 、 Re=100 付近で周期的な Karman 渦が発 生する。そのため、抗力係数はStokes 流 の仮定からはなれ、CDは大きくなる。そ の後、Re>1500 になると球背後の流れは 乱流になり、大きな渦が発生し、CD=0.6 付 近 で ほ ぼ 一 定 の 状 況 が 続 く 。 さ ら に Re>3x105_{以上になると、球表面での流れ} も乱流に遷移し、CDは急に小さくなる。 流れはいくら複雑になっても、当初の基 本次元と関係する物理量に変化がなく、CDがRe 数で整理できることに変わりはない。 (b) バッキンガムのπ定理 次元解析では、現象に関係する因子（物理量）を組み合わせた無次元数の種類を知る事が出来るが、一般には、 Fig. 5-7 球の抗力係数の無次元整理

次のバッキンガムのπ定理によりその個数が規定される。すなわちある現象に関与する物理量が、φ1, φ2, φ3, - - φn のn 個あり、これらの間に次式のような関係があるものとする。 f1

(

φ1,φ2,φ3,−−,φn

)

= 0 (5-31) このとき、物理量φ1, φ2, φ3, - - φnを表すのに必要なk 個の基本次元が必要であるとすると、この物理量は m=n-k 個の無次元数π1, π2, - - ,πmを用いて次のように表す事が出来る。これがバッキンガムのπ定理である。 f2

(

π1,π2,−−,πm

)

= 0 (5-32) 静止流体中に動く球に対する抗力係数の次元解析では、抗力を含む物理量の数は n=5、基本次元の数は m=3 であ り、独立な無次元量の数はk=2 である。 基本次元は、基本単位と呼ぶこともあるが、ここでは次元と単位を区別して扱う。次元が、ある物理的な挙動や 性質の特性を表す、長さ、質量、時間等の物理特性であるのに対して、単位は、[m], [kg], [s]等の次元の大きさを 表す尺度の基準である。次元解析で用いる基本次元には、力学現象において現れる物理量に対して、長さL、質量 M、時間τの次元を、伝熱現象には熱量H、温度θ、物質移動現象には、濃度Cを独立次元として加えて用いる。 しかしながら、熱移動における熱量は、H=ML2_/τ2_{であるから、L, M, τおよびθを基本次元として次元解析をおこ} なう事が出来る。 （補講５） 乱流応力 乱流において、流れは不規則に時間的に変化しながら流れる。任意の瞬間におけるx,y,z 方向速度 vx, vy, vzと圧 力p を、時間平均値v_x, vy, vz , pと変動値v′x, v′y, v′z, p′に分け次式で考える。 vx= vx+ ′vx、vy= vy+ ′vy、vz= vz+ ′vz、p= p + ′p (5-33) 微小時間 dt 内に x 軸に直角な微小面積 dA を通過する流体の質量は ρvxdAdtであり、x 方向運動量流束は Jx=ρvx 2_{dAdtである。J} Xの時間平均を取ったものをdJ_xで表すと、簡単のため密度一定の仮定のもとで、次式のよ うに表す事が出来る。 dJ_x=ρv_x2_{dA=ρ v} x 2 + ′v_x2

(

)

dA (5-34) 同様に,y 方向と z 方向の運動量流束の時間平均 dJy,dJz も次式で表せる。 dJy=ρ v

( )

xvy dA=ρ v

(

xvy+ ′vxv′y

)

dA (5-35) dJ_z =ρ

( )

vxvz dA=ρ

(

vxvz+ ′vxv′z

)

dA (5-36) 各時間変動分の時間平均について、v′_x= ′v_y= ′v_z= 0であるが、(5-34)-(5-36)式右辺第二項中に現れる二つの方向の変 動成分を乗じたものは、時間平均をとっても０にはならない。これらはx 軸方向に垂直な面の単位面積に働く力に なる。 x 方向の垂直応力が−ρ vx 2 + ′v_x2

(

)

、y あるいは z 方向の剪断応力が−ρ

(

vxvy+ ′vxv′y

)

、−ρ

(

vxvz+ ′vxv′z

)

である。 夫々の第一項は3.1 節で示した粘性応力に相当する。第二項は乱れがあるときに現れる応力で、乱流応力あるいは Reynolds 応力と呼ばれる。 結果を３次元に拡張すると、３次元の乱流応力は次式のように書ける。

σx,τxy,τxz τyx,σy,τyz τzx,τzy,σz ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥= −ρ ′ v_x2_,v′ xv′y,v′xv′z ′ v_yv′_x,v′_y2_,v′ yvz′ ′ v_zv′_x,v_z′v′_y,v′_z2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (5-37) Prandtle は、乱流においても分子の平均自由行程に対応する混合距離 _ℓが存在し、混合距離離れた位置間で、運動 量が輸送されると考えた。その理論によれば、例えば、乱流応力成分τ_xyは次式で表せる。 τ_xy=ρ2 ∂vx ∂ y ∂vx ∂ y =ρεM ∂vx ∂ y (5-38) 導入された混合距離は場所や対象としている流れによって変化するが、平均速度に依らないとされている。式中の εMは渦動粘性係数であり、これに適切なモデルを導入し、N-S 方程式中で計算される場合がある。 ε_M = 2 ∂vx ∂ y (5-39)