図形に対する見方・考え方を豊かにする指導の工夫

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平成２０年度理数教育ステップアップ研修実践記録

図形に対する見方・考え方を豊かにする指導の工夫

−四角形の包摂関係を中心として−

（実践者上越市立宝田小学校酒井宏基）

第５学年の単元「いろいろな四角形」では、各四角形の概念が独立しているかのように扱われている。しかし，実際は各四角形の間には包摂関係が存在している。児童が、包摂関係を学年相応に理解するならば、四角形の性質の理解が深まると共に、図形の見方を豊かにすると考える。

そこで、この実践では、四角形相互の関係性を見出していくことを促進させるために包摂関係のイメージ化や辺や角、対角線に関する相等関係などから関係性を捉える活動を工夫していく。

四角形相互の関係性という視点に立ち、学習を進める中で、児童は四角形やその構成要素、作図の意味に対して論理的な思考力を高めていった。

１「理数の面白さや深く追究する楽しさなどを味わわせる」ための構想

理数の面白さ、とりわけ数学の面白さとは、数学的な手順や処理の下で物事を判断していくことであると考える。つまり、学習したことを用いて順序良く考えを進めていくことで直感的な予想が確認されたり、逆に予想に反した事実を得ることができたりするところに理数の面白さがあると考えた。

このことは、図形学習においては特に顕著であろう。多くの児童は図形を対象とした学習を好む傾向にある。数字や量よりも抽象度が低く、目の前に学習の対象があるからと考えられる。だから児童の直感も働くが、対象となる図形における数学的な事実と児童の直感とにはズレが生じることも多い。

このズレを修正し、直感を確かな知識・理解に高めていくために論理的な思考が求められていく。

さて、本実践の中心は包摂関係を取り扱うところである。図形相互の関係性を捉えていくためには見た目や直感ではなく、定義や性質を踏まえて考える過程が必要になる。このことは、図形を統合的に見ることにつながっていくと考える。

包摂関係は本来、現行学習指導要領によれば中学校２年で扱われる内容である。しかし、包摂関係を中学校２年からのみで理解していくことは適切ではなく、遅いと考える。小学校の図形学習の中で折に触れ、図形の関係性についての見方を豊かにしていくべきだと考える。このことに関して、松尾七重氏は、著書「算数・数学における図形指導の改善」で『包摂関係の理解が十分でないのは、中学校２年生における包摂関係自体の学習指導に問題があるだけではなく、むしろ包摂関係に至るまでの過程に問題があるのではないかと考えられる。』と述べている。また、氏は、ファンヒーレ理論によって、小学校から中学校までの教材配列を分析してみると、活動レベルの移行に断絶が見られることも指摘している。これらのことを踏まえると、小学校段階における図形相互の関係性を指導する必要感を新たにするところである。このことを踏まえ、本実践では、包摂関係自体を子どもたちが理解していけるように活動を仕組み、それらの活動の成果や課題を明らかにしていきたいと思う。

また、包摂関係を学習活動の中心にすえながら、図形に対する見方や考え方を論理的な思考や数学的な手続きを踏まえて豊かにしていくことを目指した。

（１）扱う包摂関係について

学習する図形相互の関係性については図１で示すように平行四辺形の集合に含まれるものに

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限ることにした。その理由として次の３点を挙げる。

・小学校５年生における発達段階を考慮した。抽象度が高い一般的な四角形について理解することが難しいと判断したため。

・台形と平行四辺形の関係にあっては、定義「平行な辺が１組（２組）ある。」からしか関係性を見出せない。このことを理解することは小学５年生にとって難しいと判断したため。

・平行四辺形、ひし形、長方形、正方形の間では、性質に関係性があり、児童の理解を促す余地があると考えた。

（２）四角形の擬人化

児童が四角形（平行四辺形）の包摂関係を理解できるようにするために、児童にとって既に関係が十分理解されている集合を四角形に当てはめていくことを考えた。

単元１時間目に児童がジオボードで作った四角形を「四角形小学校の子どもたち」と擬人化する。さらに、学習を進め、平行な辺が０組、１組、２組と、一般的な四角形、台形、平行四辺形を分類した際には、それらを四角形小学校の低・中・高学年と、児童にとって身近な集合を当てはめる。

