先端物性科学　Ｉ：超流動

先端物性科学 Ｉ：超流動

参考文献 「超流動」 山田一雄・大見哲巨 （培風館） 「超伝導」 家泰弘 （朝倉書店）

１日目 Boson

２日目 Fermion

Superfluid

4

He

The most explicit example of “quantum liquid”. _{BBC film (1961?)}

相図

ヘリウム４ 中性子２個 陽子２個 ボゾン ゼロ点振動エネルギー Lennard-Jones potential ２５気圧まで固化しない

相図：Clausius-Clapeyron

ヘリウム４ 中性子２個 陽子２個 ボゾン Clausius-Clapeyron ほとんど平ら ～ 液体と固体のエントロピーが ほとんど同じ エントロピー０の液体！！

相図：

l

_転移

ヘリウム４ 中性子２個 陽子２個 ボゾン 超流動転移に 伴う比熱のとび 宇宙空間での無 重力下での観測。 １０桁にわたって 臨界発散が観測さ れ、繰り込み群に よる計算結果との 一致が観測された。 Lipa (2003) PhysRevB.68.174518

相図

ヘリウム４

中性子２個 陽子２個 ボゾン

ヘリウム３

ちょっとだけ歴史

Heike Kamerlingh Onnes & Johannes Diderik van der Waals (r.), in Leiden, 1908

Historic graph showing the superconducting transition of mercury, measured in Leiden in 1911 by H. Kamerlingh Onnes

ヘリウムの液化：１９０８年 超伝導の発見： １９１１年 超流動の発見： １９３８年

BEC of ideal Bose gas in 3D

熱的ドブロイ波長

T < T_cで異なる二つの原子の区別がつかなくなる。

３次元のBose粒子である限り、ボース凝縮は必然的 に起きる。相互作用なしで起こる（唯一？）の相転移。

BEC of ideal Bose gas in 3D

本当にBose-Einstein 凝縮？

そんなに違わない。しかし、相互作用を 無視できるわけがない。

Unsolved question:

“Any liquid/gas phase of a Bose system at

T = 0 must inevitably be Bose-condensed?”

- ,,, there are strong qualitative

arguments which suggest that it is likely

to occur, ,,

本当にBose-Einstein 凝縮？

そんなに違わない。しかし、相互作用を 無視できるわけがない。 Penrose-Onsager (1956) ヘリウムを剛体球だと思って計算 ⇒ n₀ ~ 10 % n₀の実測と理論 少なくともBECとはコンシステント

アルカリ希薄ガスのボース凝縮

NIST/JILA/CU-Boulder - NIST Image M.H. Anderson et al., Science (1995)

Velocity-distribution data for a gas of rubidium atoms

~ 2 x 104 _{個のRb原子をレーザー} 冷却－蒸発冷却させることでT ~ 170 nKでBECを観測 Rb:融点３９℃の金属 l ~ 10 pm @300 K → 0.4 mm @200 nK 液化しないように空中に浮かせて、かつ原子間距離 を長く保つ。低温で熱的ドブロイ波長をそれよりも長 くすればＢＥＣ転移する。

アルカリ希薄ガスのボース凝縮

NIST/JILA/CU-Boulder - NIST Image M.H. Anderson et al., Science (1995)

Velocity-distribution data for a gas of rubidium atoms

~ 2 x 104 _{個のRb原子をレーザー}

冷却－蒸発冷却させることでT ~ 170 nKでBECを観測

理想ボースガスに近いシステム。 相互作用を変調させる事も可能。

BECでおきる現象：渦の量子化

BECでおきる現象：渦の量子化

ゲージ対称性が破れる

超伝導体での渦の量子化

超伝導体中では磁束が量子化

積分のパスを磁場侵入長lより

超伝導体での渦の量子化

Hess et al., PRL 1989

NbSe₂のSTM等で観測されている

Josephson equations

J. C. Davis and R. E. Packard

Review of Modern Physics 74, 741 (2002) 当時大学院生だったジョセフソ_{ンにより予言}

AC Josephson effect of superfluid

超流動体の間に圧力 P P 超流動ヘリウム３だと、、 丁度、耳で聞こえる。 （人間の可聴域 ２０ Ｈｚ～２０ ｋＨｚ）

AC Josephson effect of superconductor

超伝導体の間に電圧 V V 16桁の精度で確認 現在の電圧標準を与える。 主に、ナノテクで作られている。 _{ローテクでもOK。}

DC-SQUID of superconductor

超伝導ループ内の磁場によって振動する。

DC-SQUID of superconductor

1. バイアス電流を流してIcの変化を電圧の変化に置き換える。

DC-SQUID of superfluid

Sato & Packard, Physics Today

65(10), 31 (2012)

