マルコフモデルを用いたバスケットボール日本代表の試合分析

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マルコフモデルを用いたバスケットボール日本代表の試合分析 13D8103013K 小林巧

中央大学理工学部情報工学科田口研究室 2017 年 3 月

あらまし：本研究では，バスケットボールの試合からデータを集計し，バスケットボールのマルコフモデルを作成する．

そして，作成したモデルを用いてシミュレーションをおこない，チームの特徴や，勝敗の要因を分析する．

キーワード：マルコフモデル，平均訪問回数 1 はじめに

バスケットボール男子日本代表は長い間世界規模の大会に出場できていない．そこで，本研究ではバスケットボールの試合のモデルを作成し，作成したモデルを用いて試合の分析を行い，日本代表が勝利するための要因を考察した．

2 マルコフモデル

2.1 マルコフ連鎖と推移確率行列

マルコフ連鎖は，マルコフ性をもつ状態空間が離散的な確率過程である．マルコフ性は，「時点 𝑛で状態 𝑖にいたとき，

つぎの時点 𝑛 + 1において状態 𝑗に推移する確率は，時点 𝑛 − 1以前にどの状態にいたかには無関係である」という仮定のことである．状態空間は，すべての集合であり，状態は，

時点 𝑛における確率過程 𝑋

𝑛

がとりうる値である．

マルコフ連鎖は，状態 𝑖から状態 𝑗へ推移する確率 𝑝

𝑖𝑗

を行列の形に並べた推移確率行列 𝑃によって推移の構造を表現することができる．

2.2 高次の推移確率と状態確率

時点 𝑛(𝑛 = 0,1,2, ⋯ )で状態 𝑖 にいたとき，𝑚 ステップ (𝑚 = 1,2, ⋯ )の推移の後，時点 𝑛 + 𝑚で状態 𝑗にいる確率 𝑝は

𝑝

_𝑖𝑗^(𝑚)

= ∑

^𝑁_𝑘=1

𝑝

_𝑖𝑘^(𝑚−1)

𝑝

_𝑘𝑗

(𝑁は状態数 ) (1) で与えられる．式(1)を行列の形で表すと

𝑃

^(𝑚)

= 𝑃

^(𝑚−1)

𝑃 (2) となり，式(2)より，

𝑃

^(𝑚)

= 𝑃

^𝑚

(3) が与えられる．

2.3 吸収的マルコフ連鎖

吸収的マルコフ連鎖は，一度その状態に推移したらいつまでもその状態に留まる吸収状態と，それ以外の一時的状態の 2 種類の状態をもつマルコフ連鎖のことである．

平均訪問回数：状態 𝑖から出発したマルコフ連鎖がいずれかの吸収状態に吸収されるまでに状態 𝑗を訪問する平均回数吸収確率：一時状態 𝑖から出発したマルコフ連鎖がいつかは

吸収状態 𝑗に推移する確率．

平均吸収時間：いずれかの吸収状態に推移するまでの平均ステップ数．

3 バスケットボールマルコフモデル 3.1 バスケットボールの概要

バスケットボールとは， 5人ずつのプレーヤーからなる2つのチームがボールを使って得点を競う球技スポーツのことである．各チームともオフェンス，ディフェンスを繰り返し，制限時間内に得点が失点を上回った方のチームが勝利となる．

3.2 データの集計方法及び状態空間の定義

データは男子日本代表チームが戦った 3 試合を使用する．

一つのチームのオフェンスだけに着目する．コートを 4 つのエリアに分割し，エリアごとにパス，各シュート，アシスト，

リバウンド，ファウル，得点， Play off を状態とし，状態間の行き来する回数を数える．以上に基づいて状態数が 33 個の状態空間を定義する．

3.3 集計結果に基づいた推移確率行列の決定

3.2 節に基づいてデータの集計をおこなう．そして，集計結果を行列 𝐷，要素を 𝑑

𝑖𝑗

とし，𝑖行の行和 𝑠𝑢𝑚

𝑖

求める．𝐷と 𝑠𝑢𝑚

𝑖

から推移確率行列 𝑃を求める． 𝑃の各要素 𝑝

𝑖𝑗

は

𝑝

_𝑖𝑗

= { 𝑑

𝑖𝑗

𝑠𝑢𝑚

_𝑖

1 0

(0 ≤ 𝑖 ≤ 27,0 ≤ 𝑗 ≤ 31)

(28 ≤ 𝑖 ≤ 31,0 ≤ 𝑗 ≤ 31, 𝑖 = 𝑗) (28 ≤ 𝑖 ≤ 31,0 ≤ 𝑗 ≤ 31, 𝑖 ≠ 𝑗) として推定する．

4 マルコフモデルを用いたチーム力の分析

4.1 マルコフモデルを用いた試合のシミュレーションバスケットボールマルコフモデルを用いてシミュレーションをおこない，シミュレーションは4 つのルールに従う．

・各チームのオフェンスのみをシミュレーションをおこなう．

・実際の試合を見て集計した総推移回数に，シミュレーション時の推移回数が達したら試合を終了する．

・ファウルを受け，フリースローが行われる場合のみのファウルを考え，他の場面のファウルは考えない．

・ボールが相手に渡った時すべてをPlay off として考える．

シミュレーション実行時における状態の推移は，確率的に決まると仮定し，各状態間の推移は乱数を用いてランダムに決める．吸収状態へ推移したときは，モデルの推移を打ち切り，初期状態戻る．総推移回数に推移回数が達したら終了とする．

