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金融論第3章投資の収益率と利子率中村学園大学吉川卓也 1

1 収益と収益率

キーワード：収益、収益率、利子、利子率、複利指数関数 2

重要なセンテンス

• 利子率が預金（という投資）の収益率 • 利子率＝お金の貸し手にとっての収益率 • 利子にも利子が付くのが複利の仕組み。 • この仕組みがあるために，資産や借金に手を付けないでいると，一定の増加率で増え続けます。とくに借金には注意しましょう。 3

駐車場のビジネス

• 1000万円の初期投資をする。 • 収入から費用を引くと100万円が手元に残る。 4

QUESTION

１. この駐車場ビジネスで1年後の駐車場の売却価格が1,000 万円の場合，ビジネスの収益と収益率はそれぞれどうなるでしょうか？ 1年後の売却価格が900万円の場合はどうでしょうか？

Answer

「投資した金額」は 1,000 万円で固定されています。異なるのは「将来手にする金額」です。駐車料金等からの収入 100 万円に売却価格を加えたものが「将来手にする金額」になるので，売却価格が 1,000 万円の場合，「将来手にする金額」は 1,100 万円ですので，（純）収益と

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（純）収益＝将来手にする金額 1,100 万円－投資した金額 1,000 万円＝100 万円 7 収益率＝（純）収益100万円÷投資した金額1,000万円＝0.1 すなわち10％となります。 8 売却価格が 900 万円のときは，「将来手にする金額」が 100 万円少なくなるので，（純）収益＝将来手にする金額 1,000 万円－投資した金額 1,000 万円＝0 円 9 収益率＝（純）収益 0 円÷投資した金額 1,000 万円＝0 10 すなわち0％。つまり，収益は生まれないということです。さらに売却価格が 900 万円よりも下がると，（純）収益，収益率ともにマイナス，つまり損失が発生することになります。その原因は駐車場の価格の下落に伴う損失，キャピタル・ロスにあります。 11

QUESTION

２. あなたの銀行預金の利子率を調べてみましょう。わからない場合は銀行のホームページで調べられるので，銀行ローンの利子率もチェックしてみましょう。 12

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Answer

第 1 章の 5 ページの QUESTION と同じ問題ですが，利子率＝貸し手の収益率という視点から，もう一度，利子率の違いに関心を持って，調べて欲しいと思います。 13

POINT

• 利子率＝お金の貸し手にとっての収益率 14

QUESTION

３. 10万円を1％の利子で1年間預金すると、1 年後には10万1000円になります。そのまま預金を引き出さずに，さらに1年が経過すると，預金残高はどうなるでしょうか？ 15

QUESTION

4. 10万円を10％の利子で1年間借りると、1年後には11万円返さなければならなりません。そのまま返済をしないでいると，借入から5年後には，借金はいくらになっているでしょうか？ 17 1年経つと最初の借金10万円に10%の利子1万円が付いて11万円になるのですが、利子の1万円は、利子(1万円)=最初の借金(10万円)×利子率(0.1) と書けるので、1年後の借金を式で表すと， 1年後の借金 =最初の借金(10万円)+利子(1万円) =最初の借金+最初の借金×利子率 =最初の借金×(1+利子率) と書き表すことができます。利子率が0.1なので、 1年経つと借金が1.1倍になることがわかります。

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返済をしないでさらに1年が経過するとまた 10%増えるので、2年後の借金は、 2年後の借金=1年後の借金×(1+利子率) =最初の借金×(1+利子率)×(1+利子率) =最初の借金×(1+ 利子率)2 となります。 21 一般に、年後の借金=最初の借金 1 利子率) という公式が成り立ちます。 22

QUESTION

４. そのまま返済をしないでいると，借入から20 年後，30年後には借金はいくらになっているでしょうか？（計算をする前に予想をしてみましょう） 23 • 上の問題はいずれも本文中に解説がありますが，より詳しい解説が「［発展］複利の計算：なぜ借金は大きく増えてしまうのか？」（39 ページ）にありますので，そちらも読んでみてください。 25 • 計算の過程がわかったら，自分で計算してみましょう。電卓を使っても良いですし，最近では Microsoft 社の表計算パソコンソフト Excel などを使って簡単に計算ができるようになりました。金融実務の現場では，こうしたパソコンソフトの使用が必須となっていますので，金融機関で働きたい人はぜひチャレンジしてみてください。 26 27

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POINT

• 利子にも利子が付くのが複利の仕組み。 • この仕組みがあるために、資産や借金に手を付けないでいると、一定の増加率で増え続けます。とくに借金には注意しましょう。 28

2 なぜ収益そのものよりも収益率のほう

が大事なのか？

29 最終的な収益率＝最終的な収益投資資金

QUESTION

あなたは100万円のお金を将来のために投資しようと考えています。以下の5つの投資対象があるとき，どのように投資をするのがよいでしょうか？ 30 ただし，AからDまでのビジネスは，それぞれ指定された金額以上の投資はできないものとします。また，すべての投資の収益は確実であり，複数の対象を組み合わせての投資も可能とします。 31 A いま10万円投資すると、1年後に1万円の収益をもたらすビジネス B いま40万円投資すると、1年後に3万円の収益をもたらすビジネス C いま60万円投資すると，1年後に4万円の収益をもたらすビジネス D いま80万円投資すると，1年後に5万円の収益をもたらすビジネス E 1年当たり7％の利子が付く定期預金