R.Simmonds et al., Nature

ここまでのまとめ

 ボース系では温度を下げていった時に必 ずボース凝縮が起きる。 おそらく相互作用なしで起こる唯一の相 転移現象 （注：ただし、理想ボース粒子の超流体は 不安定） 熱的ドブロイ波長～粒子間隔  ゲージ対称性が破れた結果、渦の量子化 が起こる。 トポロジカルに安定な構造  超流体の場合は渦度が量子化  超伝導体の場合は磁束が量子化 液体ヘリウム４の超流動 • 最低温度まで液体 • 超流動転移してエントロピー０の液体 • 粘性０の超流体 • ヘリウム４の超流動転移はボース凝 縮であると考えられている。 • 凝縮密度 n₀ は実験的にも理論的にも １０％程度。 • 渦の量子化が確かに観測されている。 希薄ボースガスでもボース凝縮 • 凝縮成分n₀が露わに観測されている。 • 渦の量子化 Josephson接合 • 位相の揃った巨視的波動関数 • Josephson振動

Isolated dimer









                                                                                          2 1 2 1 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 1 h J J J h J h J J J J J h J

2 J

古典的なAF状態よりも singlet状態の方が energy低い

Dimer spin materials

BaCuSi₂O₆: “Han purple” body-centered tetra

Sparta&Roth (2004) Acta Cryst. B60, 491-495

Dimerが並んだような配置 ～ Coupled two-leg ladder

TlCuCl₃ Monoclinic: P21/c

Double chain along a-axis

TlCuCl₃: J = 5.26 meV, J_|| = ??

BaCuSi₂O₆ :J = 4.45 meV, J_|| = 0.51 meV, J’ = 0.11 meV Spins form pair of singlet dimer

Vanishing M in dimer materials

TlCuCl₃

Oosawa et al., (1999) J. Phys. Condens. Matter 11, 265

BaCuSi2O6

Sasago et al., (1997) PRB 55, 8357

Weakly coupled ladder

Effective magnetic field

Effective Hamiltonian

(low temperature, low magnon density)

Hopping of magnon Magnon interaction

D = 4J_||

BEC of magnon

Effective Hamiltonian

(low temperature, low magnon density)

H < H_g H > H_g

BEC of weakly-interacting Bose gas

BEC of magnon

Effective Hamiltonian

(low temperature, low magnon density)

BEC of weakly-interacting Bose gas

マグノンの数は不定なので下の方式からself-consistentに求める。

BEC takes place

BEC of magnon

:Number of magnons = Magnetization

M in TlCuCl₃

Yamada (2008) JPSJ 77, 013701

M increases for T < Tc

Evidence for magnon BEC

BEC of magnon

:Number of magnons = Magnetization

Yamada (2008) JPSJ 77, 013701

Exponent of f

Heat capacity of TlCuCl

₃

l-like anomaly observed at T_N

LRO of M

_st

in X-Y plane

BEC: condensate = off-diagonal LRO

Magnon BEC:

Off-diagonal component |0,0> and |1,1> LRO in <S_x ± iS_y> Tanaka et al., (2001) JPSJ 70, 939 Transverse staggered magnetic moment 𝑆_𝑥 + 𝑖𝑆𝑦 = 0 1 0 0 , 𝑆𝑥 − 𝑖𝑆𝑦 = 0 0_{1 0} For H > Hc, field-induced in-plane AF order takes place

Magnon BEC in BaCuSi

₂

O

₆

Sparta&Roth (2004) Acta Cryst. B60, 491-495

Body-centered tetragonal

structure. Higher symmetry _{Smaller anisotropy}

BaCuSi₂O₆ :J = 4.45 meV J’ = 0.51 meV, J’’ = 0.11 meV

H_c ~ 23.2 T

Heat capacity in BaCuSi

₂

O

₆

Jaime et al., (2004) PRL 93, 087203

Clear l-like peak in C.

