１
[2018 京都大] 整数問題
が素数となるような整数 をすべて求めよ。
解説
は連続する 整数の積であるから， の倍数である。
よって， は整数 とおくと
は整数であるから， は の倍数である。
よって， が素数となるとき，その値は である。
ゆえに すなわち よって
したがって ， ，
２
[2002 大阪大] 微分積分
実数の定数 に対して， 次方程式 の実数解の個数は 個であること を示せ．
， は定数で ， とする． つの 次方程式 ，
の実数解をそれぞれ ， とするとき， が成り立つことを示せ．
解説
とおく．
から， は単調に増加する．
すなわち， のグラフは 軸と 点だけ共有点をもつ．
よって， の実数解の個数は 個である．
， から
， とおくと， から ， はともに
単調に増加する．
更に， ， であるから ， ゆえに ，
よって ゆえに
-1-
３
[2014 大阪市立大] 三角比 微分積分
右の図のような三角柱 － が中心 ，半径 の 球に内接している。すなわち，三角柱の頂点 ， ， ，
， ， はすべて，中心 ，半径 の球面上にある。
また，三角形 と三角形 は合同な正三角形で，
四角形 ，四角形 ，四角形 は合同な 長方形であるとする。
， とおく。ただし， ，
とする。
の値を求めよ。
三角柱 － の体積 を を用いて表せ。
の最大値を求めよ。
解説
から辺 に垂線 を下ろすと，△ は
， の二等辺三角形であるから
同様に， から辺 に垂線 を下ろすと
，
より， から平面 に垂線 を
下ろすと となり， は △ の外心 である。
点 ， ， ， は同一平面上にあり，長方形の つ の頂点をなすから
△ に対して正弦定理から よって
ゆえに
△ △
より， であるから
であるから， とおくと
，
とすると， より， であるから よって， における の増減表は次のようになる。
… …
のとき， であり， から
よって， から
から， であり，このとき は最大となる。
ゆえに， の最大値は
４
[2019 福井大]
数列 の初項から第 項までの和を と表す。 ， ， ，……
が成り立つとき，次の問いに答えよ。
， ， を求めよ。
を の式で表せ。
とおくとき， を の式で表せ。
数列 の一般項を求めよ。
解説
