: M −→ M 0をC ∞級写像とする。

(1)

9

極大トーラスの共役性

9.1

定義.

M , M ⁰

をともに

n

次元多様体とし、f

: M −→ M ⁰

を

C ^∞

級写像とする。

rank(df _x ) = n

となる

M

の点

x

を

f

の正則点と呼び、rank(df

x ) < n

となる

M

の点

x

を

f

の臨界点と呼ぶ。fの臨界点の

f

による像を

f

の臨界値と呼び、fの臨界値でない

M ⁰

の点を

fの正則値と呼ぶ。

9.2

補題.

M , M ⁰

をともに向きのついた

n

次元コンパクト連結多様体とし、

f : M −→

M ⁰

を

C ^∞

級写像とする。fの正則点

x ∈ M

に対して

sign(df x ) =

½ 1 df _x

が向きを保つ線形同型写像

− 1 df _x

が向きを逆にする線形同型写像

としてsign(df

x )

を定める。このとき、fの正則値

y ∈ M ⁰

に対して

f ⁻ ¹ (y)

は

M

の有

限部分集合になり、

X

x ∈ f

⁻¹

(y)

sign(df _x )

は

yに依存しない定数になる。

証明. 参考文献の

[松]

第

V

章§6写像度または

[M]§5 Oriented manifolds

を参照のこと

9.3

定義.

M , M ⁰

をともに向きのついた

n

次元コンパクト連結多様体とし、

f : M −→

M ⁰

を

C ^∞

級写像とする。このとき、fの正則値

y ∈ M ⁰

をとり

deg(f ) = X

x ∈ f

⁻¹

(y)

sign(df _x )

とおき、deg(f

)

を

f

の写像度と呼ぶ。

9.4

定理.

G

をコンパクト連結

Lie

群とし

G

の極大トーラス

T

を

1

つとる。このとき、G,

T , G/T

に向きを定めることができ、写像

q : (G/T ) × T −→ G; (gT, t) 7−→ gtg ⁻ ¹

の写像度は

G

の

Weyl

群

W (G)

の位数に等しい。特に

qは全射になる。

証明.

g

と

t

をそれぞれ

G

と

T

の

Lie

環とする。Gはコンパクトだから補題

8.1

より

G

の随伴表現Ad :

G −→ GL(g)

が直交表現になるような

g

の内積

h , i

が存在する。

G

の随伴表現を

T

に制限すると、tは

T

の作用に関して不変な部分空間になる。tの直交補空間を

m

で表すと

m

もまた

T

の作用に関して不変な部分空間になる。さらに線形同型写像

α : g −→ T e (G); X 7−→ X e

によって

g

と

T _e (G)

を同一視すると、写像

π : G −→ G/T ; g 7−→ gT

1

(2)

の単位元

e

における微分写像

dπ _e : g −→ T _π(e) (G/T )

の核は

t

に一致し、

dπ e | ^m : m −→ T _π(e) (G/T )

は線形同型写像になる。X

1 , . . . , X n − k

が

m

の基底になり

X n − k+1 , . . . , X n

が

t

の基底になるように

g

の基底

X ₁ , . . . , X _n

をとる。X

1 , . . . , X _n

は

G

上で定義されたベクトル場で、各点の接ベクトル空間で基底になるので、G に向きを与える。同様に

X _n ₋ _k+1 , . . . , X _n

の

T

への制限は

T

に向きを与える。また

X ₁ , . . . , X _n ₋ _k

は

dπ _e | ^m

を通して

T _π(e) (G/T )

に向きを与え、Tは連結だから

T

の

T _π(e) (G/T )

への作用

t(v) = (dt) _π(e) (v) (t ∈ T, v ∈ T _π(e) (G/T ))

は

T _π(e) (G/T )

