p : D −→ R 3 が曲面をなす（ま たは, S = { p(D) }が曲面をなす）とは, 任意のu ∈ D に対して,

「２０１３年度前期幾何学５・幾何学概論１」資料１

1 Definition 1.1. R ²

の領域

D

上の滑らかな関数

p : D −→ R ³

が曲面をなす（ま たは,

S = { p(D) }

が曲面をなす）とは, 任意の

u ∈ D

に対して,

rank ∂ ¹ p ¹ (u) ∂ ¹ p ² (u) ∂ ¹ p ³ (u)

∂ 2 p ¹ (u) ∂ 2 p ² (u) ∂ 2 p ³ (u)

!

= rank ∂p(u) = 2

が成り立つことである. この時,

∂

∂u ¹

P

= ∂ 1 p(P ),

∂

∂u ²

P

= ∂ 2 p(P )

と書く. 曲面

S

の

P ∈ S

における接ベクトル全体のなすベクトル空間を

P

にお ける接空間と呼び

T P S

と書く. この時,

∂

∂u ¹

P

, ∂

∂u ²

P

は

T P S

の基底を なす. また,

n(P ) = ∂ ¹ p(P ) × ∂ ² p(P )

| ∂ ¹ p(P ) × ∂ ² p(P ) |

を曲面

S

の

P ∈ S

における法ベクトルと呼ぶ. 法ベクトルで張られる

R ³

の部分 空間を

N P S

と書く.

Definition 1.2.

曲面

S = { p(D) }

に対して

g ij (P ) =

∂

∂u ⁱ

P

, ∂

∂u ^j

P

, g = g ij du ⁱ du ^j , h ij (P ) = h ∂ i ∂ j p(P ), n(P ) i , h = h ij du ⁱ du ^j ,

で定義される対称双線形形式

g , h

をそれぞれ

S

の第一基本形式,第二基本形式と 呼ぶ. ただし,

{ du ⁱ (P ) }

は

_∂

∂u

¹

P , _∂u ^∂

2

P

の双対基底である.

Definition 1.3. t = 0

で

P ∈ S

を通り,

g(p ^′ (t), p ^′ (t)) ≡ 1

をみたすすべての曲線 に対して,

h(p ^′ (0), p ^′ (0))

の最大値と最小値を

P = p(0) ∈ S

における主曲率と呼 ぶ.

P

における主曲率の積を

P

におけるガウス曲率

K(P ), P

における主曲率の

（算術）平均を

P

における平均曲率

H(P )

と呼ぶ.

Theorem 1.4.

K = det h

det g = h 11 h 22 − h ² 12

g ¹¹ g ²² − g ² 12

,

H = trace hg ^{− 1} = g ¹¹ h ²² + g ²² h ¹¹ − 2g ¹² h ¹² 2(g ¹¹ g ²² − g 12 ² ) Theorem 1.5 (Gauss

の公式).

∂ i ∂ j p = Γ ^k _ij ∂ k p + h ij n Γ ^k _ij = 1

2 g ^kℓ (∂ j g iℓ + ∂ i g jℓ − ∂ ℓ g ij ) , Γ ⁱ _jk = Γ ⁱ _kj

ここで定義した

Γ ^k _ij

を

Christoffel Symbol

と呼ぶ.

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2

Theorem 1.6 (Weingarten

の公式).

∂ i n = − g ^jk h ki ∂ j p Definition 1.7.

曲率テンソル

R ijkℓ

を

R ijkℓ = g im R ^m _jkℓ ,

R ⁱ _jkℓ = ∂ k Γ ⁱ _jℓ − ∂ ℓ Γ ⁱ _jk + Γ ^m _jℓ Γ ⁱ _mk − Γ ^m _jk Γ ⁱ _mℓ

で定義する.

Theorem 1.8. ∂ k ∂ j ∂ i p = ∂ j ∂ k ∂ i p

であることと

R ijkℓ = h ik h jℓ − h iℓ h jk (1.1)

∂ k h ij − h ℓj Γ ^ℓ _ki = ∂ j h ik − h ℓk Γ ^ℓ _ji (1.2)

は同値である. (1.1) を

Gauss

の方程式, (1.2) を

Codazzi

の方程式 と呼ぶ. ま た,

∂ i ∂ j n = ∂ j ∂ i n

であることと

(1.2)

は同値である.

Definition 1.9.

曲面に関する量が第一基本形式のみに依存する時,内部量である という

Theorem 1.10 (ガウスの定理).

曲面のガウス曲率は内部量である. 特に,

K = R ¹²¹²

det g

となる.

Theorem 1.11.

第一基本形式

g

が

g ¹² = 0

をみたすとき,

K = − 1

2 √ det g

∂ ¹ 1

√ det g ∂ ¹ g ²²

+ ∂ ² 1

√ det g ∂ ² g ¹¹

と書ける.

Example 1.12 (球面). K = 1

1. D = { (u ¹ , u ² ) ∈ R ² : 0 < | u ¹ | < π/2, | u ² | < π } ,

p(u ¹ , u ² ) = (cos u ¹ cos u ² , cos u ¹ sin u ² , sin u ¹ ) g ¹¹ = 1, g ¹² = 0 g ²² = cos ² (u ² ), h ¹¹ = 1 h ¹² = 0, h ²² = cos ² (u ² )

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3

2.

（立体射影）D

= R ² , p( u ) =

2 u ¹

| u | ² + 1 , 2 u ²

| u | ² + 1 , | u | ² − 1

| u | ² + 1

,

g ¹¹ = 4

((u ¹ ) ² + (u ² ) ² + 1) ² , g ¹² = 0 g ²² = 4

((u ¹ ) ² + (u ² ) ² + 1) ² ,

h 11 = 4

((u ¹ ) ² + (u ² ) ² + 1) ² , h 12 = 0, h 22 = 4

((u ¹ ) ² + (u ² ) ² + 1) ² , Example 1.13 (平面). K = 0

D = R ² ,

p(u ¹ , u ² ) = (u ¹ , u ² , 0)

g 11 = 1, g 12 = 0 g 22 = 1, h ¹¹ = 1 h ¹² = 0, h ²² = 1 Example 1.14 (双曲平面). K = − 1

1. D = H = { (u ¹ , u ² ) ∈ R ² : u ² > 0 }

g = du ¹ du ¹ + du ² du ² (u ² ) ²

（上半平面モデル）

2. D = { u ∈ R ² : | u | < 1 }

g = 4(du ¹ du ¹ + du ² du ² ) (1 − | u | ² ) ²

（ポアンカレ・ディスクモデル）

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