Magnon BEC : Phase diagram

Sebastian et al., (2006) Nature 441, 617

Singlet-Triplet間のギャップがなく なるとすぐにBECが起きていること がわかる。

Pressure-induced Néel order in TlCuCl₃

Quantum critical point in BaCuSi

₂

O

₆

Sebastian et al., (2006) Nature 441, 617 Chakravarty-Halperin-Nelson PRB (1989)

Sachdev & Keimer, Physics Today (2011)

ボース凝縮しないボゾン

Quantum dimer – Néel order 絶対零度での相転移 磁場や圧力などの変化によって相転移  全然異なる二つの波動関数の間でゆらぐ  QCP自身は絶対零度にしか存在しないが、 その影響は有限温度まで延びてくる。

Quantum criticality

非フェルミ液体や高温超伝導など の新奇凝縮相の原因？

Sachdev-Keimer (2011), Quantum Criticality, Physics Today 64, 29

Fermi liquid

臨界現象：繰り込み群

臨界指数の定義 臨界点近くで相関距離xが非常に長くなっているときに 1 < b << xの距離の範囲で平均化する。 このときに他のパラメータがどういう風に変化するか追 いかける。 • 完全な秩序系や完全無秩序系には繰り込み変換 を行っても変化は無い。 • 臨界点近傍の物理量の変化にはハミルトニアン の詳細によらない普遍性がある。

Quantum dimer – Néel order 絶対零度での相転移 磁場や圧力などの変化によって相転移  全然異なる二つの波動関数の間でゆらぐ  QCP自身は絶対零度にしか存在しないが、 その影響は有限温度まで延びてくる。

Quantum criticality

Sachdev-Keimer (2011), Quantum Criticality, Physics Today 64, 29

Chakravarty PRB (1989)

熱揺らぎによる臨界現象と比べてまだわ かっていないことが多い。様々な理論・実験 研究が盛んに行われている。

先端物性科学 Ｉ：超流動

参考文献

「超流動」 山田一雄・大見哲巨 （培風館） 「超伝導」 家泰弘 （朝倉書店）

「The Superfluid Phases of Helium 3」 Dieter Vollhardt & Peter Wölfle

１日目 Boson

２日目 Fermion

フェルミ統計の復習：自由フェルミガス

中性子星：中性子からなる高密度の天体 密度 ~ 5 x 1017 _kg/m3 m_n = 1.7 x 10-27 _kg 表面温度 ~ 106 _K T_F ~ 1012 _K 極低温！中性子の超流動？  銀（モル体積 10.3 cm3_{)のフェルミ温度}  3_{Heのフェルミ温度} T << T_Fでk_Fより下の詰まった フェルミ球を形成する。

フェルミ統計の復習：自由フェルミガス

T << T_Fでk_Fより下の詰まった フェルミ球を形成する。  状態密度  パウリ磁化率（温度一定）  電子比熱（温度に比例）

フェルミ液体論

相互作用が入った時にどうするか？ 元の自由粒子 準粒子（quasi particle, dressed particle) 逆に言うと相互作用を 入れて相転移を起こす ような系には使えない。 分布関数 相互作用の無い状態から断熱的に相互作用を加えても、 元の自由粒子とは“１対１対応”が成り立つだろう。 Landauの洞察 エネルギー 周りの相互作用の分 重くなったと考えればＯＫ。 Legendre展開

フェルミ液体論

分布関数 エネルギー Legendre展開 mが大きくなるとN_Fが増えて、磁化率と比熱が増える。

C/Tの係数からm*/m

3

_{He: 2.8 – 5.3}

CeCu

₆

: ~ 100

超伝導：おさらい

• 電気抵抗 ０ • 完全反磁性 Kasahara (2010) PRB 81, 184519 住友電工超伝導ケーブル ニューヨーク州の州都Albanyで実 際に使われている。 http://www.sei.co.jp/products/energy/topics/001/

超伝導：おさらい

• 電気抵抗 ０ • 完全反磁性 Kasahara (2010) PRB 81, 184519 Hess et al., PRL 1989  磁束の量子化：マクロな波動関数 なにか電子のペアが重要な役割をはたして いる事がこの実験結果からわかる。