の向きを変えない。したがって、この向きを

G/T

全体に拡張することができる。よって

G/T

にも向きがつく。

次に

g, g 1 ∈ G, t 1 ∈ T

が

g 1 = gt 1

を満たすと

g 1 tg ₁ ⁻ ¹ = gt 1 tt ⁻ ₁ ¹ g ⁻ ¹ = gtg ⁻ ¹

だから写像

q : (G/T ) × T −→ G; (gT, t) 7−→ gtg ⁻ ¹

を定義することができる。また写像

G × T −→ G; (g, t) 7−→ gtg ⁻ ¹

は

C ^∞

級写像だから

qも C ^∞

級写像になる。

写像

qの写像度を求めるためにまず qの微分写像を求めておこう。g ∈ G

に対して

τ (g) : G/T −→ G/T ; xT 7−→ gxT

とおくと、

τ (g)

は

G/T

の向きを保つ微分同型写像になる。

g ∈ G, t ∈ T

と

X ∈ m, Y ∈ t

に対して

dq _{(gT ,t)} ((dτ (g)) _π(e) X, (dL _t ) _e Y )

= d

ds q((g exp sX)T, t exp sY )

¯ ¯

¯ ¯ _s=0

= d

ds g exp sXt exp sY (g exp sX ) ⁻ ¹

¯ ¯

s=0

= d

ds gtg ⁻ ¹ gt ⁻ ¹ exp sXt exp sY exp( − sX)g ⁻ ¹

¯ ¯

s=0

=(dLgtg ⁻ ¹ ) _e Ad(g) d

ds exp s Ad(t ⁻ ¹ )X exp sY exp( − sX )

¯ ¯

s=0

=(dL _{q(gT ,t)} ) e Ad(g)((Ad(t ⁻ ¹ ) − I m )X + Y ).

したがって、

dq _{(gT ,t)} ((dτ (g)) _π(e) × (dL t ) e ) = (dL _{q(gT ,t)} ) e Ad(g)((Ad(t ⁻ ¹ ) | ^m − I m ) + I t ).

これより、(gT, t)が

qの正則点になるための必要十分条件はAd(t ⁻ ¹ ) | ^m − I _m

が

m

の線形同型写像になることである。

(3)

補題

8.6

より

{ t ⁱ ₁ | i ∈ N}

が

T

内で稠密になるような

t ₁ ∈ T

が存在する。この

t ₁

を使って

qの写像度を求めよう。t 0 ∈ T

を

t ² ₀ = t ⁻ ₁ ¹

となるようにとると、

{ t ⁱ ₀ | i ∈ N}

も

T

内で稠密になる。(gT, t)

∈ q ⁻ ¹ (t 1 )

とすると、gtg

⁻ ¹ = t 1

となるので

g ⁻ ¹ t 1 g = t ∈ T

。したがって、各

i ∈ N

について

g ⁻ ¹ t ⁱ ₁ g = t ⁱ ∈ T

となり

g ⁻ ¹ T g ⊂ T

。g

⁻ ¹ T gも G

の極大トーラスになるので

g ⁻ ¹ T g = T

。これより

g ∈ N (T )

となり、

q ⁻ ¹ (t ₁ ) = { (gT, g ⁻ ¹ t ₁ g) | g ∈ N (T ) } .

よって

q ⁻ ¹ (t ₁ )

の元の個数は

G

の

Weyl

群の位数に等しい。そこで各

(gT, g ⁻ ¹ t ₁ g) ∈ q ⁻ ¹ (t ₁ )

