高階微分・ライプニッツの公式・平均値の定理

微積分Ｉ 演習 ( 第 5 回、 2012.5.16)

高階微分・ライプニッツの公式・平均値の定理

n

階微分

d ⁿ

dx ⁿ f (x) := d dx

d ^{n − 1}

dx ^{n − 1} f (x) = f ⁽ⁿ⁾ (x) d ⁿ

dx ⁿ (f (x)g(x)) =

∑ n

r=0

( n r )

f ^(r) (x)g ^{(n − r)} (x) (ライプニッツの公式)

例

1

 次の関数の

n

階微分を計算せよ。

(1) sin x (2) tanh ^{− 1} x (3) √

x

例

2

 次の

n

階微分をライプニッツの公式を用いて計算せよ。

(1) x ³ sin x (2)x log x

例

3

 次の等式を証明せよ。

∑ n

r=0

( n r )

( − 1) ^r = 0

平均値の定理

(a, b)

において微分可能、[a, b]において連続な関数

f (x)

に関して、

f (a) − f (b)

a − b = f ^′ (ξ)

となる

a < ξ < b

となる

ξ

が存在する。

（例）80キロメートル離れた場所に車で行くことにした、その所要時間はちょうど

1

時間だった。このとき、

その間にちょうど時速

80

キロメートルの瞬間が

1

回はある。（ただし車は滑らかに運転されているとする。）

一次近似

a

を

x

に、bを

a

に置き換える。xと

a

が近ければ、

f (x) = f (a) + f ^′ (ξ)(x − a) ≈ f(a) + f ^′ (a)(x − a)

f (x)

を

1

次関数で近似できる。（一次近似）

例

4

 次の値を関数の一次近似を用いて近似計算せよ。

(0.99) ^1/4

演習問題

問題

1

 次の関数の

n

階微分を計算せよ。

(1) cos x (2) e ^x sin x (3) log x

問題

2

 次の

n

階微分を計算せよ。

(1) 1

x ² − x − 2 (2)x ³ e ^2x

問題

3

 次の等式を証明せよ。

∑ n

r=0

( n r )

( − 2) ^r = ( − 1) ⁿ

問題

4

 

(1) √

³

0.99, (2) cos ( 61

180 π )

の近似を計算せよ。