超伝導：クーパー問題

L. Cooper: Phys. Rev. 104, 1189 (1956)

“フェルミ面上に加えられた２個の電子間に引力が働 くとき、この電子対が束縛状態を作るか”

２電子の波動関数

ハミルトニアンとして軌道部分だけが関与する

超伝導：クーパー問題(s-wave singlet)

簡単のためにspin成分はsingletとする そうすると軌道成分は対称にすればよくて さらにk_Fより下は詰まっているから k > k_F の積分だけ 考えればよくなる。 軌道部分は相対運動だけ考えて、重心は停止( K = 0)

超伝導：クーパー問題(s-wave singlet)

相互作用はフェルミ面近傍 でだけ-Vとする。

超伝導：クーパー問題(s-wave singlet)

L. Cooper: Phys. Rev. 104, 1189 (1956)

“フェルミ面上に加えられた２個の電子間に引力が働 くとき、この電子対が束縛状態を作るか” どんなに引力が弱くても束縛状態を形成する。 電子を加えるとエネルギーが下がるのだからフェルミ面を壊して クーパー対を増やしていった方がよくなってしまう。 Fermi面を壊すことによる運動エネル ギーの損と引力によるエネルギー利 得が釣り合うまでギャップが開く STMなどで実 際に観測され ている。 © Hanaguri, Riken

超伝導：クーパー問題(s-wave singlet)

L. Cooper: Phys. Rev. 104, 1189 (1956)

“フェルミ面上に加えられた２個の電子間に引力が働 くとき、この電子対が束縛状態を作るか” どんなに引力が弱くても束縛状態を形成する。 電子を加えるとエネルギーが下がるのだからフェルミ面を壊して クーパー対を増やしていった方がよくなってしまう。 超伝導にならない金属の方がむ しろ変。 単体元素では Rh (T_c = 0.32 mK) まで確認されている。

超伝導：クーパー問題(s-wave singlet)

L. Cooper: Phys. Rev. 104, 1189 (1956)

“フェルミ面上に加えられた２個の電子間に引力が働 くとき、この電子対が束縛状態を作るか” ？Fermi面がなかったら？ Vが十分大きくないと解なし 摂動Ｖで展開不能！ なかなかこの解にはたどりつかなかった理由の一つ。 絶対零度でのFermi面自体の宿命。 金属状態というのはある意味非常に不安定。

超伝導：クーパー問題(s-wave singlet)

L. Cooper: Phys. Rev. 104, 1189 (1956)

“フェルミ面上に加えられた２個の電子間に引力が働 くとき、この電子対が束縛状態を作るか” を使い、さらに詳しく計算すると以下のようになる BCS波動関数 超伝導ギャップの大きさ 超伝導転移温度 ギャップとTcの関係

超伝導：クーパー問題：一般

２電子の波動関数 s-wave singlet p-wave triplet d-wave singlet Legendre多項式を 使って展開 一番引力のチャンネルの強い 対称性が実現する。 基本的に同じ計算をすれば

超伝導の発見

水銀：1911年 銅酸化物高温超伝導：1986年

写真はYBCO Ba_0.75La_4.25Cu₅O_5(3-y)

Z. Phys. B Condensed Matter 64, 189-193 (1986) 現在の最高のTcは 153 K HgBa₂Ca₂Cu₃O_8+y @15 GPa J. Phys. Soc. Jpn. 82 (2013) 023711 最低のTc (?) Rh 0.32 mK

超流動

3

_He

Helium-3：自然界にほとんど存在しない 4Heの0.000137% = 10-6 原子炉で人工的に生成されるので非常 に高価 （４０～５０万/L） しかし、応用範囲は広い • 低温生成 • 中性子検出（空港での検査機器） • 核融合

超流動

3

_{Heの発見：Pomeranchuk冷却}

超流動

3

_{Heの発見：固体か液体か？}

Phys. Rev. Lett. 28, 885 (1972)