ジオボードで作った四角形 → 四角形小学校の子どもたち一般的な四角形 → 低学年の児童

台形 → 中学年の児童平行四辺形 → 高学年の児童さらに、平行四辺形からひし形、長方形

を分類していく際には、ひし形、長方形に高学年から選出される清掃班班長と縦割り班班長という集合を当てはめる。このことから、ひし形、長方形の集合の共通部分である正方形という集合は、清掃班班長と縦割り班班長を兼任する児童ということになる。

このように学習する対象を順次、新しい観点から見出していき、その集合に児童の身近な集合を当てはめていく。このことで図２のように四角形相互の関係性

平行四辺形

ひし形正方形長方形図１

正方形

平行四辺形

ひし形長方形

高学年

清掃班班長縦割り班班長

班長兼任

図２

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（３）予想→検証→解釈の過程について

児童が上述した（２）の手立てだけから包摂関係を理解するのは、イメージのみとなり数学的な裏づけが無い状態であるので不適切である。本単元では、平行四辺形の集合に含まれるものについて、

既に明らかになっている事柄がひし形や長方形に当てはまるかどうかということを学習する活動からも四角形の包摂関係についての理解を促すことを試みる。ここで既に明らかになっている事柄とは、

様々な実測、操作から見出される平行四辺形の辺や角、対角線に見られる性質である。

これら５つの平行四辺形の性質がひし形や長方形に当てはまるかどうかということを学習課題にする。

ひし形、長方形はそれぞれ清掃班班長、縦割り班班長という集合にたとえる。予想、検証、結果の解釈という活動を仕組むことで、ひし形（長方形）にア

〜オの事柄が全て当てはまるのは、ひし形（長方形）

は、「もともと平行四辺形であるから。」「高学年から選ばれたから、高学年の性質は当てはまる。」といった見方を獲得していけるようにしていく。

２授業の実際（１）四角形の擬人化

ジオボードで作った四角形を平行な辺の組数で小学校の低学年、中学年、高学年と擬人化した。特に高学年に分類された平行四辺形の集合に含まれるものを取り扱い、擬人化を進めた。

Ｔ「高学年の中で、清掃班の班長を決めましょう。どんな四角形を班長に選ぼうか？」

Ｃ「４つの辺の長さが等しいもの」

Ｃ「通っている点の数や中にある点の数」

Ｃ「積み重ねていっても倒れないもの」

Ｃ「角が４つ全て直角なもの」

このようなやり取りの中で、清掃班の班長は「４つの辺の長さが全て等しいもの」とした。また、

縦割り班班長の選出にあっても、この中のアイディアから選定し、「４つの角が全て直角なもの」とした。ここで、「ひし形」「長方形」を定義づけすると共にそれぞれに高学年から選出される集団を当て、

擬人化した。

この段階で、包摂関係のイメージ化に必要な四角形の擬人化という作業はひと段落した。５年生の大部分はこの擬人化した四角形の世界では、「平行四辺形」に該当する。やはり正方形、長方形という既習事項の図形や、均整が取れたひし形によいイメージが強く、「ぼくたちは平行四辺形か・・・。」

と残念そうにつぶやく児童もいた。この児童のように、既に自分自身を四角形の世界に当てはめて考えていた児童がこの段階で多くいた。

平行四辺形の性質

ア対辺の長さが等しい。

イ対角の大きさが等しい

ウ隣り合う角の大きさの和が 180 度エ 4 つの角の大きさの和が 360 度オ対角線が真ん中で交わる。

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（２）予想→検証→解釈の実際

平行四辺形の性質を明らかにした後で、その性質がひし形に当てはまるかということに関して予想、検証、解釈の学習活動を行った。

予想の段階では、表１に示すように多くの児童が当ては

（人）まるであろうと判断した。５つ全てがひし形に当てはまると考えていた児童は２４名中１８人であった。また、この予想の際に、「予想に理由があれば、文章で書きましょう。」と指示を与えていたが、理由を文章で書いた児童はいなかった。