シミュレーションの流れを図 1 に示す．そして，集計した

3試合のシミュレーションを 100 試合ずつおこない，スコア

の平均，各シュートの成功率を出力する．実際の試合と比較した結果を表 1 に示す．

図1 シミュレーションの流れ

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表1 実際の試合とシミュレーションの比較

表 1より，シミュレーションの結果は実際の試合結果に近

いので，モデルの整合性が高いことを示している．

4.2 シミュレーションによる試合分析

集計した3試合のシミュレーションを 100 回ずつおこなう．そして，両チームの平均訪問回数 𝑚

_𝑖𝑗

，吸収確率 𝑏

_𝑖𝑗

，平均吸収時間(吸収状態までに要するステップ数) 𝑡

_𝑖

を求めて，試合の分析をおこなう．

分析した3試合に共通することは，平均吸収時間が大きい方，つまり攻撃に時間をかけている方が勝利しているということである．攻撃に時間をかけるということは相手の攻撃時間を削ることができ，相手の得点を抑える効果があり，試合を優位に運ぶことができると考えられる．また，日本は 2P

シュート (B)を行うという攻撃方法を多く使っていたことが

わかった．しかし，日本の各シュートの吸収確率は 2Pシュート(B)の成功率は試合ごとに大きく変わるので，安定して得点を重ねられない可能性がある．現にチェコに対して 2P

シュート (B)を中心的に使って，2015 年は勝ち，2016 年に

は敗北している．そこで，日本の 2Pシュート (Y)に着目してみると， 3 つの試合すべて成功率4割を超えている．このことから，日本は2P シュート (Y) を多く使うと安定して得点を重ねることができるということが推測できる．

表2 相手チームの各シュートの吸収確率

また，分析した3試合とも共通して日本と戦ったチームは

2P シュート (Y)を中心的に使って攻撃している．表2は各試

合の相手の各シュートの吸収確率である．3試合とも2P シュート(Y) の成功率はどの試合も4 割を超えている．日本が相手チームの得点を抑えるには相手チームに 2Pシュート (Y) を使って攻撃させないようにディフェンスするのが効果的であると推測できる．

4.3 推移確率を変化させた場合のシミュレーション 4.2 項より日本代表が勝利するための要素が判明したため，以下の設定で日本が得点を上げられるか，相手の得点を抑えられるかシミュレーションを行う．

設定 1 ：日本チームにおいての 2P シュート (Y) へ推移するようなパスを行う確率を上げる．

設定 2 ：相手チームにおいての 2P シュート (Y) へ推移するよ

うなパスを行う確率を下げる．

設定1のシミュレーション結果について述べる．図 2より，2Pシュート (Y)を行う確率を増やすとシミュレーションにおいて3試合すべての得点が上がった．得点を多く重ねるために2P シュート (Y) を多く使うことは効果的であることがわかった．

図2 設定1においての得点の変化

設定2のシミュレーション結果について述べる．図 3を見るとどの試合も少し点数は下がったが，大きく点数は変わっていない．これは 2Pシュート (Y)を行う回数を減らした分，

他のシュートに推移するからであると考えられる．表2を見ると全体的にシュートの成功確率が高い．このため，得点の大きな変化は見られなかったと考えられる．よって相手チームに2P シュート (Y) を行わせないように守ることは，相手の得点を抑えることに必ずしも有効ではないと言える．得点を抑えるためにはどれかひとつのシュートをおこなわせないようにディフェンスするのではなく，相手のチームのシュート成功率を下げるようなディフェンスをする必要がある．

図3 設定2においての得点の変化 5.2 おわりに

マルコフモデルを用いることでバスケットボールの試合をほぼ再現できた．そして，再現した試合から日本代表の特徴，勝敗の要因を分析し，日本代表が勝利するための要因を考察した．

参考文献

[1] 小池光太郎，田口東，マルコフモデルを用いたフットサルの試合分析，オペレーショ

ンズリサーチ， vol.51， no.6， pp.334-339,2006.

[2] 2015 年国際強化試合日本vs チェコ戦 https://youtu.be/VfkAZPxpBu0

[3] 2016 年リオオリンピック最終予選日本対チェコ戦

https://youtu.be/-szNl_8ExwE [4] 2016 年Atlas Challenge 日本対中国戦

https://youtu.be/qSqlC7k5ovY

試合チーム実際シミュレー

ション実際シミュレー

ション実際シミュレーション日本 65 67.90 0.294 0.293 0.536 0.571 0.308 0.317 チェコ 54 50.89 0.222 0.221 0.464 0.456 0.416 0.360 日本 71 71.66 0.391 0.401 0.364 0.364 0.294 0.317 チェコ 86 86.34 0.346 0.374 0.613 0.587 0.642 0.542 日本 71 70.06 0.417 0.390 0.290 0.319 0.435 0.395 中国 70 69.30 0.333 0.303 0.355 0.403 0.333 0.302 2016

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2015 2016