固液共存相で実験していたから固体 3Heのスピンの相転移なのか液体の相 転移なのかわからなかった。

超流動

3

_{Heの発見：固体か液体か？}

Tc以下で液体のNMR信号がシフトすることが判明 D. D. Osheroff et al., PRL 29, 920 (1972) 固体ヘリウム３の核スピンの整列は超流 動転移(2.48 mK)よりも少し低い温度(0.93 mK)だった。

超流動

3

_{He：渦の量子化}

J.C. Davis et al., PRL 66, 329 (1991) h/2m₃で量子化されている。 ヘリウム３原子がクーパー対を組んでマクロな量子状態にある事の証明 有効質量m*で無い点に注意。 (m*/m = 2.8 – 5.8 ) Ruutu et al. JLTP (1997)  Helium 4: BEC  Helium 3: BCS

超流動速度

速度vで動く系へのガリレイ変換 凝縮体の質量と電荷をそれぞれm*, e*とする 超流体の波動関数の位相の変化は 余分の位相の微分を考えれば J.C. Davis et al., PRL 66, 329 (1991) • 超流動速度の前の係数はガリレイ変 換に対するものだから相互作用が入 らず、bare mass が現れる。 • クーパー対を形成するから 2m₃ • これは上の実験結果からあいまいさ 無に要求される結果

回転する超伝導

超伝導体の回転によって現れる磁場

荷電粒子に対してはゲージ不変性の要請から

回転座標系への変換

最初の式の両辺のrotationをとると

Cooper-pair mass in niobium PRB 42, 7885 (1990) Nbの有効質量(１～４ m_e)では なく、m_eが10 ppmの精度で観 測されている。 プラスに帯電している格子だけ回るとエネル ギーを損する。電子も一緒に回転する。

超伝導と

3

_{Heの超流動}

 普通の超伝導体(Hg, Al, etc.)

s-wave, singlet

 高温超伝導体(YBCO, BSCO) d-wave, singlet

 Triplet超伝導体 (Sr₂RuO₄, UPt₃, ??) (p, f)-wave, triplet 超伝導対称性は未確定 Nature Phys. 2, 190 (2006)  3_{Heの超流動} p-wave, tripletであることが確立し ている唯一の例。

Singlet & triplet









                                                                                          2 1 2 1 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 1 h J J J h J h J J J J J h J Singlet S= 0 Triplet S= 1 S_z = 1, 0, -1 Singlet superconductor Pauli行列

Singlet & triplet

Triplet S= 1 S_z = 1, 0, -1 Triplet superconductor： スピン空間の自由度を dベクトルで表現 d-vectorはスピンと直交する さらにP波(l = 1)の３つの球面調和関数で展開 ３×３の行列 スピンの自由度：３ 軌道の自由度：３

Order parameter of a triplet superconductor

内部自由度のある超流体

 ヘリウム４、(s波)超伝導体  P-wave, triplet (3He)

波動関数の位相の自由度が破れる 群論的にいろんな 破り方が可能。 実際には一番エネ ルギーの低い状態 が実現。 軌道 スピン 位相

3

_{He A phase and B phase}

P-wave (L = 1)

Spin-triplet (S = 1)

Cooper pair

[BW state] Balian-Werthamer (PR 1963) [ABM state] Anderson-Morel (PRL 1960) Anderson-Brinkmann (PRL 1973) 凝縮エネルギーを最小にする状態が実現。 実験結果と完全に一致する事が確認されている。 Spin Orbital 回転行列 位相

3

_{He-A phase}

3_{He-A phase} 特徴  z方向（通常l-vectorで指定される）にギャップのつぶれた構造  磁化率が H ⊥ dで （この時エネルギー最少）Pauli磁化率と同 じになる。 ↑ ↑と↓ ↓しかいないので↑と↓の通常の電子と同じ。

なので“Equal Spin Pairing state” と呼ばれたりする。

3

_{He-B phase}

 ギャプ構造：p_x, p_y, p_zが同じ割合で混じっている S波超伝導体と同じ等方的ギャップ  磁化率：Sz = +1, 0, -1 が同じ割合で混じっている 単純には2/3になるがフェルミ液体効果の補正で 複雑な結果になる。絶対零度でほぼ1/3。 3

_{He-B phase}

相転移における対称性の低下

 ヘリウム４、(s波)超伝導体 波動関数の位相の 自由度が破れる  固化 液体：３次元空間の任意の 回転操作に対して不変 固体：結晶構造特有の対称操作 氷の場合は Hexagonal, P6₃/mmc