においてsign(dq) = 1となることを示そう。X

∈ m

が

(Ad(g ⁻ ¹ t ⁻ ₁ ¹ g) | ^m − I m )(X ) = 0

を満たすとする。t

1

の性質より任意の

t ∈ T

に対してAd(t)X

= Xとな

り、

X

は

T

の中心化部分群の

Lie

環の元になる。したがって定理

8.10

より

X ∈ t

となり、

t ∩ m = { 0 }

だから

X = 0

となる。よってAd(g

⁻ ¹ t ⁻ ₁ ¹ g) | ^m − I m

は

m

の線形同型写像になる。Ad(g

⁻ ¹ t ₀ g) | ^m

は

m

の等長変換だからAd(g

⁻ ¹ t ² ₀ g) | ^m = Ad(g ⁻ ¹ t ⁻ ₁ ¹ g) | ^m

は行列式

1

の等長変換になる。したがってAd(g

⁻ ¹ t ⁻ ₁ ¹ g) | ^m

の表現行列が



 



cos θ 1 − sin θ 1

sin θ ₁ cos θ ₁ . . .

cos θ _k − sin θ _k sin θ k cos θ k



 



となるように

m

の基底をとることができる。

det

· cos θ j − 1 − sin θ j

sin θ _j cos θ _j − 1

¸

= 2(1 − cos θ _j ) > 0

となり、

Ad(g ⁻ ¹ t ⁻ ₁ ¹ g) | ^m − I _m

の行列式は正になる。したがってsign(dq)

_{(gT ,g}

−1

t

1

g) =

1

となり、

deg(q) = | W (G) |

が成り立つ。特に

qは全射になる。

9.5

定理.

G

Lie

群とし、Tと

T ⁰

を

G

の極大トーラスとする。このとき、Tと

T ⁰

は共役になる。

証明. 補題

8.6

より

{ t ⁰ ⁱ | i ∈ N}

が

T ⁰

内で稠密になるような

t ⁰ ∈ T

をとることができる。定理

9.4

より

g ∈ G

と

t ∈ T

で

t ⁰ = q(gT, t) = gtg ⁻ ¹

を満たすものが存在する。よって、g

⁻ ¹ t ⁰ g = t ∈ T

となり

g ⁻ ¹ T ⁰ g ⊂ T

。g

⁻ ¹ T ⁰ gも G

の極大トーラスになるので

g ⁻ ¹ T ⁰ g = T

。したがって

T

と

T ⁰

は共役になる。

9.6

定義. 定理

9.5

よりコンパクト連結

Lie

群

G

の極大トーラスの次元は一定である。Gの極大トーラスの次元を

G

の階数と呼び、rank(G)で表す。

(4)

9.7

系.

G

Lie

群とし

T

を

G

の極大トーラスとする。Gと

T

の

Lie

環をそれぞれ

g

と

t

で表す。このとき

G = [

g ∈ G

gT g ⁻ ¹ , g = [

g ∈ G

Ad(g)t

が成り立つ。

証明. 定理

9.5

の写像

qが全射になることから、

G = [

g ∈ G

gT g ⁻ ¹

が成り立つことはすぐにわかる。任意に

X ∈ g

を

1

つとる。

{ exp(tX ) | t ∈ R}

の閉包を

Sとおくと、Sはトーラスと同型な G

の閉

Lie

部分群になる。Sを含む

G

T ⁰

をとると、定理

9.5

よりある

g ∈ G

が存在し

T ⁰ = gT g ⁻ ¹

となる。したがって

X ∈ Ad(g)t

となって

g = [

g ∈ G

Ad(g)t

が成り立つ。

9.8

系.

G

Lie

群とし、Tと

T ⁰

を

G

の極大トーラスとする。このとき、Tから定まる

G

の

Weyl

群と

T ⁰

から定まる

G

の

Weyl

群は同型になる。

証明. 定理

9.5

より

g ∈ G

が存在し

T ⁰ = gT g ⁻ ¹

となる。したがって

N (T ⁰ ) = gN (T )g ⁻ ¹

となり

N (T )/T ∼ = (gN (T )g ⁻ ¹ )/(gT g ⁻ ¹ ) = N (T ⁰ )/T ⁰

が成り立つ。よって

T

から定まる

G

の

Weyl

群と

T ⁰

から定まる

G

の

Weyl

群は同型になる。

9.9

系.

