幾何学概論第二 (MTH.B212)
3: Weingartenの公式
山田光太郎
[email protected]
www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2020/geom-2/
東京工業大学理学院数学系
2020 年 12 月 17 日
目標
事実
第一基本形式を用いて，曲面上の曲線の長さ・曲線の成す角・領 域の面積を求めることができる．
定理
▶ Weingarten 行列の固有値は実数．
▶ Weingarten 行列は対角化可能．
▶ Weingarten の公式： (ν
u, ν
v) = − (p
u, p
v)A ．
▶ 全臍的曲面
内積と表現行列 ( 線形代数の復習 )
V : n 次元線形空間 (n < ∞)
⟨ , ⟩ : 内積
B := { b
1, . . . , b
m} : V の基底 定義
内積 ⟨ , ⟩ の基底 B に関する表現行列とは
M
B:= ( ⟨ b
i, b
j⟩ )
i,j=1,...,mで与えられる m 次対称行列 M
Bのこと である．
v, w ∈ V を成分表示して v =
X
m j=1v
jb
j= (b
1, . . . , b
m)
v1.. .
vm
, w = (b
1, . . . , b
m)
w1.. .
wm
とすると
第一基本行列
正則曲面 p(u, v) の点 (u
0, v
0) における接ベクトル空間 dp(T
(u0,v0)R
2) = Span{p
u(u
0, v
0), p
v(u
0, v
0)} ⊂ R
3.
▶ 第一基本行列 I b は R
3の内積を制限して得られる
dp(T
(u0,v0)R
2) の内積の，基底 { p
u, p
v} に関する表現行列．
▶ (u
0, v
0) における接ベクトル
a := a
1p
u+ a
2p
v, b := b
1p
u+ b
2p
v(p
u= p
u(u
0, v
0), p
v= p
v(u
0, v
0)) の大きさ，内積は
| a | = q
Ea
21+ 2F a
1a
2+ Ga
22,
a · b = Ea
1b
1+ F (a
1b
2+ a
2b
1) + Ga
2b
2.
ただし E, F , G は第一基本量の (u
0, v
0) における値．
弧長
命題 (命題 3.1) p : U → R
3: 正則曲面；
γ(t) = u(t), v(t)
(a ≦ t ≦ b): U 上の曲線；
ˆ
γ(t) := p ◦ γ(t): 対応する曲面上の曲線 ⇒
ˆ
γ の弧長 =
Z
ba
s E
du dt
2+ 2F du dt
dv dt + G
dv dt
2dt.
ただし E = E(u(t), v(t)), . . . .
弧長
命題 (命題 3.1) p : U → R
3: 正則曲面；
γ(t) = u(t), v(t)
(a ≦ t ≦ b): U 上の曲線；
ˆ
γ(t) := p ◦ γ(t): 対応する曲面上の曲線；
s = s(t): γ ˆ の弧長パラメータ ⇒
ds dt =
s E
du dt
2+ 2F du dt
dv dt + G
dv dt
2.
面積要素
定義
正則曲面 p : U → R
3に対して dA : = p
EG − F
2du dv = p
det I du dv b
= | p
u× p
v| du dv = | det(p
u, p
v, ν) | du dv を面積要素という．ただし ν は p の単位法線ベクトル場．
Ω ⊂ U ：有界領域で Ω ⊂ U ; Ω の面積 :=
ZZ
Ω
dA
面積要素
定義
正則曲面 p : U → R
3に対して dA : = p
EG − F
2du dv = p
det I du dv b
= | p
u× p
v| du dv = | det(p
u, p
v, ν) | du dv を面積要素という．ただし ν は p の単位法線ベクトル場．
Ω ⊂ U ：有界領域で Ω ⊂ U ;
Ω の面積 = A(Ω) :=
ZZ
Ω
dA
面積要素
命題
面積 A (Ω) はパラメータの取り方によらない．
面積要素
命題
正の数 t に対して R
3の閉領域
{ p(u, v) + τ ν(u, v) ; (u, v) ∈ Ω, 0 ≦ τ ≦ t } の体積を V
tとすると，
dtdV
tt→+0