相転移における対称性の低下

 ヘリウム４、(s波)超伝導体 波動関数の位相の 自由度が破れる  Heisenbergスピンの磁気転移 常磁性：３次元空間の任意 の回転操作に対して不変 強磁性：スピンが特定の方 向を向く

A相とB相の対称性

 P-wave, triplet (3_He)

軌道 スピン 位相 3

_{He-A phase：}

3

_{He-B phase：}

3He-A相での対称操作 • d-vector周りの回転 • l-vector周りの回転とゲージ • スピンと軌道の符号を同時 に反転 3He-B相での対称操作 • スピン空間と軌道空間 を同時に回転

トポロジー

位相空間 A から位相空間 B への連続写像 f が全単射で、その逆写像も連続であると き、f を同相写像 (homeomorphism) という。A と B との間に同相写像が存在するとき、 A と B は同相であるという。

Broken symmetry & Topological defects

対称性の破れのトポロジーがその系の欠陥の種類を決定する。  一様な速度場（欠陥＝渦はない）  渦が１本 渦の数が同じ状態同士は連続変形でつながるが、 渦の数が異なる状態は決して連続変形ではつながらない。 秩序空間の中で許される位相 同型でない閉曲線の種類 その秩序状態のトポロジー で許されるdefectの種類 速度場 位相空間への写像 速度場 位相空間への写像

Broken symmetry & Topological defects

対称性の破れのトポロジーがその系の欠陥の種類を決定する。  ヘリウム４、(s波)超伝導体 Q: U(1) ( = S1 _{) にトポロジーの異なる構造が何種類あるか？} ＝4_{Heやs波超伝導体における渦の種類は何種類か？} A: 整数の数だけある。 波動関数のゲージ対称性だけが破れるとき

内部自由度のある超流体：A相

3_{He-A phase} S2_{の部分からは渦} が出てこない この空間内での位相同型でない 閉曲線の種類を探す。 スカーミオン渦：MnSiなどの磁性体中の渦として観測されている Nagaosa-Tokura (2012) Phys. Scr. T146, 014020 二次元球面上をラップする ように包む

内部自由度のある超流体：A相

3_{He-A phase} この空間内での位相同型でない 閉曲線の種類を探す。 [ SO(3)空間内の２種類のdefects ] ３次元空間における任意の回転はn 軸周りのq_回転R(n, q_{)で表現できる。}  渦の分類：二回まわると元に戻る！ ＝ ・ ・ ・,-2 = 0, -1, 0, 1, 2 = 0, ・ ・ ・

3

_{He-A相の渦：Continuous vortex}

4_{Heや超伝導体での渦が位相の回転数に応じて}

・ ・ ・,-2, -1, 0, 1, 2, ・ ・ ・ ⇒ ・ ・ ・, 0, 1, 0, 1, 0, ・ ・ ・

中心に渦芯のない渦を作ることができる (soft core vortex, continuous vortex)

NMRで実験的に確認されている。 O. V. LOUNASMAA & E. THUNEBERG

3

_{He-A相の渦}

3_{He-A phase}

Z₂のところまで入れてちゃんと考える と４種類の渦がある事がわかる

3

_{He-A相の渦：Half-quantum vortex}

Half Quantum Vortex

n = 1/2 , Phase

p

+ Spin

p

Spinのd-vectorと軌道を現す ｍ + in の符号 を同時に変えても波動関数は不変。 2pの波動関数の位相差をスピン空間と軌道 空間で分割できる。 まだ観測されていない

まとめ

 自由フェルミガスとフェルミ液体論 • T << TFでフェルミ面を形成する • 相互作用の効果は、ある程度までは、 有効質量の変化などに繰り込める。  引力相互作用するフェルミガス • 引力がわずかにでも存在すればフェル ミ面は不安定 • 超伝導ギャップが生まれる • 引力のチャンネルの対称性に応じた超 伝導ギャップが生じる  超流動３_Ｈｅ

• P-wave, spin triplet superfluid • A相とB相の二つの相がある

• 渦の量子化に現れる質量は相互作用

の無い裸のm₃

• Topological defectの種類がトポロジー で決まる。