G

Lie

群とし

Z

を

G

の中心とする。このとき

Z = ∩{ T | T : G

}

が成り立つ。

証明.

z ∈ Zとすると G

の任意の極大トーラス

T

に対して定理

8.8

より

zと T

をともに含むトーラス

T ⁰

が存在するので、T

= T ⁰

となり

z ∈ T

がわかる。

逆に

z ∈ ∩{ T | T : G

}

とする。任意の

g ∈ G

に対して系

9.7

より

gを含む G

T

が存在する。したがって

zと gは可換になり、zは G

の中心に含まれる。

9.10

定義.

G

Lie

群とし

T

を

G

の極大トーラスとする。定理

8.10

とその証明中に示したことより

G

の

Weyl

群

W (G)

は

T

の自己同型群Aut(T

)

の部分群とみなせる。

W (G)

の

T

への作用は

W (G)

の

Ch _C (T )

への作用を誘導する。W

(G)

の作用で不変な

Ch _C (T )

の元の全体を

Ch _C (T ) ^W ^(G)

で表す。また

R _C (T ) ^W ^(G) = χ ⁻ ¹ (Ch _C (T ) ^W ^(G) )

と表す。

(5)

9.11

系.

G

Lie

群とし

T

を

G

の極大トーラスとする。包含写像

ι : T −→ G

が誘導する表現環の間の準同型写像（定義

2.18） ι ^∗ R _C (G) −→ R _C (T ) ^W ^(G)

は単射になる。

証明. 図式

R _C (G) −−−−→ ^ι

^∗

R _C (T )

χ

 

y   y ^χ

Ch _C (G) −−−−→ ^ι

^∗

Ch _C (T )

は可換になり、系

3.7

よりχは同型写像になる。したがってι

^∗ : Ch _C (G) −→ Ch _C (T )

が単射になることを示せばよい。f

∈ Ch _C (G)

がι

^∗ f = 0

を満たすとする。任意の

x ∈ G

に対して定理

9.7

よりある

g ∈ G

が存在し

gxg ⁻ ¹ ∈ T

となる。よって

f (x) = f (gxg ⁻ ¹ ) = 0

となり

f = 0。これよりι ^∗ : Ch _C (G) −→ Ch _C (T )

は単射になる。さらにι

^∗

の像は

G

上の類関数の

T

への制限だから、W

(G)

の作用で不変になり

ι ^∗ (Ch _C (G)) ⊂ Ch _C (T ) ^W ^(G)

が成り立つ。

9.12

補題. 連結で完備な

Riemann

多様体の基本群の元の代表元として測地線をとることができる。

証明.

M

を連結で完備な

Riemann

多様体とし、p

: ˜ M −→ M

を普遍被覆写像とする。

p

は局所微分同型だから

p

が局所等長写像になるように

M ˜

に

Riemann

計量を入れることができる。このとき

M ˜

も連結で完備な

Riemann

多様体になる。x

∈ M

を固定して基本群π

1 (M, x)

の元

[c]

を

1

つとる。ここで

c : [0, 1] −→ M

は

c(0) = c(1) = x

を満たす

M

の閉曲線である。˜

x ∈ p ⁻ ¹ (x)

をとり

c

の

xを通る持ち上げ˜ ˜ cをとる。定理 8.3

より

xと˜ ˜ c(1)

を結ぶ測地線γが存在する。

M ˜

は単連結だから

p ◦ ˜ c = c

と

p ◦ γは同じホ

モトピー類を定める。さらに

p ◦ γ

は

M

の測地線になるので、[c]の代表元として測地線

p ◦ γをとることができる。

9.13

系.