検証の段階では、何を確かめればよいのかはっきりしていたので、児童は辺の長さを測り、角度を測って、自らの予想を確認していき、平行四辺形で見つけた性質全てがひし形の辺や角にも当てはまることをおさえることができた。

結果を解釈する段階では、例えば、「ひし形に平行四辺形の性質が全て当てはまったのは、ひし形も平行四辺形の一種だから。」など、ひし形が平行四辺形に所属している図形であることについて言及した児童は、４名であった。この活動を長方形でも繰り返し行った。平行四辺形と長方形の関係性での結果解釈にあっては、

１３名の児童が「長方形はもともと平行四辺形だから。」と解釈することができた。反面、「長方形はもともと正方形だから。」と解釈した児童が４人いた。

（３）Ｋさんの考え

本単元では、平行な辺の組数で最初に仲間分けを行った。その際、平行かどうかを見た目以外で判断するために客観的な数値を用いることを発想した児童がいた。

見た目では、人によって平行の判断が様々になり、正確性に欠けるということで、全員が納得いくような判断基準を考える活動を仕組んだ。そこで登場したのがＫさんの考え「Ｋ理論」である。Ｋ理論は向かい合う辺が平行かどうかをそれぞれがドットの間を何回通るかで判断するというものである。

Ｋ理論次の点に行くまでに何回ドットの間を通るかで判断する。

ドットの間を通る回数が等しい→平行等しくない→平行ではないＡＢＣＤ平行四辺形の性質 ○ ×

対辺の長さが等しい２４０対角の大きさが等しい２２２隣り合う角の大きさの和

が１８０°

１８４

全ての角の大きさの和が３６０°

２１３対角線が真ん中で交わる２１３

表１

平行四辺形の性質がひし形に当てはまるか。

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平行四辺形−長方形

ア対辺の長さが等しい。

イ対角の大きさが等しい

ウ隣り合う角の大きさの和が 180 度エ 4 つの角の大きさの和が 360 度オ対角線が真ん中で交わる。

うわけでなく、限定的であったので、学級全体が支持した理論に対して改善を迫ったわけである。見た目にはどうも平行と言い難いＣの辺アイと辺ウエであるがドットの間を通るのはどちらも２回である。（この時点では、ドットの間＝左右のドットの間であった。）課題を提示した直後の児童は困惑していたが、左右のドット間だけではなく、縦のドット間も考慮に入れなければならないという発想が児童から出てきた。（Ｄ）しかし、「Ｄの四角形の辺アイと辺ウエは辺アイが２回、辺ウエが３回で同じではないから平行ではない。」という上下左右のドット間の総数での判別になり、厳密に言えば、課題が残ったが、これ以上追究させることは断念した。

ＥＫは当初から、「次の点に行くまでに、ドットの間を何回通るか・・・」と発表していた。つまり、四角形Ｅにおいて、辺アエと辺イウの平行かどうかの判断は、辺アエは１回、辺イウは２回であるが、途中ちょうど点オを通過しているため、１回が２つと数えられ、平行である判断を下せる状態であっ

た。

（４）楽しようよ！測らなくても分かるよ！！

（２）で記した平行四辺形の性質がひし形に当てはまることを踏まえて、平行四辺形の性質が長方形に当てはまるかどうかという学習活動を行った。ひし形と同様に予想させると、ほぼ全員が当てはまると予想をした。そうして、実測させる前に、今度は測らなくても分かるというものがないかを考えさせた。平行の判断のときのように図形の特徴や既に分かっている性質をもとにして論理的に考える場面を仕組んだ。

ここで確かめるべきア〜オについて、長方形の全ての角の大きさが９０°だということに児童は気づき、

それならばイウエは測らないでも当てはまると言えると判断することができた。

次にアについて、教師から教科書に掲載されている平行の問題（図３）を提示した。このことで、児童はアについても平行線の性質を用いれば、既に分かっている条件（平行）から対辺の長さの関係について判断できることに気がついた。この学習活動では、「オは実際に測って調べてみないと分からないけれど、ア〜エは測らなくても分かる。」という認識までほぼ全員が到達した。

