[ 東京工業大学 1995 年前期 １ ]
n=1, 2, 3,"に対して数列 ( 2)( 3)( 4)
( ) !
n n n
a n n
+ + +
= を考える。
(1) lim ( )
n a n
→∞ を求めよ。
(2) a n( )が整数となるnをすべて求めよ。
(3) 積a(1) (2)a "a n( )が整数となるnをすべて求めよ。
(1) 十分大きな自然数nに対し，n!=n n( −1)(n− × −2) (n 3)!
よって ( 2)( 3)( 4) 1
( ) ( 1)( 2) ( 3)!
n n n
a n n n n n
+ + +
= ×
− − − となる。
ここで，
2 3 4
1 1 1
( 2)( 3)( 4)
( 1)( 2) 1 2
1 1
n n n
n n n
n n n
n n
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
+ + +
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
+ + + = ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
− − ⎛ ⎞⎛ ⎞
− −
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
→1 (n→ ∞)
1 (n 3)! →0
− (n→ ∞) であるから lim ( ) 0
n a n
→∞ = である。
(2) 3 4 5
(1) 60
a = ⋅ ⋅1! = ， 4 5 6
(2) 60
a = ⋅ ⋅2! = ， 5 6 7
(3) 35
a = ⋅ ⋅3! = ， 6 7 8
(4) 14
a = ⋅ ⋅4! = ，
7 8 9 21
(5) 5! 5
a = ⋅ ⋅ = ， 8 9 10
(6) 1
a = ⋅ ⋅6! = であるから n≦6の範囲ではa n( )が整数になるのは n=1, 2, 3, 4, 6 のときである。
また，n≧7では 0<a n( )<1 であるのでa n( )が整数になることはない。
このことを数学的帰納法により示す。
(ⅰ) n=7のとき， 9 10 11
(7) 7!
a ⋅ ⋅
= 11
= 56 より 0<a(7)<1 である。
(ⅱ) n=kのとき， ( 2)( 3)( 4)
0 ( ) 1
!
k k k
a k k
+ + +
< = < であるとする。
このとき， ( 3)( 4)( 5) ( 1)
( 1)!
k k k
a k k
+ + +
+ = +
2 ( 3)( 4)( 5)
2 ( 1) !
k k k k
k k k
+ + + +
= ⋅
+ +
5 ( 2)( 3)( 4)
( 2)( 1) !
k k k k
k k k
+ + + +
= ⋅
+ +
5 ( 2)( 1) ( )
k a k
k k
= + ⋅
+ + である。
ここで，k≧7のときは (k+2)(k+ −1) (k+5)=k2 +2k−3
=(k+1)2 −4
≧(7 1)+ 2−4 >0 であるから 5
0 1
( 2)( 1) k
k k
< + <
+ + なので，0<a k( + <1) 1 が成り立つ。
よって n= +k 1 のときも成り立つ。
(ⅰ)(ⅱ)から数学的帰納法によりn≧7では 0<a n( )<1 である。
よって，求めるnは n=1, 2, 3, 4, 6
(3) pn =a(1)⋅a(2)⋅""⋅a n( ) (n=1, 2, 3,")とおくと，{pn}は(2)より各項正でn≧7では減少する。
また，(2)の計算結果より n≦6ではpnは整数である。
n≧7でのpnを求めてみると
p7 = p6⋅a(7) 21
60 60 35 14 1 (7)
5 a
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 5 3 2 3 9 10 11
2 3 5 7
7!
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =22⋅ ⋅ ⋅ ⋅3 53 2 7 112
p8 = p7⋅a(8) 2 3 2 2 10 11 12 2 3 5 7 11
8!
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 52 2 27 112 2
⋅ ⋅ ⋅
=
p9 = p8⋅a(9) 3 52 2 27 112 11 12 13
2 9!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ 5 11 1373
2 3
⋅ ⋅
= ⋅
p10 = p9⋅a(10) 5 11 13 12 13 1473
2 3 10!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
⋅
3 2
12 4
11 13 2 3 5 1
= ⋅ <
⋅ ⋅
となることから，n≧7の範囲でpnが整数になるのは n=7 のみである。
よって，求めるnは n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 である。