G

Lie

群とし

T

を

G

の極大トーラスとする。包含写像

ι : T −→ G

が誘導する基本群の間の準同型写像ι

_∗ : π 1 (T ) −→ π 1 (G)

は全射になる。

証明. 補題

8.1

より

G

に両側不変

Riemann

計量を入れることができる。このとき補題

8.2

より

G

の

1

径数部分群の全体と単位元からでる測地線の全体は一致する。補題

9.12

と合わせるとπ

1 (G, e)

の元の代表元として

G

の

1

径数部分群をとることができる。さらに系

9.7

よりそれは

T

の

1

径数部分群と共役になる。Gは連結だからこれらは同じホモトピー類を定める。つまりπ

1 (G, e)

の元の代表元として

T

の

1

径数部分群をとることができる。したがってι

_∗ : π ₁ (T ) −→ π ₁ (G)

は全射になる。

: M −→ M 0をC ∞級写像とする。

9

9.1

M , M 0

n

: M −→ M 0

C ∞

rank(df x ) = n

M

x

f

x ) < n

M

x

f

f

f

M 0

fの正則値と呼ぶ。

9.2

M , M 0

n

f : M −→

M 0

C ∞

x ∈ M

sign(df x ) =

½ 1 df x

− 1 df x

x )

y ∈ M 0

f − 1 (y)

M

X

x ∈ f

(y)

sign(df x )

yに依存しない定数になる。

[松]

V

[M]§5 Oriented manifolds

9.3

M , M 0

n

f : M −→

M 0

C ∞

y ∈ M 0

deg(f ) = X

x ∈ f

(y)

sign(df x )

)

f

9.4

G

Lie

G

T

1

T , G/T

q : (G/T ) × T −→ G; (gT, t) 7−→ gtg − 1

G

Weyl

W (G)

qは全射になる。

g

t

G

T

Lie

8.1

G

G −→ GL(g)

g

h , i

G

T

T

m

M , M ⁰

: M −→ M ⁰

C ^∞

rank(df _x ) = n

M ⁰

M , M ⁰

M ⁰

C ^∞

½ 1 df _x

− 1 df _x

y ∈ M ⁰

f ⁻ ¹ (y)

sign(df _x )

M , M ⁰

M ⁰

C ^∞

y ∈ M ⁰

sign(df _x )

q : (G/T ) × T −→ G; (gT, t) 7−→ gtg ⁻ ¹

T _e (G)

dπ _e : g −→ T _π(e) (G/T )

dπ e | ^m : m −→ T _π(e) (G/T )

X ₁ , . . . , X _n

1 , . . . , X _n

X _n ₋ _k+1 , . . . , X _n

X ₁ , . . . , X _n ₋ _k

dπ _e | ^m

T _π(e) (G/T )

T _π(e) (G/T )

t(v) = (dt) _π(e) (v) (t ∈ T, v ∈ T _π(e) (G/T ))

T _π(e) (G/T )

g 1 tg ₁ ⁻ ¹ = gt 1 tt ⁻ ₁ ¹ g ⁻ ¹ = gtg ⁻ ¹

q : (G/T ) × T −→ G; (gT, t) 7−→ gtg ⁻ ¹

G × T −→ G; (g, t) 7−→ gtg ⁻ ¹

C ^∞

qも C ^∞

dq _{(gT ,t)} ((dτ (g)) _π(e) X, (dL _t ) _e Y )

¯ ¯ _s=0

ds g exp sXt exp sY (g exp sX ) ⁻ ¹

ds gtg ⁻ ¹ gt ⁻ ¹ exp sXt exp sY exp( − sX)g ⁻ ¹

=(dLgtg ⁻ ¹ ) _e Ad(g) d

ds exp s Ad(t ⁻ ¹ )X exp sY exp( − sX )

=(dL _{q(gT ,t)} ) e Ad(g)((Ad(t ⁻ ¹ ) − I m )X + Y ).

dq _{(gT ,t)} ((dτ (g)) _π(e) × (dL t ) e ) = (dL _{q(gT ,t)} ) e Ad(g)((Ad(t ⁻ ¹ ) | ^m − I m ) + I t ).

qの正則点になるための必要十分条件はAd(t ⁻ ¹ ) | ^m − I _m

{ t ⁱ ₁ | i ∈ N}