２ｃｍ

？ｃｍ図３

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（５）先生もう一個あるよ！

平行四辺形を作図する際、図４のようにコンパスを用いる方法を学習の題材にした。コンパスを用いるとなぜ平行四辺形を作図することができるのかは、コンパスで作図している曲線の意味や平行四辺形の性質などを復習することで、多くの児童が理解することができた。その上で、「コンパスで円を全部かいたら、どうなると思う。」

と想像させると、「先生！困ってしまいます。」と発言する児童が出てきた。そのことを詳しく話すよう促すと、

「だって、先生もう１個あるよ。」とのこと。これで学級全体が図５のようにコンパスで描いた曲線が再び交わることに気づいていった。

図５でいうと、本来平行四辺形ＡＢＤＣを作図する際には点Ｐ（Ｄ）しか必要ではない。しかしながら、コンパスで作図する辺ＡＢ、辺ＡＣの等長変換の交点はもう一つ存在する。（点Ｑ）それでは、この点Ｑはいったい何を表しているのか。このことがここでの学習課題となった。

点Ｑと点Ｂ、点Ｃを結ぶと、図６のようになる。ここで、この形を今まで学習の中で経験したと主張する児童が出た。平行四辺形を対角線で折ったときの形であると言うのだ。

児童は、平行四辺形とひし形を比べた後、ひし形ならではの性質を探した。その際、平行四辺形とひし形の折り紙を用いて学習した。ひし形は対角線を折り目にすると、ぴったりきれいに重なる（対角線が対称軸になる）が平行四辺形はそうならないことから、児童の中からも「さすが清掃班班長、きっちりしているね。」との声が聞こえていた。「対角線が対称軸である」ということはひし形だからこそ持ち得る性質として児童は理解していた。この学習活動と「先生！もう一個あるよ」の学習活動が結びつき、コンパスで平行四辺形を作図すると、平行四辺形と対角線で折った図形の２つが出来上がることを突き止めることができた。

３実践の考察とまとめ

（１）四角形相互の関係性に対する見方を論理的な思考を通して豊かにする。

①単元構成と四角形の擬人化

児童は本単元で新しく、台形、平行四辺形、ひし形を学習した。たくさんの四角形を、決まっ図４

図５

図６

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それとを重ね合わせながら考えられるようにすることができた。

このように、四角形の集合を順に作り出していく活動を行う傍らで、それらに身近な集合を当てはめていくことで、児童は各概念の位置付けについての理解を深めていった。例えば、「ぼくたちは平行四辺形だ。」と残念がったり、「○○さんは正方形だ！やっぱりすごいね。」と尊敬の気持ちをもったりする児童の様子から、図形の概念と当てはめられた身近な集合やその要素が関連付けられていることが見て取れた。

②タイト＆ワイド（予想→検証→解釈）

平行四辺形の性質がひし形に当てはまるかどうかの活動のように、児童に考えさせる課題とそれを解決していく方策を明確にさせることにより、どの児童も滞りなく活動することができた。

また、その後、明らかになった事実を解釈し、四角形相互の関係性について論理的な思考を促す活動を仕組んだことで、明らかになった事実を価値付けることができた。そして、平行四辺形の性質が全てひし形に当てはまったのは、「元々、ひし形が平行四辺形であるから。」、「ひし形は高学年の一員だから高学年の性質が当てはまる。」という見方を獲得させていくことができた。

しかし、包摂関係のイメージ化や、四角形の擬人化、予想→実測のステップなどが全員に寄与し、関係性を捉えることができたという成果が得られたわけではなかった。集団による学びあいの場を適切に設け、関係性についての考えを練り上げていく活動を充実させることが必要不可欠である。本実践では、教科書に掲載されている問題を解決する際に、ほとんどの児童が包摂関係や四角形の関係性を活用することができた。