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POINT

• 収益ではなく，収益率を見て投資を判断しなければならない。 • 収益率の高い対象に，より多くを投資することで全体の収益率は高くなる。 38

3 収益率を使った高度な投資判断

キーワード：機会費用、資本コスト、内部収益率、キャッシュフロー、イールド 39

POINT

• ある投資機会の収益率が，資本コスト（犠牲となる収益率）を下回るならば，それに投資すべきではない。 • 投資期間が異なるときには，期間をそろえた収益率を比較して投資判断をしなければならない。 40

QUESTION

あなたは100万円のお金を将来のために投資しようと考えています。以下の4つの投資対象があるとき、どのように投資をするのがよいでしょうか? ただし、AとBのビジネスは、それぞれ指定された金額以上の投資はできないものとします。また、すべての投資の収益は確実であり、複数の対象を組み合わせての投資も可能とします。 41 A いま50万円投資すると、1カ月後に1万円の収益をもたらすビジネス B いま50万円投資すると、1年後に5万円の収益をもたらすビジネス C 1年当たり12%の利子が付く定期預金 D 1カ月当たり1%の利子が付く定期預金 42

QUESTION

• ある駐車場ビジネスは、最初に１００万円初期投資すると、１年後に２０万円、２年後に２０万円、３年後に２０万円の料金収入をもたらすという。３年後には駐車場を１００万円で売却できるとする。 48

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表3.1 駐車場ビジネスのキャッシュフロー

現在（初期投資）１年後２年後３年後－１００万円２０万円２０万円１２０万円 49 • この投資から得られるお金の流れ（キャッシュフロー）を銀行預金で再現できるとしたら，その銀行預金の利子率はいくらでしょうか？ 50 銀行預金の利子率が20％なら、 • 現在 100万円を預金 • 1年後 100万円×（1＋0.2）=120万円 20万円引き出すと、預金残高は100万円 51 • 2年後 100万円×（1＋0.2）=120万円 20万円引き出すと、預金残高は100万円 • 3年後 100万円×（1＋0.2）=120万円 120万円引き出すと、預金残高は0 52 • つまり、駐車場ビジネスの収入（キャッシュフロー）は、預金利率20％の定期預金と同じ。 • したがって、駐車場ビジネスの（内部）収益率は20％と考えることができる。 • 利付債の内部収益率をイールドという。

QUESTION

１. 第1章1節で紹介した凸凹自動車の利付債をもう一度見てください（6 頁）。額面価格が100 万円で、利率が3.0％と書いてあります。この利率は額面価格100万円に対する利払いの額3万円の比率で、しばしばクーポンレートと呼ばれます。将来のキャッシュフローを表にまとめると、以下のようになります。

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1年後 2年後・・・ 9年後 10年後 3万円 3万円・・・ 3万円 103万円 55 ⑴ この利付債が現在100万円で売られているとしたら、イールドは何％でしょうか？ ⑵ この利付債が現在130万円で売られているとしたら、イールドは何％でしょうか？

Answer（1）

現在 1年後 2年後・・・ 9年後 10年後－100万円 3万円 3万円・・・ 3万円 103万円 56 • 結論としては、上の表のように、1年あたりの利子率が３％の銀行預金があれば、このお金の流れを再現できますので、イールド（内部収益率）は３％となります。 • 確認してみましょう。 • まず、現在時点で100万円を預金します。利子率が３％なので、1年後には103万円になります。そこから、3万円だけ引き出すと、預金額は100万円に戻りますから、2年後には再び 103万円になります。 57 • このように毎年3万円の利子が発生するごとに、その3万円を引き出すことで、預金額を 100万円に戻していけば、10年後には103万円の預金残金があるので、これを引き出すことで、利付債とまったく同じお金の流れを再現できることがわかります。 58 • この問題では、債券の現在の価格が額面価格と等しい100 万円で、そのイールドはクーポンレートと等しい３％になることがわかりました。 • このケースのように額面価格と債券の価格が同じ場合、債券のイールドはクーポンレートと等しくなります。 59

Answer（2）

60 現在 1年後 2年後・・・ 9年後 10年後－130万円 3万円 3万円・・・ 3万円 103万円 • 10年間でもらえる金額の合計は130万円で現在の債券の価格と一致しています。 3×10+100=130万円

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• 利子がない銀行預金でも、今130万円を預ければ、利付債がもたらす収入分130万円を引き出すことが可能です。 • つまり、利子率０％の銀行預金と同じなので、イールド（内部収益率）は０％となります。 61

QUESTION

２．毎年1万円を永久に払い続けてくれる債券（コンソル債と言います）が、200万円で売られています。この債券の内部収益率は何％でしょうか？ 62

Answer

• このキャッシュフローを銀行預金で再現するとは，200万円を預金して，その後，毎年1万円を永久に引き出し続けることができることを意味します。毎年，発生する利子が1万より小さいとしたら，預金した200万円はどんどん少なくなっていき，いずれ預金を引き出すことができなくなってしまうでしょう。 63 • 逆に，発生する利子が1万円より大きければ，預金はどんどん膨れ上がってしまいます。 • 過不足なく，ちょうど1万円を引き出し続けることができるためには，毎年の利子がちょうど1 万円であればよいのです。 64 • そうなるためには利子率が0.5％（0.005）であればよいということになります。つまり、内部収益率は 0.5％となります。