また、児童の中には、ひし形や長方形に平行四辺形の性質が全て当てはまるという事実について、「ひし形（長方形）は正方形の形を変えただけだから。」のような解釈を加える者も少なくなかった。本単元で、実践者は四角形の集合を一般から特殊へと条件を順次付加させていく、カメラのズームで言えばタイトの方向で学習を展開させてきた。児童の中には、既習である正方形を基本として新たに学習した図形を捉えていこうとするカメラのズームで言えばワイドの方向で学習しようとしていた者もいた。このような児童の姿から、新たな図形を学習する際には、既習の図形との差異をおさえながら、順次条件をはずして新たな集合を定義していく展開も研究に値するものと考えられる。

（２）平行に対する考え方を数学的な手続きを通して豊かにしていくこと（Ｋ理論とドット図）

この学習活動で、見た目や直感でなんとなく平行を判断するのではなく、数値からそれを判断するという姿勢を養うことができた。厳密に言うと、そもそもＫ理論で、なぜ平行が判断できるのかということや修正が加えられたものの平行かどうかを判断するための必要十分な方法にはなっていない点など課題と言われるべき点はいくつかある。しかしながら、児童自身が数学的な手続きを通して、平行かどうかを判断している状況そのものに実践者は成果があると考えている。

この成果は、ドット図を用いたことによるところが大きい。（方眼紙などでも同様な効果を期待できると考える。）本単元では、単元当初に行ったジオボードによる四角形作りで出来上がった四角形を最後まで用いた。よって、学習の対象となる四角形はドット図に記された四角形である。予想→検証→

解釈の中の検証活動では、辺の長さや角の大きさが整数値でないので、「平行四辺形の性質がひし形にも当てはまる。」ということは数値の上では完璧に一致していたわけではない。その点には課題がある。

しかしながら、ドット図を用いたことは、次に挙げる３点で効果があったと考える。

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ア．平行を判断するＫ理論という考えを促すことができたこと。

イ．実測に誤差が生じるという問題点があったことにより、定義や既に明らかになっている性質から確かめたいことを証明するという態度を養い、その必要性をもたすことができたこと。

ウ．児童自身が作った四角形であることから親しみがあったこと。

（３）長方形の性質に対して、定義や既に明らかになっている図形の性質を活用して論理的に考える。

平行四辺形の性質が長方形に当てはまるかを考えた際、それまで実測で検証してきたが、定義や既に明らかになっている図形の性質を活用して確認した。平行四辺形の性質ア〜オにおいて、イ〜エは角度についての性質である。故に対象が長方形であれば、児童は長方形の定義から９０°という具体的な数値を手がかりにすることができる。このことを用いて計算で確かめることができ、児童は実測することなく、平行四辺形のイ〜エの性質は長方形に当てはまると判断することができた。また、アについても、平行の性質を活用し、対辺の長さが等しいことを導くことができた。

このように、平行四辺形―ひし形では実測をし、数値で確かめ、平行四辺形―長方形では論理的に思考を展開し判断する活動を仕組むことで、児童はその簡便さに良い印象をもっていた。ドット図による四角形の辺の長さや角度がきりの良い数値でなかったことも手伝って、作業を軽減できるように思考する良さを感得することができた。

（４）作図に対する見方を豊かにする。

平行四辺形の作図方法の学習では、なぜ、この手順で平行四辺形がかけるのかという部分をまず大切にした。コンパスで作図する曲線は中心からきまった距離にある点の集まりであることや平行四辺形の性質が表れるように同じ長さになるような一点を探す方法であることなどを説明した。このことで、児童の中には作図に対して「算数のきまりが入っている作業」と捉える者も出てきた。

また、まったく別の物事が、実はつながりをもっているということに感動することができたのもこの授業の中であった。コンパスを用いた作図が平行四辺形の折り紙を折ったときの様子と同じことを表していることは児童にとって、とても大きな驚きであった。

引用・参考文献

「算数・数学における図形指導の改善」松尾七重著東洋館出版Ｐ４３、Ｐ５６